![R で AR(2) を生成
AR(2) を生成
#?R で独自に AR(2) を生成して Plot
v?<-?rnorm(200)
v?<-?v[101:200]
x?<-?filter(v,?filter=c(0.9*sqrt(3),?-0.81),?method="recursive")
plot(x)
pacf(x)
aa$aic
ar(x)
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![AR モデルの最尤推定
AR モデルに従う時系列の同時分布は多変量正規分布である．
AR モデル尤度
L(θ) = p(y1, · · · , yN |θ)
= (2π)? N
2 |Σ|? 1
2 exp[?
1
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Σ?1
y]
分散共分散行列 eq.7.2
Σ =
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C0 C1 · · · CN?1
C1 C0 · · · CN?2
...
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CN?1 CN?2 · · · C0
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しかし，このままでは複雑すぎて解けないので，工夫する．
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Gunosy2015-06-03
- 1. 北川源四郎「時系列解析入門」 第 7 章 柏野 雄太 バクフー株式会社 June 4, 2015
- 2. AR(自己回帰) モデル AR モデル eq.7.1 yn = m i=1 aiyn?i + vn 時系列 y1, ..., yN m: 自己回帰次数 ai: 自己回帰係数 vn: 平均 0, 分散 σ2 の正規分布に従う白色雑音 目的 次数 m を決定し，自己回帰係数 a1, ..., am と分散 σ2 を推定すること 2 / 12
- 3. そもそも AR モデルとは 時刻 n における yn を，過去の値 yn?1, yn?2, · · · とホワイトノイズ vn で表 現する． yn = m i=1 aiyn?i + vn yn yn?1· · · vn yn?2 Figure: AR モデルの概念図 3 / 12
- 4. AR モデルの推定方法 最尤推定法 ユール?ウォーカー法 (レビンソン＝ダービンのアルゴリズム) 最小二乗法 PARCOR 法 ?= 本日はここまで 多変量版のユール?ウォーカー法 多変量版の最小二乗法 4 / 12
- 5. TSSS 版 AR モデルの推定 TSSS 版 AR モデル推定 #?TSSS における AR モデルの推定 library("TSSS") data(Sunspot) ywar?=?arfit(Sunspot,?method=1)?#Yule-Walker?method arfit(Sunspot,?method=2)?#Least?squares?(Householder) arfit(Sunspot,?method=3)?#PARCOR?method?(Partial?autoregression) arfit(Sunspot,?method=4)?#PARCOR?method?(PARCOR) arfit(Sunspot,?method=5)?#PARCOR?method?(Burg’s?algorithm) 5 / 12
- 6. R Stat 版 AR モデルの推定 R Stat 版 AR モデル推定 #?R?stat における AR モデルの推定 mle?=?ar(Sunspot,?method="mle") yw?=?ar(Sunspot,?method="yw") ols?=?ar(Sunspot,?method="ols") 6 / 12
- 7. R で AR 推定の通常の手順 R で AR モデル推定 #?R で AR 推定の通常の手順 library("TSSS") data(Sunspot) plot(Sunspot,?type="l") acf(Sunspot) pacf(Sunspot) res?=?ar(Sunspot) res$aic #?Ljung-Box テストで「v_n がホワイトノイズ」という帰無仮説を検定する Box.test(res$res,?type="Ljung") 7 / 12
- 8. R で AR(2) を生成 AR(2) を生成 #?R で独自に AR(2) を生成して Plot v?<-?rnorm(200) v?<-?v[101:200] x?<-?filter(v,?filter=c(0.9*sqrt(3),?-0.81),?method="recursive") plot(x) pacf(x) aa$aic ar(x) 8 / 12
- 10. AR モデルの最尤推定 AR モデルに従う時系列の同時分布は多変量正規分布である． AR モデル尤度 L(θ) = p(y1, · · · , yN |θ) = (2π)? N 2 |Σ|? 1 2 exp[? 1 2 yT Σ?1 y] 分散共分散行列 eq.7.2 Σ = ? ? ? ? ? C0 C1 · · · CN?1 C1 C0 · · · CN?2 ... ... ... ... CN?1 CN?2 · · · C0 ? ? ? ? ? しかし，このままでは複雑すぎて解けないので，工夫する． 10 / 12
- 11. AR モデルの最尤推定 2 尤度を乗法定理を用いて条件付き分布の積で表現してから，近似． AR モデル尤度 eq. 7.4 L(θ) = p(y1, · · · , yN |θ) = p(y1, · · · , yN?1|θ)p(yN |y1, · · · , yN?1, θ) ... = N n=1 p(yn|y1, · · · , yn?1, θ) AR モデル AIC eq. 7.5 AIC = ?2 log L(?θ) + 2(m + 1) 11 / 12
- 12. AR モデル推定：ユール?ウォーカー法 自己共分散関数のユール?ウォーカー方程式から自己回帰係数，σ2 を求 める． ユール?ウォーカー方程式 C0 = m i=1 aiCi + σ2 (1) Cj = m i=1 aiCj?1 一次推定式 ? ? ? ? ? ?C0 ?C1 · · · ?Cm?1 ?C1 ?C0 · · · ?Cm?2 ... ... ... ... ?CN?1 ?CN?2 · · · ?C0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a0 a1 ... am ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ?C1 ?C2 ... ?Cm ? ? ? ? ? 12 / 12