�ݺ�ߣ

CHƯƠNG 2
2 3 7 1
3 9 2 3
4 5 0
x y z
x y z
x y z
− + =

+ − =
− + − =

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑
∑ §5: Hệ phương trình tuyến tính

TuÊn
∑
 Ví dụ: Cho ��ệ phương trình
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
2 3 5 2
2 3 4 0
3 8 5 3 2
4 2 7 9
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
− + − =
− − + + =

+ − + = −
 − + − =

TuÊn
∑
∑
§5: Hệ phương trình tuyến
tính
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
2 3 5 2 2 3 5 1
2 3 4 0 1 2 3 4
3 8 5 3 2 3 8 5 3
0 4 2 74 2 7 9
x x x x
x x x x
A
x x x x
x x x
− + − = − −  
  − − + + = − −  ↔ =
 + − + = − −
  − −− + − =  

TuÊn
∑
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
2 3 5 2 2
2 3 4 0 0
3 8 5 3 2 2
94 2 7 9
x x x x
x x x x
B
x x x x
x x x
− + − =  
  − − + + =  ↔ =
 + − + = − −
  − + − =  

TuÊn
∑
∑
tính
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
2 3 5 2
2 3 4 0
3 8 5 3 2
4 2 7 9
2 3 5 1 2
1 2 3 4 0
3 8 5 3 2
0 4 2 7 9
bs
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
A
− + − =
− − + + =

+ − + = −
 − + − =
− − 
 − − ↔ =
 − −
 
− − 

TuÊn
∑
∑
tính
 Ví dụ:
2 7 1 9
3 1 4 0
5 9 2 5
x
y
z
     
     − =     
          
2 7 9
3 4 0
5 9 2 5
x y z
x y z
x y z
+ + =

⇔ − + =
 + + =

TuÊn
∑
∑ §5: Hệ Grame

TuÊn
∑
∑ §5: Hệ Grame
 Ví dụ: Giải ��ệ phương trình tuyến tính sau:

TuÊn
∑
∑ §5: Hệ Grame
 Bài tập: Giải ��ệ phương trình sau:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 1
2 3 5
3 2 1
x x x
x x x
x x x
− + =

+ − =
 − + =
1 1 2
2 1 3
3 2 1
D
−
= −
−
1
1 1 2
5 1 3
1 2 1
D
−
= −
−
2
1 1 2
2 5 3
3 1 1
D = −
3
1 1 1
2 1 5
3 2 1
D
−
=
−
= -19= -19
= -29= -29
= -9= -9
= -8= -8

TuÊn
∑
∑ §5: Hệ Grame
1
1
2
2
3
3
19
8
29
8
9
8
D
x
D
D
x
D
D
x
D
−= =
−
−= =
−
−= =
−

TuÊn
∑
∑ §5: Giải ��ệ PT bằng PP Gauss
 Các phép biến đổi tương đương ��ệ phương trìnhCác phép biến đổi tương đương ��ệ phương trình

Nhân một số ( ) vào 2 vế của 1 PT củaNhân một số ( ) vào 2 vế của 1 PT của
��ệ.��ệ.

Đổi chỗ hai PT của ��ệ.Đổi chỗ hai PT của ��ệ.

Nhân một số ( ) vào một PT rồi cộng vàoNhân một số ( ) vào một PT rồi cộng vào
PT khác của ��ệ.PT khác của ��ệ.
0λ ≠
0λ ≠
1
2 3 2
2 5
x y z
x y z
x y z
− + =

+ − =
 + + =
1
2 3 2
2 4 2 10
x y z
x y z
x y z
− + =

⇔ + − =
 + + =
2 4 2 10
1
2 3 2
x y z
x y z
x y z
− + =

⇔ + + =
 + − =

TuÊn
∑
 Như vậy các phép biến đổi tương đương ��ệ
PT chính là các phép BĐSC trên dòng của
ma trận bổ sung tương ứng..

TuÊn
∑
Xét ��ệ phương trình tổng quát sau:

TuÊn
∑
Ta có ma trận bổ sung tương ứng

TuÊn
∑
11 12 1 1 1
22 2 2 2
' ' ... ' ... ' '
0 ' ... ' ... ' '
... ... ... ... ... ... ...
' 0 0 ... ' ... ' '
0 0 ... 0 ... 0
.. .. .. .. .. .. ..
0 0 ... 0 ... 0 0
r n
r n
r r r n r
a a a a b
a a a b
A a a b
k
 
 
 
 
 
=  
 
 
 
 
 
Bằng các phép B ĐSC chuyển ma trận bổ sung
về dạng:

TuÊn
∑
Ma trận A’ tương ứng cho ta ��ệ PTTT
11 1 12 2 1 1 1
22 2 2 2 2
1 2
' ' ... ' ... ' '
' ... ' ... ' '
... ... ... ... ...
' ... ' '
0 0 ... 0 ... 0
r r n n
r r n n
rr r rn n r
r n
a x a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x b
x x x x k
 + + + + + =

+ + + + =


 + + =

 + + + + + =

TuÊn
∑
Khi đó ta có:
 1. Nếu thì PT thứ (r +1) vô nghiệm suy
ra ��ệ PT vô nghiệm.
 2. Nếu thì ��ệ có nghiệm:
 a. Nếu r = n (số ẩn) thì ��ệ PT có nghiện
duy nhất.
 b. Nếu r < n (số ẩn) thì ��ệ PT có vô số
nghiệm, phụ thuộc vào (n – r) tham số.
0k ≠
0k =

TuÊn
∑
a. Khi r = n (số ẩn) thì ��ệ PT (II) viết dưới dạng:
11 1 12 2 1 1 1
22 2 2 2 2
' ' ... ' ... ' '
' ... ' ... ' '
... ... ... ... ...
' ... ' '
... ... ...
' '
r r n n
r r n n
rr r rn n r
nn n n
a x a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x b
a x b
+ + + + + =
 + + + + =


+ + =


=

TuÊn
∑
b. Khi r < n ta chuyển (n – r) ẩn sang vế
phải của ��ệ PT ta được ��ệ PT sau:
Ta xem các ẩn ở vế phải là các tham số, sau đó
giải các ẩn còn lại theo các tham số đó.
11 1 12 2 1 1( 1) 1 1 1
22 2 2 2( 1) 1 2 2
( 1) 1
' ' ... ' ' ... ' '
' ... ' ' ... ' '
... ... ... ... ...
' ' ... ' '
r r r r n n
r r r r n n
rr r r r r rn n r
a x a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x b
+ +
+ +
+ +
+ + + = − − − +

+ + = − − − +


 = − − − +

TuÊn
∑
2 3 5 2 5 3
5 3 3 5
5 3 2(5 3) 7 1
5 3 5 3
7 1 6
5 3, 1 2
1
13
2 7
2
x y z x y z
y z y z
x z z x z
y z y z
x m x
y m m y
z m z
x
m y
z
− + = − = − 
⇔ 
− + = − = − 
= − + − = − 
⇔ ⇔ 
= − = − 
= − = 
 
= − = ⇒ = 
 = = 
=

= ⇒ =
 =

TuÊn
∑
2 3 5 2 5 3
5 4 3 3 5 4
x y z t x y z t
y z t y z t
− + − = − = − + 
⇔ 
− + + = − = − − 

TuÊn
∑

TuÊn
∑
2 1
4 1
5 1
2
4
h h
h h
h h
−
+
−
 →
…. 

TuÊn
∑
Vậy ��ệ phương trình

TuÊn
∑
sử dụng các phép biến đổi sơ cấp đưa ma
trận bổ sung về dạng ma trận hình thang:
...bs
A → →

TuÊn
∑
 Bài Tập: Giải ��ệ phương trình:
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4
1 2 3 4
2 2
2 3 2 2
3 4 5 1
2 3 0
x x x x
x x x x
x x x
x x x x
− + + =
 + − − =

+ − = −
− + + − = 






−=
=
−=
=
⇔
1
0
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x

TuÊn
∑
2 1
4 1
2
1 1 2 1 2
0 3 7 4 2
0 3 4 5 1
0 0 4 2 2
h h
h h
−
+
− 
 − − −
 →
 − −
 
− 
3 2
1 1 2 1 2
0 3 7 4 2
0 0 11 1 1
0 0 4 2 2
h h−
− 
 − − −
 →
 −
 
− 
1 1 2 1 2
2 1 3 2 2
0 3 4 5 1
1 1 2 3 0
− 
 − −
 
 − −
 
− − 
4 311 4
1 1 2 1 2
0 3 7 4 2
0 0 11 1 1
0 0 0 18 18
h h−
− 
 − − −
 →
 −
 
− 

TuÊn
∑
 Bài Tập: Giải ��ệ phương trình:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 5 1
3 4 3 1
4 7 1
2 5 5 8 2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
− − + =
− + + − = −

− + + − = −
 − − + =
1 2 3 4
2 3 4
2 5 1
3 2 0
x x x x
x x x
− − + =
⇔ 
+ + =

TuÊn
∑
11 12 1 1 1
22 2 2 2
' ' ... ' ... ' '
0 ' ... ' ... ' '
... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... ' ... ' '
0 0 ... 0 ... 0
.. .. .. .. .. .. ..
0 0 ... 0 ... 0 0
r n
r n
bs
r r r n r
a a a a b
a a a b
A a a b
k
 
 
 
 
 
=  
 
 
 
 
 
Bằng các phép B ĐSC chuyển ma trận bổ sung
về dạng:

TuÊn
∑
1 ( ) 3 ( ) 4bs
m r A r A+ = − ⇒ = ≠ = ⇒
2
1 2 1 1 1
0 1 3 2 2
0 0 1 2 3
0 0 0 1 1
bs
A
m m
− 
 
 =
 − −
 
− − 
1 ( ) ( ) 3bs
m r A r A n+ = ⇒ = = < ⇒
Biện luận theo m số nghiệm của ��ệ:
2
2 1
3 2 2
2 3
( 1) 1
x y z t
y z t
z t
m t m
+ − + =
 + + =

− − =
 − = −
Hệ vô nghiệm
Hệ có VSN
Hệ có Ng duy nhất1 ( ) ( )bs
m r A r A n+ ≠ ± ⇒ = = ⇒

TuÊn
∑
2 2 1
2 5 3 0
2 3 3
1
x y z t
x y z t
y z t
x y z mt
+ − + =
 + + + =

− − =
 − + + =
Bài tập: Biện luận theo m số nghiệm của ��ệ
phương trình

TuÊn
∑
1 2 1 2 1
0 1 5 3 2
0 0 7 0 5
0 0 0 7 77 43
bs
A
m
− 
 − − →
 −
 
− 
Ma trận bổ sung sau khi biến đổi sơ cấp
11 ( ) 3 ( ) 4bs
m r A r A= ⇒ = < = ⇒> ��ệ vô nghiệm
11 ( ) ( ) 4bs
m r A r A≠ ⇒ = = ⇒> ��ệ có nghiệm duy nhất

TuÊn
∑
2 3 0
2 5 2 1
2 3 1
x y z t
x y z t
y z at b
x z t
+ + − =
 + + + =

− + =
 + + =
Bài tập: Biện luận theo a, b số nghiệm của ��ệ
phương trình

TuÊn
∑
1 2 1 3 0
0 1 0 7 1
0 0 1 20 3
0 0 0 13 2
bs
A
a b
− 
 
 =
 
 
+ + 
13 ( ) 4,a r A≠ − ⇒ =>
2 ( ) 4bs
b r A• ≠ − ⇒ = ⇒
Ma trận bổ sung sau khi biến đổi sơ cấp
13 ( ) 3a r A= − ⇒ =>
��ệ có vô số nghiệm2 ( ) 3bs
b r A• = − ⇒ = ⇒
��ệ vô nghiệm
( ) 4bs
b r A∀ ⇒ =
��ệ có nghiệm duy nhất

TuÊn
∑
3 2 1
2 3 2
3 4 2 1
x y z
x y mz
x y z
+ + =

− + + =
 − + =
Bài tập: Biện luận theo m số nghiệm của ��ệ
phương trình

TuÊn
∑
∑ §5: Hệ PTTT thuần nhất

TuÊn
∑
11 12 1
21 22 2
1 2
.. 0
.. 0
.. .. .. .. ..
.. 0
n
nbs
m m mn
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 =
 
 
  
Khi biện luận cho ��ệ thuần nhất ta chỉ quan
tâm hạng của ma trận ��ệ số
Nhận xét: Trong ��ệ thuần nhất hạng của ma
trận ��ệ số luôn bằng hạng của ma trận bổ
sung

TuÊn
∑
 Hệ thuần nhất chỉ có 2 trường hợp:
 Hệ có nghiệm duy nhất
Hạng ma trận ��ệ số bằng số ẩn của ��ệ phương
trình
 Hệ có vô số nghiệm
Hạng ma trận ��ệ số nhỏ hơn số ẩn của ��ệ
phương trình

TuÊn
∑
 Nếu ��ệ có nghiệm duy nhất thì nghiệm duy
nhất đó là nghiệm tầm thường: (0,0,…,0).
 Ta gọi ��ệ thuần nhất chỉ có nghiệm tầm
thường.
 Nếu ��ệ có vô số nghiệm thì lúc đó ngoài
nghiệm tầm thường ��ệ còn có nghiệm khác
nữa.
 Ta gọi ��ệ thuần nhất có nghiệm không
tầm thường.

TuÊn
∑
 Ví dụ: Tìm m để ��ệ phương trình sau
có nghiệm không tầm thường.

TuÊn
∑
1 2 1
0 3 1
0 0 2
A
m
− 
 → 
 + 
2 ( ) 3m r A= − ⇒ <
Ta có:
Biến đổi
sơ cấp
Do đó với
Vậy với thì ��ệ có nghiệm không
tầm thường
2m =−

TuÊn
∑
 Ta có 1 2 1
det( ) 2 1 3
1 1
A
m
−
= −
− −
(3 6) 0m= + =
2m⇔ = −

�ݺ�ߣ

05 hephuongtrinh

More Related Content

05 hephuongtrinh