狠狠撸

CHUY?N ??:

HO?N V? – CH?NH H?P – T? H?P
A. T?M T?T GI?O KHOA V? PH??NG PH?P GI?I TO?N

1. Hoán v?
??nh ngh?a
Cho t?p h?p X g?m n ph?n t? ph?n bi?t ( n ? 0 ) . M?i cách s?p x?p n ph?n t? c?a X theo m?t th? t? nào
?ó ???c g?i là m?t hoán v? c?a n ph?n t?. S? các hoán v? c?a n ph?n t? ???c k? hi?u là Pn.
Pn = n ! = 1.2...n . Quy ??c: 0! = 1.
Ví d? 1. S?p x?p 5 ng??i vào m?t b?ng gh? có 5 ch?. H?i có bao nhiêu cách.
Gi?i
M?i cách ??i ch? 1 trong 5 ng??i trên b?ng gh? là 1 hoán v?.
V?y có P5 = 5! = 120 cách s?p.
Ví d? 2. T? các ch? s? 0, 1, 2, 3, 4 có th? l?p ???c m?y s? t? nhiên có 5 ch? s? khác nhau.
Gi?i
G?i A = a 1a 2a 3a 4a 5 v?i a 1 ? 0 và a 1, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ph?n bi?t là s? c?n l?p.
+ B??c 1: ch? s? a 1 ? 0 nên có 4 cách ch?n a1.
+ B??c 2: s?p 4 ch? s? còn l?i vào 4 v? trí có 4! = 24 cách.
V?y có 4.24 = 96 s?.

2. Ch?nh h?p
??nh ngh?a
Cho t?p h?p X g?m n ph?n t? ph?n bi?t ( n ? 0 ) . M?i cách ch?n ra k ( 0 ? k ? n ) ph?n t? c?a X và
s?p x?p theo m?t th? t? nào ?ó ???c g?i là m?t ch?nh h?p ch?p k c?a n ph?n t?. S? các ch?nh h?p ch?p k
c?a n ph?n t? ???c k? hi?u là A k .
n
Ak =
n

n!
.
(n - k)!

Nh?n xét:
A n = n ! = Pn .
n
Ví d? 3. S?p x?p 5 ng??i vào m?t b?ng gh? có 7 ch?. H?i có bao nhiêu cách.
Gi?i
M?i cách ch?n ra 5 ch? ng?i t? b?ng gh? ?? s?p 5 ng??i vào và có hoán v? là m?t ch?nh h?p ch?p 5 c?a 7.
7!
5
= 2520 cách s?p.
V?y có A 7 =
(7 - 5)!
Ví d? 4. T? t?p h?p X = { 0; 1; 2; 3; 4; 5 } có th? l?p ???c m?y s? t? nhiên có 4 ch? s? khác nhau.
Gi?i
G?i A = a 1a 2a 3a 4 v?i a 1 ? 0 và a 1, a 2, a 3, a 4 ph?n bi?t là s? c?n l?p.
+ B??c 1: ch? s? a 1 ? 0 nên có 5 cách ch?n a1.
3
+ B??c 2: ch?n 3 trong 5 ch? s? còn l?i ?? s?p vào 3 v? trí A 5 cách.
3
V?y có 5A 5 = 300 s?.

1

3. T? h?p
??nh ngh?a
Cho t?p h?p X g?m n ph?n t? ph?n bi?t ( n ? 0 ) . M?i cách ch?n ra k ( 0 ? k ? n ) ph?n t? c?a X ???c
g?i là m?t t? h?p ch?p k c?a n ph?n t?. S? các t? h?p ch?p k c?a n ph?n t? ???c k? hi?u là C k .
n
n!
.
k !(n - k)!
Ví d? 5. Có 10 cu?n sách toán khác nhau. Ch?n ra 4 cu?n, h?i có bao nhiêu cách.
Gi?i
M?i cách ch?n ra 4 trong 10 cu?n sách là m?t t? h?p ch?p 4 c?a 10.
4
V?y có C10 = 210 cách ch?n.
Ck =
n

Ví d? 6. M?t nhóm có 5 nam và 3 n?. Ch?n ra 3 ng??i sao cho trong ?ó có ít nh?t 1 n?. H?i có bao nhiêu
cách.
Gi?i
+ Tr??ng h?p 1: ch?n 1 n? và 2 nam.
- B??c 1: ch?n ra 1 trong 3 n? có 3 cách.
- B??c 2: ch?n ra 2 trong 5 nam có C 2 .
5
Suy ra có 3C 2 cách ch?n.
5
- B??c 1: ch?n ra 2 trong 3 n? có C 2 cách.
3
- B??c 2: ch?n ra 1 trong 5 nam có 5.
Suy ra có 5C 2 cách ch?n.
3
+ Tr??ng h?p 3: ch?n 3 n? có 1 cách.
V?y có 3C 2 + 5C 2 + 1 = 46 cách ch?n.
5
3
Ví d? 7. H?i có th? l?p ???c bao nhiêu s? t? nhiên có 4 ch? s? sao cho trong m?i s? ?ó, ch? s? hàng
ngàn l?n h?n hàng tr?m, ch? s? hàng tr?m l?n h?n hàng ch?c và ch? s? hàng ch?c l?n h?n hàng ??n v?.
Gi?i
G?i A = a 1a 2a 3a 4 v?i 9 ? a 1 > a 2 > a 3 > a 4 ? 0 là s? c?n l?p.
X = { 0; 1; 2; ...; 8; 9 } .
T? 10 ph?n t? c?a X ta ch?n ra 4 ph?n t? b?t k? thì ch? l?p ???c 1 s? A. Ngh?a là kh?ng có hoán v? hay là
m?t t? h?p ch?p 4 c?a 10.
4
V?y có C10 = 210 s?.
Nh?n xét:
i) ?i?u ki?n ?? x?y ra hoán v?, ch?nh h?p và t? h?p là n ph?n t? ph?i ph?n bi?t.
ii) Ch?nh h?p và t? h?p khác nhau ? ch? là sau khi ch?n ra k trong n ph?n t? thì ch?nh h?p có s?p th? t?
còn t? h?p thì kh?ng.

4. Ph??ng pháp gi?i toán
4.1. Ph??ng pháp 1
B??c 1. ??c k? các yêu c?u và s? li?u c?a ?? bài. Ph?n bài toán ra các tr??ng h?p, trong m?i tr??ng h?p
l?i ph?n thành các giai ?o?n.
B??c 2. Tùy t?ng giai ?o?n c? th? và gi? thi?t bài toán ?? s? d?ng quy t?c c?ng, nh?n, hoán v?, ch?nh h?p
hay t? h?p.
B??c 3. ?áp án là t?ng k?t qu? c?a các tr??ng h?p trên.

2

Ví d? 8. M?t nhóm c?ng nh?n g?m 15 nam và 5 n?. Ng??i ta mu?n ch?n t? nhóm ra 5 ng??i ?? l?p
thành m?t t? c?ng tác sao cho ph?i có 1 t? tr??ng nam, 1 t? phó nam và có ít nh?t 1 n?. H?i có bao nhiêu
cách l?p t? c?ng tác.
Gi?i
- B??c 1: ch?n 1 trong 5 n? có 5 cách.
2
- B??c 2: ch?n 2 trong 15 nam làm t? tr??ng và t? phó có A15 cách.
2
- B??c 3: ch?n 2 trong 13 nam còn l?i có C13 cách.
2
2
Suy ra có 5A15 .C13 cách ch?n cho tr??ng h?p 1.
- B??c 1: ch?n 2 trong 5 n? có C 2 cách.
5
2
- B??c 3: ch?n 1 trong 13 nam còn l?i có 13 cách.
2
Suy ra có 13A15 .C 2 cách ch?n cho tr??ng h?p 2.
5
3
- B??c 1: ch?n 3 trong 5 n? có C 5 cách.
2
2
3
Suy ra có A15 .C 5 cách ch?n cho tr??ng h?p 3.
2
2
2
2
3
V?y có 5A15 .C13 + 13A15 .C 2 + A15 .C 5 = 111300 cách.
5
Cách khác:
2
+ B??c 1: ch?n 2 trong 15 nam làm t? tr??ng và t? phó có A15 cách.
+ B??c 2: ch?n 3 t? viên, trong ?ó có n?.
2
- Tr??ng h?p 1: ch?n 1 n? và 2 nam có 5.C13 cách.

- Tr??ng h?p 2: ch?n 2 n? và 1 nam có 13.C 2 cách.
5
3
- Tr??ng h?p 3: ch?n 3 n? có C 5 cách.
2
2
2
3
V?y có A15 ( 5.C13 + 13.C 5 + C 5 ) = 111300 cách.

4.2. Ph??ng pháp 2.
??i v?i nhi?u bài toán, ph??ng pháp 1 r?t dài. Do ?ó ta s? d?ng ph??ng pháp lo?i tr? (ph?n bù) theo
phép toán A U A = X ? A = X A .
B??c 1. Chia yêu c?u c?a ?? thành 2 ph?n là yêu c?u chung X (t?ng quát) g?i là lo?i 1 và yêu c?u riêng
A. Xét A là ph? ??nh c?a A, ngh?a là kh?ng th?a yêu c?u riêng g?i là lo?i 2.
B??c 2. Tính s? cách ch?n lo?i 1 và lo?i 2.
B??c 3. ?áp án là s? cách ch?n lo?i 1 tr? s? cách ch?n lo?i 2.
Chú ?:
Cách ph?n lo?i 1 và lo?i 2 có tính t??ng ??i, ph? thu?c vào ch? quan c?a ng??i gi?i.
Ví d? 9. T? các ch? s? 0, 1, 2, 3, 4 có th? l?p ???c m?y s? t? nhiên có 5 ch? s? khác nhau.
Gi?i
+ Lo?i 1: ch? s? a1 tùy ?, ta có 5! = 120 s?.
+ Lo?i 2: ch? s? a1 = 0, ta có 4! = 24 s?.
V?y có 120 – 24 = 96 s?.

3

Ví d? 10. M?t nhóm có 7 nam và 6 n?. Ch?n ra 3 ng??i sao cho trong ?ó có ít nh?t 1 n?. H?i có bao
nhiêu cách.
Gi?i
3
+ Lo?i 1: ch?n 3 ng??i tùy ? trong 13 ng??i có C13 cách.
3
+ Lo?i 2: ch?n 3 nam (kh?ng có n?) trong 7 nam có C 7 cách.
3
3
V?y có C13 - C 7 = 251 cách ch?n.

Ví d? 11. T? 20 c?u h?i tr?c nghi?m g?m 9 c?u d?, 7 c?u trung bình và 4 c?u khó ng??i ta ch?n ra 10 c?u
?? làm ?? ki?m tra sao cho ph?i có ?? c? 3 lo?i d?, trung bình và khó. H?i có th? l?p ???c bao nhiêu ??
ki?m tra.
Gi?i
10
+ Lo?i 1: ch?n 10 c?u tùy ? trong 20 c?u có C 20 cách.
+ Lo?i 2: ch?n 10 c?u có kh?ng quá 2 trong 3 lo?i d?, trung bình và khó.
- Tr??ng h?p 1: ch?n 10 c?u d? và trung bình trong 16 c?u có C10 cách.
16
- Tr??ng h?p 2: ch?n 10 c?u d? và khó trong 13 c?u có C10 cách.
13
- Tr??ng h?p 3: ch?n 10 c?u trung bình và khó trong 11 c?u có C10 cách.
11
10
V?y có C 20 -

10
10
10
( C16 + C13 + C11 ) = 176451 ?? ki?m tra.

Chú ?:
Gi?i b?ng ph??ng pháp ph?n bù có ?u ?i?m là ng?n tuy nhiên nh??c ?i?m là th??ng sai sót khi tính s?
l??ng t?ng lo?i.
Ví d? 12. T? 20 c?u h?i tr?c nghi?m g?m 9 c?u d?, 7 c?u trung bình và 4 c?u khó ng??i ta ch?n ra 7 c?u
?? làm ?? ki?m tra sao cho ph?i có ?? c? 3 lo?i d?, trung bình và khó. H?i có th? l?p ???c bao nhiêu ??
ki?m tra.
Cách gi?i sai:
7
+ Lo?i 2: ch?n 7 c?u kh?ng th?a yêu c?u.
- Tr??ng h?p 1: ch?n 7 c?u d? trong 9 c?u có C 7 cách.
9
- Tr??ng h?p 2: ch?n 7 c?u trung bình có 1 cách.
7
- Tr??ng h?p 3: ch?n 7 c?u d? và trung bình trong 16 c?u có C16 cách.
7
- Tr??ng h?p 4: ch?n 7 c?u d? và khó trong 13 c?u có C13 cách.
7
- Tr??ng h?p 5: ch?n 7 c?u trung bình và khó trong 11 c?u có C11 cách.
7
V?y có C 20 -

7
7
7
( 1 + C7 + C16 + C13 + C11 ) = 63997 ?? ki?m tra!
9

Sai sót trong cách tính s? ?? lo?i 2. Ch?ng h?n, khi tính s? ?? trong tr??ng h?p 3 ta ?? tính l?p l?i tr??ng
h?p 1 và tr??ng h?p 2.
Cách gi?i sai khác:
7
7
- Tr??ng h?p 1: ch?n 7 c?u d? ho?c trung bình trong 16 c?u có C16 cách.
7
- Tr??ng h?p 2: ch?n 7 c?u d? ho?c khó trong 13 c?u có C13 cách.
7
- Tr??ng h?p 3: ch?n 7 c?u trung bình ho?c khó trong 11 c?u có C11 cách.
7
V?y có C 20 -

7
7
7
( C16 + C13 + C11 ) = 64034 ?? ki?m tra.

4

Sai sót do ta ?? tính l?p l?i s? cách ch?n ?? ch? có 7 c?u d? và ?? ch? có 7 c?u trung bình trong tr??ng h?p
1 và tr??ng h?p 2.
Cách gi?i ?úng:
7
7
- Tr??ng h?p 1: ch?n 7 c?u d? ho?c trung bình trong 16 c?u có C16 cách.
7
- Tr??ng h?p 2: ch?n 7 c?u d? và khó trong 13 c?u có C13 - C 7 cách.
9
7
- Tr??ng h?p 3: ch?n 7 c?u trung bình và khó trong 11 c?u có C11 - 1 cách.
7
V?y có C 20 -

7
7
( C16 + C13 -

7
C 7 + C11 - 1 ) = 64071 ?? ki?m tra.
9

Ví d? 13. H?i ??ng qu?n tr? c?a m?t c?ng ty g?m 12 ng??i, trong ?ó có 5 n?. T? h?i ??ng qu?n tr? ?ó
ng??i ta b?u ra 1 ch? t?ch h?i ??ng qu?n tr?, 1 phó ch? t?ch h?i ??ng qu?n tr? và 2 ?y viên. H?i có m?y
cách b?u sao cho trong 4 ng??i ???c b?u ph?i có n?.
Gi?i
+ Lo?i 1: b?u 4 ng??i tùy ? (kh?ng ph?n bi?t nam, n?).
2
- B??c 1: b?u ch? t?ch và phó ch? t?ch có A12 cách.
2
- B??c 2: b?u 2 ?y viên có C10 cách.
2
2
Suy ra có A12 .C10 cách b?u lo?i 1.
+ Lo?i 2: b?u 4 ng??i toàn nam.
- B??c 1: b?u ch? t?ch và phó ch? t?ch có A 2 cách.
7

- B??c 2: b?u 2 ?y viên có C 2 cách.
5
Suy ra có A 2 .C 2 cách b?u lo?i 2.
7 5
2
2
V?y có A12 .C10 - A2 .C 2 = 5520 cách.
7 5

5. Hoán v? l?p (tham kh?o)
Cho t?p h?p X có n ph?n t? g?m n1 ph?n t? gi?ng nhau, n2 ph?n t? khác l?i gi?ng nhau, …, nk ph?n t?
khác n?a l?i gi?ng nhau ( n 1 + n 2 + ... + n k = n ) . M?i cách s?p n ph?n t? này vào n v? trí là m?t hoán
v? l?p, s? hoán v? l?p là

n!
.
n 1 !n 2 !...n k !

Ví d? 14. T? các ch? s? 1, 2, 3 l?p ???c bao nhiêu s? t? nhiên có ?úng 5 ch? s? 1, 2 ch? s? 2 và 3 ch? s?
3.
Gi?i
Xem s? c?n l?p có 10 ch? s? g?m 5 ch? s? 1 gi?ng nhau, 2 ch? s? 2 gi?ng nhau và 3 ch? s? 3 gi?ng
nhau.
10!
V?y có
= 2520 s?.
5!2!3!
Cách gi?i th??ng dùng:
5
+ B??c 1: ch?n 5 trong 10 v? trí ?? s?p 5 ch? s? 1 có C10 cách.
+ B??c 2: ch?n 2 trong 5 v? trí còn l?i ?? s?p 2 ch? s? 2 có C 2 cách.
5
+ B??c 3: s?p 3 ch? s? 3 vào 3 v? trí còn l?i có 1 cách.
5
V?y có C10 .C 2 .1 = 2520 s?.
5

5

B. B?I T?P
Bài 1. C?n x?p 3 nam và 2 n? vào 1 hàng gh? có 7 ch? ng?i sao cho 3 nam ng?i k? nhau và 2 n? ng?i k?
nhau. H?i có bao nhiêu cách.
Bài 2. Xét ?a giác ??u có n c?nh, bi?t s? ???ng chéo g?p ??i s? c?nh. Tính s? c?nh c?a ?a giác ??u ?ó.
Bài 3. Tính s? các s? t? nhiên ??i m?t khác nhau có 6 ch? s? t?o thành t? các ch? s? 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao
cho 2 ch? s? 3 và 4 ??ng c?nh nhau.
Bài 4. Tính s? các s? t? nhiên có 4 ch? s? ??i m?t khác nhau ???c thành l?p t? 0, 1, 2, 3, 4, 5 sao cho
trong m?i s? ?ó ??u có m?t ít nh?t ch? s? 1 ho?c 2.
Bài 5. Hai nhóm ng??i c?n mua n?n nhà, nhóm th? nh?t có 2 ng??i và h? mu?n mua 2 n?n k? nhau,
nhóm th? hai có 3 ng??i và h? mu?n mua 3 n?n k? nhau. H? tìm ???c m?t l? ??t chia thành 7 n?n ?ang
rao bán (các n?n nh? nhau và ch?a có ng??i mua). Tính s? cách ch?n n?n c?a m?i ng??i th?a yêu c?u
trên.
Bài 6. T? 4 ch? s? 0, 1, 2, 3 l?p thành các s? t? nhiên có 3 ch? s? ph?n bi?t. Tính t?ng các s? ???c thành
l?p.
Bài 7. Tính s? hình ch? nh?t ???c t?o thành t? 4 trong 20 ??nh c?a ?a giác ??u có 20 c?nh n?i ti?p ???ng
tròn t?m O.
Bài 8. Cho ?a giác ??u có 2n c?nh n?i ti?p ???ng tròn t?m O. Bi?t s? tam giác có các ??nh là 3 trong 2n
??nh c?a ?a giác nhi?u g?p 20 l?n s? hình ch? nh?t có các ??nh là 4 trong 2n ??nh c?a ?a giác. Tính s?
hình ch? nh?t.
Bài 9. ??i tuy?n h?c sinh gi?i c?a m?t tr??ng g?m 18 em, trong ?ó có 7 em kh?i 12, 6 em kh?i 11 và 5
em kh?i 10. Tính s? cách ch?n 6 em trong ??i ?i d? tr?i hè sao cho m?i kh?i có ít nh?t 1 em ???c ch?n.
Bài 10. Cho t?p h?p X g?m 10 ph?n t? khác nhau. Tính s? t?p h?p con khác r?ng ch?a m?t s? ch?n các
ph?n t? c?a X.
Bài 11. M?t h?p ??ng 15 viên bi khác nhau g?m 4 bi ??, 5 bi tr?ng và 6 bi vàng. Tính s? cách ch?n 4
viên bi t? h?p ?ó sao cho kh?ng có ?? 3 màu.
Bài 12. Gi?i v? ??ch bóng ?á Qu?c gia có 14 ??i tham gia thi ??u vòng tròn 1 l??t, bi?t r?ng trong 1 tr?n
??u: ??i th?ng ???c 3 ?i?m, hòa 1 ?i?m, thua 0 ?i?m và có 23 tr?n hòa. Tính s? ?i?m trung bình c?a 1
tr?n trong toàn gi?i.
Bài 13. Tính s? các s? t? nhiên g?m 7 ch? s? ???c ch?n t? 1, 2, 3, 4, 5 sao cho ch? s? 2 có m?t ?úng 2
l?n, ch? s? 3 có m?t ?úng 3 l?n và các ch? s? còn l?i có m?t kh?ng quá 1 l?n.
Bài 14. Tính s? các s? t? nhiên g?m 5 ch? s? ph?n bi?t và m?t trong 3 ch? s? ??u tiên là 1 ???c thành
l?p t? các ch? s? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Bài 15. T? m?t nhóm 30 h?c sinh g?m 15 h?c sinh kh?i A, 10 h?c sinh kh?i B và 5 h?c sinh kh?i C ch?n
ra 15 h?c sinh sao cho có ít nh?t 5 h?c sinh kh?i A và có ?úng 2 h?c sinh kh?i C. Tính s? cách ch?n.
Bài 16. T? m?t nhóm 12 h?c sinh g?m 4 h?c sinh kh?i A, 4 h?c sinh kh?i B và 4 h?c sinh kh?i C ch?n ra
5 h?c sinh sao cho m?i kh?i có ít nh?t 1 h?c sinh. Tính s? cách ch?n.
Bài 17. Tính s? t?p h?p con c?a X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} ch?a 1 mà kh?ng ch?a 0.

6

Bài 18. ??i thanh niên xung kích c?a m?t tr??ng ph? th?ng có 12 h?c sinh g?m 5 h?c sinh l?p A, 4 h?c
sinh l?p B và 3 h?c sinh l?p C. Tính s? cách ch?n 4 h?c sinh ?i làm nhi?m v? sao cho 4 h?c sinh này
thu?c kh?ng quá 2 trong 3 l?p trên.
Bài 19. T? các ch? s? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 l?p thành s? t? nhiên ch?n có 5 ch? s? ph?n bi?t nh? h?n 25000.
Tính s? các s? l?p ???c.
Bài 20. T?p h?p A g?m n ph?n t? (n ? 4). Bi?t r?ng s? t?p h?p con ch?a 4 ph?n t? c?a A b?ng 20 l?n s?
t?p h?p con ch?a 2 ph?n t? c?a A, tìm s? k ? { 1; 2; ...; n } sao cho s? t?p h?p con ch?a k ph?n t? c?a
A là l?n nh?t.

C. H??NG D?N GI?I
Bài 1. Xét 3 lo?i gh? g?m 1 gh? có 3 ch?, 1 gh? có 2 ch? và 2 gh? có 1 ch? ng?i.
+ B??c 1: do 2 gh? có 1 ch? kh?ng ph?n bi?t nên ch?n 2 trong 4 v? trí ?? s?p gh? 2 và 3 ch? ng?i có
A 2 = 12 cách.
4
+ B??c 2: s?p 3 nam vào gh? 3 ch? có 3! = 6 cách.
+ B??c 3: s?p 2 n? vào gh? 2 ch? có 2! = 2 cách.
V?y có 12.6.2 = 144 cách s?p.
Bài 2. Ch?n 2 trong n ??nh c?a ?a giác ta l?p ???c 1 c?nh ho?c ???ng chéo.
S? c?nh và ???ng chéo là C 2 . Suy ra s? ???ng chéo là C 2 - n .
n
n
n!
- n = 2n
2!(n - 2) !
? n(n - 1) = 6n ? n = 7 .

2
Ta có: C n - n = 2n ?

V?y có 7 c?nh.
Bài 3. Xét s? có 5 ch? s? g?m 0, 1, 2, 5 và ch? s? “kép” là (3, 4).
+ Lo?i 1: ch? s? hàng tr?m ngàn có th? là 0.
- B??c 1: s?p 5 ch? s? vào 5 v? trí có 5! = 120 cách.
- B??c 2: v?i m?i cách s?p ch? s? kép có 2 hoán v? ch? s? 3 và 4.
Suy ra có 120.2 = 240 s?.
+ Lo?i 2: ch? s? hàng tr?m ngàn là 0.
- B??c 1: s?p 4 ch? s? vào 4 v? trí còn l?i có 4! = 24 cách.
- B??c 2: v?i m?i cách s?p ch? s? kép có 2 hoán v? ch? s? 3 và 4.
Suy ra có 24.2 = 48 s?.
V?y có 240 – 48 = 192 s?.
Bài 4.
+ Lo?i 1: ch? s? a1 có th? là 0.
4
S?p 4 trong 6 ch? s? vào 4 v? trí có A 6 = 360 cách. S?p 4 ch? s? 0, 3, 4, 5 vào 4 v? trí có 4! = 24 cách.
Suy ra có 360 – 24 = 336 s?.
+ Lo?i 2: ch? s? a1 là 0 (v? trí a1 ?? có ch? s? 0).
3
S?p 3 trong 5 ch? s? vào 3 v? trí có A 5 = 60 cách. S?p 3 ch? s? 3, 4, 5 vào 3 v? trí có 3! = 6 cách. Suy ra
có 60 – 6 = 54 s?.
V?y có 336 – 54 = 282 s?.
Cách khác:
+ Lo?i 1: S? t? nhiên có 4 ch? s? tùy ?.
- B??c 1: Ch?n 1 trong 5 ch? s? khác 0 s?p vào a1 có 5 cách.
3
- B??c 2: Ch?n 3 trong 5 ch? s? khác a1 s?p vào 3 v? trí còn l?i có A 5 = 60 cách.
Suy ra có 5.60 = 300 s?.
+ Lo?i 2: S? t? nhiên có 4 ch? s? g?m 0, 3, 4, 5 (kh?ng có 1 và 2).
- B??c 1: Ch?n 1 trong 3 ch? s? khác 0 s?p vào a1 có 3 cách.

7

- B??c 2: S?p 3 ch? s? còn l?i vào 3 v? trí 3! = 6 cách.
Suy ra có 3.6 = 18 s?.
V?y có 300 – 18 = 282 s?.
Bài 5. Xem l? ??t có 4 v? trí g?m 2 v? trí 1 n?n, 1 v? trí 2 n?n và 1 v? trí 3 n?n.
+ B??c 1: nhóm th? nh?t ch?n 1 v? trí cho 2 n?n có 4 cách và m?i cách có 2! = 2 cách ch?n n?n cho m?i
ng??i. Suy ra có 4.2 = 8 cách ch?n n?n.
+ B??c 2: nhóm th? hai ch?n 1 trong 3 v? trí còn l?i cho 3 n?n có 3 cách và m?i cách có 3! = 6 cách ch?n
n?n cho m?i ng??i. Suy ra có 3.6 = 18 cách ch?n n?n.
V?y có 8.18 = 144 cách ch?n n?n cho m?i ng??i.
Bài 6.
+ Xét s? A có 3 ch? s? ph?n bi?t và ch? s? hàng tr?m có th? là 0.
T? A 3 = 24 s? A ta l?p ???c 12 c?p s? có t?ng là 333. Ví d? 012 + 321 = 333.
4
Suy ra t?ng các s? A là 12.333 = 3996.
+ Xét s? B có 3 ch? s? ph?n bi?t và ch? s? hàng tr?m là 0.
T? A 2 = 6 s? B ta l?p ???c 3 c?p s? có t?ng là 44. Ví d? 032 + 012 = 44.
3
Suy ra t?ng các s? B là 3.44 = 132.
V?y t?ng các s? th?a yêu c?u là 3996 – 132 = 3864.
Cách khác:
+ Xét s? A có 3 ch? s? ph?n bi?t và ch? s? hàng tr?m có th? là 0.
- S? các s? A là A 3 = 24 s?. S? l?n các ch? s? có m?t ? hàng tr?m, hàng ch?c và ??n v? là nh? nhau và
4
b?ng 24 : 4 = 6 l?n.
- T?ng các ch? s? hàng tr?m (hàng ch?c, ??n v?) c?a 24 s? là:
6.(0 + 1 + 2 + 3) = 36.
Suy ra t?ng các s? A là 36.(100 + 10 + 1) = 3996.
+ Xét s? B có 3 ch? s? ph?n bi?t và ch? s? hàng tr?m là 0.
- S? các s? B là A 2 = 6 s?. S? l?n các ch? s? 1, 2, 3 có m?t ? hàng ch?c và ??n v? là nh? nhau và b?ng
3
6 : 3 = 2 l?n.
- T?ng các ch? s? hàng ch?c (??n v?) c?a 6 s? là 2.(1 + 2 + 3) = 12.
Suy ra t?ng các s? B là 12.(10 + 1) = 132.
V?y t?ng các s? th?a yêu c?u là 3996 – 132 = 3864.
Bài 7. Nh?n th?y các hình ch? nh?t ???c t?o thành có 2 ???ng chéo là ???ng kính c?a ???ng tròn. V?
???ng th?ng d qua t?m O và kh?ng qua ??nh c?a ?a giác ??u thì d chia ?a giác thành 2 ph?n, m?i ph?n có
10 ??nh. Suy ra s? ???ng chéo c?a ?a giác ?i qua t?m O là 10. Ch?n 2 trong 10 ???ng chéo thì l?p ???c 1
hình ch? nh?t.
2
V?y có C10 = 45 hình ch? nh?t.
Bài 8. + L? lu?n t??ng t? c?u 65 ta có C 2 hình ch? nh?t.
n
3
+ S? tam giác t?o thành t? 3 trong 2n ??nh c?a ?a giác là C 2n .
3
2
+ T? gi? thi?t ta có: C 2n = 20C n ?

?

(2n) !
n!
= 20
3!( 2n - 3 ) !
2!( n - 2 ) !

2n(2n - 1)(2n - 2)
n(n - 1)
= 20
? n = 8.
6
2

V?y có C 2 = 28 hình ch? nh?t.
8
Bài 9.
Cách gi?i sai:
6
+ Ch?n tùy ? 6 em trong ??i có C18 = 18564 cách.
6
+ Ch?n 6 em trong ??i thu?c kh?i 12 ho?c kh?i 11 có C13 = 1716 cách.
6

8

6
V?y có 18564 – 1716 – 924 – 462 = 15462 cách ch?n!
Sai ? ch? l?p 12 và l?p 11 ta ?? tính l?p l?i.
Cách gi?i ?úng:
6
+ Ch?n tùy ? 6 em trong ??i có C18 = 18564 cách.
6
6
+ Ch?n 6 em trong ??i thu?c kh?i 12 và kh?i 10 có C12 - C 6 = 917 cách.
7
6
6
+ Ch?n 6 em trong ??i thu?c kh?i 11 và kh?i 10 có C11 - C 6 = 461 cách.
V?y có 18564 – 1716 – 917 – 461 = 15454 cách ch?n.
Bài 10.
2
+ S? t?p h?p con ch?a 2 ph?n t? c?a X là C10 = 45 .
4
6
8
+ S? t?p h?p con ch?a 10 ph?n t? c?a X là 1.
V?y có 45 + 210 + 210 + 45 + 1 = 511 t?p h?p.
Bài 11.
4
+ Tr??ng h?p 1: ch?n 4 bi ?? ho?c tr?ng có C 9 = 126 cách.
4
+ Tr??ng h?p 2: ch?n 4 bi ?? và vàng ho?c 4 bi vàng có C10 - C 4 = 209 cách.
4
4
+ Tr??ng h?p 3: ch?n 4 bi tr?ng và vàng có C11 -

4
4
( C 5 + C 6 ) = 310 cách.

V?y có 126 + 209 + 310 = 645 cách.
Cách khác:
4
+ Lo?i 1: ch?n tùy ? 4 trong 15 viên bi có C15 = 1365 cách.
+ Lo?i 2: ch?n ?? c? 3 màu có 720 cách g?m các tr??ng h?p sau:
- Ch?n 2 bi ??, 1 bi tr?ng và 1 bi vàng có 180 cách.
V?y có 1365 – 720 = 645 cách.
Bài 12. + Do thi ??u vòng tròn 1 l??t nên 2 ??i b?t k? ch? ??u v?i nhau ?úng 1 tr?n. S? tr?n ??u c?a gi?i
2
là C14 = 91 .
+ T?ng s? ?i?m c?a 2 ??i trong 1 tr?n hòa là 2 nên t?ng s? ?i?m c?a 23 tr?n hòa là 2.23 = 46.
+ T?ng s? ?i?m c?a 2 ??i trong 1 tr?n kh?ng hòa là 3 nên t?ng s? ?i?m c?a 68 tr?n kh?ng hòa là 3.68 =
204.
46 + 204
250
V?y s? ?i?m trung bình c?a 1 tr?n là
?i?m.
=
91
91
Bài 13. Xem s? có 7 ch? s? nh? 7 v? trí th?ng hàng.
+ B??c 1: ch?n 2 trong 7 v? trí ?? s?p 2 ch? s? 2 (kh?ng hoán v?) có C 2 = 21 cách.
7
3
+ B??c 2: ch?n 3 trong 5 v? trí còn l?i ?? s?p 3 ch? s? 3 (kh?ng hoán v?) có C 5 = 10 cách.

+ B??c 3: ch?n 2 trong 3 ch? s? 1, 4, 5 ?? s?p vào 2 v? trí còn l?i (có hoán v?) có A 2 = 6 cách.
3
V?y có 21.10.6 = 1260 s?.
Bài 14.
+ Lo?i 1: ch? s? a1 có th? là 0.
- B??c 1: ch?n 1 trong 3 v? trí ??u ?? s?p ch? s? 1 có 3 cách.

9

4
- B??c 2: ch?n 4 trong 7 ch? s? (tr? ch? s? 1) ?? s?p vào các v? trí còn l?i có A 7 = 840 cách. Suy ra có
3.840 = 2520 s?.
+ Lo?i 2: ch? s? a1 là 0.
- B??c 1: ch?n 1 trong 2 v? trí th? 2 và 3 ?? s?p ch? s? 1 có 2 cách.
3
- B??c 2: ch?n 3 trong 6 ch? s? (tr? 0 và 1) ?? s?p vào các v? trí còn l?i có A 6 = 120 cách. Suy ra có
2.120 = 240 s?.
V?y có 2520 – 240 = 2280 s?.
Bài 15.
+ Lo?i 1: Ch?n 2 h?c sinh kh?i C, 13 h?c sinh kh?i B ho?c kh?i A có C 2C13 cách.
5 25
+ Lo?i 2: Ch?n 2 h?c sinh kh?i C, 13 h?c sinh kh?i B và kh?i A kh?ng th?a yêu c?u.
3
- Tr??ng h?p 1: Ch?n 2 h?c sinh kh?i C, 10 h?c sinh kh?i B và 3 h?c sinh kh?i A có C 2C10C15 cách.
5 10
9 4
- Tr??ng h?p 2: Ch?n 2 h?c sinh kh?i C, 9 h?c sinh kh?i B và 4 h?c sinh kh?i A có C 2C10C15 cách.
5
2
13
10 3
9 4
V?y có C 5 ( C25 - C10C15 - C10C15 ) = 51861950 cách.

Bài 16.
+ Tr??ng h?p 1: 1 kh?i có 3 h?c sinh và 2 kh?i còn l?i m?i kh?i có 1 h?c sinh.
- B??c 1: ch?n 1 kh?i có 3 h?c sinh có 3 cách.
- B??c 2: trong kh?i ?? ch?n ta ch?n 3 h?c sinh có C 3 = 4 cách.
4
- B??c 3: 2 kh?i còn l?i m?i kh?i có 4 cách ch?n.
Suy ra có 3.4.4.4 = 192 cách.
+ Tr??ng h?p 2: 2 kh?i có 2 h?c sinh và kh?i còn l?i có 1 h?c sinh.
- B??c 1: ch?n 2 kh?i có 2 h?c sinh có C 2 = 3 cách.
3
- B??c 2: trong 2 kh?i ?? ch?n ta ch?n 2 h?c sinh có C 2 = 6 cách.
4
- B??c 3: kh?i còn l?i có 4 cách ch?n.
Suy ra có 3.6.6.4 = 432 cách.
V?y có 192 + 432 = 624 cách.
Cách khác:
5
+ Ch?n 5 h?c sinh tùy ? có C12 = 792 cách.
+ Ch?n 5 h?c sinh kh?i A và B (t??ng t? kh?i A và C, B và C) có C 5 = 56 cách.
8
V?y có 792 – 3.56 = 624 cách.
Bài 17.
0
+ S? t?p h?p con kh?ng ch?a ph?n t? nào c?a X { 0; 1} là C 5 .
+ S? t?p h?p con ch?a 1 ph?n t? c?a X

{ 0;
{ 0;
{ 0;
{ 0;
{ 0;

1} là C1 .
5
1} là C 2 .
5
3
1} là C 5 .
4
1} là C 5 .

1} là C 5 .
5

0
2
3
4
5
Suy ra s? t?p h?p con c?a X { 0; 1} là C 5 + C1 + C 5 + C 5 + C 5 + C 5 = 32 . Ta h?p các t?p h?p
5
con này v?i {1} thì ???c 32 t?p h?p th?a bài toán.
Bài 18.
Cách gi?i sai:
4
+ Tr??ng h?p 1: ch?n 4 h?c sinh l?p A ho?c l?p B có C 9 cách.

+ Tr??ng h?p 2: ch?n 4 h?c sinh l?p A ho?c l?p C có C 4 cách.
8
4
+ Tr??ng h?p 3: ch?n 4 h?c sinh l?p B ho?c l?p C có C 7 cách.

10

4
4
4
V?y có C 9 + C 8 + C 7 = 231 cách!
Sai do ta ?? tính l?p l?i tr??ng h?p ch? ch?n 4 h?c sinh l?p A và tr??ng h?p ch? ch?n 4 h?c sinh l?p B.
Cách gi?i sai khác:
4
+ Lo?i 1: ch?n tùy ? 4 trong 12 h?c sinh có C12 = 495 cách.
+ Lo?i 2: ch?n 4 h?c sinh có m?t c? 3 l?p.
- B??c 1: ch?n 1 h?c sinh l?p A, 1 h?c sinh l?p B và 1 h?c sinh l?p C có:
5.4.3 = 60 cách.
- B??c 2: ch?n 1 h?c sinh trong 9 h?c sinh còn l?i c?a 3 l?p có 9 cách.
Suy ra có 9.60 = 540 cách ch?n lo?i 2 (l?n h?n s? cách ch?n lo?i 1!).
Sai là do khi th?c hi?n b??c 1 và b??c 2, v? tình ta ?? t?o ra th? t? trong cách ch?n. Có ngh?a là t? t?
h?p chuy?n sang ch?nh h?p!
Cách gi?i ?úng:
4
+ Lo?i 1: ch?n tùy ? 4 trong 12 h?c sinh có C12 = 495 cách.
+ Lo?i 2: ch?n 4 h?c sinh có m?t c? 3 l?p, ta có 3 tr??ng h?p sau:
- Ch?n 2 h?c sinh l?p A, 1 h?c sinh l?p B và 1 h?c sinh l?p C có C 2 .4.3 = 120 cách.
5

- Ch?n 1 h?c sinh l?p A, 2 h?c sinh l?p B và 1 h?c sinh l?p C có 5.C 2 .3 = 90 cách.
4
- Ch?n 1 h?c sinh l?p A, 1 h?c sinh l?p B và 2 h?c sinh l?p C có 5.4.C 2 = 60 cách.
3
V?y có 495 – (120 + 90 + 60) = 225 cách.
Bài 19. G?i s? c?n l?p là A = a 1a 2a 3a 4a 5 v?i 1 ? a 1 ? 2 .
+ Tr??ng h?p 1: a1 = 1.
3
3
Có 4 cách ch?n a5 và A 5 cách ch?n các ch? s? còn l?i nên có 4.A 5 = 240 s?.
+ Tr??ng h?p 2: a1 = 2, a2 l?.
Có 2 cách ch?n a2, 3 cách ch?n a5 và A 2 cách ch?n các ch? s? còn l?i nên có 2.3.A 2 = 72 s?.
4
4
+ Tr??ng h?p 3: a1 = 2, a2 ch?n.
Có 2 cách ch?n a2, 2 cách ch?n a5 và A 2 cách ch?n các ch? s? còn l?i nên có 2.2.A 2 = 48 s?.
4
4
V?y có 240 + 72 + 48 = 360 s?.
Bài 20. S? t?p h?p con ch?a k ph?n t? c?a A là C k . Ta có:
n
C 4 = 20C 2 ?
n
n

n!
n!
= 20
4 !( n - 4 ) !
2!( n - 2 ) !

? (n - 2)(n - 3) = 240 ? n = 18
ì
18 !
18 !
?
?
?
?
k
k- 1
ìC ? C
? 18
? k !( 18 - k ) ! (k - 1) !( 19 - k ) !
18
?
? ? k
? í
í
k+
? C18 ? C18 1
?
18 !
18 !
?
?
?
?
?
?
? k !( 18 - k ) ! (k + 1)!( 17 - k ) !
?
?

V?y k = 9.

ì 19 - k ? k
?
17
19
? ?
?
? k?
.
í
? k + 1 ? 18 - k
2
2
?
?

11

狠狠撸

Hoan vi chinh hop to hop

More Related Content

Hoan vi chinh hop to hop