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Editor's Notes

1. Buon pomeriggio, sono Gabriella Casalino e vi presento un lavoro dal titolo Fattorizzazioni matriciali nn negative per l’analisi dei dati nell’educational data mining frutto della collaborazione di docenti del dipartimento di informatica, Ciro Castiello e Corrado Mencar, e del dipartimento di matematica, Nicoletta Del Buono.
2. L’analisi dei dati, intesa come l’attività finalizzata alla ricerca ed estrazione di informazioni da un dataset, è un processo tanto complesso quanto essenziale in svariati campi, Tuttavia i risultati di tale attività possono essere inficiati da due problematiche: -L’inesattezza dei dati, dovuta agli strumenti fisici e alle metodologie di raccolta dei dati La presenza di interazioni tra le variabili che caratterizzano i dati che fa si che le informazioni risultino ambigue e sovapposte Quindi inadatte ad esprimere la conoscenza contenuta in essi.
3. Questa problematica è fortemente sentita in contesti come quello dell’elearning in cui i è necessario gestire grandi quantità di informazioni generate dall’interazione teaching-learning come: -I punteggi riportati dagli studenti, -le risposte fornite ai questionari online -e in generale gli eventi memorizzati dagli Intelligent Tutoring systems Tali dati per la loro natura sintetica non sono in grado di trasmettere conoscenza esplicita e diretta agli attori di un sistema educazionale
4. L’educational datamining è una disciplina emergente che studia tecniche di estrazione di conoscenza dai dati in scenari di e-learning al fine di: -raggruppare le informazioni omogenee, -scoprire eventuali relazioni tra gli argomenti di test Evidenziare fattori latenti nei meccanismi di apprendimento. Lo scopo di tali tecniche è quello di rilevare categorie concettuali non direttamente osservabili nei dati, ma derivabili da essi che permettano di realizzare forme di apprendimento individualizzato basate sulle performance dello studente.
5. alla base delle teorie di analisi dei dati nel contesto di e-learning vi è l’idea che le risposte degli utenti a specifici test o questionari sono manifestazioni di fattori latenti non immediatamente osservabili da tali risultati, ma ricavabili indirettamente, ad esempio mediante tecniche di data mining. In particolare due teorie matematiche influenzano la scelta del metodo più opportuno per analizzare dati di e-learning: -La teoria classica dei test, -e la teoria di risposta agli item. -Nella prima la variabile dipendente è il punteggio totale ottenuto da un soggetto ad un test, che permette di valutarne le performance, -nel secondo si fa uso di un modello statistico matematico che: mediante l’analisi delle abilità di un soggetto, che sono misurate in funzione dei fattori latenti presenti nei dati, ne permette la valutazione delle performance, ma al tempo stesso permette di valutare le domande presenti nel test.
6. In questo lavoro proponiamo l’impiego di un particolare metodo matematico, le fattorizzazioni matriciali non negative, il cui utilizzo contribuisce ad un’efficace analisi dei dati. La fattorizzzione matriciale non negativa, proposta da Lee e Seung nel 1997, ha riscontrato particolare interesse nell’ultimo decennio poiché permette di decomporre un dataset mediante l’utilizzo di fattori latenti automaticamente estratti da esso, la cui interpretazione è più immediata rispetto ai dati grezzi. Le NMF inoltre permettono di ottenere una rappresentazione dei dati ridotta, detta “basata sulle parti”, utilizzando solo componenti additive, proprietà utile quando si ha a che fare con ingenti quantità di dati. Ciò trova riscontro nella rappresentazione fisica della realtà in cui le quantità coinvolte non possono essere negative, e le parti sono combinate additivamente per formare l’intero. In particolare tale caratteristica è utile nel contesto di elearning in cui non ha senso parlare di quesiti che influiscono in modo negativo sugli argomenti o di studenti che mostrano abilità negative in particolari aree.
7. Il problema matematico può essere eunciato come segue:: Dato un dataset iniziale espresso con una matrice di dimensioni nxm in cui gli elementi sono disposti per colonne, La NMF trova una decomposizione approssimata dei dati in due matrici: la matrice delle basi W (che descrive i fattori latenti), e la matrice di codifica H che ne permette una combinazione lineare per ricomporre i dati originari, entrambe contenenti solo valori non-negativi. Il numero r di fattori latenti, è un parametro del problema
8. Nel contesto dell’e-learning particolari dataset sono le score-matrix, matrici che registrano i punteggi ottenuti dagli esaminandi interrogati su questiti (che chiameremo genericamente items). In particolare in figura la score-matrix è indicata con X e gli elementi xij sono quantità non-negative che indicano il punteggio che un generico studente j ottiene per uno specifico item i. A partire da una score matrix è possibile condurre un’analisi tesa ad individuare i fattori latenti, skills, coinvolti nel processo di apprendimento. La figura schematizza la semantica della fattorizzazione in questo contesto, la matrice iniziale di dati X che rappresenta le competenze di ciascuno studente coinvolto nel test mediante le sue risposte agli item Viene decomposta in due matrici W e H che rappresentano rispettivamente le relazioni items-skill e skill-studenti. Gli skill sono rappresentati quindi dalle colonne di W, che combinate con i valori presenti in H permettono di approssimare la score-matrix. Quindi è possibile interpretare i valori in H come il grado di rilevanza con cui uno studente ha acquisito un particolare skill.
9. La Q-matrix, proposta da Tatsuoka nel 83, è una matrice di incidenza item-skill che evidenzia le relazioni tra gli item che costituiscono un test e gli skill che si ipotizza siano coinvolti nel processo cognitivo che induce gli studenti a rispondere ad un certo modo ai quesiti del test. SI assume che uno studente risponda correttamente ad un quesito solo se in possesso dello skil rilevante per quello specifico item. Tuttavia il processo di costruzione della Q-matrix è iterativo e al crescere del numero di esaminandi, skills e items, diventa molto lungo e costoso da effettuare manualmente, inoltre poiché gli skills non si manifestano esplicitamente la costruzione di una Q-matrix è un processo non banale. Desmarè propone l’utilizzo delle fattorizzazioni non negative per estrarre automaticamente le Q matrix a partire da una score matrix.
10. Per mostrare un esempio concreto di applicazione della NMF in un contesto di e-learning, si è preso in esame un sottoinsieme del dataset SAT che memorizza i quesiti e le risposte dei test d’ingresso standardizzati utilizzati dai college americani. In particolare i dati presi in considerazione sono composti all'esito dell'esame di 297 studenti su 40 domande (item) relative a solo quattro argomenti: Matematica (item 1-10), Biologia (item 11-20), Storia mondiale (item 21-30), Francese (item 31-40). Item contigui corrispondono al medesimo argomento. Il dataset è sotto forma forma di score matrix binaria, in cui sulle righe sono rappresentate le domande, e sulle colonne gli studenti. Ogni elemento è pari a 1 o 0 se alla domanda corrispondente lo studente ha risposto in maniera corretta o sbagliata, nell’immagine i pixel blu indicano un fallimento dell’esaminando nel corrispondente item, mentre i pixel rossi indicano un successo.
11. Sebbene la conoscenza a priori dei dati suggerisca la presenza di 4 skill, è stata effettuata una verifica condotta mediante l’applicazione della SVD alla score matrix. Dal relativo scree plot è possibile osservare che sia plausibile discernere nei dati la presenza di 4 fattori latenti, dei quali tuttavia solo due risultano distinguibili in modo evidente.
12. L’applicazione della NMF alla score matrix descritta in precedenza ha prodotto le due matrici W e H . La figura rappresenta la matrice delle basi W Per una migliore visualizzazione, i quattro skill sono disposti su ogni riga, mentre sulle colonne gli item. La tonalità di colore di ciascuna cella indica il peso di ogni skill nel caratterizzare l’item corrispondente: tonalità rosse corrispondono a pesi Maggiori, blu a pesi minori. Dalla figura si evince come gli skill 1 e 2 (più in basso nella figura) siano prevalentemente determinati da gruppi contigui di item, e gli skill 3 e 4 siano caratterizzati da item sparsi nel dataset Poiché item contigui rappresentano quesiti relativi allo stesso argomento (a gruppi di 10), ne consegue che gli skill 1 e 2 sono semanticamente allineati con gli argomenti relativi a due gruppi di item contigui (in particolare Matematica e Francese), mentre gli skill 3 e 4 sono definiti da una composizione di argomenti (Biologia e Storia mondiale). (ciò è in linea con l’analisi preliminare effettuata mediante SVD). Questa discrepanza tra skill e argomenti è significativa: poiché la score matrix riporta il punteggio di ciascuno studente per ogni item, la Q-matrix risultante indica che due dei 4 skill combaciano con due argomenti, mentre i rimanenti due stanno a indicare “abilità miste” che non possono essere semanticamente inquadrate in uno degli argomenti noti a priori. Questo risultato potrebbe fare ipotizzare una riorganizzazione dei corsi al fine di rendere più affini gli argomenti con gli skill (ma potrebbe valere anche l'argomento contrario rendere gli skill maggiormente interdisciplinari). La Figura a sinistra invece illustra la matrice H che, per maggior chiarezza, è ridotta alle sue prime 10 colonne. Come precedentemente osservato, tale matrice individua i gradi di rilevanza con cui uno studente ha acquisito un particolare skill e permette, quindi, di evidenziare quali sono gli skill nei quali ciascuno studente è più o meno preparato. Anche in questo caso a tonalità rosse corrispondono gradi di rilevanza maggiori. Ad esempio si può osservare che molti studenti hanno un’elevata abilità rispetto allo skill 1 (che coincide con l'argomento “Matematica”). I gradi di rilevanza associati a ciascuno studente possono essere utilizzati per raggruppare gli studenti sulla base degli skill in cui sono più o meno abili. O al contrario possono essere raggruppati in base agli skill in cui sono meno abili al fine di organizzare corsi di recupero.
13. Il calcolo delle matrici W e H (e dunque degli skill) non è univoco. Da un punto di vista tecnico, ciò significa che modifiche ai parametri di configurazione dell'algoritmo NMF possono portare a risultati differenti. Fra i parametri di configurazione vi sono le matrici iniziali che si utilizzano per avviare l’algoritmo di fattorizzazione, e vincoli addizionali che si impongono alle matrici fattorizzate W e H (come ad esempio l’ortogonalità o la sparsità) Mentre nel primo caso come si può osservare dalle immagini non evidenziano differenze significative nei risultati ottenuti (a meno di permutazioni di riga che non ne modificano la semantica). Imponendo, invece, che le matrici W e H soddisfino vincoli addizionali si possono rilevare differenze significative nei risultati finali poiché di fatto tali vincoli introducono conoscenza all'interno del processo di fattorizzazione.
14. Concludendo La NMF può estrarre informazioni latenti dai dati che rappresentano i risultati ottenuti dagli studenti su un insieme di test, che un’analisi manuale non sarebbe in grado di individuare e che tali fattori possono essere interpretati come skill, non necessariamente coincidenti con gli argomenti su cui i test sono formulati. E’ possibile utilizzare i risultati forniti dalla NMF per raffinare la progettazione dei test e attuare processi formativi individualizzati. Sviluppi futuri della ricerca potranno riguardare l’inclusione di forme di conoscenza addizionali per guidare il processo di fattorizzazione