�ݺ�ߣ

• Beberapa kasus yang akan lebih mudah penyelesaiannya dengan
menggunakan koordinat tabung dan bola
• Sebagai contoh, persoalan kabel yang menggunakan koordinat silindris
dan persoalan antena yang memiliki penyelesaian menggunakan koordinat
bola.
• Ilustrasi :
Titik P dapat digambarkan dalam 3 buah koordinat
Koordinat cartesian = (x, y, z)
Koordinat silindris = (ρ, , z )
Koordinat bola = (r,,)
Sistem koordinat

Pendefinisian Variabel-Variabel Koordinat dalam
Tiga Sistem Koordinat
Bentuk komponen dari sebuah vektor dalam ketiga sistem
koordinat :
A = Axax + Ayay + Azaz (Cartesian)
A = Aρaρ + Aa + Azaz (Silindris)
A = Arar + Aa + Aa(Bola)

Z
Y
X
x
y
z
A (x, y, z)
Z
X
z
Yρ
Z
X
z

Y
r

A (r, φ, z)A (ρ, , z) A (r, ,θ)

Arah vektor satuan untuk tiga sistem
koordinat
Masing-masing vektor satuan adalah normal terhadap bidang
permukaan koordinatnya dan memiliki arah di mana
koordinatnya bertambah.
Semua sistem merupakan sistem tangan kanan:
ax x aY = aZ aρx a = az ar x a = a

Koordinat cartesian – koordinat silinder
Transformasi Koordinat Cartesian - Silinder
vektor dalam Cartesian :
A = Axax + Ayay + Azaz
Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z;
vektor dalam Silinder :
z
a
z
AaAaAA 

Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, θ dan z;
Maka komponen variabel koordinat cartesian (x,y,z) dapat ditransformasi
ke koordinat silinder (ρ, θ,z) atau sebaliknya dengan persamaan:
cartesian ⇨silinder silinder ⇨cartesian

Sedangkan komponen vektor dapat ditransformasikan dengn menggunakan
tabel perkalian titik sebagai berikut:
aρ aΦ az
ax. cos Φ -sin Φ 0
ay. Sin Φ cos Φ 0
az. 0 0 1
Aρ = (Axax + Ayay + Azaz) • aρ
AΦ = (Axax + Ayay + Azaz)• aΦ
Az = (Axax + Ayay + Azaz) • az

��ǲԳٴǳ��ǲ��1:

Transformasi koordinat cartesian - bola
Koordinat cartesian – koordinat bola
vektor dalam Cartesian :
A = Axax + Ayay + Azaz
Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z;
vektor dalam Silinder :

aAaArarAA 
Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, θ dan z;
Maka komponen variabel koordinat cartesian (x,y,z) dapat
ditransformasi ke koordinat bola (r, θ,z) atau sebaliknya dengan
persamaan:
cartesian ⇨ bola bola ⇨ cartesian

Dengan cara yang sama maka transformasi komponen vektor dapat
dilakukan dengan perkalian titik seperti pada tabel berikut:
ar a az
ax. Sin θ Cos Cos θ Cos -Sin
ay. Cos θ Sin Cos
az. Cos θ -Sin θ 0


 
 
Ar = (Axax + Ayay + Azaz) • ar
A = (Axax + Ayay + Azaz)• a
A θ = (Axax + Ayay + Azaz) • a θ
Sin θ sin


��ǲԳٴǳ��ǲ��2:

Diferensial volume pada tiga sistem koordinat
Sebagai contoh, dalam koordinat bola, elemen diferensial permukaan yang tegak
terhadap ar adalah,
dS = (r d)(r sin d) = r2 sin d
Elemen diferensial garis, dl, adalah diagonal melalui P. Jadi,
dl2 = dx2 + dy2 + dz2 (Cartesian)
d12 = dr2 + r2d2 + dz2 (Silindris)
d12 = dr2 + r2d2 + r2 sin2  d2 (Bola)

Hitunglah jarak antara (5,3/2,0) dan (5,/2,10) dalam koordinat
silindris!
Penyelesaian :
Pertama carilah posisi Cartesian dari vektor A dan b
Panda gambar diperoleh
:
A = -5ay,
B = 5ay + 10az
Contoh Soal 3
Selanjutnya, B – A = 10ay + 10az, dan jarak ekuivalen
antara kedua titik
210||  AB

Gunakanlah sistem koordinat bola untuk memperoleh luas area dari
sebuah lembaran tipis    pada selubung bola dengan jari‐jari r = r  (
Gambar 1‐9).
Berapakah luas area yang diperoleh jika  = 0 dan  = ?
Penyelesaian :
Diferensial elemen permukaan adalah
[ lihat Gambar diferensial volume pada tiga sistem koordinat Bola ]
dS = r02 sin  d d
Selanjutnya,
  
 


2
0
2
0
2
0 )cos(cos2sin rddrA
sehingga saat  = 0 dan  = , A = 4r02, yang merupakan luas permukaan bola.
Contoh Soal 4

�ݺ�ߣ

sistem koordinat vektor (kartesian, silindris, bola)

More Related Content

sistem koordinat vektor (kartesian, silindris, bola)