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상관 분석
윤 정 훈

들어가기
 과학적 실험이나자연 또는 사회현상의 관찰결과에 대한 분석의 중요한 목적 중 하나는
연구대상을 구성하는 변수들 사이의 관계를 규명하는 일이다.
 화학실험에서 실험온도(𝑋)와 화학반응 속도(𝑌) 사이의 관계
 수학능력시험성적(𝑋)과 대학평점(𝑌)과의 관계
 부모의 키(𝑋)와 자녀의 키(𝑌) 사이의 관계
 두 변수 사이의 선형관계가 유의한지, 어느 정도의 선형관계가 존재하는지 등을 상관계수
를 통해 알아볼 수 있다. 이러한 상관계수의 추정과 검정을 상관분석(correlation analysis)
이라고 한다.

산포도
 두 변수 사이의 관계를 살펴보기 위하여 산포도(scatter plot)를 이용한다.
 설명(독립)변수는 𝑥로 표기하고 가로축에 표시
 종속변수는 𝑦로 표기하고 세로축에 표시
중간고사와 기말고사와의 관계를 나타내는 산포도

산포도 예제
① 변수 사이의 관계가 약하면 한 변수
값이 다른 변수 값을 예측하는 데 큰
도움이 안된다.
② 중간고사에서 150점을 받은 학생들의
기말고사 성적은 55점에서 175점 사
이에 분포한다.
중간고사 / 기말고사 성적간 관계가 약한 경우

산포도 예제
① 변수 사이의 관계가 강하면 한 변수
값이 다른 변수 값을 예측하는 데 큰
도움이 된다.
② 중간고사에서 150점을 받은 학생들의
기말고사 성적은 105점에서 175점 사
이에 분포한다.
중간고사 / 기말고사 성적간 관계가 강한 경우

변수간 상관관계
 두 변수간 선형관계의 방향과 강도가 얼마나 되는지 측정할 필요성이 있다.
 공분산
 상관계수

공분산
 두 확률변수 𝑋와 𝑌 사이의 흩어진 관계를 측정하는 통계량으로 공분산을 사용한다.
 확률변수 𝑋의 기대값 : 𝐸 𝑋
 확률변수 𝑌의 기대값 : 𝐸 𝑌
 공분산 : 𝑐𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 = 𝐸 𝑋 − 𝐸 𝑋 𝑌 − 𝐸 𝑌

공분산
𝑐𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 > 0 : 𝑋가 증가할 때 𝑌도 증가한다.
𝑐𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 < 0 : 𝑋가 증가할 때 𝑌도 감소한다.
𝑐𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 = 0 : 𝑋와 𝑌는 독립이다.
𝑐𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 > 0 𝑐𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 < 0 𝑐𝑜𝑣 𝑋, 𝑌 = 0

공분산의 단점
 공분산은 변수의 측정단위(measurement unit)에 의존한다.
 변수 𝑋와 변수 𝑌의 측정단위를 바꾸면 변수 사이의 관계가 변하는 것이 아닌데, 공분산의
값이 변한다.

상관계수
 단위에 의존하지 않도록, 공분산을 두 변수의 표준편차의 곱으로 나누는 것을 상관계수
(correlation coefficient)라 정의하고, 이것을 두 변수 사이의 선형관계를 측정하는 단위로
주로 사용한다.
𝜌 𝑋, 𝑌 =
𝐶𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
𝑆𝐷 𝑋 × 𝑆𝐷(𝑌)
 표준화된 두 변수 사이의 공분산과 동일하다.
 상관계수의 절대값은 1을 넘을 수 없다. −1 ≤ 𝜌 ≤ 1
 확률변수 𝑋, 𝑌가 독립이라면 상관계수는 0이다.
 𝑋, 𝑌가 완전한 선형적 관계라면 상관계수는 1 혹은 -1이다.

상관계수의 유의점
 상관계수의 의미
 상관계수 0.8은 80%의 점들이 선형관계를 이루며 빽빽하게 밀집해 있는 것을 의미하지 않는
다.
 상관계수 0.8은 상관계수 0.4보다 선형관계의 강도가 강하기는 하지만, 정확히 2배가 강하다는
것을 의미하지 않는다.
둘의 상관관계수는 같다.

상관계수의 유의점
 상관계수의 유용성
 이탈값(outlier)가 존재하면 상관계수의 값은 유용하지 않다.
 두 변수간 관계가 비선형인 경우 상관계수의 값은 유용하지 않다.
이탈값 존재 비선형 관계

표본상관계수
 Sample Correlation Coefficient
 크기가 𝑛인 이변량 랜덤표본 (𝑋1, 𝑌1) , 𝑋2, 𝑌2 ,…, (𝑋 𝑛, 𝑌𝑛)에 대한 상관계수 𝑅
𝑅 =
𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖 − 𝑋 (𝑌𝑖 − 𝑌)
𝑛
𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖 − 𝑋 𝑛
2
𝑛 𝑖=1
𝑛 𝑌𝑖 − 𝑌𝑛
2
𝑛
=
𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖 𝑌𝑖
𝑛
− 𝑋 𝑌
𝑖=1
𝑛 𝑋𝑖 − 𝑋 𝑛
2
𝑛 𝑖=1
𝑛 𝑌𝑖 − 𝑌𝑛
2
𝑛

표본상관계수의 분포이론 (피어슨 상관계수)
 랜덤표본 (𝑋1, 𝑌1) , (𝑋2, 𝑌2) ,…, (𝑋 𝑛, 𝑌𝑛) 의 모분포를 모수벡터가 (𝜇 𝑋, 𝜇 𝑌, 𝜎 𝑋
2
, 𝜎 𝑌
2
, 𝜌)인 이변량
정규분포라고 하자. 이 때 𝜌 𝑋, 𝑌 = 0이면 표본상관계수 𝑅의 함수인 통계량 𝑇는 자유도
가 (𝑛 − 2)인 𝑡분포를 따른다.
𝑇 =
𝑅 𝑛 − 2
1 − 𝑅2

상관관계의 가설검정 (𝑯 𝟎 : 𝝆 = 𝟎)
 표본상관계수 𝑅의 함수인 통계량 𝑇는 이변량 정규성하에서 모상관계수에 대한 가설검정
에 사용된다.
 𝐻0 : 𝜌 = 0
 𝐻1 : 𝜌 ≠ 0
 𝑇 ≥ 𝑡 𝛼
2
(𝑛 − 2)가 관측되었을 때 귀무가설을 유의수준 𝛼에서 기각

상관관계의 가설검정 (𝑯 𝟎 : 𝝆 = 𝝆 𝟎)
 𝜌 𝑋, 𝑌 ≠ 0 인 경우 표본상관계수 𝑅의 분포
 𝐻0 : 𝜌 = 𝜌0(≠ 0) 의 귀무가설을 검정할 경우는 근사적인 분포이론을 이용해야 한다.
 𝑍 =
1
2
log
1+𝑅
1−𝑅
통계량은 정규분포를 근사적으로 따른다.
 𝐸 𝑍 =
1
2
log
1+𝜌
1−𝜌
 𝑉𝑎𝑟 𝑍 =
1
𝑛−3
 이것에 근거하여 모상관계수 𝜌에 관한 근사검정법과 근사신뢰구간을 구축한다.

특수한 상관계수 1 (스피어만 순위상관계수)
 변수값이 서열을 나타낼 경우 사용한다.
 두 관측값들의 순위가 𝑎𝑖, 𝑏𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑛 일 때, 스피어만 순위상관계수는 다음과 같다.
𝑟𝑠 = 1 −
6 𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 − 𝑏𝑖
2
𝑛3 − 𝑛
 '두 순위간에는 상관관계가 없다'는 귀무가설 𝐻0: 𝜌 = 0을 검정하기 위한 통계량은 아래와
같다. 검정통계량 𝑇0는 표본의 크기 𝑛 ≥ 10일 때 자유도 𝑛 − 2인 𝑡분포를 근사적으로 따
른다.
𝑇0 = 𝑟𝑠
𝑛 − 2
1 − 𝑟𝑠
2

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0314 2 correlation

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