Modul 4 5 kalkulus-ekstensi
•Download as DOC, PDF•
2 likes•2,870 views
Modul ini membahas tentang derivatif fungsi aljabar, implisit, dan trigonometri. Terdapat rumus-rumus dasar untuk menghitung derivatif berbagai fungsi termasuk contoh soalnya."
Modul 4 5 kalkulus-ekstensi
- 1. MODUL 4 DERIVATIVE Oleh: Muchammad Abrori A. Pengertian Derivative Diberikan fungsi y = f(x). Harga fungsi di titik x adalah f(x) sedangkan harga fungsi di titik (x + x) adalah : f(x + x), dengan x dimaksud penambahan perubah x. Untuk setiap penambahan x diperoleh penambahan y sedemikian, hingga : y+ y = f(x + x) y = f(x) - y = f(x + x) – f(x) y f (x x) f ( x) Dipandang untuk : = x x y Kemudian harga diambil limitnya untuk x 0, diperoleh : x Limit y Limit f ( x x) f ( x) = x 0 x x 0 x Limit y Jika = ada dikatakan bahwa fungsi f(x) mempunyai turunan pertama x 0 x dy df ( x) (derivative pertama) di titik x, dengan simbol atau dx dx atau y atau f (x) atau Dxf dan seterusnya. d2y d 2 f ( x) atau atau y atau f (x) atau dxxf disebut : Turunan kedua fungsi f(x) di dx 2 dx 2 titik x. Setiap fungsi f(x) yang mempunyai turunan di titik x disebut differensibel (differentiabel) di titik x. dy Lambang sebagai notasi turunan diperkenalkan pertama kali oleh matematikawan dx German Goltfried Wilhelm Leibnir (1646 – 1716) sedangkan notasi f diperkenalkan oleh matematikawan Perancis Joseph Louis Lagrange (1736 – 1813). 1
- 2. Beberapa contoh soal : 1. Carilah turunan pertama dari fungsi f(x) = x2 + 1 2. Carilah turunan pertama fungsi f(x) = x di x = 2 Limit f ( x x) f ( x) Pada perhitungan , apabila diadakan substitusi x = h maka x 0 x untuk x 0 mengakibatkan h 0, sehingga : Limit f ( x x) f ( x) Limit f ( x h) f ( x) = x 0 x h 0 h Perhitungan-perhitungan secara definisi, jarang kita jumpai oleh sebab itu lebih baik langsung menggunakan rumus-rumus hitung differensial (rumus derivative) yang ada. B. Penafsiran Derivative Secara Ilmu Ukur Diberikan fungsi y = f(x). Ditinjau dua titik P(x,y) dan Q(x + x, y y ), selisih absis kedua titik = x dan selisih kedua ordinatnya = y , titik P dianggap tetap. y 0 x y f (x x) f ( x) Dipandang bentuk = = tg x x Apabila titik Q bergerak menuju titik P, maka x 0 dan y 0 , sehingga sudut mendekati dan : Limit y Limit f ( x x) f ( x) f (x) = = = x 0 x x 0 x 2
- 3. Limit f ( x x) f ( x) = = tg x 0 x Berarti bahwa f (x) adalah menunjukkan besarnya koefisien arah (tangen arah) garis singgung kurva y = f (x) di titik P. Dan garis singgung kurva y = f(x) di titik P(a, b) adalah: y – b = f (a).(x – a). Selain turunan pertama diartikan sebagai besarnya koefisien arah garis singgung pada suatu kurva y = f(x) di titik x, maka turunan pertama dapat juga diartikan sebagai besarnya kecepatan sesaat pada suatu gerakan. Perhatikan ilustrasi sebagai berikut: Misalkan kita mengendarai sebuah mobil dari kota A ke kota B yang jaraknya 80 km dalam waktu 2 jam, maka kecepatan rata-rata adalah 40 km/jam, artinya kecepatan rata-rata adalah selisih jarak dibagi waktu atau jarak antara posisi tempat A dengan tempat B dibagi waktu. selisih jarak V= waktu Contoh lain apabila sebuah benda P dijatuhkan dari suatu ketinggian dengan benda P jatuh sejauh 16 t2 meter setelah t detik atau dalam fungsi dapat dirumuskan sebagai S(t)_=_16 t2, t 0. Pada detik pertama benda jatuh sejauh S(1) = 16 meter dan pada detik kedua benda jatuh sejauh S(2) = 64 meter, sehingga kecepatan rata-rata jatuhnya benda dari t1 = 1 detik sampai t2 = 2 detik adalah S (t2 ) S (t1 ) V= t2 t1 64 16 = = 48 meter/detik 2 1 Sedangkan kecepatan antara t = 1 s/d t = 1,5 adalah S (1,5) S (1) 20 V= 40 meter/detik 1,5 1 0,5 Dan kecepatan antara t = 1 s/d t = 1,1 adalah S (1,1) S (1) 3,36 V= 33,6 meter/detik 1,1 1 0,1 Adapun kecepatan antara t = 1 s/d t = 1,01 adalah 3
- 4. S (1,01) S (1) 0,3216 V= 32 ,16 meter/detik 1,01 1 0,01 Dari hasil perhitungan itu, maka semakin pendek selang waktu yang digunakan, maka semakin baik hampiran kecepatan yang benar pada saat t = 1, dan yang paling ideal adalah selang waktu t 0. Sehingga kecepatan rata-rata pada saat t = 1 adalah : Limit S (1 t ) S (1) V= t 0 t Limit 16 (1 t ) 2 16 = t 0 t Limit 16 32 t ( t ) 2 16 = t 0 t Limit = (32 + t ) = 32 meter/detik t 0 Dengan demikian kita dapat mendefinisikan kecepatan sesaat V pada saat t yaitu : Limit S (t t ) S (t ) V= t 0 t Teorema: Apabila f (a) ada maka f(x) kotinu di x = a Bukti: Untuk membuktikan bahwa f(x) kontinu di x = a maka diperlihatkan Limit f(x) = f(a) x a f ( x) f ( a ) Perhatikan bahwa: f(x) = f(a) + ( x a) x a Limit Limit f ( x) f (a) Sehingga f(x) = f (a) ( x a) x a x a x a Limit Limit f ( x) f (a) Limit = f(a) + ( x a) x a x a x a x a = f(a) + f (a).0 = f(a) Terbukti f(x) kontinu di x = a 4
- 5. Teorema itu tidak dapat dibalik yaitu apabila f(x) kontinu di x = a maka belum tentu f (a) ada atau f(x) diferensial di x = a. Untuk membuktikan hal ini diperlihatkan sebuah contoh : y f(x) = -x f(x) = x x x untuk x 0 Diambil fungsi: f(x) = x = x untuk x 0 Limit Fungsi f(x) = x adalah kontinu di x = 0 sebab f(x) = 0 namun dapat diperlihatkan x 0 bahwa f(x) tidak diferensibel di x = 0 sebab : Limit f ( x) f (0) Limit x 0 Limit x f (0) = x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x dan f (0) tidak ada sebab. Limit x Limit x 1 x 0 x x 0 x Sedangkan: Limit x Limit x 1 x 0 x x 0 x Dengan demikian f (0) tidak ada atau f(x) tidak diferensiabel di x = 0. 5
- 6. MODUL 5 DERIVATIVE FUNGSI ALJABAR, IMPLISIT DAN TRIGONOMETRI Oleh: Muchammad Abrori A. Derivative Fungsi Aljabar Selain fungsi transenden (fungsi eksponen, fungsi logaritma, fungsi trigonometri, fungsi hiperbolik) disebut fungsi aljabar. Beberapa contoh fungsi aljabar : 1. f(x) = 5x2 + x + 3 2. f(x) = 9 (x2 - 1)2 3. f(x) = x x2 x 4. f(x) = (x + 1) (x3 – 5)-2 x 3 5. f(x) = x2 4 Rumus-rumus: U, V, W, …. dimaksudkan fungsi-fungsi dari x yang differensiabel. dy 1. y = C, c = konstan 0 dx dy 2. y = x 1 dx dy 3. y = xn n.x n 1 dx dy dU dV dW 4. y = U + V + W + ….. ..... dx dx dx dx dy dU 5. y = c . U, c = konstan c dx dx dy dV dU 6. y = U . V U V dx dx dx dy dW dV dU 7. y = U . V . W UV UW VW dx dx dx dx 6
- 7. dU dV V U U dy dx dx 8. y = V dx V2 dy dU 9. y = Un n Un 1 dx dx dy dy dU 10. y = f(U), U = g(x) dx dU dx dy dikatakan turunan pertama dari y = f(x). dx dy Pada umumnya merupakan fungsi dari x lagi, maka jika : dx dy d dy d2y didefferensial diperoleh: dikatakan turunan kedua, dan seterusnya dx dx dx dx 2 sampai: dny dikatakan turunan ke n. dx n Beberapa contoh soal : dy 1. y = xn, tentukan dx dy 2. y = U + V, tentukan dx dy 3. y = U . V, tentukan dx U dy 4. y = , tentukan V dx dy 5. y = Un, tentukan dx dy 6. y = f(U), U = g(x), tentukan dx dy 7. y = x3 – 3x2 + 2x – 5, tentukan dx x2 x dy 8. y = 3 , tentukan x 1 dx 7
- 8. dy 9. y = (3x4 + 6x2 + 1)7, tentukan dx dy 10. y = x2 6x 3 , tentukan dx x2 dy 11. y = , tentukan 4 x 2 dx x2 1 dy 12. y = 3 2 , tentukan x 1 dx dy 13. x = 3 1 y 2 y 4 , tentukan dx 1 x 1 x dy 14. y = , tentukan di mana –1 x 1 1 x 1 x dx 2 dny 15. y = , tentukan 1 x dx n B. Derivative Fungsi Implisit Bentuk-bentuk fungsi y = f (x) disebut fungsi eksplisit, sedangkan bentuk fungsi f(x,y)_=_0 yang kadang-kadang sukar dibawa bentuk eksplisit disebut fungsi implisit. Sebagai contoh diberikan fungsi implisit: x3 + xy + y3 = 0, kemudian akan dicari turunan pertamanya. Demikian: x3 + xy + y3 = 0 dy dy 3x2 + y + x . + 3y2 . =0 dx dx dy (x + 3y2) . = - (3x2 + y) dx dy 3x 2 y =- dx x 3y2 Derivative fungsi implisit akan lebih mudah jika kita menggunakan derivative total yaitu: f(x,y) = 0 f ( x, y ) f ( x, y ) dx dy 0 x y 8
- 9. f ( x, y ) dy x =- dx f ( x, y ) y f =- x f y Beberapa contoh soal: dy 1. Carilah dari x3 + xy + y3 = 0 dx dy 2. x3 + 2x2y + 4xy2 + 8y3 = 40, tentukan dx 3. Tentukan koefisien garis singgung lingkaran x2 + y2 = 4 dititik (1, 3 ), kemudian tulislah persamaan garis singgung tersebut dy 4. x = 3 1 y 2 y 4 , tentukan dx 5. Diberikan fungsi xy = 1 dy Carilah : a. di (1, 1) dx d2y b. di (1 ,1) dx 2 c. Persamaan garis singgung melalui (1, 1) d. Persamaan garis normal melalui (1, 1) C. Derivative Fungsi Trigonometri Diberikan y = sin u dengan u fungsi dari x y+ y = sin (u + u) y = sin u y = sin (u + u ) – sin u 1 1 = 2 cos (u + u + u) . sin (u + u + u) 2 2 9
- 10. 1 1 = 2 cos (2u + u) . sin u 2 2 1 1 2 cos (2u u ) sin u dy Limit y Limit 2 2 = dx x 0 x x 0 x u sin Limit u Limit 2 Limit u = cos(u ) u 0 2 u 0 u x 0 x 2 du = cos u . dx Rumus-rumus : dy du 1. y = sin u = cos u . dx dx dy du 2. y = cos u = - sin u . dx dx dy du 3. y = tg u = sec2u . dx dx dy du 4. y = ctg u = - cosec2u . dx dx dy du 5. y = sec u = sec u . tg u . dx dx dy du 6. y = cosec u = - cosec u . cotg u . dx dx Beberapa contoh soal: dy 1. y = sin 4x + cos 2x, tentukan dx dy 2. y = ctg (2 – x3), tentukan dx dy 3. y = tg3 (x2 – 2), tentukan dx 10
- 11. dy 4. y = cosec x . ctg (2x – 3), tentukan dx dy 5. y = 2 tg x . sin 2x, tentukan dx 1 dy 6. y = 23 ,tentukan (sec 2 x 1) dx dy 7. y cos x = sin (x – y), tentukan dx 8. Jika y = A sin kx + B cos kx, dengan A, B dan k konstan perlihatkan bahwa: d2y 2 d2y a. k y b. ( 1) k 2 n y dx 2 dx 2 dny 9. Hitung , jika y = cos x dx n 11