ݺߣ

ݺߣShare a Scribd company logo

примеры решения задач

•Download as DOC, PDF•
•
Zhanna Kazakova
Zhanna Kazakova
1 of 9
Download to read offline
Примеры решения задач. 1. По двум параллельным путям в одном направлении идут товарный поезд длиной L1 = 630 м со скоростью υ1 = 48,6 км/ч и электропоезд длиной L2=120 м со скоростью υ 2 = 102,6 км/ч. В течение какого времени электро- поезд будет обгонять товарный? Дано: L1 = 630 м, υ1 =48,6 км/ч=13,5 м/с, L2 = 120 м, υ 2 =102,6 км/ч=28,5 м/с. Найти: t. Обгон начинается, когда координаты конца товарного поезда и начала электропоезда одинаковы, а заканчивается, когда одинаковы координаты конца электропоезда и начала товарного (рис.1.4). Обозна- Рис.1.4 чим путь, пройденный товарным поездом за время обгона, s1, а путь электро- поезда - s2. s2 = s1 + L1 +L2 (1) Движение поездов равномерное, поэтому s1 = υ1 t ; s2 = υ 2 t . Подставив s1 и s2 в уравнение (1), получим L+L 630 м + 120 м t= 1 2 = = 50 с . υ 2 − υ1 28,5 м/с − 13,5 м/с Ответ: t = 50 c. 2. Из пункта А и В, расстояние между которыми 120 км, навстречу друг другу выехали два автобуса. Первый автобус выехал в 9 ч, а второй - в 9 ч 30 мин утра. Первый автобус двигался со скоростью 40 км/ч, а второй - со скоростью 60 км/ч. Найти, где и когда встретятся автобусы. Дано: s = 120 км, υ 1 = 40 км/ч, υ 2 = 60 км/ч, t01 = 9 ч, t02 = 9 ч 30 мин. Найти: t, s1, s2. Рис.1.5 C - место встречи автобусов (см. рис.1.5). 5
Из рисунка 1.5 следует, s = s1 + s2. (1) Автобусы движутся равномерно s1 = υ1 t ; s2 = υ 2 t . (2) Второй автобус выехал на Δ t = t 02 − t01 = 0,5 ч позднее первого. Поэтому t 2 = t1 − Δ t . (3) Подставим выражения (2) и (3) в (1): s = υ1 t1 + υ 2 (t1 − Δ t). (4) Решая уравнение (4), найдем t1: s = υ1 t1 + υ 2 t1 − υ 2 Δ t, s + υ 2 Δ t = ( υ1 + υ 2 )t1 ; s+ υ 2Δ t 120 км + 60 км/ч ⋅ 0,5 ч t1 = ; t1 = = 1,5 ч. υ1 + υ 2 (40 + 60) км/ч Время встречи t = 9 ч +1,5 ч = 10 ч 30 мин. Используя (2) и (1), найдем расстоя- ния s1 и s2: s1 = 40 км/ч⋅1,5 ч = 60 км; s2 = s − s1 = 120 км − 60 км = 60 км. Ответ: t = 10 ч 30 мин, s1 = 60 км, s2 = 60 км. 3. С какой скоростью и по какому курсу должен лететь самолет, чтобы за 2 ч пролететь на север 300 км, если во время полета ветер дует на юго-восток под углом 30° к меридиану со скоростью 27 км/ч? Дано: s = 300 км = 3⋅105 м, t = 2 ч = 7200 с, α = 30°, υ 2 = 27 км/ч =7,5 м/с. Найти: υ , ϕ. Скорость движения самолета относительно земли равна векторной сумме скорости самолета относительно воз- духа и скорости ветра (рис.1.6):    υ1 = υ + υ 2 . Модуль скорости υ находится по теореме косину- сов: 2 2 υ = υ1 + υ 2 − 2υ1υ 2 cosα1 . s 3 ⋅ 105 м υ1 = = = 41,7 м/с . t 7200 с Вычислим скорость υ : υ = 41,7 2 м 2 /с 2 + 7,5 2 м 2 /с 2 + 2 ⋅ 41,7 ⋅ 7,5 ⋅ 0,866 м 2 /с 2 = =48,3 м/с. Рис.1.6 Чтобы найти курс самолета, найдем сначала cosϕ . υ + υ 2 cos α 41,7 м/с + 7,5 м/с ⋅ 0,866 cos ϕ = 1 = = 0,9978 υ 48,3 м/с Тогда ϕ = 4°. Ответ: 48,3 м/с, 4°. 6
4. Автомобиль приближается к мосту со скоростью 60 км/ч. У моста ви- сит дорожный знак, ограничивающий скорость до 10 км/ч. За 7,0 с до въезда на мост водитель нажал на тормозную педаль, сообщив автомобилю ускорение 2,0 м/с2. С разрешенной ли скоростью автомобиль въехал на мост? Дано: υ 0 = 60 км/ч, t = 7,0 c, a = 2,0 м/с2 , υ = 10 км/ч. Найти: υ к. Переведем скорости в м/с: км 60 ⋅ 103 м м км м υ 0 = 60 = = 16,7 ; υ = 10 = 2,8 . ч 3600 с с ч с Автомобиль тормозит - движение равнозамедленное υк = υ 0 − at , υ к = 16,7 м/с − 2,0 м/с 2 ⋅ 7,0 с = 2,7 м/с, υ к = 2,7 м/с < 2,8 м/с = υ . Ответ: скорость 60 км/ч допустима. 5. Космическая ракета разгоняется из состояния покоя и, пройдя путь 200 км, достигает скорости 11 км/с. С каким ускорением она двигалась? Каково время разгона? Дано: s = 200 км, υ = 11 км/с, υ 0 = 0. Найти: a, t. Движение прямолинейное равноускоренное 3 2 υ 2 =2as, a = υ , a = (11 ⋅ 10 м/с) ≈ 302,5 м/с 2 ≈ 3,0 ⋅ 10 2 м/с 2 , 2 2s 2 ⋅ 200 ⋅ 103 м υ 11 ⋅ 103 м/с υ = at, t = , t= = 36,7 с ≈ 37 с . a 3,0 ⋅ 10 2 м/с 2 Ответ: а = 3,0⋅102 м/с2, t ≈ 37 c. 6. Спустя 40 с после отхода теплохода с той же пристани вдогонку за ним был послан глиссер, который двигался все время с ускорением 0,5 м/с2 . Через сколько времени и на каком расстоянии от пристани глиссер догонит теплоход, если теплоход движется равномерно со скоростью 18 км/с? Дано: t01 = 0, υ 1= 18 км/ч =5 м/с, υ 02 = 0, t02 =40 c, a2 = 0,5 м/с2. Найти: t2, s. Обозначим путь, пройденный теплоходом и глиссером, s, скорость и вре- мя движения теплохода υ 1 и t1, ускорение и время движения глиссера а2 и t2. Теплоход движется равномерно: s = υ1 t1 . (1) Глиссер движется ускоренно с начальной скоростью υ 02 = 0: 2 a2t 2 s= . (2) 2 Глиссер отошел от пристани на 40 с позже теплохода: t2 = t1 − t02. (3) Используя (1), (2) и (3), получим 7
2 2 a 2t 2 a2 t 2 υ1(t 2 + t 02 ) = , − υ1 t 2 − υ1 t 02 = 0. (4) 2 2 Подставим в (4) значения а2, υ 1 и t02 и решим квадратное уравнение 0,5t 2 − 2⋅5t2−2⋅5⋅40=0; t 2 − 20t2 − 800 = 0; 2 2 t 2 = 10 ± 100 + 800 = (10 ± 30) c; t2 = 40 c; s = 5 м/с⋅80 c = 400 м. Ответ: t2 = 40 c, s = 400 м. 7. Первый вагон поезда прошел мимо наблюдателя, стоящего на платфор- ме, за t1= 1 с, а второй за t2 = 1,5 с. Длина вагона 12 м. Найти ускорение поезда и его скорость в начале наблюдения. Движение поезда считать равноперемен- ным. Дано: t1= 1 с, t2 = 1,5 с, l = 12 м. Найти: а, υ 0. При равнопеременном движении поезда путь, равный длине первого ва- гона, и путь, равный длине двух вагонов, определяется по формулам: 2 at1 a(t1 + t 2 )2 l = υ 0 t1 + , 2 l = υ 0 (t1 + t 2 ) + . 2 2 Найдем из первого уравнения υ 0, подставим это выражение во второе уравне- ние: l at1  l at1  a (t1 + t 2 ) 2 υ0= − ; 2l =  − t ( t1 + t 2 ) + . t1 2  1 2   2 После преобразований уравнения, получим 2 2 2l(t1 - t2) = a (t1 ⋅ t 2 + t1⋅ t 2 ) = at1t 2 (t1 + t 2 ). Найдем ускорение 2 l(t1 − t 2 ) a= . t1t 2 (t1 + t 2 ) Вычислим а: 2 ⋅ 12 м(1 с − 1,5 с) a= = −3,2 м/с 2 . 1с ⋅ 1,5 с(1 с + 1,5 с) Вычислим υ 0: 2 υ 0 = 12 м + (3,2 м/с ) ⋅ 1с = 13,6 м/с. 1с 2 2 υ Ответ: а = − 3,2 м/с , 0 = 13,6 м/с. Можно привести упрощенное решение. Из условия задачи видно, что движение поезда равнозамедленное. Следователь- но, 2 at1 a(t1 + t 2 )2 l = υ 0 t1 − , 2 l = υ 0 (t1 + t 2 ) − . 2 2 Подставим числовые значения пути и времени в эти формулы: 12 = υ 0 − a/ 2 ; 24 = 2,5υ 0 − 6,25a/2. Умножим оба уравнения на 2: 24 = 2υ 0 − a; 48 = 5υ 0 − 6,25a. 8
Найдем ускорение а из первого уравнения и подставим во второе: a = 2υ 0 − 24; 48 = 5υ 0 − 6,25(2υ 0 − 24). Вычислим скорость: 7,5υ 0 = 102; υ 0 = 102/7,5 = 13,6 м/с. Вычислим ускорение: а = 2⋅13,6 − 24 = 3,2 м/с2. Отрицательный знак ускорения учтен при составлении исходных уравнений. 8. Тело свободно падает с высоты 80 м. Каково его перемещение в по- следнюю секунду падения? Дано: h = 80 м; t1 = 1 c (последняя); υ 0 = 0. Найти: h1 Из рисунка 1.7 следует: h1 = h − h2. Обозначим время движения тела t, время прохождения им пути h2 через gt 2 g(t − t1 )2 (t − t1). Тогда h = ; h2 = . Отсюда 2 2 gt 2 g(t − t1 )2 gt 2 gt 2 2 gtt1 gt1 2 gt 2 h1 = − = − + − = gtt1 − 1 . 2 2 2 2 2 2 2 2h gt 2 Найдем время t = . Тогда h1 = 2 hg t1 − 1 . g 2 9,8 м/с ⋅ 1 с 2 Рис.1.7 h1 = 2 ⋅ 80 м ⋅ 9,8 м/с ⋅ 1 с − = 35 м 2 Ответ: h1= 35 м. 9. Из вертолета, равномерно поднимающегося вверх со скоростью 4 м/с, на высоте 200 м вертикально вверх брошено тело со скоростью 10 м/с относи- тельно вертолета. Определить, через сколько времени и на какой высоте от Зем- ли встретятся вертолет и брошенное тело (см. рис. 1.8). Дано: υ 1 = 4 м/с, Н = 200 м, υ 2 = 10 м/с. Найти: t, H1 Тело, брошенное вертикально вверх, относительно Земли будет иметь скорость υ 0 равную: υ 0 = υ 1 + υ 2. Тело движется вверх, пока его скорость не станет равной нулю. Высоту, на ко- торую поднимется тело, обозначим h1: υ2 . h1 = 0 2g Время подъема тела найдем из формулы υ 0 = gt1: υ t1 = 0 . g После этого тело падает и до встречи с вертолетом пройдет путь h2: g(t −t 1)2 h2 = , 2 9
Рис.1.8 t - время подъема вертолета после бросания тела до встречи с ним. Вертолет за это время поднимется на высоту h3 = υ 1t . Из рисунка 1.8 видно, что h1 = h2 + h3. Подставим выражение для h1, t1, h2 и h3 в это уравнение ( υ1 + υ 2 )2 g(t − ( υ1 + υ 2 ) /g)2 = + υ1 t . 2g 2 Подставим в полученное уравнение числовые значения известных величин и найдем время: 14 2 10 14 = (t − ) 2 + 4 t ; 2 ⋅ 10 2 10 9,8 = 5t − 14t + 9,8 + 4t; 2 5t2 − 10t = 0;t = 2 c. Найдем высоту, на которой вертолет встретится с телом. Из рисунка 1.8 следу- ет: H1 = H + h3 = H + υ 1t. Вычислим H1 : H1 = 200 м + 4 м/с⋅2 с = 208 м. Ответ: 2 с, 208 м. 10. С самолета, летящего горизонтально на высоте 500 м с постоянной скоростью 300 м/с, сбрасывается бомба на неподвижную цель. На каком рассто- янии по горизонтали до цели должна быть сброшена бомба, чтобы она попала в цель? Дано: Н = 500 м, υ = 300 м/с, g = 10 м/с2. Найти: s. В горизонтальном направлении движение бомбы равномерное (рис.1.9): s = υ t. В вертикальном направлении дви- жение бомбы равноускоренное: gt 2 H= . 2 Рис. 1.9 Зная, что время движения в обоих направлениях одно и то же, найдем время, а затем расстояние s: 2H 2H 2 ⋅ 500 м t= ; s=υ ; s = 300 м/с = 3000 м = 3,0 км . g g 10 м/с 2 Ответ: 3,0 км. 11. Камень, брошенный под углом 30° к горизонту, дважды был на одной и той же высоте h, спустя 3 и 5 с после начала движения. Определить началь- ную скорость камня и высоту h. Дано: α0 = 30°, t1 = 3 c, t2 = 5 c. Найти: υ 0, h. На одной и той же высоте камень находится дважды: на подъеме и спуске (рис.1.10), поэтому время подъема найдем по формуле: 10
t1 + t 2 3 c + 5 c t= = = 4 c. 2 2 В верхней точке траектории вертикальная скорость равна нулю, поэтому на- чальную вертикальную скорость найдем из соотношения: υ во =gt . Зная эту ско- рость, найдем начальную скорость камня υ 0: υ во = υ 0sinα. Итак, gt υ 0= ; sinα 10 м/с 2 ⋅ 4 с υ0= = 80 м/с. 0,5 Определим h: h=υ воt1− g t1 / 2 = 2 2 t1 = gtt1 − gt1 /2 = gt1(t − ). 2 Рис. 1.10 Вычислим h: 3c h = 10 м/с2 ⋅ 3 c(4 c − ) = 75 м . 2 Ответ: 80 м/с, 75 м. 12. Вертолет летит горизонтально со скоростью 180 км/ч на высоте 500 м. С вертолета нужно сбросить вымпел на теплоход, движущийся встречным кур- сом со скоростью 24 км/ч. На каком расстоянии от теплохода летчик должен сбросить вымпел? Дано: υ 1 = 180 км/ч = 50м/с; Н = 500 м; υ 2 = 24 км/ч= 6,67 м/с. Найти: s. Рис.1.11 Траектория вымпела - парабола (рис.1.11). s1 - расстояние, пройденное вымпелом в горизонтальном направлении, s2 - путь, пройденный теплоходом. s = s1 + s2. (1) Движение вымпела в горизонтальном направлении равномерное, в вертикаль- ном направлении равноускоренное (на вымпел действует постоянная сила тяже- сти) gt 2 s1 = υ 1t; H = . (2) 2 Время движения вымпела в вертикальном и горизонтальном направле- нии, а также время движения теплохода одно и то же. 11
s2 = υ 2t. (3) Из (2) следует 2H 2 ⋅ 500м t= = ≈ 10 с . g 9,8 м/с 2 Используя (1), (2) и (3), найдем s: s = υ 1t + υ 2t = (υ 1 + υ 2) t; s = (50 + 6,7) м/с⋅10 с = 567 м ≈ 570 м. Ответ: s ≈ 570 м. 13. При постоянной скорости 900 км/ч самолет описывает вертикальную петлю. При каком радиусе петли (в км) центростремительное ускорение не пре- высит 5 g? Дано: υ = 900 км/ч; ац = 5g. Найти: R. υ2 υ2 υ2 ац = ; R= = ; R aц 5g (250 м/с) 2 R= = 1250 м = 1,25 км . 5 ⋅ 9,8 м/с 2 Ответ: R = 1,25 км. 14. Определить центростремительное ускорение точек земной поверхно- сти на широте 45°, вызванное суточным вращением Земли. Дано: R = 6,37⋅106 м; Т = 24 ч = 8,64⋅104 с; ϕ = 45°. Найти: ац Центростремительное ускорение определяется по формуле ац = ω2r, где ω - угловая скорость точек земной поверхности, ω = 2π/T; r - радиус окружности, по которой движется точка (рис.1.12), r = Rcosϕ ; ϕ - широта местности; R - радиус Зем- ли. Следовательно, ац = 4π2 Rcosϕ /T 2; 4 ⋅ 3,14 2 ⋅ 6,37 ⋅ 10 6 м ⋅ 0,7 ац = 4 2 2 = 0,034 м/с 2 . (8,64 ⋅ 10 ) с 2 Ответ: ац = 0,034 м/с . Рис. 1.12 12
15. Вал совершает 1440 об/мин. Определить период вращения шкива, на- саженного на вал, угловую и линейную скорость точек на его ободе, если диа- метр шкива 0,4 м. Дано: ν = 1440 об/мин = 24 об/с, d = 0,4 м. Найти: T, ω, υ . Период вращения определяется по формуле 1 1 T= , T= = 0,042 с. ν 24 c −1 Угловая скорость равна ω = 2πν, ω = 2⋅3,14⋅24 с-1 = 151 рад/с. Определим линейную скорость точек на ободе ω ⋅d 151 c −1 ⋅ 0.4 м υ= , υ= = 30,2 м/с ≈ 30 м/с. 2 2 Ответ: T = 0,042 с, ω = 151 рад/с, υ ≈ 30 м/с. 16. Какова частота, период и угловая скорость вращения колеса ветродви- гателя, если за 2 мин колесо сделало 50 оборотов? На какой угол повернется ветродвигатель? Дано: t = 2 мин, N = 50 об. Найти: ν, Т, ω, ϕ. N 50 ν= = = 0,42 об/с . t 2 ⋅ 60 c t 2 ⋅ 60 c T= = = 2,4 с. N 50 1 ω = 2πν = 2⋅ 3,14⋅0,42 = 2,6 рад/с. с ϕ = ω t = ω TN = 2,6 рад/с⋅2,4с⋅50 = 312 рад Ответ: ν = 0,42 об/с, Т = 2,4 с, ω = 2,6 рад/с, ϕ = 312 рад. 13

More Related Content

примеры решения задач

  • 1. Примеры решения задач. 1. По двум параллельным путям в одном направлении идут товарный поезд длиной L1 = 630 м со скоростью υ1 = 48,6 км/ч и электропоезд длиной L2=120 м со скоростью υ 2 = 102,6 км/ч. В течение какого времени электро- поезд будет обгонять товарный? Дано: L1 = 630 м, υ1 =48,6 км/ч=13,5 м/с, L2 = 120 м, υ 2 =102,6 км/ч=28,5 м/с. Найти: t. Обгон начинается, когда координаты конца товарного поезда и начала электропоезда одинаковы, а заканчивается, когда одинаковы координаты конца электропоезда и начала товарного (рис.1.4). Обозна- Рис.1.4 чим путь, пройденный товарным поездом за время обгона, s1, а путь электро- поезда - s2. s2 = s1 + L1 +L2 (1) Движение поездов равномерное, поэтому s1 = υ1 t ; s2 = υ 2 t . Подставив s1 и s2 в уравнение (1), получим L+L 630 м + 120 м t= 1 2 = = 50 с . υ 2 − υ1 28,5 м/с − 13,5 м/с Ответ: t = 50 c. 2. Из пункта А и В, расстояние между которыми 120 км, навстречу друг другу выехали два автобуса. Первый автобус выехал в 9 ч, а второй - в 9 ч 30 мин утра. Первый автобус двигался со скоростью 40 км/ч, а второй - со скоростью 60 км/ч. Найти, где и когда встретятся автобусы. Дано: s = 120 км, υ 1 = 40 км/ч, υ 2 = 60 км/ч, t01 = 9 ч, t02 = 9 ч 30 мин. Найти: t, s1, s2. Рис.1.5 C - место встречи автобусов (см. рис.1.5). 5
  • 2. Из рисунка 1.5 следует, s = s1 + s2. (1) Автобусы движутся равномерно s1 = υ1 t ; s2 = υ 2 t . (2) Второй автобус выехал на Δ t = t 02 − t01 = 0,5 ч позднее первого. Поэтому t 2 = t1 − Δ t . (3) Подставим выражения (2) и (3) в (1): s = υ1 t1 + υ 2 (t1 − Δ t). (4) Решая уравнение (4), найдем t1: s = υ1 t1 + υ 2 t1 − υ 2 Δ t, s + υ 2 Δ t = ( υ1 + υ 2 )t1 ; s+ υ 2Δ t 120 км + 60 км/ч ⋅ 0,5 ч t1 = ; t1 = = 1,5 ч. υ1 + υ 2 (40 + 60) км/ч Время встречи t = 9 ч +1,5 ч = 10 ч 30 мин. Используя (2) и (1), найдем расстоя- ния s1 и s2: s1 = 40 км/ч⋅1,5 ч = 60 км; s2 = s − s1 = 120 км − 60 км = 60 км. Ответ: t = 10 ч 30 мин, s1 = 60 км, s2 = 60 км. 3. С какой скоростью и по какому курсу должен лететь самолет, чтобы за 2 ч пролететь на север 300 км, если во время полета ветер дует на юго-восток под углом 30° к меридиану со скоростью 27 км/ч? Дано: s = 300 км = 3⋅105 м, t = 2 ч = 7200 с, α = 30°, υ 2 = 27 км/ч =7,5 м/с. Найти: υ , ϕ. Скорость движения самолета относительно земли равна векторной сумме скорости самолета относительно воз- духа и скорости ветра (рис.1.6):    υ1 = υ + υ 2 . Модуль скорости υ находится по теореме косину- сов: 2 2 υ = υ1 + υ 2 − 2υ1υ 2 cosα1 . s 3 ⋅ 105 м υ1 = = = 41,7 м/с . t 7200 с Вычислим скорость υ : υ = 41,7 2 м 2 /с 2 + 7,5 2 м 2 /с 2 + 2 ⋅ 41,7 ⋅ 7,5 ⋅ 0,866 м 2 /с 2 = =48,3 м/с. Рис.1.6 Чтобы найти курс самолета, найдем сначала cosϕ . υ + υ 2 cos α 41,7 м/с + 7,5 м/с ⋅ 0,866 cos ϕ = 1 = = 0,9978 υ 48,3 м/с Тогда ϕ = 4°. Ответ: 48,3 м/с, 4°. 6
  • 3. 4. Автомобиль приближается к мосту со скоростью 60 км/ч. У моста ви- сит дорожный знак, ограничивающий скорость до 10 км/ч. За 7,0 с до въезда на мост водитель нажал на тормозную педаль, сообщив автомобилю ускорение 2,0 м/с2. С разрешенной ли скоростью автомобиль въехал на мост? Дано: υ 0 = 60 км/ч, t = 7,0 c, a = 2,0 м/с2 , υ = 10 км/ч. Найти: υ к. Переведем скорости в м/с: км 60 ⋅ 103 м м км м υ 0 = 60 = = 16,7 ; υ = 10 = 2,8 . ч 3600 с с ч с Автомобиль тормозит - движение равнозамедленное υк = υ 0 − at , υ к = 16,7 м/с − 2,0 м/с 2 ⋅ 7,0 с = 2,7 м/с, υ к = 2,7 м/с < 2,8 м/с = υ . Ответ: скорость 60 км/ч допустима. 5. Космическая ракета разгоняется из состояния покоя и, пройдя путь 200 км, достигает скорости 11 км/с. С каким ускорением она двигалась? Каково время разгона? Дано: s = 200 км, υ = 11 км/с, υ 0 = 0. Найти: a, t. Движение прямолинейное равноускоренное 3 2 υ 2 =2as, a = υ , a = (11 ⋅ 10 м/с) ≈ 302,5 м/с 2 ≈ 3,0 ⋅ 10 2 м/с 2 , 2 2s 2 ⋅ 200 ⋅ 103 м υ 11 ⋅ 103 м/с υ = at, t = , t= = 36,7 с ≈ 37 с . a 3,0 ⋅ 10 2 м/с 2 Ответ: а = 3,0⋅102 м/с2, t ≈ 37 c. 6. Спустя 40 с после отхода теплохода с той же пристани вдогонку за ним был послан глиссер, который двигался все время с ускорением 0,5 м/с2 . Через сколько времени и на каком расстоянии от пристани глиссер догонит теплоход, если теплоход движется равномерно со скоростью 18 км/с? Дано: t01 = 0, υ 1= 18 км/ч =5 м/с, υ 02 = 0, t02 =40 c, a2 = 0,5 м/с2. Найти: t2, s. Обозначим путь, пройденный теплоходом и глиссером, s, скорость и вре- мя движения теплохода υ 1 и t1, ускорение и время движения глиссера а2 и t2. Теплоход движется равномерно: s = υ1 t1 . (1) Глиссер движется ускоренно с начальной скоростью υ 02 = 0: 2 a2t 2 s= . (2) 2 Глиссер отошел от пристани на 40 с позже теплохода: t2 = t1 − t02. (3) Используя (1), (2) и (3), получим 7
  • 4. 2 2 a 2t 2 a2 t 2 υ1(t 2 + t 02 ) = , − υ1 t 2 − υ1 t 02 = 0. (4) 2 2 Подставим в (4) значения а2, υ 1 и t02 и решим квадратное уравнение 0,5t 2 − 2⋅5t2−2⋅5⋅40=0; t 2 − 20t2 − 800 = 0; 2 2 t 2 = 10 ± 100 + 800 = (10 ± 30) c; t2 = 40 c; s = 5 м/с⋅80 c = 400 м. Ответ: t2 = 40 c, s = 400 м. 7. Первый вагон поезда прошел мимо наблюдателя, стоящего на платфор- ме, за t1= 1 с, а второй за t2 = 1,5 с. Длина вагона 12 м. Найти ускорение поезда и его скорость в начале наблюдения. Движение поезда считать равноперемен- ным. Дано: t1= 1 с, t2 = 1,5 с, l = 12 м. Найти: а, υ 0. При равнопеременном движении поезда путь, равный длине первого ва- гона, и путь, равный длине двух вагонов, определяется по формулам: 2 at1 a(t1 + t 2 )2 l = υ 0 t1 + , 2 l = υ 0 (t1 + t 2 ) + . 2 2 Найдем из первого уравнения υ 0, подставим это выражение во второе уравне- ние: l at1  l at1  a (t1 + t 2 ) 2 υ0= − ; 2l =  − t ( t1 + t 2 ) + . t1 2  1 2   2 После преобразований уравнения, получим 2 2 2l(t1 - t2) = a (t1 ⋅ t 2 + t1⋅ t 2 ) = at1t 2 (t1 + t 2 ). Найдем ускорение 2 l(t1 − t 2 ) a= . t1t 2 (t1 + t 2 ) Вычислим а: 2 ⋅ 12 м(1 с − 1,5 с) a= = −3,2 м/с 2 . 1с ⋅ 1,5 с(1 с + 1,5 с) Вычислим υ 0: 2 υ 0 = 12 м + (3,2 м/с ) ⋅ 1с = 13,6 м/с. 1с 2 2 υ Ответ: а = − 3,2 м/с , 0 = 13,6 м/с. Можно привести упрощенное решение. Из условия задачи видно, что движение поезда равнозамедленное. Следователь- но, 2 at1 a(t1 + t 2 )2 l = υ 0 t1 − , 2 l = υ 0 (t1 + t 2 ) − . 2 2 Подставим числовые значения пути и времени в эти формулы: 12 = υ 0 − a/ 2 ; 24 = 2,5υ 0 − 6,25a/2. Умножим оба уравнения на 2: 24 = 2υ 0 − a; 48 = 5υ 0 − 6,25a. 8
  • 5. Найдем ускорение а из первого уравнения и подставим во второе: a = 2υ 0 − 24; 48 = 5υ 0 − 6,25(2υ 0 − 24). Вычислим скорость: 7,5υ 0 = 102; υ 0 = 102/7,5 = 13,6 м/с. Вычислим ускорение: а = 2⋅13,6 − 24 = 3,2 м/с2. Отрицательный знак ускорения учтен при составлении исходных уравнений. 8. Тело свободно падает с высоты 80 м. Каково его перемещение в по- следнюю секунду падения? Дано: h = 80 м; t1 = 1 c (последняя); υ 0 = 0. Найти: h1 Из рисунка 1.7 следует: h1 = h − h2. Обозначим время движения тела t, время прохождения им пути h2 через gt 2 g(t − t1 )2 (t − t1). Тогда h = ; h2 = . Отсюда 2 2 gt 2 g(t − t1 )2 gt 2 gt 2 2 gtt1 gt1 2 gt 2 h1 = − = − + − = gtt1 − 1 . 2 2 2 2 2 2 2 2h gt 2 Найдем время t = . Тогда h1 = 2 hg t1 − 1 . g 2 9,8 м/с ⋅ 1 с 2 Рис.1.7 h1 = 2 ⋅ 80 м ⋅ 9,8 м/с ⋅ 1 с − = 35 м 2 Ответ: h1= 35 м. 9. Из вертолета, равномерно поднимающегося вверх со скоростью 4 м/с, на высоте 200 м вертикально вверх брошено тело со скоростью 10 м/с относи- тельно вертолета. Определить, через сколько времени и на какой высоте от Зем- ли встретятся вертолет и брошенное тело (см. рис. 1.8). Дано: υ 1 = 4 м/с, Н = 200 м, υ 2 = 10 м/с. Найти: t, H1 Тело, брошенное вертикально вверх, относительно Земли будет иметь скорость υ 0 равную: υ 0 = υ 1 + υ 2. Тело движется вверх, пока его скорость не станет равной нулю. Высоту, на ко- торую поднимется тело, обозначим h1: υ2 . h1 = 0 2g Время подъема тела найдем из формулы υ 0 = gt1: υ t1 = 0 . g После этого тело падает и до встречи с вертолетом пройдет путь h2: g(t −t 1)2 h2 = , 2 9
  • 6. Рис.1.8 t - время подъема вертолета после бросания тела до встречи с ним. Вертолет за это время поднимется на высоту h3 = υ 1t . Из рисунка 1.8 видно, что h1 = h2 + h3. Подставим выражение для h1, t1, h2 и h3 в это уравнение ( υ1 + υ 2 )2 g(t − ( υ1 + υ 2 ) /g)2 = + υ1 t . 2g 2 Подставим в полученное уравнение числовые значения известных величин и найдем время: 14 2 10 14 = (t − ) 2 + 4 t ; 2 ⋅ 10 2 10 9,8 = 5t − 14t + 9,8 + 4t; 2 5t2 − 10t = 0;t = 2 c. Найдем высоту, на которой вертолет встретится с телом. Из рисунка 1.8 следу- ет: H1 = H + h3 = H + υ 1t. Вычислим H1 : H1 = 200 м + 4 м/с⋅2 с = 208 м. Ответ: 2 с, 208 м. 10. С самолета, летящего горизонтально на высоте 500 м с постоянной скоростью 300 м/с, сбрасывается бомба на неподвижную цель. На каком рассто- янии по горизонтали до цели должна быть сброшена бомба, чтобы она попала в цель? Дано: Н = 500 м, υ = 300 м/с, g = 10 м/с2. Найти: s. В горизонтальном направлении движение бомбы равномерное (рис.1.9): s = υ t. В вертикальном направлении дви- жение бомбы равноускоренное: gt 2 H= . 2 Рис. 1.9 Зная, что время движения в обоих направлениях одно и то же, найдем время, а затем расстояние s: 2H 2H 2 ⋅ 500 м t= ; s=υ ; s = 300 м/с = 3000 м = 3,0 км . g g 10 м/с 2 Ответ: 3,0 км. 11. Камень, брошенный под углом 30° к горизонту, дважды был на одной и той же высоте h, спустя 3 и 5 с после начала движения. Определить началь- ную скорость камня и высоту h. Дано: α0 = 30°, t1 = 3 c, t2 = 5 c. Найти: υ 0, h. На одной и той же высоте камень находится дважды: на подъеме и спуске (рис.1.10), поэтому время подъема найдем по формуле: 10
  • 7. t1 + t 2 3 c + 5 c t= = = 4 c. 2 2 В верхней точке траектории вертикальная скорость равна нулю, поэтому на- чальную вертикальную скорость найдем из соотношения: υ во =gt . Зная эту ско- рость, найдем начальную скорость камня υ 0: υ во = υ 0sinα. Итак, gt υ 0= ; sinα 10 м/с 2 ⋅ 4 с υ0= = 80 м/с. 0,5 Определим h: h=υ воt1− g t1 / 2 = 2 2 t1 = gtt1 − gt1 /2 = gt1(t − ). 2 Рис. 1.10 Вычислим h: 3c h = 10 м/с2 ⋅ 3 c(4 c − ) = 75 м . 2 Ответ: 80 м/с, 75 м. 12. Вертолет летит горизонтально со скоростью 180 км/ч на высоте 500 м. С вертолета нужно сбросить вымпел на теплоход, движущийся встречным кур- сом со скоростью 24 км/ч. На каком расстоянии от теплохода летчик должен сбросить вымпел? Дано: υ 1 = 180 км/ч = 50м/с; Н = 500 м; υ 2 = 24 км/ч= 6,67 м/с. Найти: s. Рис.1.11 Траектория вымпела - парабола (рис.1.11). s1 - расстояние, пройденное вымпелом в горизонтальном направлении, s2 - путь, пройденный теплоходом. s = s1 + s2. (1) Движение вымпела в горизонтальном направлении равномерное, в вертикаль- ном направлении равноускоренное (на вымпел действует постоянная сила тяже- сти) gt 2 s1 = υ 1t; H = . (2) 2 Время движения вымпела в вертикальном и горизонтальном направле- нии, а также время движения теплохода одно и то же. 11
  • 8. s2 = υ 2t. (3) Из (2) следует 2H 2 ⋅ 500м t= = ≈ 10 с . g 9,8 м/с 2 Используя (1), (2) и (3), найдем s: s = υ 1t + υ 2t = (υ 1 + υ 2) t; s = (50 + 6,7) м/с⋅10 с = 567 м ≈ 570 м. Ответ: s ≈ 570 м. 13. При постоянной скорости 900 км/ч самолет описывает вертикальную петлю. При каком радиусе петли (в км) центростремительное ускорение не пре- высит 5 g? Дано: υ = 900 км/ч; ац = 5g. Найти: R. υ2 υ2 υ2 ац = ; R= = ; R aц 5g (250 м/с) 2 R= = 1250 м = 1,25 км . 5 ⋅ 9,8 м/с 2 Ответ: R = 1,25 км. 14. Определить центростремительное ускорение точек земной поверхно- сти на широте 45°, вызванное суточным вращением Земли. Дано: R = 6,37⋅106 м; Т = 24 ч = 8,64⋅104 с; ϕ = 45°. Найти: ац Центростремительное ускорение определяется по формуле ац = ω2r, где ω - угловая скорость точек земной поверхности, ω = 2π/T; r - радиус окружности, по которой движется точка (рис.1.12), r = Rcosϕ ; ϕ - широта местности; R - радиус Зем- ли. Следовательно, ац = 4π2 Rcosϕ /T 2; 4 ⋅ 3,14 2 ⋅ 6,37 ⋅ 10 6 м ⋅ 0,7 ац = 4 2 2 = 0,034 м/с 2 . (8,64 ⋅ 10 ) с 2 Ответ: ац = 0,034 м/с . Рис. 1.12 12
  • 9. 15. Вал совершает 1440 об/мин. Определить период вращения шкива, на- саженного на вал, угловую и линейную скорость точек на его ободе, если диа- метр шкива 0,4 м. Дано: ν = 1440 об/мин = 24 об/с, d = 0,4 м. Найти: T, ω, υ . Период вращения определяется по формуле 1 1 T= , T= = 0,042 с. ν 24 c −1 Угловая скорость равна ω = 2πν, ω = 2⋅3,14⋅24 с-1 = 151 рад/с. Определим линейную скорость точек на ободе ω ⋅d 151 c −1 ⋅ 0.4 м υ= , υ= = 30,2 м/с ≈ 30 м/с. 2 2 Ответ: T = 0,042 с, ω = 151 рад/с, υ ≈ 30 м/с. 16. Какова частота, период и угловая скорость вращения колеса ветродви- гателя, если за 2 мин колесо сделало 50 оборотов? На какой угол повернется ветродвигатель? Дано: t = 2 мин, N = 50 об. Найти: ν, Т, ω, ϕ. N 50 ν= = = 0,42 об/с . t 2 ⋅ 60 c t 2 ⋅ 60 c T= = = 2,4 с. N 50 1 ω = 2πν = 2⋅ 3,14⋅0,42 = 2,6 рад/с. с ϕ = ω t = ω TN = 2,6 рад/с⋅2,4с⋅50 = 312 рад Ответ: ν = 0,42 об/с, Т = 2,4 с, ω = 2,6 рад/с, ϕ = 312 рад. 13