�ݺ�ߣ

Aljabar Boolean halaman 1

ALJABAR BOOLEAN

Definisi Aljabar boolean
Aljabar boolean merupakan aljabar yang berhubungan dengan variabel-variabel biner
dan operasi-operasi logik. Variabel-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf alfabet, dan tiga
operasi dasar dengan AND, OR dan NOT (komplemen). Fungsi boolean terdiri dari variabel-
variabel biner yang menunjukkan fungsi, suatu tanda sama dengan, dan suatu ekspresi aljabar
yang dibentuk dengan menggunakan variabel-variabel biner, konstanta-konstanta 0 dan 1,
simbol-simbol operasi logik, dan tanda kurung.
Suatu fungsi boolean bisa dinyatakan dalam tabel kebenaran. Suatu tabel kebenaran
untuk fungsi boolean merupakan daftar semua kombinasi angka-angka biner 0 dan 1 yang
diberikan ke variabel-variabel biner dan daftar yang memperlihatkan nilai fungsi untuk
masing-masing kombinasi biner.
Aljabar boolean mempunyai 2 fungsi berbeda yang saling berhubungan. Dalam arti
luas, aljabar boolean berarti suatu jenis simbol-simbol yang ditemukan oleh George Boole
untuk memanipulasi nilai-nilai kebenaran logika secara aljabar. Dalam hal ini aljabar boolean
cocok untuk diaplikasikan dalam komputer. Disisi lain, aljabar boolean juga merupakan suatu
struktur aljabar yang operasi-operasinya memenuhi aturan tertentu.

DASAR OPERASI LOGIKA :
Memberikan batasan yang pasti dari suatu keadaan, sehingga suatu keadaan tidak dapat
berada dalam dua ketentuan sekaligus.
Dalam logika dikenal aturan sbb :
♦ Suatu keadaan tidak dapat dalam keduanya benar dan salah sekaligus
♦ Masing-masing adalah benar / salah.
♦ Suatu keadaan disebut benar bila tidak salah.
Dalam ajabar boolean keadaan ini ditunjukkan dengan dua konstanta : LOGIKA ‘1’ dan ‘0’


Operasi Aljabar Boolean :

Operasi logika NOT ( Invers )
Operasi merubah logika 1 ke 0 dan sebaliknya  x = x’

Tabel Operasi NOT Simbol
X X’
0 1
1 0

Operasi logika AND
♦ Operasi antara dua variabel (A,B)
♦ Operasi ini akan menghasilkan logika 1, jika kedua variabel tersebut berlogika 1

Simbol Tabel operasi AND
A B A.B
A A.B 0 0 0
0 1 0
1 0 0
B 1 1 1

Operasi logika OR
Operasi antara 2 variabel (A,B)
Operasi ini akan menghasilkan logika 0, jika kedua variabel tersebut berlogika 0.
Simbol Tabel Operasi OR

A A+B A B A+B
0 0 0
0 1 1
B 1 0 1
1 1 1

Operasi logika NOR
Operasi ini merupakan operasi OR dan NOT, keluarannya merupakan keluaran operasi OR
yang di inverter.
Simbol Tabel Operasi NOR

A A+B ( A + B )’ A B ( A + B)’
0 0 1
0 1 0
B 1 0 0


1 1 0
Atau

A ( A + B )’

B

Operasi logika NAND
Operasi logika ini merupakan gabungan operasi AND dan NOT, Keluarannya merupakan
keluaran gerbang AND yang di inverter.

Simbol Tabel Operasi NAND

A A.B ( A . B )’ A B ( A . B)’
0 0 1
0 1 1
B 1 0 1
1 1 0
Atau

A ( A . B )’

B

Operasi logika EXOR
akan menghasilkan keluaran ‘1’ jika jumlah masukan yang bernilai ‘1’ berjumlah ganjil.

Simbol Tabel Operasi EXOR

A Y A B A+B
0 0 0
0 1 1
B 1 0 1
1 1 0
Operasi logika EXNOR
Operasi ini akan menghasilkan keluaran ‘1’ jika jumlah masukan yang bernilai ‘1’ berjumlah
genap atau tidak ada sama sekali.

Simbol Tabel Operasi EXNOR

A Y A B A+B
0 0 1
0 1 0
B 1 0 0


1 1 1

Ekspresi Boolean
Pada aljabar Boolean dua-nilai, B = {0, 1}. Kedua elemen B ini seringkali disebut
elemen biner atau bit (singkatan binary bit). Peubah (variable) x disebut peubah Boolean atau
peubah biner jika nilainya hanya dari B. Ekspresi Booleandibentuk dari elemen – elemen B
dan / atau peubah – peubah yang dapat dikombinasikan satu sama lain dengan operator +, .,
dan ‘. Secara formal, ekspresi Boolean dapat didefinisikan secara rekursif sebagai berikut.
(Definisi 2.2) Misalkan (B, +, ., ‘, 0, 1) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean
dalam (B, +, ., ‘) adalah :
(i) Setiap elemen di dalam B,
(ii) setiap peubah,
(iii) jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 . e2, e1’ adalah
ekspresi Boolean.
Jadi menurut definisi 2.2 di atas, setiap ekspresi di bawah ini,
0
1
a
b
c
a+b
a.b
a’ . (b + c)
a . b’ + a . b . c + b’, dan sebagainya
adalah ekspresi Boolean. Ekspresi Boolean yang mengandung n peubah dinamakan ekspresi
Boolean bagi n peubah. Dalam penulisan ekspresi Boolean selanjutnya, kita menggunakan
perjanjian berikut : tanda kurung ‘()’ mempunyai prioritas pengerjaan paling tinggi, kemudian
diikuti dengan operator ‘, + dan A. Sebagai contoh, ekspresi a + b . c berarti a + (b . c), bukan
(a + b) . c dan ekspresi a . b’ berarti a . (b’), bukan (a . b)’.
Mengevaluasi Ekspresi Boolean

• Contoh: a’⋅ (b + c)


jika a = 0, b = 1, dan c = 0, maka hasil evaluasi ekspresi: 0’⋅ (1 + 0) = 1 ⋅ 1 = 1
• Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya
mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah.
Contoh:
a ⋅ (b + c) = (a . b) + (a ⋅ c)

Contoh. Perlihatkan bahwa a + a’b = a + b .
Penyelesaian:

a b a’ a’b a + a’b a+b
0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1
1 1 0 0 1 1

• Perjanjian: tanda titik (⋅) dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean, kecuali
jika ada penekanan:

(i) a(b + c) = ab + ac
(ii) a + bc = (a + b) (a + c)
(iii) a ⋅ 0 , bukan a0

Prinsip Dualitas

• Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan
operator +, ⋅, dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara
mengganti

⋅ dengan +
+ dengan ⋅
0 dengan 1
1 dengan 0

dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar.
S* disebut sebagai dual dari S.
Contoh.
(i) (a ⋅ 1)(0 + a’) = 0 dualnya (a + 0) + (1 ⋅ a’) = 1


(ii) a(a‘ + b) = ab dualnya a + a‘b = a + b
Hukum-hukum Aljabar Boolean
1. Hukum identitas: 2. Hukum idempoten:
(i) a + 0 = a (i) a + a = a
(ii) a ⋅ 1 = a (ii) a ⋅ a = a
3. Hukum komplemen: 4. Hukum dominansi:
(i) a + a’ = 1 (i) a ⋅ 0 = 0
(ii) aa’ = 0 (ii) a + 1 = 1
5. Hukum involusi: 6. Hukum penyerapan:
(i) (a’)’ = a (i) a + ab = a
(ii) a(a + b) = a
7. Hukum komutatif: 8. Hukum asosiatif:
(i) a + b = b + a (i) a + (b + c) = (a + b) + c
(ii) ab = ba (ii) a (b c) = (a b) c
9. Hukum distributif: 10. Hukum De Morgan:
(i) a + (b c) = (a + b) (a + c) (i) (a + b)’ = a’b’
(ii) a (b + c) = a b + a c (ii) (ab)’ = a’ + b’
11. Hukum 0/1
(i) 0’ = 1
(ii) 1’ = 0

Contoh 7.3. Buktikan (i) a + a’b = a + b dan (ii) a(a’ + b) = ab
Penyelesaian:
(i) a + a’b = (a + ab) + a’b (Penyerapan)
= a + (ab + a’b) (Asosiatif)
= a + (a + a’)b (Distributif)
=a+1•b (Komplemen)
=a+b (Identitas)
(ii) adalah dual dari (i)

Fungsi Boolean
• Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui
ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai

f : Bn → B

yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n
(ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.

• Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.


• Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah

f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z

Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3

(x, y, z) ke himpunan {0, 1}.

Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1

sehingga f(1, 0, 1) = 1 ⋅ 0 ⋅ 1 + 1’ ⋅ 0 + 0’⋅ 1 = 0 + 0 + 1 = 1 .

Contoh. Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain:
1. f(x) = x
2. f(x, y) = x’y + xy’+ y’
3. f(x, y) = x’ y’
4. f(x, y) = (x + y)’
5. f(x, y, z) = xyz’

• Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya,
disebut literal.

Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz’ pada contoh di atas terdiri dari 3 buah literal, yaitu x, y,
dan z’.
Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’, nyatakan h dalam tabel kebenaran.
Penyelesaian:

x y z f(x, y, z) = xy z’
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0


Penjumlahan dan perkalian Boolen
Misalkan f dan g adalah dua buah fungsi Boolean dengan n peubah, maka
penjumlahan f + g didefinisikan sebagai berikut :
(f + g) (x1+x2 . . .+xn) = f (x1+x2 . . .+xn) + g (x1+x2 . . .+xn)
Sedangkan perkalian f.g didefinisikan
(f . g) = (x1+x2 . . .+xn) = f (x1+x2 . . .+xn) g (x1+x2 . . .+xn)
Contoh :
Misalkan f(x,y) = xy’ + y dan g(x,y) = x’ + y’
Maka h (x,y) = (f + g) = xy’ + y + x’ + y’
Yang bila disederhanakan lebih lanjut menjadi
Penjumlahan (x,y) = ( xy’ + x’ + U + y’) = xy’ + x’ + 1 = xy’ + x’ dan
Perkalian (x.y) = f . g = ( xy’ + y ) ( x’ + y’ )
Komplemen Fungsi
Bila sebuah fungsi Boolean dikomplemenkan, kita memperoleh fungsi komplemen.
Fungsi komplemen berguna pada saat kita melakukan penyederhanaan fungsi Boolean.
Fungsi komplemen dari suatu fungsi f, yaitu f ’ dapat dicari dengan dua cara berikut :
1. Cara pertama : menggunakan hukum De Morgan
Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, x1 dan x2 adalah
(i) (x1 + x2)’ = x1’x2’
(ii) dan dualnya : (x1 . x2)’ = x1’ + x2’
Hukum De Morgan untuk tiga buah peubah, x1, x2 dan x3 adalah
(i) (x1 + x2 + x3)’ = (x1 + y’) , yang dalam hal ini y = x2 + x3
= x1’y’
= x1’(x2 + x3)’
= x1’x2’x3’
(ii) dan dualnya : (x1 . x2 . x3)’ = x1’ + x2’ + x3’
Hukum De Morgan untuk n buah peubah, x1, x2, ... ,xn, adalah
(iii) (x1 + x2 + ... + xn)’ = x1’ x2’ ... xn’
(iv) dan dualnya : (x1 . x2 . ... . xn)’ = x1’ + x2’ + ... + xn’


2. Cara kedua : menggunakan prinsip dualitas.
Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang merepresentasikan f, lalu komplemenkan setiap
literal di dalam dual tersebut. Bentuk akhir yang diperoleh menyatakan fungsi komplemen.
Sebagai contoh,
Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka dual dari ekspresi Booleannya adalah
x + (y’ + z’) (y + z)
Komplemenkan tiap literal dari dual di atas menjadi
x’ + (y + z) (y’ + z’) = f ’
Jadi, f‘(x, y, z) = x’ + (y + z) (y’ + z’)
Bentuk Kanonik
Ekspresi Boolean yang menspesifikasikan suatu fungsi dapat disajikan dalam dua
bentuk. Pertama, sebagai penjumlahan dari hasil kali dan kedua sebagai perkalian dari hasil
jumlah. Misalnya,

f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz
dan
g(x, y, z) = (x + y + z) (x + y’ + z) (x + y’ + z’) (x’ + y + z’) (x’ + y’ + z)
adalah dua buah fungsi yang sama (dapat ditunjukkan dari tabel kebenarannya). Fungsi yang
pertama, f, muncul dalam bentuk penjumlahan dari hasil kali, sedangkan fungsi yang kedua, g,
muncul dalam bentuk perkalian dari hasil jumlah. Perhatikan juga bahwa setiap suku (term) di
dalam ekspresi mengandung literal yang lengkap dalam peubah x, y dan z, baik peubahnya
tanpa komplemen maupun dengan komplemen. Ada dua macam bentuk term, yaitu minterm
(hasil kali) dan maxterm (hasil jumlah).
Ekspresi Boolean yang dinyatakan sebagai penjumlahan dari satu atau lebih minterm atau
perkalian dari satu atau lebih maxterm disebut dalam bentuk kanonik. Jadi, ada dua macam
bentuk kanonik:
1. Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP)
2. Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)
Fungsi f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz dikatakan dalam bentuk SOP dan fungsi g(x, y, z) = (x +
y + z) (x + y’ + z) (x + y’ + z’) (x’ + y + z’) (x’ + y’ + z) dikatakan dalam bentuk POS. Nama
lain untuk SOP adalah bentuk normal disjungtif (disjunctive normal form) dan nama lain POS


adalah bentuk normal konjungtif (conjunctive normal form). Minterm dilambangkan sebagai
huruf m kecil berindeks. Indeks menyatakan nilai desimal dari string biner yang
merepresentasikan term. Misalnya pada term dengan 2 peubah x dan y, indeks 0 pada m0
menyatakan nilai desimal dari 00 (x = 0 dan y = 0), indeks 1 pada m1 menyatakan nilai
desimal dari 01 (x = 0 dan y = 1) dan seterusnya. Jadi, untuk minterm dari 3 peubah (x, y, dan
z), jika ditulis m6 maka ini berarti minterm xyz’ karena 6 (desimal) = 110 (biner); di sini x = 1,
y = 1 dan z = 0. Peubah x dan y dinyatakan tanpa komplemen sedangkan peubah z dinyatakan
dengan komplemen karena bernilai 0, sehingga ditulis xyz’. Maxterm dilambangkan sebagai
huruf M besar berindeks. Indeks menyatakan nilai desimal dari string biner yang
merepresentasikan x + y. Misalnya pada term dengan 2 peubah x dan y, indeks 0 pada M0
menyatakan nilai desimal dari 00 (x = 0 dan y = 0), indeks 1 pada M1 menyatakan nilai
desimal dari 01 (x = 0 dan y = 1) dan seterusnya. Jadi, untuk maxterm dari 3 peubah (x, y, dan
z), jika ditulis M6 maka ini berarti maxterm x’ + y’ + z karena 6 (desimal) = 110 (biner);
di sini x = 1, y = 1 dan z = 0. Peubah x dan y dinyatakan dengan komplemen sedangkan
peubah z dinyatakan tanpa komplemen karena bernilai 0, sehingga ditulis x’ + y’ + z.

Tabel Minterm dan Maxterm dengan dua peubah


Tabel Minterm dan Maxterm dengan tiga peubah

Konversi Antar Bentuk Kanonik
Fungsi Boolean dalam bentuk kanonik SOP dapat ditransformasi ke bentuk kanonik
POS, demikian pula sebaliknya. Misalkan f adalah fungsi Boolean dalam bentuk SOP dengan
tiga peubah :
f(x, y, z) = 3(1, 4, 5, 6, 7)
dan f ’ adalah fungsi komplemen dari f,
f ‘(x, y, z) = 3(0, 2, 3) = m0 + m2 + m3
Dengan menggunakan hukum De Morgan, kita dapat memperoleh fungsi f
dalam bentuk POS :
f ‘(x, y, z) = (f ‘(x, y, z))‘ = (m0 + m2 + m3)’
= m0’ . m2’ . m3’
= (x’y’z’)’ . (x’yz’)’ . (x’yz)’
= (x + y + z) . (x + y’ + z) . (x + y’ + z’)
= M0 M2 M3
= M0 M2 M3
Jadi, f (x, y, z) = J(0, 2, 3) = 3(1, 4, 5, 6, 7)


Bentuk Baku
Dua bentuk kanonik adalah bentuk dasar yang diperoleh dengan membaca fungsi dari
tabel kebenaran. Bentuk ini umumnya sangat jarang muncul, karena setiap suku (term) di
dalam bentuk kanonik harus mengandung literal lengkap, baik dalam bentuk normal (x) atau
dalam bentuk komplemennya (x’). Cara lain untuk mengekspresikan fungsi Boolean adalah
bentuk baku (standard). Pada bentuk ini, suku – suku yang membentuk fungsi dapat
mengandung satu, dua, atau sejumlah literal. Dua tipe bentuk baku adalah bentuk baku SOP
dan bentuk baku POS. Contohnya,
f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz (bentuk baku SOP)
f(x, y, z) = x(y’ + z)(x’ + y + z’) (bentuk baku POS)
Perbedaan antara bentuk kanonik dan bentuk baku adalah, pada bentuk kanonik, setiap term
harus mengandung literal lengkap, sedangkan pada bentuk baku setiap term tidak mengandung
literal lengkap.

Aplikasi Aljabar Boolean

Rangkaian Digital Elektronik

x x
xy x+ y x x'
y y

Gerbang AND Gerbang OR Gerbang NOT (inverter)

Contoh. Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + x’y ke dalam rangkaian logika.

Jawab: (a) Cara pertama

x
xy
y

xy+x'y
x'
x
x'y
y


(b) Cara kedua
x xy
y

x y+x 'y

x'

x 'y

(b) Cara ketiga
x y

xy

xy+x'y

x'
x'y

Gerbang turunan

x x
( xy )' x + y
y y

Gerbang NAND Gerbang XOR

x x
( x+y )' (x + y )'
y y

Gerbang NOR Gerbang XNOR

x x x+ y
( x + y )' ekivalen dengan ( x + y )'
y y

x' x
x 'y ' ekivalen dengan ( x+y )'
y' y


Penyederhanaan Fungsi Boolean

Contoh. f(x, y) = x’y + xy’ + y’

x' x
x '+ y ' ekivalen dengan ( xy )'
y' y

disederhanakan menjadi f(x, y) = x’ + y’

Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3 cara:
1. Secara aljabar
2. Menggunakan Peta Karnaugh
3. Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi)

1. Penyederhanaan Secara Aljabar
Jumlah literal di dalam sebuah fungsi Boolean dapat diminimumkan dengan
trik manipulasi aljabar. Sayangnya, tidak ada aturan khusus yang harus diikuti yang
akan menjamin menuju ke jawaban akhir. Metode yang tersedia adalah prosedur yang
cut-and-try yang memanfaatkan postulat, hukum – hukum dasar, dan metode
manipulasi lain yang sudah dikenal. Sebagai contoh,
f(x, y, z) = xz’ + y’z + xyz’
= xz’ . 1 + y’z + xyz’ (Hukum identitas)
= xz’ (1 + y) + y’z (Hukum distributif)
= xz’ . 1 + y’z (Hukum dominansi)
f(x, y, z) = xz’ + y’z (Hukum identitas)

Contoh:
1. f(x, y) = x + x’y
= (x + x’)(x + y)
= 1 ⋅ (x + y )
=x+y
2. f(x, y, z) = x’y’z + x’yz + xy’
= x’z(y’ + y) + xy’
= x’z + xz’


3. f(x, y, z) = xy + x’z + yz = xy + x’z + yz(x + x’)
= xy + x’z + xyz + x’yz
= xy(1 + z) + x’z(1 + y) = xy + x’z

4. Metode Peta Karnaugh
Metode Peta Karnaugh (atau K-map) merupakan metode grafis untu
menyederhanakan fungsi Boolean. Metode ini ditemukan oleh Maurice Karnaug pada
tahun 1953. Peta Karnaugh adalah sebuah diagram / peta yang terbentuk dar kotak –
kotak (berbentuk bujursangkar) yang bersisian. Tiap kotak merepresentasika sebuah
minterm. Tiap kotak dikatakan bertetangga jika minterm – minterm yan
merepresentasikannya berbeda hanya 1 buah literal Peta Karnaugh dapat dibentuk dari
fungsi Boolean yang dispesifikasikan dengan ekspresi Boolean maupun fungsi yang
direpresentasikan dengan tabe kebenaran.
5. Metode Quine-McCluskey
Metode peta Karnaugh hanya cocok digunakan jika fungsi Boolea mempunyai
jumlah peubah yang tidak besar. Jika peubah yang terlibat pada suat fungsi Boolean
dalam jumlah yang besar maka penggunaan peta Karnaugh menjad semakin rumit,
sebab ukuran peta bertambah besar. Selain itu, metode peta Karnaug lebih sulit
diprogram dengan komputer karena diperlukan pengamatan visual untu
mengidentifikasi minterm – minterm yang akan dikelompokkan. Untuk itu diperluka
metode penyederhanaan yang lain yang dapat diprogram dan dapat digunakan untu
fungsi Boolean dengan sembarang jumlah peubah. Metode alternatif tersebut adala
metode Quine-McCluskey.
Metode Quine-McCluskey adalah sebuah metode yang digunakan untuk
menyederhanakan fungsi Boolean, khususnya fungsi Boolean yang memiliki jumlah
peubah yang besar (di atas 6 buah). Metode Quine-McCluskey dikembangkan oleh
W.V. Quine dan E.J. McCluskey pada tahun 1950 Metode ini mengubah sebuah fungsi
Boolean menjadi sebuah himpuna bentuk prima, dimana sebanyak mungkin peubah
dieliminasi (dihilangkan) secar maksimal, hingga didapat fungsi Boolean yang paling
sederhana. Ini dapat dilakuka dengan melakukan perulangan penggunaan hukum
komplemen, a + a’ = 1. Sebaga contoh, fungsi Boolean dengan empat peubah dalam


bentuk SOP : f(a, b, c, d) = 3(311) = 3(0011, 1011) = a’b’cd + ab’cd dan f(a, b, c, d) =
3(7, 11) = 3(0111, 1011) a’b’cd + ab’cd.

Pada contoh(a), kedua minterm tersebut dapat dikombinasikan menjad sebuah
bentuk prima yaitu (3,11), karena memiliki tepat satu perbedaan bit pad posisi bit
nomor satu. Hasil kombinasi dalam bentuk prima (3,11) menyatakan bahw peubah ‘a’
telah dieleminasi. Hal ini sesuai dengan hukum komplemen, a + a’ = 1 Pada contoh(b),
kedua minterm tersebut tidak dapat dikombinasikan menjad sebuah bentuk prima,
karena memiliki dua perbedaan bit pada posisi bit nomor sat dan dua. Setiap kombinasi
dari minterm yang dapat membentuk sebuah bentuk prim baru harus memiliki tepat
satu perbedaan bit pada posisi yang sama.
Penyederhanaan Rangkaian logika
Teknik minimasi fungsi Boolean dengan peta Karnaugh mempunyai terapan yang
sangat penting dalam menyederhanakan rangkaian logika. Penyederhanaan rangkaian dapat
mengurangi jumlah gerbang logika yang digunakan, bahkan dapat mengurangi jumlah kawat
masukan.
Contoh
Minimasikan fungsi Boolean
ƒ ( x, y, z ) = x’yz + x’yz’ + xy’z’ + xy’z
Gambarkan rangkaian logikanya
Jawab
Rangkaian logika fungsi ƒ ( x, y, z ) Sebelum diminimasikan adalah seperti di bawah ini :
Minimasi dengan Peta Karnaugh adalah sebagai berikut :


Fungsi boolean hasil minimasi adalah ƒ ( x, y, z ) = x’y + xy’ dan rangkaian logikanya
ditunjukkan di bawah ini :
Penyederhanaan Jaringan Pensaklaran
Seperti penyederhanaan rangkaian logika, Peta Karnaugh dapat diterapkan untuk
menyederhanakan jaringan pensaklaran. Tinjau kembali rangkaian di bawah ini :

Didapatkan Boolean yang mempresentasikan rangkaian pensaklaran di atas adalah
x’y + ( x’ + xy ) z + x ( y + y’z + z )
Dengan menggunakan Peta Karnaugh hasil penyederhanaan ekspresi Boolean menjadi y+z
sehingga rangkaian pensaklarannya menjadi sebagai berikut :


Daftar Pustaka

Ratnasari, Titi S.Si,M.S.Si. Modul 12 Ekspresi Boolean. Universitas Marcubuana.
Anggraeni, Enny S.kom. Aplikasi Aljabar Boole. Universitas Marcubuana.
http://radar.ee.itb.ac.id/~suksmono/Lectures/el2009/ppt/9.%20Aljabar%20Boole.pdf
http://file.upi.edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA/KHUSNUL_NOVIANI
GSIH/FUNGSI_BOOLEAN.pdf
http://ketinggalan.files.wordpress.com/2010/11/definisi-aljabar-boolean-versi-11.pdf
http://lecturer.eepis-its.edu/~prima/elektronika
%20digital/elektronika_digital1/bahan_ajar/Bab3a_Aljabar%20Boolean1.pdfp

�ݺ�ߣ

Aljabar boolean edit by faruq asnani

More Related Content

Aljabar boolean edit by faruq asnani