![?( ?) = ?2?2 ? 3? + 4
2. Obtenerel polinomiode interpolaci¨®nusandolaf¨®rmulade interpolaci¨®nde Newtonen
diferenciasdivididasconlosdatosde la tabla que aparece a continuaci¨®n,e interpolarenel punto
x= 3 (DIFERENCIASDIVIDIDAS)
xi -4 6 2
yi -20 -30 -
2
Por diferenciasdivididas:
xi f(xi) f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2]
-4 -20
-1
6 -30 -1
-7
2 -2
Luego:
?2( ?) = ?[ ?0] + ?[ ?0,?1] ? ( ? ? ?0)+ ?[ ?0,?1, ?2]? ( ? ? ?0)? ( ? ? ?1)
?2( ?) = ?20 ? 1 ? ( ? + 4) ? 1 ? ( ? + 4) ? ( ? ? 6)
?2( ?) = ? ? ?2
3. Se quiere aproximarlafunci¨®nf(x)=?seno( 6 x ) enel intervalo[?1,1] utilizandointerpolaci¨®n
polin¨®micacon5 puntos dadospor el vectorx=[ .8,.5, .3, .9, -.9].?Cu¨¢l es el errorm¨¢ximote¨®rico
que se cometer¨ªaen el punto?0.5? ?Y cu¨¢l el errorreal?
Por diferenciasdivididas:](https://image.slidesharecdn.com/polinomiodeinterpolacin-150703055245-lva1-app6892/85/Polinomio-de-interpolacion-2-320.jpg)
![x ?[?0] f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2] f[xi, xi+1, xi+2, xi+] f[xi, xi+1, xi+2, xi+3, xi+4]
0,8 0,99616461
3,79094872
0,5 -0,14112001 18,9547436
-5,68642308 -56,6951974
0,3 0,99616461 13,2852239 -39,3631516
-0,37233354 10,2221604
0,9 0,77276449 -1,02580062
0,85862721
-0,9 -0,77276449
Luego:
?4( ?) = ?[ ?0]+ ?[ ?0,?1] ? ( ? ? ?0)+ ?[ ?0, ?1,?2]? ( ? ? ?0) ? ( ? ? ?1) + ?[ ?0, ?1,?2,?3]
? ( ? ? ?0)? ( ? ? ?1)? ( ? ? ?2) + ?[ ?0,?1, ?2, ?3, ?4] ? ( ? ? ?0)? ( ? ? ?1)
? ( ? ? ?2)? ( ? ? ?3)
?4( ?) = 0,99616461 + 3,79094872 ? ( ? ? 0,8) + 18,9547436 ? ( ? ? 0,8) ? ( ? ? 0,5)
? 56,6951974 ? ( ? ? 0,8) ? ( ? ? 0,5) ? ( ? ? 0,3) ? 39,3631516 ? ( ? ? 0,8)
? ( ? ? 0,5) ? ( ? ? 0,3) ? ( ? ? 0,9)
Para x = - 0,5
?4( ? 0,5) = 0,99616461 + 3,79094872 ? ( ? 0,5 ? 0,8) + 18,9547436 ? ( ? 0,5 ? 0,8)
? ( ? 0,5 ? 0,5) ? 56,6951974 ? ( ? 0,5 ? 0,8) ? ( ? 0,5 ? 0,5) ? ( ? 0,5 ? 0,3)
? 39,3631516 ? ( ? 0,5 ? 0,8) ? ( ? 0,5 ? 0,5) ? ( ? 0,5 ? 0,3) ? ( ? 0,5 ? 0,9)
?4( ? 0,5) = 22,35935452
????? = |
????? + ???????????
?????
|
? ? = |
???(?0.5 ? 6) + 22,35935452
???(?0.5)
|
? ? = 46,93215675](https://image.slidesharecdn.com/polinomiodeinterpolacin-150703055245-lva1-app6892/85/Polinomio-de-interpolacion-3-320.jpg)
Polinomio de interpolaci¨®n
- 1. 1. Obtenerel polinomiode interpolaci¨®nusandolaf¨®rmulade interpolaci¨®nde Lagrange con la siguientetablade valores, e interpolarenel puntox = 1. xi -4 -3 2 -6 yi -16 -5 -10 -50 ? ?( ?) = ¦° ? ¡Ù ? ? ? ?? ?? ? ? ? ?( ?) = ¡Æ ?? ? ?=0 ? ? ?( ?) ?0( ?) = ( ? ? ?1)( ? ? ?2)( ? ? ?3) ( ?0 ? ?1)( ?0 ? ?2)( ?0 ? ?3) = ( ? + 3)( ? ? 2)( ? + 6) (?4 + 3)(?4 ? 2)(?4 + 6) ?0( ?) = 1 12 ?3 + 7 12 ?2 ? 3 ?1( ?) = ( ? ? ?0)( ? ? ?2)( ? ? ?3) ( ?1 ? ?0)( ?1 ? ?2)( ?1 ? ?3) = ( ? + 4)( ? ? 2)( ? + 6) (?3 + 4)(?3 ? 2)(?3 + 6) ?1( ?) = ? 1 15 ?3 ? 8 15 ?2 ? 4 15 ? + 16 5 ?2( ?) = ( ? ? ?0)( ? ? ?1)( ? ? ?3) ( ?2 ? ?0)( ?2 ? ?1)( ?2 ? ?3) = ( ? + 4)( ? + 3)( ? + 6) (2 + 4)(2 + 3)(2 + 6) ?2( ?) = 1 240 ?3 + 13 240 ?2 + 9 40 ? + 3 10 ?3( ?) = ( ? ? ?0)( ? ? ?1)( ? ? ?2) ( ?3 ? ?0)( ?3 ? ?1)( ?3 ? ?2) = ( ? + 4)( ? + 3)( ? ? 2) (?6 + 4)(?6 + 3)(?6 ? 2) ?3( ?) = ? 1 48 ?3 ? 5 48 ?2 + 1 24 ? + 1 2 ?( ?) = ?0 ?0( ?) + ?1 ?1( ?) + ?2 ?2( ?) + ?3 ?3( ?) Sustituyendo: ?( ?) = ?16 ? ( 1 12 ?3 + 7 12 ?2 ? 3) ? 5 ? (? 1 15 ?3 ? 8 15 ?2 ? 4 15 ? + 16 5 ) ? 10 ? ( 1 240 ?3 + 13 240 ?2 + 9 40 ? + 3 10 ) ? 50 ? (? 1 48 ?3 ? 5 48 ?2 + 1 24 ? + 1 2 )
- 2. ?( ?) = ?2?2 ? 3? + 4 2. Obtenerel polinomiode interpolaci¨®nusandolaf¨®rmulade interpolaci¨®nde Newtonen diferenciasdivididasconlosdatosde la tabla que aparece a continuaci¨®n,e interpolarenel punto x= 3 (DIFERENCIASDIVIDIDAS) xi -4 6 2 yi -20 -30 - 2 Por diferenciasdivididas: xi f(xi) f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2] -4 -20 -1 6 -30 -1 -7 2 -2 Luego: ?2( ?) = ?[ ?0] + ?[ ?0,?1] ? ( ? ? ?0)+ ?[ ?0,?1, ?2]? ( ? ? ?0)? ( ? ? ?1) ?2( ?) = ?20 ? 1 ? ( ? + 4) ? 1 ? ( ? + 4) ? ( ? ? 6) ?2( ?) = ? ? ?2 3. Se quiere aproximarlafunci¨®nf(x)=?seno( 6 x ) enel intervalo[?1,1] utilizandointerpolaci¨®n polin¨®micacon5 puntos dadospor el vectorx=[ .8,.5, .3, .9, -.9].?Cu¨¢l es el errorm¨¢ximote¨®rico que se cometer¨ªaen el punto?0.5? ?Y cu¨¢l el errorreal? Por diferenciasdivididas:
- 3. x ?[?0] f[xi, xi+1] f[xi, xi+1, xi+2] f[xi, xi+1, xi+2, xi+] f[xi, xi+1, xi+2, xi+3, xi+4] 0,8 0,99616461 3,79094872 0,5 -0,14112001 18,9547436 -5,68642308 -56,6951974 0,3 0,99616461 13,2852239 -39,3631516 -0,37233354 10,2221604 0,9 0,77276449 -1,02580062 0,85862721 -0,9 -0,77276449 Luego: ?4( ?) = ?[ ?0]+ ?[ ?0,?1] ? ( ? ? ?0)+ ?[ ?0, ?1,?2]? ( ? ? ?0) ? ( ? ? ?1) + ?[ ?0, ?1,?2,?3] ? ( ? ? ?0)? ( ? ? ?1)? ( ? ? ?2) + ?[ ?0,?1, ?2, ?3, ?4] ? ( ? ? ?0)? ( ? ? ?1) ? ( ? ? ?2)? ( ? ? ?3) ?4( ?) = 0,99616461 + 3,79094872 ? ( ? ? 0,8) + 18,9547436 ? ( ? ? 0,8) ? ( ? ? 0,5) ? 56,6951974 ? ( ? ? 0,8) ? ( ? ? 0,5) ? ( ? ? 0,3) ? 39,3631516 ? ( ? ? 0,8) ? ( ? ? 0,5) ? ( ? ? 0,3) ? ( ? ? 0,9) Para x = - 0,5 ?4( ? 0,5) = 0,99616461 + 3,79094872 ? ( ? 0,5 ? 0,8) + 18,9547436 ? ( ? 0,5 ? 0,8) ? ( ? 0,5 ? 0,5) ? 56,6951974 ? ( ? 0,5 ? 0,8) ? ( ? 0,5 ? 0,5) ? ( ? 0,5 ? 0,3) ? 39,3631516 ? ( ? 0,5 ? 0,8) ? ( ? 0,5 ? 0,5) ? ( ? 0,5 ? 0,3) ? ( ? 0,5 ? 0,9) ?4( ? 0,5) = 22,35935452 ????? = | ????? + ??????????? ????? | ? ? = | ???(?0.5 ? 6) + 22,35935452 ???(?0.5) | ? ? = 46,93215675