際際滷

際際滷Share a Scribd company logo

Cac dang bai tap so hoc ve day so

Download as DOC, PDF
L棚 Quy棚n
L棚 Quy棚n
1 of 20
Download to read offline
www.vnmath.com D孫ng 1: D揃y s竪 m袖 c存c s竪 h孫ng c存ch 速u. B袖i 1: Tnh B = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 Nhn xt: Nu h辰c sinh n袖o c達 s湛 s存ng t孫o s thy ngay t脱ng: 2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99 c達 th tnh ho袖n to袖n t測ng t湛 nh b袖i 1, cp s竪 谷 gi歎a vn l袖 51 v袖 50, (v t脱ng tr捉n ch thiu s竪 100) vy ta vit t脱ng B nh sau: B = 1 + (2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99). Ta thy t脱ng trong ngoc g奪m 98 s竪 h孫ng, nu chia th袖nh c存c cp ta c達 49 cp n捉n t脱ng 速達 l袖: (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (51 + 50) = 49.101 = 4949, khi 速達 B = 1 + 4949 = 4950 L棚i bnh: T脱ng B g奪m 99 s竪 h孫ng, nu ta chia c存c s竪 h孫ng 速達 th袖nh cp (m巽i cp c達 2 s竪 h孫ng th 速樽c 49 cp v袖 d 1 s竪 h孫ng, cp th淡 49 th g奪m 2 s竪 h孫ng n袖o? S竪 h孫ng d l袖 bao nhi捉u?), 速n 速息y h辰c sinh s b v鱈ng m他c. Ta c達 th tnh t脱ng B theo c存ch kh存c nh sau: C存ch 2: B = 1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 99 + B = 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1 2B = 100 + 100 + ... + 100 + 100 + 100 2B = 100.99 B = 50.99 = 4950 B袖i 2: Tnh C = 1 + 3 + 5 + ... + 997 + 999 L棚i gi其i: C存ch 1: T探 1 速n 1000 c達 500 s竪 ch遜n v袖 500 s竪 l n捉n t脱ng tr捉n c達 500 s竪 l. 存p d担ng c存c b袖i tr捉n ta c達 C = (1 + 999) + (3 + 997) + ... + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (T脱ng tr捉n c達 250 cp s竪) C存ch 2: Ta thy: 1 = 2.1 3 = 2.2 5 = 2.3 ... 99 = 2.50 9 1 1 1 1 0 Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
www.vnmath.com Quan s存t v ph其i, th探a s竪 th淡 2 theo th淡 t湛 t探 tr捉n xu竪ng d鱈i ta c達 th x存c 速nh 速樽c s竪 c存c s竪 h孫ng c単a d揃y s竪 C l袖 500 s竪 h孫ng. 存p d担ng c存ch 2 c単a b袖i tr捉n ta c達: C = 1 + 3 + ... + 997 + 999 + C = 999 + 997 + ... + 3 + 1 2C = 1000 + 1000 + ... + 1000 + 1000 2C = 1000.500 C = 1000.250 = 250.000 B袖i 3. Tnh D = 10 + 12 + 14 + ... + 994 + 996 + 998 Nhn xt: C存c s竪 h孫ng c単a t脱ng D 速u l袖 c存c s竪 ch遜n, 存p d担ng c存ch l袖m c単a b袖i tp 3 速 tm s竪 c存c s竪 h孫ng c単a t脱ng D nh sau: Ta thy: 10 = 2.4 + 2 12 = 2.5 + 2 14 = 2.6 + 2 ... 998 = 2.498 + 2 T測ng t湛 b袖i tr捉n: t探 4 速n 498 c達 495 s竪 n捉n ta c達 s竪 c存c s竪 h孫ng c単a D l袖 495, mt kh存c ta l孫i thy: 495 = 998 10 + 1 hay 2 s竪 c存c s竪 h孫ng = (s竪 h孫ng 速u - s竪 h孫ng cu竪i) : kho其ng c存ch r奪i c辿ng th捉m 1 Khi 速達 ta c達: D = 10 + 12 + ... + 996 + 998 + Th湛c cht D = D = 998 + 996 + ... + 12 + 10 2D = 1008 + 1008 + ... + 1008 + 1008 2D = 1008.495 D = 504.495 = 249480 (998 + 10)495 2 Qua c存c v d担 tr捉n , ta r坦t ra m辿t c存ch t脱ng qu存t nh sau: Cho d揃y s竪 c存ch 速u u 1, u2, u3, ... un (*), kho其ng c存ch gi歎a hai s竪 h孫ng li捉n tip c単a d揃y l袖 d, Khi 速達 s竪 c存c s竪 h孫ng c単a d揃y (*) l袖: n = Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u un u1 + 1 (1) d Nm h畛c 2011-2012
www.vnmath.com Sn = T脱ng c存c s竪 h孫ng c単a d揃y (*) l袖 n(u1 + un ) (2) 2 則c bit t探 c束ng th淡c (1) ta c達 th tnh 速樽c s竪 h孫ng th淡 n c単a d揃y (*) l袖: un = u1 + (n - 1)d Hoc khi u1 = d = 1 th S1 = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) 2 B袖i 4. Tnh E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + ...+ 98,99 + 99,10 L棚i gi其i Ta c達 th 速a c存c s竪 h孫ng c単a t脱ng tr捉n v d孫ng s竪 t湛 nhi捉n b損ng c存ch nh息n c其 hai v v鱈i 100, khi 速達 ta c達: 100E = 1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899) + 9910 = (1011 + 9899).98 + 9910 = 485495 + 9910 = 495405 2 E = 4954,05 (Ghi ch坦: V s竪 c存c s竪 h孫ng c単a d揃y l袖 (9899 1011) + 1 = 98 ) 101 B袖i 5. Ph息n tch s竪 8030028 th袖nh t脱ng c単a 2004 s竪 t湛 nhi捉n ch遜n li捉n tip. L棚i gi其i G辰i a l袖 s竪 t湛 nhi捉n ch遜n, ta c達 t脱ng c単a 2004 s竪 t湛 nhi捉n ch遜n li捉n tip l袖: 錚 a + ( a + 4006) 錚 錚 .2004 = ( a + 2003).2004 . Khi 2 錚 S = a + (a + 2) + ... + (a + 4006) = 錚 錚 速達 ta c達: (a + 2003).2004 = 8030028 a = 2004. Vy ta c達: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + ... + 6010 Nhn xt: Sau khi gi其i quyt c存c b袖i to存n 谷 d孫ng tr捉n ta kh束ng thy c達 v鱈ng m他c g l鱈n, b谷i v 速達 l袖 to袖n b辿 nh歎ng b袖i to存n c測 b其n m袖 速竪i v鱈i h辰c sinh kh存 c嘆ng kh束ng gp my kh達 kh即n khi tip thu. Tuy nhi捉n 速達 l袖 c存c c測 s谷 速u ti捉n 速 t探 速達 ch坦ng ta tip t担c nghi捉n c淡u c存c d孫ng to存n 谷 m淡c 速辿 cao h測n, ph淡c t孫p h測n m辿t ch坦t. Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
www.vnmath.com D孫ng 2: D揃y s竪 m袖 c存c s竪 h孫ng kh束ng c存ch 速u. B袖i 1. Tnh A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1) L棚i gi其i Ta thy m巽i s竪 h孫ng c単a t脱ng tr捉n l袖 tch c単a hai s竪 t湛 nh捉n li捉n tip, khi 速達: G辰i a1 = 1.2 3a1 = 1.2.3 3a1= 1.2.3 - 0.1.2 a2 = 2.3 3a2 = 2.3.3 3a2= 2.3.4 - 1.2.3 a3 = 3.4 3a3 = 3.3.4 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4 .. an-1 = (n - 1)n 3an-1 =3(n - 1)n 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n 1)n an = n(n + 1) 3an = 3n(n + 1) 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) C辿ng t探ng v c単a c存c 速村ng th淡c tr捉n ta c達: 3(a1 + a2 + + an) = n(n + 1)(n + 2) 3 [ 1.2 + 2.3 + ... + n( n + 1) ] = n(n + 1)(n + 2) A = n(n + 1)(n + 2) 3 C存ch 2: Ta c達 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) A = n(n + 1)(n + 2) 3 * T脱ng qu存t ho存 ta c達: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong 速達 k = 1; 2; 3; Ta d d袖ng ch淡ng minh c束ng th淡c tr捉n nh sau: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1) B袖i 2. Tnh B = 1.2.3 + 2.3.4 + + (n - 1)n(n + 1) L棚i gi其i 存p d担ng tnh k th探a c単a b袖i 1 ta c達: 4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + + (n - 1)n(n + 1).4 = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
www.vnmath.com [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)] = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) B= (n 1)n(n + 1)(n + 2) 4 B袖i 3. Tnh C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + + n(n + 3) L棚i gi其i Ta thy: 1.4 = 1.(1 + 3) 2.5 = 2.(2 + 3) 3.6 = 3.(3 + 3) 4.7 = 4.(4 + 3) . n(n + 3) = n(n + 1) + 2n Vy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + + n(n + 1) +2n = 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + + n(n + 1) + 2n = [1.2 +2.3 +3.4 + + n(n + 1)] + (2 + 4 + 6 + + 2n) 3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + + n(n + 1)] + 3.(2 + 4 + 6 + + 2n) = = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + n(n + 1).3 + 3.(2 + 4 + 6 + + 2n) = = n(n + 1)(n + 2) + 3(2n + 2)n n( n + 1)( n + 2) 3(2n + 2) n n( n + 1)( n + 5) C= + = 2 3 2 3 B袖i 4. Tnh D = 12 + 22 + 32 + + n2 Nhn xt: C存c s竪 h孫ng c単a b袖i 1 l袖 tch c単a hai s竪 t湛 nhi捉n li捉n tip, cn 谷 b袖i n袖y l袖 tch c単a hai s竪 t湛 nhi捉n gi竪ng nhau. Do 速達 ta chuyn v d孫ng b袖i tp 1: Ta c達: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + + + n.(1 + n) = 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 + + n2 + n.1 = (12 + 22 + 32 + + n2 ) + (1 + 2 + 3 + + n). Mt kh存c theo b袖i tp 1 ta c達: A= n( n + 1)( n + 2) n( n + 1) 12 + 2 2 + 3 2 + + n 2 = = v袖 1 + 2 + 3 + + n = 3 2 n( n + 1)( n + 2) n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) = 3 2 6 B袖i 5. Tnh E = 13 + 23 + 33 + + n3 L棚i gi其i Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
www.vnmath.com T測ng t湛 b袖i to存n tr捉n, xut ph存t t探 b袖i to存n 2, ta 速a t脱ng B v t脱ng E: Ta c達: B = 1.2.3 + 2.3.4 + + (n - 1)n(n + 1) = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1) + + (n - 1)n(n + 1) = (23 - 2) + (33 - 3) + + (n3 - n) = = (23 + 33 + + n3) - (2 + 3 + + n) = (13 + 23 + 33 + + n3) - (1 + 2 + 3 + + n) = (13 + 23 + 33 + + n3) (13 + 23 + 33 + + n3) = B + n( n + 1) 2 n( n + 1) (n 1)n(n + 1)(n + 2) M袖 ta 速揃 bit B = 2 4 E = 1 3 + 23 + 3 3 + + n 3 = (n 1)n(n + 1)(n + 2) n( n + 1) 錚 n(n + 1) 錚 = + = 錚 4 2 錚 2 錚 錚 2 C存ch 2: Ta c達: A 1 = 13 = 1 2 A2 = 13 + 23 = 9 = (1 + 2)2 A3 = 13 + 23 + 33 = 36 = (1 + 2 + 3)2 Gi其 s旦 c達: Ak = 13 + 23 + 33 + + k3 = (1 + 2 + 3 + + k)2 (1) Ta ch淡ng minh: Ak+1 = 13 + 23 + 33 + + (k + 1)3 = [1 + 2 + 3 + + (k + 1)]2 (2) Tht vy, ta 速揃 bit: 1 + 2 + 3 + + k = Ak = [ k ( k + 1) 2 ] 2 (1') C辿ng v袖o hai v c単a (1') v鱈i (k + 1) 3 ta c達: Ak + (k + 1)3 = [ 錚 (k + 1)( k + 2) 錚 = 錚 錚 2 錚 錚 k ( k + 1) 2 k (k + 1) 2 k (k + 1) 2 ] + (k + 1)3 Ak+1 = [ ] + (k + 1)3 2 2 2 Vy t脱ng tr捉n 速坦ng v鱈i Ak+1, t淡c l袖 ta lu束n c達: Ak+1 = 13 + 23 + 33 + + (k + 1)3 = [1 + 2 + 3 + + (k + 1)]2 = 2 錚 (k + 1)( k + 2) 錚 = 錚 錚 . Vy khi 速達 ta c達: 2 錚 錚 錚 n( n + 1) 錚 E = 1 + 2 + 3 + + n = (1 + 2 + 3 + + n) = 錚 錚 2 錚 錚 3 3 3 3 2 2 L棚i bnh: - V鱈i b袖i tp tr捉n ta 存p d担ng kin th淡c v quy n孫p To存n h辰c. Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
www.vnmath.com - B袖i tp tr捉n chnh l袖 d孫ng b袖i tp v t脱ng c存c s竪 h孫ng c単a m辿t cp s竪 nh息n (l鱈p 11) nhng ch坦ng ta c達 th gi其i quyt 速樽c trong ph孫m vi 谷 cp THCS. B袖i 6. (Trang 23 SGK To存n 7 tp 1) Bit r損ng 12 + 22 + 32 ++ 102 = 385, 速竪 em tnh nhanh 速樽c t脱ng S = 22 + 42 + 62 + + 202 L棚i gi其i Ta c達: S = 22 + 42 + 62 + + 202 = (2.1)2 + (2.2)2 + + (2.10)2 = = 12.22 + 22.22 + 22.32 + + 22.102 = 22.(12 + 22 + 32 + + 102) = 4. (12 + 22 + 32 + + 102) = 4.385 = 1540. Nhn xt: Nu 速t P = 12 + 22 + 32 + + 102 th ta c達: S = 4.P. Do 速達, nu cho S th ta s tnh 速樽c P v袖 ng樽c l孫i. T脱ng qu存t h達a ta c達: P = 12 + 22 + 32 ++ n2 = n(n + 1)(2n + 1) (theo kt qu其 谷 tr捉n) 6 Khi 速達 S = 22 + 42 + 62 + + (2n)2 速樽c tnh t測ng t湛 nh b袖i tr捉n, ta c達: S = (2.1)2 + (2.2)2 + + (2.n)2 = 4.( 12 + 22 + 32 + + n2) = = 4n(n + 1)(2n + 1) 2n(n + 1)(2n + 1) = 6 3 2 錚 n(n + 1) 錚 Cn: P = 1 + 2 + 3 + + n = 錚 . Ta tnh S = 23 + 43 + 63 ++ 錚 2 錚 錚 3 3 3 3 (2n)3 nh sau: S = (2.1)3 + (2.2)3 + (2.3)3 + + (2.n)3 = 8.(13 + 23 + 33 + + n3) l坦c n袖y S = 8P, Vy ta c達: S = 2 3 + 43 + 63 ++ (2n)3 2 2 2 錚 n(n + 1) 錚 8.n (n + 1) 8 錚 = = 2n 2 (n + 1)2 2 錚 4 錚 錚 存p d担ng c存c kt qu其 tr捉n, ta c達 b袖i tp sau: B袖i 7. a) Tnh A = 12 + 32 + 52 + ...+ (2n -1)2 b) Tnh B = 13 + 33 + 53 + + (2n-1)3 L棚i gi其i a)Theo kt qu其 b袖i tr捉n, ta c達: 12 + 22 + 32 ++ (2n)2 = = 2n(2n + 1)(4n + 1) n(2n + 1)(4n + 1) = 6 3 M袖 ta thy: Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012 =
www.vnmath.com 1 + 3 + 5 + ...+ (2n -1) = 12 + 22 + 32 ++ (2n)2 - [23 + 43 + 63 ++ (2n)2] 2 2 2 2 = = n(2n + 1)(4n + 1) 2n(n + 1)(2n + 1) 2n 2 (2n + 1) = 3 3 3 b) Ta c達: 13 + 33 + 53 + + (2n-1)3 = 13 + 23 + 33 + + (2n)3 - [23 + 43 + 63 ++ (2n)3] . 存p d担ng kt qu其 b袖i tp tr捉n ta c達: 13 + 23 + 33 + + (2n)3 = n2(2n + 1)2. Vy: B = 13 + 33 + 53 + + (2n-1)3 = n2(2n + 1)2 - 2n2(n + 1)2 = = 2n4 - n2 Ng袖y d孫y: 20/9/2009 Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
www.vnmath.com M辿t s竪 b袖i tp d孫ng kh存c B袖i 1. Tnh S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + + 263 L棚i gi其i C存ch 1: Ta thy: S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + + 263 (1) 2S1 = 2 + 22 + 23 + + 263 + 264 (2) Tr探 t探ng v c単a (2) cho (1) ta c達: 2S1 - S1 = 2 + 22 + 23 + + 263 + 264 - (1 + 2 + 22 + 23 + + 263) = 264 - 1. Hay S1 = 264 - 1 C存ch 2: Ta c達: S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + + 263 = 1 + 2(1 + 2 + 22 + 23 + + 262) (1) = 1 + 2(S1 - 263) = 1 + 2S1 - 264 S1 = 264 - 1 B袖i 2. Tnh gi存 tr c単a biu th淡c S = 1 +3 + 32 + 33 + + 32000 (1) L棚i gi其i: C存ch 1: 存p d担ng c存ch l袖m c単a b袖i 1: Ta c達: 3S = 3 + 32 + 33 + + 32001 (2) Tr探 t探ng v c単a (2) cho (1) ta 速樽c: 3S - 2S = (3 + 32 + 33 + + 32001) - (1 +3 + 32 + 33 + + 32000) Hay: 32001 1 2S = 32001 - 1 S = 2 C存ch 2: T測ng t湛 nh c存ch 2 c単a b袖i tr捉n: Ta c達: S = 1 + 3(1 +3 + 32 + 33 + + 31999) = 1 + 3(S - 32000) = 1 + 3S - 32001 2S = 32001 - 1 S = 32001 1 2 *) T脱ng qu存t ho存 ta c達: S n = 1 + q + q 2 + q3 + + qn (1) Khi 速達 ta c達: C存ch 1: qSn = q + q2 + q3 + + qn+1 (2) Tr探 t探ng v c単a (2) cho (1) ta c達: (q - 1)S = qn+1 - 1 S = Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u q n +1 1 q 1 Nm h畛c 2011-2012
C存ch 2: www.vnmath.com Sn = 1 + q(1 + q + q2 + q3 + + qn-1) = 1 + q(Sn - qn) = 1 + qS n - qn+1 qSn - Sn = qn+1 - 1 hay: Sn(q - 1) = qn+1 - 1 S= q n +1 1 q 1 B袖i 3. Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + + 29; B = 5.28. H揃y so s存nh A v袖 B C存ch 1: Ta thy: B = 5.28 = (23 + 22 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1).26 = 2 9 + 2 8 + 2 7 + 2 6 + 2 6 + 26 + 26 + 26 + 26 + 2 6 = 2 9 + 2 8 + 2 7 + 2 6 + 2 6 + 26 + 26 + 26 + 26 + 2 5 + 2 5 (V 26 = 2.25). Vy r但 r袖ng ta thy B > A C存ch 2: 存p d担ng c存ch l袖m c単a c存c b袖i tp tr捉n ta thy 速測n gi其n h測n, tht vy: A = 1 + 2 + 2 2 + 23 + + 2 9 (1) 2A = 2 + 22 + 23 + + 29 + 210 (2) Tr探 t探ng v c単a (2) cho (1) ta c達: 2A - A = (2 + 22 + 23 + + 29 + 210) - (1 + 2 + 22 + 23 + + 29) = 210 - 1 hay A = 210 - 1 Cn: B = 5.28 = (22 + 1).28 = 210 + 28 Vy B > A * Ta c達 th tm 速樽c gi存 tr c単a biu th淡c A, t探 速達 h辰c sinh c達 th so s存nh 速樽c A v鱈i B m袖 kh束ng gp my kh達 kh即n. B袖i 4. Tnh gi存 tr c単a biu th淡c S = 1 + 2.6 + 3.6 2 + 4.63 + + 100.699 (1) Ta c達: 6S = 6 + 2.6 2 + 3.63 + + 99.699 + 100.6100 (2) Tr探 t探ng v c単a (2) cho (1) ta 速樽c: 5S = 6 - 2.6 + (2.62 - 3.62) + (3.63 - 4.63) + + (99.699 - 100.699) + + 100.6100 - 1 = 100.6100 - 1 - (6 + 62 + 63 + + 699) (*) 則t S' = 6 + 62 + 63 + + 699 6S' = 62 + 63 + + 699 + 6100 S' = 6100 6 6100 6 499.6100 + 1 thay v袖o (*) ta c達: 5S = 100.6100 - 1 = 5 5 5 Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
www.vnmath.com S= 499.6 + 1 25 100 B袖i 5. Ng棚i ta vit d揃y s竪: 1; 2; 3; ... H叩i ch歎 s竪 th淡 673 l袖 ch歎 s竪 n袖o? L棚i gi其i Ta thy: T探 1 速n 99 c達: 9 + 2.90 = 189 ch歎 s竪, theo 速u b袖i ta cn thiu s竪 c存c ch歎 s竪 c単a d揃y l袖: 673 - 189 = 484 ch歎 s竪, nh vy ch歎 s竪 th淡 673 ph其i n損m trong d揃y c存c s竪 c達 3 ch歎 s竪. Vy ta xt tip: T探 100 速n 260 c達: 3.161 = 483 ch歎 s竪 Nh vy t探 1 速n 260 速揃 c達: 189 + 483 = 672 ch歎 s竪, theo 速u b袖i th ch歎 s竪 th淡 673 s l袖 ch歎 s竪 2 c単a s竪 261. M辿t s竪 b袖i tp t湛 gi其i: 1. Tnh: A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + + (n - 2) (n + 1) 2. Tnh: B = 1.2.4 + 2.3.5 + + n(n + 1)(n + 3) 3. Tnh: C = 22 + 52 + 82 + ...+ (3n - 1)2 4. Tnh: D = 14 + 24 + 34 + ... + n4 5. Tnh: E = 7 + 74 + 77 + 710 + + 73001 6. Tnh: F = 8 + 83 + 85 + + 8801 7. Tnh: G = 9 + 99 + 999 + + 99 9 (ch歎 s竪 cu竪i g奪m 190 ch歎 s竪 9) 8. Tnh: H = 1.1! + 2.2! + + n.n! 9. Cho d揃y s竪: 1; 2; 3; . H叩i ch歎 s竪 th淡 2007 l袖 ch歎 s竪 n袖o? *** Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
www.vnmath.com th lo孫i to存n v ph息n s竪: 1 1 1 1 B袖i 1. Tnh gi存 tr c単a biu th淡c A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + (n 1).n L棚i gi其i 錚1 1 錚 錚 1 1 錚 錚 1 1錚 歎sau khi b叩 du ngoc ta c達: Ta c達: A = 錚 歎+ 錚 歎+ ... + 錚 錚1 2 錚 錚 2 3 錚 錚 n 1 n 錚 1 n A = 1 = n 1 n Nhn xt: Ta thy c存c gi存 tr 谷 t旦 kh束ng thay 速脱i v袖 ch坦ng v袖 速坦ng m 1 1 b損ng hiu hai th探a s竪 谷 mu. M巽i s竪 h孫ng 速u c達 d孫ng: b(b + m) = b b + m (Hiu hai th探a s竪 谷 mu lu束n b損ng gi存 tr 谷 t旦 th ph息n s竪 速達 lu束n vit 速樽c d鱈i d孫ng hiu c単a hai ph息n s竪 kh存c v鱈i c存c mu t測ng 淡ng). N捉n ta c達 m辿t t脱ng v鱈i c存c 速c 速im: c存c s竪 h孫ng li捉n tip lu束n 速竪i nhau (s竪 tr探 c単a nh達m tr鱈c b損ng s竪 b tr探 c単a nh達m sau li捉n tip), c淡 nh vy c存c s竪 h孫ng trong t脱ng 速u 速樽c kh旦 li捉n tip, 速n khi trong t脱ng ch cn s竪 h孫ng 速u v袖 s竪 h孫ng cu竪i, l坦c 速達 ta th湛c hin php tnh s 速測n gi其n h測n. B袖i 2. Tnh gi存 tr c単a biu th淡c B = 錚 4 4 4 4 4 4 4 + + + ... + 3.7 7.11 11.15 95.99 4 錚 + + ... + B= 錚 + 歎 vn d担ng c存ch l袖m c単a phn nhn 95.99 錚 錚 3.7 7.11 11.15 xt, ta c達: 7 - 3 = 4 (速坦ng b損ng t旦) n捉n ta c達: 錚1 1 1 1 1 1 1 1 錚 1 1 32 B = 錚 + + + ... + 歎= = 95 99 錚 3 99 99 錚 3 7 7 11 11 15 B袖i 3. Tnh gi存 tr c単a biu th淡c C = 72 72 72 72 + + + ... + 2.9 9.16 16.23 65.72 Nhn xt: Ta thy: 9 - 2 = 7 72 谷 t旦 n捉n ta kh束ng th 存p d担ng c存ch l袖m c単a c存c b袖i tr捉n (谷 t旦 速u ch淡a 72), nu gi歎 nguy捉n c存c ph息n s竪 速達 th ta kh束ng th t存ch 速樽c th袖nh hiu c存c ph息n s竪 kh存c 速 r坦t g辰n t脱ng tr捉n 速樽c. Mt kh存c ta thy: 7 1 1 = , v vy 速 gi其i quyt 速樽c vn 速 ta ph其i 速t 2.9 2 9 Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
www.vnmath.com 7 l袖m th探a s竪 chung ra ngo袖i du ngoc, khi 速達 th湛c hin b捉n trong ngoc s 速測n gi其n. Vy ta c達 th bin 速脱i: 7 7 7 錚 1 1 錚 錚 7 錚1 1 1 1 1 1 + + + ... + 歎 = 7. 錚 + + + ... + 歎= 65.72 錚 65 72 錚 錚 2.9 9.16 16.23 錚 2 9 9 16 16 23 C = 7. 錚 錚 錚 = 7. 錚 歎 = 7. = 3 72 72 錚 2 72 錚 1 1 35 29 B袖i 4. Tnh gi存 tr c単a biu th淡c D = 3 3 3 3 + + + ... + 1.3 3.5 5.7 49.51 L棚i gi其i Ta l孫i thy: 3 - 1 = 2 3 谷 t旦 c単a m巽i ph息n s竪 trong t脱ng n捉n b損ng c存ch n袖o 速達 ta 速a 3 ra ngo袖i v袖 速a 2 v袖o trong thay th. 2錚 3 3 3 3 錚 3錚 2 2 2 2 錚 + + + ... + + + + ... + 錚 歎= 錚 歎 2 錚 1.3 3.5 5.7 49.51 錚 2 錚 1.3 3.5 5.7 49.51 錚 Ta c達: D = = 3 錚1 1 1 1 1 1 1 1 錚 3 錚 1 1 錚 3 50 25 錚 + + + ... + 歎= 錚 歎 = g = 2 錚1 3 3 5 5 7 49 51 錚 2 錚 1 51 錚 2 51 17 B袖i 5. Tnh gi存 tr c単a biu th淡c E = 1 1 1 1 1 1 + + + + + 7 91 247 475 775 1147 L棚i gi其i Ta thy: 7 = 1.7 ; 91 = 13.7 ; 247 = 13.19 ; 475 = 19.25 775 = 25.31 ; 1147 = 31.37 T測ng t湛 b袖i tp tr捉n ta c達: E= 1錚 6 6 6 6 6 6 錚 + + + + + 錚 歎= 6 錚 1.7 7.13 13.19 19.25 25.31 31.37 錚 1 錚1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 錚 1 錚 1 錚 1 36 6 = 錚 + + + + + 歎= 錚1 歎 = = 6 錚 1 7 7 13 13 19 19 25 25 31 31 37 錚 6 錚 37 錚 6 37 37 B袖i 6. (則 thi ch辰n HSG To存n 6 - TX H袖 則束ng - H袖 T息y - N即m h辰c 2002 2003) So s存nh: A = B= 2 2 2 2 + + ... + + v袖 60.63 63.66 117.120 2003 5 5 5 5 + + ... + + 40.44 44.48 76.80 2003 Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
www.vnmath.com L棚i gi其i L孫i 存p d担ng c存ch l袖m 谷 b袖i tr捉n ta c達: A= 2錚 1 1 1 1 1 錚 1 2錚 3 3 3 2 錚 + + ... + = 錚 歎+ 3 錚 60.63 63.66 117.120 錚 2003 2錚 1 2 1 錚 2 2 1 2 = + = 錚 + + ... + = 錚 = 歎+ 歎+ 3 錚 60 63 63 66 117 200 錚 2003 3 錚 60 120 錚 2003 3 120 2003 = 1 2 + 180 2003 T測ng t湛 c存ch l袖m tr捉n ta c達: B= 5錚 1 1 錚 5 5 1 5 1 5 = + = + 錚 歎+ 4 錚 40 80 錚 2003 4 80 2003 64 2003 2 錚 2 4 1 4 錚 1 + + = + T探 速息y ta thy ngay 歎= 錚 180 2003 錚 180 2003 90 2003 Ta l孫i c達: 2A = 2 錚 B > 2A th hin nhi捉n B > A B袖i 7. (則 thi ch辰n HSG To存n n即m h辰c 1985 - 1986) So s存nh hai biu th淡c A v袖 B: 錚 錚 + + + ... + A = 124 錚 歎 16.2000 錚 錚 1.1985 2.1986 3.1987 1 B= 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + 1.17 2.18 3.19 1984.2000 L棚i gi其i Ta c達: A = = 124 錚 1 1 1 1 1 1 1 錚 . 錚1 + + + ... + 歎= 1984 錚 1985 2 1986 3 1987 16 2000 錚 1 錚錚 1 1錚 錚 1 1 1 錚駈９ . 錚錚1 + + ... + 歎 錚 + + ... + 歎 16 錚逸 2 16 錚 錚 1985 1986 2000 錚 錚 錚 Cn B = 1 錚錚 1 1 1 1 1 錚駈９ . 錚錚1 + + ... + 歎 = 16 錚逸 17 2 18 1984 2000 錚 錚 錚 1 錚錚 1 1 錚 錚1 1 1 錚駈９ . 錚錚1 + + ... + 歎 錚 + + ... + 歎 = 16 錚逸 2 1984 錚 錚 17 18 2000 錚 錚 錚 = 1 錚錚 1 1錚 錚1 1 1 1 1 1 錚 錚 1 1 錚駈９ . 錚錚1 + + ... + 歎+ 錚 + + ... + ... + ... + 歎 錚 歎 16 錚逸 2 16 錚 錚 17 18 1984 17 18 1984 錚 錚 1985 2000 錚 錚 錚 = 1 錚錚 1 1錚 錚 1 1 1 錚駈９ 錚錚1 + 2 + ... + 16 歎 錚 1985 + 1986 + ... + 2000 歎錚 16 錚逸 錚 錚 錚醐 Vy A = B Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
www.vnmath.com *** Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
www.vnmath.com th lo孫i to存n v ph息n s竪 (tip) 1 1 1 1 1 B袖i 8. Ch淡ng t叩 r損ng: 5 + 13 + 25 + ... + n2 + n + 1 2 < 2 v鱈i m辰i n N ( ) L棚i gi其i Ta kh束ng th 存p d担ng ngay c存ch l袖m c単a c存c b袖i tp tr捉n, m袖 ta thy: 1 2 1 2 1 2 1 2 < ; < ; < ... ta ph其i so s存nh: 2 2 v鱈i: n + ( n + 1) 2n(2n + 1) 5 2.4 13 4.6 25 6.8 1 1 1 2 1 1 Tht vy: n 2 + (n + 1)2 = n 2 + (n + 1) 2 = 2n2 + 2n + 1 cn 2n(2n + 2) = n(2n + 2) = 2n 2 + 2n 1 2 n捉n hin nhi捉n n2 + (n + 1) 2 < 2n(2n + 1) n N . 1 1 1 1 2 2 2 2 Vy ta c達: 5 + 13 + 25 + ... + n2 + n + 1 2 < 2.4 + 4.6 + 6.8 + ... + 2n(2n + 2) ( ) 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 M袖: 2.4 = 2 4 ; 4.6 = 4 6 ; 6.8 = 6 8 ... 2n(2n + 2) = 2n 2n + 2 n捉n: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + = + + ... + < = 2.4 4.6 6.8 2n(2n + 2) 2 4 4 6 6 8 2n 2n + 2 2 2n + 2 2 l袖 hin nhi捉n v鱈i m辰i s竪 t湛 nhi捉n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vy: 5 + 13 + 25 + ... + n2 + (n + 1) 2 < 2 4 + 4 6 + 6 8 ... + 2n 2n + 2 hay 1 1 1 1 1 + + + ... + 2 < 2 5 13 25 n + (n + 1) 2 3 2n + 1 5 B袖i 9. Tnh gi存 tr c単a biu th淡c M = (1.2)2 + (2.3)2 + ... + n(n + 1) 2 [ ] L棚i gi其i 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta c達 ngay: M = 12 22 + 22 32 + ... + (n 1) 2 n 2 + n2 ( n + 1) 2 = 1 1 (n + 1) 2 1 (n + 1)(n + 1) 1 n 2 + 2n + 1 1 n 2 + 2n n(n + 2) = = = = = (n + 1) 2 (n + 1) 2 (n + 1) 2 (n + 1) 2 (n + 1) 2 ( n + 1) 2 1 1 1 1 B袖i 10. Tnh gi存 tr c単a biu th淡c N = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n(n + 1)(n + 2) L棚i gi其i Ta c達: N = = 錚 1錚 2 2 2 2 + + + ... + 錚 歎 2 錚 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n.( n + 1)(n + 2) 錚 錚 1錚 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + 錚 歎 2 錚 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 n.(n + 1) (n + 1)( n + 2) 錚 Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
www.vnmath.com = 錚 1錚1 1 錚 歎 2 錚 2 (n + 1)(n + 2) 錚 1 1 1 B袖i 11. Tnh gi存 tr c単a biu th淡c: H = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + ... + (n 1).n(n + 1)( n + 2) L棚i gi其i Ta c達: H = 錚 1 錚 3 3 3 錚 + + ... + 歎 3 錚 1.2.3.4 2.3.4.5 ( n 1).n.( n + 1).( n + 2) 錚 1錚 1 1 1 1 1 1 錚 + + ... + = 錚 歎 3 錚 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 ( n 1).n.( n + 1) n.( n + 1).( n + 2) 錚 錚 1錚1 1 錚 歎 3 錚 6 n(n + 1)(n + 2) 錚 12 12 12 12 1 + + + ... + < B袖i 12. Ch淡ng minh r損ng P = 1.4.7 4.7.10 7.10.12 54.57.60 2 = L棚i gi其i 錚 Ta c達: P = 2. 錚 6 6 6 6 錚 + + + ... + 歎 54.57.60 錚 錚 1.4.7 4.7.10 7.10.13 1 1 1 1 1 1 1 錚 錚 1 + + ... + = 2. 錚 + 歎= 54.57 57.60 錚 錚 1.4 4.7 4.7 7.10 7.10 10.13 1 錚 854 427 427 1 1 錚1 = < = . Vy P < = 2錚 歎= 2 3420 855 854 2 2 錚 4 57.60 錚 1 1 1 1 B袖i 13. Ch淡ng minh r損ng S = 1 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 < 2 2 3 4 100 L棚i gi其i Ta thy: 1 1 1 1 1 1 1 1 < ; 2< ; 2< ... < 存p d担ng c存ch l袖m b袖i tp 2 2 2 1.2 3 2.3 4 3.4 100 99.100 tr捉n ta c達: 1 1 1 1 1 + + + ... + < 1+1 < 2 hay S < 2 1.2 2.3 3.4 99.100 100 1 1 1 B袖i 14. 則t A = + + ... + 1.2 3.4 2005.2006 1 1 1 A B= + + ... + . Ch淡ng minh r損ng Z 1004.2006 1005.2006 2006.1004 B S < 1+ L棚i gi其i 存p d担ng c存c b袖i tr捉n, ta c達: 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ... + = 1 + + ... + = 1.2 3.4 2005.2006 2 3 4 2005 2006 1 錚 錚1 1 1 1 錚 錚 1 1 = 錚1 + + + ... + 歎 錚 + + + ... + 歎= 2005 錚 錚 2 4 6 2006 錚 錚 3 5 1 錚 1 錚 錚 1 1 1 錚1 1 = 錚1 + + + + ... + 歎- 2 + + ... + 錚 歎= 2006 錚 2006 錚 錚 2 3 4 錚2 4 A= Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
www.vnmath.com 錚 = 錚1 + + + + ... + 1 1 1 1 錚 錚 1 1 1 1 錚 1 1 1 + + ... + 歎- 錚 1 + + + + ... + 歎= 2006 錚 錚 2 3 4 1003 錚 1004 1005 2006 錚 2 3 4 2 錚 1 1 1 錚 A 3010 + + ... + = 1505 Z Cn B = 錚 歎 = 3010 錚 1004 1005 2006 錚 B 2 Nh vy, 谷 phn n袖y ta 速揃 gi其i quyt 速樽c m辿t l樽ng l鱈n c存c b袖i tp v d揃y s竪 谷 d孫ng ph息n s竪. Tuy nhi捉n 速達 l袖 c存c b袖i tp nhn chung kh束ng h 速測n gi其n. V vy 速 存p d担ng c達 hiu qu其 th ch坦ng ta cn linh ho孫t trong vic bin 速脱i theo c存c h鱈ng sau: 1 - Nu mu l袖 m辿t tch th b損ng m辰i c存ch bin 速脱i th袖nh hiu c存c ph息n s竪, t探 速達 ta r坦t g辰n 速樽c biu th淡c r奪i tnh 速樽c gi存 tr. 2 - 則竪i v鱈i c存c b袖i tp ch淡ng minh ta c嘆ng c達 th 存p d担ng c存ch l袖m v tnh gi存 tr c単a d揃y s竪, t探 速達 ta c達 th bin 速脱i biu th淡c cn ch淡ng minh v d孫ng quen thu辿c Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
www.vnmath.com M辿t s竪 b袖i to存n kh存c n2 + n + 1 . n! B袖i 1. V鱈i n N * , k hiu an = (1) n H揃y tnh t脱ng a1 + a2 + a3 + + a2007 L棚i gi其i 2 n +1錚 n n +1 錚 n2 + n + 1 n 錚n n 錚 + = (1) 錚 + 歎 = (1) 錚 歎 n! 錚 n! 錚 ( n 1) 錚 n! n! 錚 Ta thy: n N * th: an = (1)n 錚2 3錚 錚3 4錚 錚 2006 2007 錚 + Do 速達: a1 + a2 + a3 + + a2007 = a1 + 錚 + 歎 錚 + 歎+ ... + 錚 歎錚 1! 2! 錚 錚 2! 3! 錚 錚 2005! 2006! 錚 錚 2006 2007 錚 2 2007 2007 + = 1 -錚 歎 = 3 + 1! 2006! 2006! 錚 2005! 2006! 錚 B袖i 2. Xt biu th淡c: S = 1 2 3 1992 + 1 + 2 + ... + 1991 Ch淡ng minh r損ng S < 4 0 2 2 2 2 L棚i gi其i Ta c達: 2S = 2 4 3 4 1992 1 錚 錚2 1錚 錚 3 1 錚 錚 1991 + 1 + 1 + 2 ... + 1990 = 4 + 錚 + 歎+ 錚 2 + 2 歎+ ... + 錚 990 + 1990 歎= 0 2 2 2 2 2 2 錚 錚2 2錚 錚2 2 錚 錚2 錚 = 3 + 錚 0 + 1 + 2 + ... + 1990 + 1991 2 錚2 2 2 2 2 1 1 2 1991 1992 錚 1992 1 1 1 歎 1991 + 2 + 3 + ... + 1990 = 2 2 2 錚 2 3 1989 錚1錚 1 錚 歎 1 1992 1 = 3 + S 1991 + 2 錚 2 錚 2 2 2 1 1 2 1990 1 1992 1 錚 1 錚 = 3 + S 1991 + 錚 歎 2 2 2 錚2錚 1990 1992 錚 1 錚 S = 4 - 1991 錚 歎 2 錚2錚 < 4 hay S < 4 B袖i 3. Ta vit ln l樽t c存c ph息n s竪 sau: 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 1990 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;... S竪 速淡ng 谷 v tr n袖o trong c存c ph息n s竪 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1930 tr捉n? L棚i gi其i S竪 th淡 nht c単a d揃y s竪 c達 t脱ng c単a t旦 s竪 v袖 mu s竪 b損ng 2, hai s竪 tip theo c達 t脱ng c単a t旦 s竪 v袖 mu s竪 b損ng 3, ba s竪 tip theo c達 t脱ng c単a t旦 v袖 mu s竪 b損ng 4 L孫i quan s存t tip ta thy: K t探 ph息n s竪 速u, c存ch 1 ph息n s竪 速n mu s竪 l袖 2, c存ch 2 ph息n s竪 速n mu s竪 3, vy ph息n s竪 1990 速淡ng 谷 v tr th淡 1930 1930 v袖 c単a nh達m c存c s竪 c達 t脱ng c単a t旦 v袖 mu s竪 b損ng 1990 + 1930 = Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
www.vnmath.com 3920. S竪 c存c s竪 速淡ng tr鱈c c単a nh達m n袖y b損ng 1 + 2 + 3 + + 3918 = 1959.3919. V nh達m c達 t脱ng c単a t旦 v袖 mu s竪 b損ng 3920 th g奪m 3919 s竪 n捉n nh達m 速淡ng tr鱈c nh達m n袖y g奪m 3918 s竪. Vy s竪 1990 速淡ng 谷 v tr n = 1959.3919 + 1930 = 7679251 1930 B袖i tp t湛 gi其i 1 1 1 1 + + + ... + 5.6 6.7 7.8 24.25 2 2 2 5 5 5 52 + + + ... + 2. Tnh: B = 1.6 6.11 11.16 26.31 1 1 1 1 1 = + ... + 3. Ch淡ng minh r損ng: 1 + ... 2 3 1990 996 1990 1. Tnh: A = 1 2 3 n 1 + + + ... + 2! 3! 4! n! 2! 2! 2! 2! 5 Ch淡ng t叩 r損ng: D = + + + ... + < 1 3! 4! 5! n! 1 1 1 1 1 6. Cho biu th淡c P = 1 + + ... + 2 3 4 199 200 1 1 1 + ... a) Ch淡ng minh r損ng: P = 101 102 200 4. Tnh: C = b) G其i b袖i to存n tr捉n trong tr棚ng h樽p t脱ng qu存t. 1 1 1 1 7. Ch淡ng minh r損ng: n Z (n 0, n 1) th Q = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) kh束ng ph其i l袖 s竪 nguy捉n. 8. Ch淡ng minh r損ng: S = 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + ... + < 2 2 2 4 6 200 2 Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012

More Related Content

Cac dang bai tap so hoc ve day so

  • 1. www.vnmath.com D孫ng 1: D揃y s竪 m袖 c存c s竪 h孫ng c存ch 速u. B袖i 1: Tnh B = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 Nhn xt: Nu h辰c sinh n袖o c達 s湛 s存ng t孫o s thy ngay t脱ng: 2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99 c達 th tnh ho袖n to袖n t測ng t湛 nh b袖i 1, cp s竪 谷 gi歎a vn l袖 51 v袖 50, (v t脱ng tr捉n ch thiu s竪 100) vy ta vit t脱ng B nh sau: B = 1 + (2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99). Ta thy t脱ng trong ngoc g奪m 98 s竪 h孫ng, nu chia th袖nh c存c cp ta c達 49 cp n捉n t脱ng 速達 l袖: (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (51 + 50) = 49.101 = 4949, khi 速達 B = 1 + 4949 = 4950 L棚i bnh: T脱ng B g奪m 99 s竪 h孫ng, nu ta chia c存c s竪 h孫ng 速達 th袖nh cp (m巽i cp c達 2 s竪 h孫ng th 速樽c 49 cp v袖 d 1 s竪 h孫ng, cp th淡 49 th g奪m 2 s竪 h孫ng n袖o? S竪 h孫ng d l袖 bao nhi捉u?), 速n 速息y h辰c sinh s b v鱈ng m他c. Ta c達 th tnh t脱ng B theo c存ch kh存c nh sau: C存ch 2: B = 1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 99 + B = 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1 2B = 100 + 100 + ... + 100 + 100 + 100 2B = 100.99 B = 50.99 = 4950 B袖i 2: Tnh C = 1 + 3 + 5 + ... + 997 + 999 L棚i gi其i: C存ch 1: T探 1 速n 1000 c達 500 s竪 ch遜n v袖 500 s竪 l n捉n t脱ng tr捉n c達 500 s竪 l. 存p d担ng c存c b袖i tr捉n ta c達 C = (1 + 999) + (3 + 997) + ... + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (T脱ng tr捉n c達 250 cp s竪) C存ch 2: Ta thy: 1 = 2.1 3 = 2.2 5 = 2.3 ... 99 = 2.50 9 1 1 1 1 0 Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
  • 2. www.vnmath.com Quan s存t v ph其i, th探a s竪 th淡 2 theo th淡 t湛 t探 tr捉n xu竪ng d鱈i ta c達 th x存c 速nh 速樽c s竪 c存c s竪 h孫ng c単a d揃y s竪 C l袖 500 s竪 h孫ng. 存p d担ng c存ch 2 c単a b袖i tr捉n ta c達: C = 1 + 3 + ... + 997 + 999 + C = 999 + 997 + ... + 3 + 1 2C = 1000 + 1000 + ... + 1000 + 1000 2C = 1000.500 C = 1000.250 = 250.000 B袖i 3. Tnh D = 10 + 12 + 14 + ... + 994 + 996 + 998 Nhn xt: C存c s竪 h孫ng c単a t脱ng D 速u l袖 c存c s竪 ch遜n, 存p d担ng c存ch l袖m c単a b袖i tp 3 速 tm s竪 c存c s竪 h孫ng c単a t脱ng D nh sau: Ta thy: 10 = 2.4 + 2 12 = 2.5 + 2 14 = 2.6 + 2 ... 998 = 2.498 + 2 T測ng t湛 b袖i tr捉n: t探 4 速n 498 c達 495 s竪 n捉n ta c達 s竪 c存c s竪 h孫ng c単a D l袖 495, mt kh存c ta l孫i thy: 495 = 998 10 + 1 hay 2 s竪 c存c s竪 h孫ng = (s竪 h孫ng 速u - s竪 h孫ng cu竪i) : kho其ng c存ch r奪i c辿ng th捉m 1 Khi 速達 ta c達: D = 10 + 12 + ... + 996 + 998 + Th湛c cht D = D = 998 + 996 + ... + 12 + 10 2D = 1008 + 1008 + ... + 1008 + 1008 2D = 1008.495 D = 504.495 = 249480 (998 + 10)495 2 Qua c存c v d担 tr捉n , ta r坦t ra m辿t c存ch t脱ng qu存t nh sau: Cho d揃y s竪 c存ch 速u u 1, u2, u3, ... un (*), kho其ng c存ch gi歎a hai s竪 h孫ng li捉n tip c単a d揃y l袖 d, Khi 速達 s竪 c存c s竪 h孫ng c単a d揃y (*) l袖: n = Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u un u1 + 1 (1) d Nm h畛c 2011-2012
  • 3. www.vnmath.com Sn = T脱ng c存c s竪 h孫ng c単a d揃y (*) l袖 n(u1 + un ) (2) 2 則c bit t探 c束ng th淡c (1) ta c達 th tnh 速樽c s竪 h孫ng th淡 n c単a d揃y (*) l袖: un = u1 + (n - 1)d Hoc khi u1 = d = 1 th S1 = 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1) 2 B袖i 4. Tnh E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + ...+ 98,99 + 99,10 L棚i gi其i Ta c達 th 速a c存c s竪 h孫ng c単a t脱ng tr捉n v d孫ng s竪 t湛 nhi捉n b損ng c存ch nh息n c其 hai v v鱈i 100, khi 速達 ta c達: 100E = 1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899) + 9910 = (1011 + 9899).98 + 9910 = 485495 + 9910 = 495405 2 E = 4954,05 (Ghi ch坦: V s竪 c存c s竪 h孫ng c単a d揃y l袖 (9899 1011) + 1 = 98 ) 101 B袖i 5. Ph息n tch s竪 8030028 th袖nh t脱ng c単a 2004 s竪 t湛 nhi捉n ch遜n li捉n tip. L棚i gi其i G辰i a l袖 s竪 t湛 nhi捉n ch遜n, ta c達 t脱ng c単a 2004 s竪 t湛 nhi捉n ch遜n li捉n tip l袖: 錚 a + ( a + 4006) 錚 錚 .2004 = ( a + 2003).2004 . Khi 2 錚 S = a + (a + 2) + ... + (a + 4006) = 錚 錚 速達 ta c達: (a + 2003).2004 = 8030028 a = 2004. Vy ta c達: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + ... + 6010 Nhn xt: Sau khi gi其i quyt c存c b袖i to存n 谷 d孫ng tr捉n ta kh束ng thy c達 v鱈ng m他c g l鱈n, b谷i v 速達 l袖 to袖n b辿 nh歎ng b袖i to存n c測 b其n m袖 速竪i v鱈i h辰c sinh kh存 c嘆ng kh束ng gp my kh達 kh即n khi tip thu. Tuy nhi捉n 速達 l袖 c存c c測 s谷 速u ti捉n 速 t探 速達 ch坦ng ta tip t担c nghi捉n c淡u c存c d孫ng to存n 谷 m淡c 速辿 cao h測n, ph淡c t孫p h測n m辿t ch坦t. Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
  • 4. www.vnmath.com D孫ng 2: D揃y s竪 m袖 c存c s竪 h孫ng kh束ng c存ch 速u. B袖i 1. Tnh A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1) L棚i gi其i Ta thy m巽i s竪 h孫ng c単a t脱ng tr捉n l袖 tch c単a hai s竪 t湛 nh捉n li捉n tip, khi 速達: G辰i a1 = 1.2 3a1 = 1.2.3 3a1= 1.2.3 - 0.1.2 a2 = 2.3 3a2 = 2.3.3 3a2= 2.3.4 - 1.2.3 a3 = 3.4 3a3 = 3.3.4 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4 .. an-1 = (n - 1)n 3an-1 =3(n - 1)n 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n 1)n an = n(n + 1) 3an = 3n(n + 1) 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) C辿ng t探ng v c単a c存c 速村ng th淡c tr捉n ta c達: 3(a1 + a2 + + an) = n(n + 1)(n + 2) 3 [ 1.2 + 2.3 + ... + n( n + 1) ] = n(n + 1)(n + 2) A = n(n + 1)(n + 2) 3 C存ch 2: Ta c達 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) A = n(n + 1)(n + 2) 3 * T脱ng qu存t ho存 ta c達: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong 速達 k = 1; 2; 3; Ta d d袖ng ch淡ng minh c束ng th淡c tr捉n nh sau: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1) B袖i 2. Tnh B = 1.2.3 + 2.3.4 + + (n - 1)n(n + 1) L棚i gi其i 存p d担ng tnh k th探a c単a b袖i 1 ta c達: 4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + + (n - 1)n(n + 1).4 = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
  • 5. www.vnmath.com [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)] = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) B= (n 1)n(n + 1)(n + 2) 4 B袖i 3. Tnh C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + + n(n + 3) L棚i gi其i Ta thy: 1.4 = 1.(1 + 3) 2.5 = 2.(2 + 3) 3.6 = 3.(3 + 3) 4.7 = 4.(4 + 3) . n(n + 3) = n(n + 1) + 2n Vy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + + n(n + 1) +2n = 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + + n(n + 1) + 2n = [1.2 +2.3 +3.4 + + n(n + 1)] + (2 + 4 + 6 + + 2n) 3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + + n(n + 1)] + 3.(2 + 4 + 6 + + 2n) = = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + n(n + 1).3 + 3.(2 + 4 + 6 + + 2n) = = n(n + 1)(n + 2) + 3(2n + 2)n n( n + 1)( n + 2) 3(2n + 2) n n( n + 1)( n + 5) C= + = 2 3 2 3 B袖i 4. Tnh D = 12 + 22 + 32 + + n2 Nhn xt: C存c s竪 h孫ng c単a b袖i 1 l袖 tch c単a hai s竪 t湛 nhi捉n li捉n tip, cn 谷 b袖i n袖y l袖 tch c単a hai s竪 t湛 nhi捉n gi竪ng nhau. Do 速達 ta chuyn v d孫ng b袖i tp 1: Ta c達: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + + + n.(1 + n) = 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 + + n2 + n.1 = (12 + 22 + 32 + + n2 ) + (1 + 2 + 3 + + n). Mt kh存c theo b袖i tp 1 ta c達: A= n( n + 1)( n + 2) n( n + 1) 12 + 2 2 + 3 2 + + n 2 = = v袖 1 + 2 + 3 + + n = 3 2 n( n + 1)( n + 2) n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) = 3 2 6 B袖i 5. Tnh E = 13 + 23 + 33 + + n3 L棚i gi其i Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
  • 6. www.vnmath.com T測ng t湛 b袖i to存n tr捉n, xut ph存t t探 b袖i to存n 2, ta 速a t脱ng B v t脱ng E: Ta c達: B = 1.2.3 + 2.3.4 + + (n - 1)n(n + 1) = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1) + + (n - 1)n(n + 1) = (23 - 2) + (33 - 3) + + (n3 - n) = = (23 + 33 + + n3) - (2 + 3 + + n) = (13 + 23 + 33 + + n3) - (1 + 2 + 3 + + n) = (13 + 23 + 33 + + n3) (13 + 23 + 33 + + n3) = B + n( n + 1) 2 n( n + 1) (n 1)n(n + 1)(n + 2) M袖 ta 速揃 bit B = 2 4 E = 1 3 + 23 + 3 3 + + n 3 = (n 1)n(n + 1)(n + 2) n( n + 1) 錚 n(n + 1) 錚 = + = 錚 4 2 錚 2 錚 錚 2 C存ch 2: Ta c達: A 1 = 13 = 1 2 A2 = 13 + 23 = 9 = (1 + 2)2 A3 = 13 + 23 + 33 = 36 = (1 + 2 + 3)2 Gi其 s旦 c達: Ak = 13 + 23 + 33 + + k3 = (1 + 2 + 3 + + k)2 (1) Ta ch淡ng minh: Ak+1 = 13 + 23 + 33 + + (k + 1)3 = [1 + 2 + 3 + + (k + 1)]2 (2) Tht vy, ta 速揃 bit: 1 + 2 + 3 + + k = Ak = [ k ( k + 1) 2 ] 2 (1') C辿ng v袖o hai v c単a (1') v鱈i (k + 1) 3 ta c達: Ak + (k + 1)3 = [ 錚 (k + 1)( k + 2) 錚 = 錚 錚 2 錚 錚 k ( k + 1) 2 k (k + 1) 2 k (k + 1) 2 ] + (k + 1)3 Ak+1 = [ ] + (k + 1)3 2 2 2 Vy t脱ng tr捉n 速坦ng v鱈i Ak+1, t淡c l袖 ta lu束n c達: Ak+1 = 13 + 23 + 33 + + (k + 1)3 = [1 + 2 + 3 + + (k + 1)]2 = 2 錚 (k + 1)( k + 2) 錚 = 錚 錚 . Vy khi 速達 ta c達: 2 錚 錚 錚 n( n + 1) 錚 E = 1 + 2 + 3 + + n = (1 + 2 + 3 + + n) = 錚 錚 2 錚 錚 3 3 3 3 2 2 L棚i bnh: - V鱈i b袖i tp tr捉n ta 存p d担ng kin th淡c v quy n孫p To存n h辰c. Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
  • 7. www.vnmath.com - B袖i tp tr捉n chnh l袖 d孫ng b袖i tp v t脱ng c存c s竪 h孫ng c単a m辿t cp s竪 nh息n (l鱈p 11) nhng ch坦ng ta c達 th gi其i quyt 速樽c trong ph孫m vi 谷 cp THCS. B袖i 6. (Trang 23 SGK To存n 7 tp 1) Bit r損ng 12 + 22 + 32 ++ 102 = 385, 速竪 em tnh nhanh 速樽c t脱ng S = 22 + 42 + 62 + + 202 L棚i gi其i Ta c達: S = 22 + 42 + 62 + + 202 = (2.1)2 + (2.2)2 + + (2.10)2 = = 12.22 + 22.22 + 22.32 + + 22.102 = 22.(12 + 22 + 32 + + 102) = 4. (12 + 22 + 32 + + 102) = 4.385 = 1540. Nhn xt: Nu 速t P = 12 + 22 + 32 + + 102 th ta c達: S = 4.P. Do 速達, nu cho S th ta s tnh 速樽c P v袖 ng樽c l孫i. T脱ng qu存t h達a ta c達: P = 12 + 22 + 32 ++ n2 = n(n + 1)(2n + 1) (theo kt qu其 谷 tr捉n) 6 Khi 速達 S = 22 + 42 + 62 + + (2n)2 速樽c tnh t測ng t湛 nh b袖i tr捉n, ta c達: S = (2.1)2 + (2.2)2 + + (2.n)2 = 4.( 12 + 22 + 32 + + n2) = = 4n(n + 1)(2n + 1) 2n(n + 1)(2n + 1) = 6 3 2 錚 n(n + 1) 錚 Cn: P = 1 + 2 + 3 + + n = 錚 . Ta tnh S = 23 + 43 + 63 ++ 錚 2 錚 錚 3 3 3 3 (2n)3 nh sau: S = (2.1)3 + (2.2)3 + (2.3)3 + + (2.n)3 = 8.(13 + 23 + 33 + + n3) l坦c n袖y S = 8P, Vy ta c達: S = 2 3 + 43 + 63 ++ (2n)3 2 2 2 錚 n(n + 1) 錚 8.n (n + 1) 8 錚 = = 2n 2 (n + 1)2 2 錚 4 錚 錚 存p d担ng c存c kt qu其 tr捉n, ta c達 b袖i tp sau: B袖i 7. a) Tnh A = 12 + 32 + 52 + ...+ (2n -1)2 b) Tnh B = 13 + 33 + 53 + + (2n-1)3 L棚i gi其i a)Theo kt qu其 b袖i tr捉n, ta c達: 12 + 22 + 32 ++ (2n)2 = = 2n(2n + 1)(4n + 1) n(2n + 1)(4n + 1) = 6 3 M袖 ta thy: Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012 =
  • 8. www.vnmath.com 1 + 3 + 5 + ...+ (2n -1) = 12 + 22 + 32 ++ (2n)2 - [23 + 43 + 63 ++ (2n)2] 2 2 2 2 = = n(2n + 1)(4n + 1) 2n(n + 1)(2n + 1) 2n 2 (2n + 1) = 3 3 3 b) Ta c達: 13 + 33 + 53 + + (2n-1)3 = 13 + 23 + 33 + + (2n)3 - [23 + 43 + 63 ++ (2n)3] . 存p d担ng kt qu其 b袖i tp tr捉n ta c達: 13 + 23 + 33 + + (2n)3 = n2(2n + 1)2. Vy: B = 13 + 33 + 53 + + (2n-1)3 = n2(2n + 1)2 - 2n2(n + 1)2 = = 2n4 - n2 Ng袖y d孫y: 20/9/2009 Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
  • 9. www.vnmath.com M辿t s竪 b袖i tp d孫ng kh存c B袖i 1. Tnh S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + + 263 L棚i gi其i C存ch 1: Ta thy: S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + + 263 (1) 2S1 = 2 + 22 + 23 + + 263 + 264 (2) Tr探 t探ng v c単a (2) cho (1) ta c達: 2S1 - S1 = 2 + 22 + 23 + + 263 + 264 - (1 + 2 + 22 + 23 + + 263) = 264 - 1. Hay S1 = 264 - 1 C存ch 2: Ta c達: S1 = 1 + 2 + 22 + 23 + + 263 = 1 + 2(1 + 2 + 22 + 23 + + 262) (1) = 1 + 2(S1 - 263) = 1 + 2S1 - 264 S1 = 264 - 1 B袖i 2. Tnh gi存 tr c単a biu th淡c S = 1 +3 + 32 + 33 + + 32000 (1) L棚i gi其i: C存ch 1: 存p d担ng c存ch l袖m c単a b袖i 1: Ta c達: 3S = 3 + 32 + 33 + + 32001 (2) Tr探 t探ng v c単a (2) cho (1) ta 速樽c: 3S - 2S = (3 + 32 + 33 + + 32001) - (1 +3 + 32 + 33 + + 32000) Hay: 32001 1 2S = 32001 - 1 S = 2 C存ch 2: T測ng t湛 nh c存ch 2 c単a b袖i tr捉n: Ta c達: S = 1 + 3(1 +3 + 32 + 33 + + 31999) = 1 + 3(S - 32000) = 1 + 3S - 32001 2S = 32001 - 1 S = 32001 1 2 *) T脱ng qu存t ho存 ta c達: S n = 1 + q + q 2 + q3 + + qn (1) Khi 速達 ta c達: C存ch 1: qSn = q + q2 + q3 + + qn+1 (2) Tr探 t探ng v c単a (2) cho (1) ta c達: (q - 1)S = qn+1 - 1 S = Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u q n +1 1 q 1 Nm h畛c 2011-2012
  • 10. C存ch 2: www.vnmath.com Sn = 1 + q(1 + q + q2 + q3 + + qn-1) = 1 + q(Sn - qn) = 1 + qS n - qn+1 qSn - Sn = qn+1 - 1 hay: Sn(q - 1) = qn+1 - 1 S= q n +1 1 q 1 B袖i 3. Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + + 29; B = 5.28. H揃y so s存nh A v袖 B C存ch 1: Ta thy: B = 5.28 = (23 + 22 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1).26 = 2 9 + 2 8 + 2 7 + 2 6 + 2 6 + 26 + 26 + 26 + 26 + 2 6 = 2 9 + 2 8 + 2 7 + 2 6 + 2 6 + 26 + 26 + 26 + 26 + 2 5 + 2 5 (V 26 = 2.25). Vy r但 r袖ng ta thy B > A C存ch 2: 存p d担ng c存ch l袖m c単a c存c b袖i tp tr捉n ta thy 速測n gi其n h測n, tht vy: A = 1 + 2 + 2 2 + 23 + + 2 9 (1) 2A = 2 + 22 + 23 + + 29 + 210 (2) Tr探 t探ng v c単a (2) cho (1) ta c達: 2A - A = (2 + 22 + 23 + + 29 + 210) - (1 + 2 + 22 + 23 + + 29) = 210 - 1 hay A = 210 - 1 Cn: B = 5.28 = (22 + 1).28 = 210 + 28 Vy B > A * Ta c達 th tm 速樽c gi存 tr c単a biu th淡c A, t探 速達 h辰c sinh c達 th so s存nh 速樽c A v鱈i B m袖 kh束ng gp my kh達 kh即n. B袖i 4. Tnh gi存 tr c単a biu th淡c S = 1 + 2.6 + 3.6 2 + 4.63 + + 100.699 (1) Ta c達: 6S = 6 + 2.6 2 + 3.63 + + 99.699 + 100.6100 (2) Tr探 t探ng v c単a (2) cho (1) ta 速樽c: 5S = 6 - 2.6 + (2.62 - 3.62) + (3.63 - 4.63) + + (99.699 - 100.699) + + 100.6100 - 1 = 100.6100 - 1 - (6 + 62 + 63 + + 699) (*) 則t S' = 6 + 62 + 63 + + 699 6S' = 62 + 63 + + 699 + 6100 S' = 6100 6 6100 6 499.6100 + 1 thay v袖o (*) ta c達: 5S = 100.6100 - 1 = 5 5 5 Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
  • 11. www.vnmath.com S= 499.6 + 1 25 100 B袖i 5. Ng棚i ta vit d揃y s竪: 1; 2; 3; ... H叩i ch歎 s竪 th淡 673 l袖 ch歎 s竪 n袖o? L棚i gi其i Ta thy: T探 1 速n 99 c達: 9 + 2.90 = 189 ch歎 s竪, theo 速u b袖i ta cn thiu s竪 c存c ch歎 s竪 c単a d揃y l袖: 673 - 189 = 484 ch歎 s竪, nh vy ch歎 s竪 th淡 673 ph其i n損m trong d揃y c存c s竪 c達 3 ch歎 s竪. Vy ta xt tip: T探 100 速n 260 c達: 3.161 = 483 ch歎 s竪 Nh vy t探 1 速n 260 速揃 c達: 189 + 483 = 672 ch歎 s竪, theo 速u b袖i th ch歎 s竪 th淡 673 s l袖 ch歎 s竪 2 c単a s竪 261. M辿t s竪 b袖i tp t湛 gi其i: 1. Tnh: A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + + (n - 2) (n + 1) 2. Tnh: B = 1.2.4 + 2.3.5 + + n(n + 1)(n + 3) 3. Tnh: C = 22 + 52 + 82 + ...+ (3n - 1)2 4. Tnh: D = 14 + 24 + 34 + ... + n4 5. Tnh: E = 7 + 74 + 77 + 710 + + 73001 6. Tnh: F = 8 + 83 + 85 + + 8801 7. Tnh: G = 9 + 99 + 999 + + 99 9 (ch歎 s竪 cu竪i g奪m 190 ch歎 s竪 9) 8. Tnh: H = 1.1! + 2.2! + + n.n! 9. Cho d揃y s竪: 1; 2; 3; . H叩i ch歎 s竪 th淡 2007 l袖 ch歎 s竪 n袖o? *** Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
  • 12. www.vnmath.com th lo孫i to存n v ph息n s竪: 1 1 1 1 B袖i 1. Tnh gi存 tr c単a biu th淡c A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + (n 1).n L棚i gi其i 錚1 1 錚 錚 1 1 錚 錚 1 1錚 歎sau khi b叩 du ngoc ta c達: Ta c達: A = 錚 歎+ 錚 歎+ ... + 錚 錚1 2 錚 錚 2 3 錚 錚 n 1 n 錚 1 n A = 1 = n 1 n Nhn xt: Ta thy c存c gi存 tr 谷 t旦 kh束ng thay 速脱i v袖 ch坦ng v袖 速坦ng m 1 1 b損ng hiu hai th探a s竪 谷 mu. M巽i s竪 h孫ng 速u c達 d孫ng: b(b + m) = b b + m (Hiu hai th探a s竪 谷 mu lu束n b損ng gi存 tr 谷 t旦 th ph息n s竪 速達 lu束n vit 速樽c d鱈i d孫ng hiu c単a hai ph息n s竪 kh存c v鱈i c存c mu t測ng 淡ng). N捉n ta c達 m辿t t脱ng v鱈i c存c 速c 速im: c存c s竪 h孫ng li捉n tip lu束n 速竪i nhau (s竪 tr探 c単a nh達m tr鱈c b損ng s竪 b tr探 c単a nh達m sau li捉n tip), c淡 nh vy c存c s竪 h孫ng trong t脱ng 速u 速樽c kh旦 li捉n tip, 速n khi trong t脱ng ch cn s竪 h孫ng 速u v袖 s竪 h孫ng cu竪i, l坦c 速達 ta th湛c hin php tnh s 速測n gi其n h測n. B袖i 2. Tnh gi存 tr c単a biu th淡c B = 錚 4 4 4 4 4 4 4 + + + ... + 3.7 7.11 11.15 95.99 4 錚 + + ... + B= 錚 + 歎 vn d担ng c存ch l袖m c単a phn nhn 95.99 錚 錚 3.7 7.11 11.15 xt, ta c達: 7 - 3 = 4 (速坦ng b損ng t旦) n捉n ta c達: 錚1 1 1 1 1 1 1 1 錚 1 1 32 B = 錚 + + + ... + 歎= = 95 99 錚 3 99 99 錚 3 7 7 11 11 15 B袖i 3. Tnh gi存 tr c単a biu th淡c C = 72 72 72 72 + + + ... + 2.9 9.16 16.23 65.72 Nhn xt: Ta thy: 9 - 2 = 7 72 谷 t旦 n捉n ta kh束ng th 存p d担ng c存ch l袖m c単a c存c b袖i tr捉n (谷 t旦 速u ch淡a 72), nu gi歎 nguy捉n c存c ph息n s竪 速達 th ta kh束ng th t存ch 速樽c th袖nh hiu c存c ph息n s竪 kh存c 速 r坦t g辰n t脱ng tr捉n 速樽c. Mt kh存c ta thy: 7 1 1 = , v vy 速 gi其i quyt 速樽c vn 速 ta ph其i 速t 2.9 2 9 Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
  • 13. www.vnmath.com 7 l袖m th探a s竪 chung ra ngo袖i du ngoc, khi 速達 th湛c hin b捉n trong ngoc s 速測n gi其n. Vy ta c達 th bin 速脱i: 7 7 7 錚 1 1 錚 錚 7 錚1 1 1 1 1 1 + + + ... + 歎 = 7. 錚 + + + ... + 歎= 65.72 錚 65 72 錚 錚 2.9 9.16 16.23 錚 2 9 9 16 16 23 C = 7. 錚 錚 錚 = 7. 錚 歎 = 7. = 3 72 72 錚 2 72 錚 1 1 35 29 B袖i 4. Tnh gi存 tr c単a biu th淡c D = 3 3 3 3 + + + ... + 1.3 3.5 5.7 49.51 L棚i gi其i Ta l孫i thy: 3 - 1 = 2 3 谷 t旦 c単a m巽i ph息n s竪 trong t脱ng n捉n b損ng c存ch n袖o 速達 ta 速a 3 ra ngo袖i v袖 速a 2 v袖o trong thay th. 2錚 3 3 3 3 錚 3錚 2 2 2 2 錚 + + + ... + + + + ... + 錚 歎= 錚 歎 2 錚 1.3 3.5 5.7 49.51 錚 2 錚 1.3 3.5 5.7 49.51 錚 Ta c達: D = = 3 錚1 1 1 1 1 1 1 1 錚 3 錚 1 1 錚 3 50 25 錚 + + + ... + 歎= 錚 歎 = g = 2 錚1 3 3 5 5 7 49 51 錚 2 錚 1 51 錚 2 51 17 B袖i 5. Tnh gi存 tr c単a biu th淡c E = 1 1 1 1 1 1 + + + + + 7 91 247 475 775 1147 L棚i gi其i Ta thy: 7 = 1.7 ; 91 = 13.7 ; 247 = 13.19 ; 475 = 19.25 775 = 25.31 ; 1147 = 31.37 T測ng t湛 b袖i tp tr捉n ta c達: E= 1錚 6 6 6 6 6 6 錚 + + + + + 錚 歎= 6 錚 1.7 7.13 13.19 19.25 25.31 31.37 錚 1 錚1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 錚 1 錚 1 錚 1 36 6 = 錚 + + + + + 歎= 錚1 歎 = = 6 錚 1 7 7 13 13 19 19 25 25 31 31 37 錚 6 錚 37 錚 6 37 37 B袖i 6. (則 thi ch辰n HSG To存n 6 - TX H袖 則束ng - H袖 T息y - N即m h辰c 2002 2003) So s存nh: A = B= 2 2 2 2 + + ... + + v袖 60.63 63.66 117.120 2003 5 5 5 5 + + ... + + 40.44 44.48 76.80 2003 Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
  • 14. www.vnmath.com L棚i gi其i L孫i 存p d担ng c存ch l袖m 谷 b袖i tr捉n ta c達: A= 2錚 1 1 1 1 1 錚 1 2錚 3 3 3 2 錚 + + ... + = 錚 歎+ 3 錚 60.63 63.66 117.120 錚 2003 2錚 1 2 1 錚 2 2 1 2 = + = 錚 + + ... + = 錚 = 歎+ 歎+ 3 錚 60 63 63 66 117 200 錚 2003 3 錚 60 120 錚 2003 3 120 2003 = 1 2 + 180 2003 T測ng t湛 c存ch l袖m tr捉n ta c達: B= 5錚 1 1 錚 5 5 1 5 1 5 = + = + 錚 歎+ 4 錚 40 80 錚 2003 4 80 2003 64 2003 2 錚 2 4 1 4 錚 1 + + = + T探 速息y ta thy ngay 歎= 錚 180 2003 錚 180 2003 90 2003 Ta l孫i c達: 2A = 2 錚 B > 2A th hin nhi捉n B > A B袖i 7. (則 thi ch辰n HSG To存n n即m h辰c 1985 - 1986) So s存nh hai biu th淡c A v袖 B: 錚 錚 + + + ... + A = 124 錚 歎 16.2000 錚 錚 1.1985 2.1986 3.1987 1 B= 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + 1.17 2.18 3.19 1984.2000 L棚i gi其i Ta c達: A = = 124 錚 1 1 1 1 1 1 1 錚 . 錚1 + + + ... + 歎= 1984 錚 1985 2 1986 3 1987 16 2000 錚 1 錚錚 1 1錚 錚 1 1 1 錚駈９ . 錚錚1 + + ... + 歎 錚 + + ... + 歎 16 錚逸 2 16 錚 錚 1985 1986 2000 錚 錚 錚 Cn B = 1 錚錚 1 1 1 1 1 錚駈９ . 錚錚1 + + ... + 歎 = 16 錚逸 17 2 18 1984 2000 錚 錚 錚 1 錚錚 1 1 錚 錚1 1 1 錚駈９ . 錚錚1 + + ... + 歎 錚 + + ... + 歎 = 16 錚逸 2 1984 錚 錚 17 18 2000 錚 錚 錚 = 1 錚錚 1 1錚 錚1 1 1 1 1 1 錚 錚 1 1 錚駈９ . 錚錚1 + + ... + 歎+ 錚 + + ... + ... + ... + 歎 錚 歎 16 錚逸 2 16 錚 錚 17 18 1984 17 18 1984 錚 錚 1985 2000 錚 錚 錚 = 1 錚錚 1 1錚 錚 1 1 1 錚駈９ 錚錚1 + 2 + ... + 16 歎 錚 1985 + 1986 + ... + 2000 歎錚 16 錚逸 錚 錚 錚醐 Vy A = B Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
  • 15. www.vnmath.com *** Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
  • 16. www.vnmath.com th lo孫i to存n v ph息n s竪 (tip) 1 1 1 1 1 B袖i 8. Ch淡ng t叩 r損ng: 5 + 13 + 25 + ... + n2 + n + 1 2 < 2 v鱈i m辰i n N ( ) L棚i gi其i Ta kh束ng th 存p d担ng ngay c存ch l袖m c単a c存c b袖i tp tr捉n, m袖 ta thy: 1 2 1 2 1 2 1 2 < ; < ; < ... ta ph其i so s存nh: 2 2 v鱈i: n + ( n + 1) 2n(2n + 1) 5 2.4 13 4.6 25 6.8 1 1 1 2 1 1 Tht vy: n 2 + (n + 1)2 = n 2 + (n + 1) 2 = 2n2 + 2n + 1 cn 2n(2n + 2) = n(2n + 2) = 2n 2 + 2n 1 2 n捉n hin nhi捉n n2 + (n + 1) 2 < 2n(2n + 1) n N . 1 1 1 1 2 2 2 2 Vy ta c達: 5 + 13 + 25 + ... + n2 + n + 1 2 < 2.4 + 4.6 + 6.8 + ... + 2n(2n + 2) ( ) 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 M袖: 2.4 = 2 4 ; 4.6 = 4 6 ; 6.8 = 6 8 ... 2n(2n + 2) = 2n 2n + 2 n捉n: 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + = + + ... + < = 2.4 4.6 6.8 2n(2n + 2) 2 4 4 6 6 8 2n 2n + 2 2 2n + 2 2 l袖 hin nhi捉n v鱈i m辰i s竪 t湛 nhi捉n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vy: 5 + 13 + 25 + ... + n2 + (n + 1) 2 < 2 4 + 4 6 + 6 8 ... + 2n 2n + 2 hay 1 1 1 1 1 + + + ... + 2 < 2 5 13 25 n + (n + 1) 2 3 2n + 1 5 B袖i 9. Tnh gi存 tr c単a biu th淡c M = (1.2)2 + (2.3)2 + ... + n(n + 1) 2 [ ] L棚i gi其i 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta c達 ngay: M = 12 22 + 22 32 + ... + (n 1) 2 n 2 + n2 ( n + 1) 2 = 1 1 (n + 1) 2 1 (n + 1)(n + 1) 1 n 2 + 2n + 1 1 n 2 + 2n n(n + 2) = = = = = (n + 1) 2 (n + 1) 2 (n + 1) 2 (n + 1) 2 (n + 1) 2 ( n + 1) 2 1 1 1 1 B袖i 10. Tnh gi存 tr c単a biu th淡c N = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n(n + 1)(n + 2) L棚i gi其i Ta c達: N = = 錚 1錚 2 2 2 2 + + + ... + 錚 歎 2 錚 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n.( n + 1)(n + 2) 錚 錚 1錚 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + 錚 歎 2 錚 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 n.(n + 1) (n + 1)( n + 2) 錚 Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
  • 17. www.vnmath.com = 錚 1錚1 1 錚 歎 2 錚 2 (n + 1)(n + 2) 錚 1 1 1 B袖i 11. Tnh gi存 tr c単a biu th淡c: H = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + ... + (n 1).n(n + 1)( n + 2) L棚i gi其i Ta c達: H = 錚 1 錚 3 3 3 錚 + + ... + 歎 3 錚 1.2.3.4 2.3.4.5 ( n 1).n.( n + 1).( n + 2) 錚 1錚 1 1 1 1 1 1 錚 + + ... + = 錚 歎 3 錚 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 ( n 1).n.( n + 1) n.( n + 1).( n + 2) 錚 錚 1錚1 1 錚 歎 3 錚 6 n(n + 1)(n + 2) 錚 12 12 12 12 1 + + + ... + < B袖i 12. Ch淡ng minh r損ng P = 1.4.7 4.7.10 7.10.12 54.57.60 2 = L棚i gi其i 錚 Ta c達: P = 2. 錚 6 6 6 6 錚 + + + ... + 歎 54.57.60 錚 錚 1.4.7 4.7.10 7.10.13 1 1 1 1 1 1 1 錚 錚 1 + + ... + = 2. 錚 + 歎= 54.57 57.60 錚 錚 1.4 4.7 4.7 7.10 7.10 10.13 1 錚 854 427 427 1 1 錚1 = < = . Vy P < = 2錚 歎= 2 3420 855 854 2 2 錚 4 57.60 錚 1 1 1 1 B袖i 13. Ch淡ng minh r損ng S = 1 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 < 2 2 3 4 100 L棚i gi其i Ta thy: 1 1 1 1 1 1 1 1 < ; 2< ; 2< ... < 存p d担ng c存ch l袖m b袖i tp 2 2 2 1.2 3 2.3 4 3.4 100 99.100 tr捉n ta c達: 1 1 1 1 1 + + + ... + < 1+1 < 2 hay S < 2 1.2 2.3 3.4 99.100 100 1 1 1 B袖i 14. 則t A = + + ... + 1.2 3.4 2005.2006 1 1 1 A B= + + ... + . Ch淡ng minh r損ng Z 1004.2006 1005.2006 2006.1004 B S < 1+ L棚i gi其i 存p d担ng c存c b袖i tr捉n, ta c達: 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ... + = 1 + + ... + = 1.2 3.4 2005.2006 2 3 4 2005 2006 1 錚 錚1 1 1 1 錚 錚 1 1 = 錚1 + + + ... + 歎 錚 + + + ... + 歎= 2005 錚 錚 2 4 6 2006 錚 錚 3 5 1 錚 1 錚 錚 1 1 1 錚1 1 = 錚1 + + + + ... + 歎- 2 + + ... + 錚 歎= 2006 錚 2006 錚 錚 2 3 4 錚2 4 A= Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
  • 18. www.vnmath.com 錚 = 錚1 + + + + ... + 1 1 1 1 錚 錚 1 1 1 1 錚 1 1 1 + + ... + 歎- 錚 1 + + + + ... + 歎= 2006 錚 錚 2 3 4 1003 錚 1004 1005 2006 錚 2 3 4 2 錚 1 1 1 錚 A 3010 + + ... + = 1505 Z Cn B = 錚 歎 = 3010 錚 1004 1005 2006 錚 B 2 Nh vy, 谷 phn n袖y ta 速揃 gi其i quyt 速樽c m辿t l樽ng l鱈n c存c b袖i tp v d揃y s竪 谷 d孫ng ph息n s竪. Tuy nhi捉n 速達 l袖 c存c b袖i tp nhn chung kh束ng h 速測n gi其n. V vy 速 存p d担ng c達 hiu qu其 th ch坦ng ta cn linh ho孫t trong vic bin 速脱i theo c存c h鱈ng sau: 1 - Nu mu l袖 m辿t tch th b損ng m辰i c存ch bin 速脱i th袖nh hiu c存c ph息n s竪, t探 速達 ta r坦t g辰n 速樽c biu th淡c r奪i tnh 速樽c gi存 tr. 2 - 則竪i v鱈i c存c b袖i tp ch淡ng minh ta c嘆ng c達 th 存p d担ng c存ch l袖m v tnh gi存 tr c単a d揃y s竪, t探 速達 ta c達 th bin 速脱i biu th淡c cn ch淡ng minh v d孫ng quen thu辿c Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
  • 19. www.vnmath.com M辿t s竪 b袖i to存n kh存c n2 + n + 1 . n! B袖i 1. V鱈i n N * , k hiu an = (1) n H揃y tnh t脱ng a1 + a2 + a3 + + a2007 L棚i gi其i 2 n +1錚 n n +1 錚 n2 + n + 1 n 錚n n 錚 + = (1) 錚 + 歎 = (1) 錚 歎 n! 錚 n! 錚 ( n 1) 錚 n! n! 錚 Ta thy: n N * th: an = (1)n 錚2 3錚 錚3 4錚 錚 2006 2007 錚 + Do 速達: a1 + a2 + a3 + + a2007 = a1 + 錚 + 歎 錚 + 歎+ ... + 錚 歎錚 1! 2! 錚 錚 2! 3! 錚 錚 2005! 2006! 錚 錚 2006 2007 錚 2 2007 2007 + = 1 -錚 歎 = 3 + 1! 2006! 2006! 錚 2005! 2006! 錚 B袖i 2. Xt biu th淡c: S = 1 2 3 1992 + 1 + 2 + ... + 1991 Ch淡ng minh r損ng S < 4 0 2 2 2 2 L棚i gi其i Ta c達: 2S = 2 4 3 4 1992 1 錚 錚2 1錚 錚 3 1 錚 錚 1991 + 1 + 1 + 2 ... + 1990 = 4 + 錚 + 歎+ 錚 2 + 2 歎+ ... + 錚 990 + 1990 歎= 0 2 2 2 2 2 2 錚 錚2 2錚 錚2 2 錚 錚2 錚 = 3 + 錚 0 + 1 + 2 + ... + 1990 + 1991 2 錚2 2 2 2 2 1 1 2 1991 1992 錚 1992 1 1 1 歎 1991 + 2 + 3 + ... + 1990 = 2 2 2 錚 2 3 1989 錚1錚 1 錚 歎 1 1992 1 = 3 + S 1991 + 2 錚 2 錚 2 2 2 1 1 2 1990 1 1992 1 錚 1 錚 = 3 + S 1991 + 錚 歎 2 2 2 錚2錚 1990 1992 錚 1 錚 S = 4 - 1991 錚 歎 2 錚2錚 < 4 hay S < 4 B袖i 3. Ta vit ln l樽t c存c ph息n s竪 sau: 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 1990 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;... S竪 速淡ng 谷 v tr n袖o trong c存c ph息n s竪 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1930 tr捉n? L棚i gi其i S竪 th淡 nht c単a d揃y s竪 c達 t脱ng c単a t旦 s竪 v袖 mu s竪 b損ng 2, hai s竪 tip theo c達 t脱ng c単a t旦 s竪 v袖 mu s竪 b損ng 3, ba s竪 tip theo c達 t脱ng c単a t旦 v袖 mu s竪 b損ng 4 L孫i quan s存t tip ta thy: K t探 ph息n s竪 速u, c存ch 1 ph息n s竪 速n mu s竪 l袖 2, c存ch 2 ph息n s竪 速n mu s竪 3, vy ph息n s竪 1990 速淡ng 谷 v tr th淡 1930 1930 v袖 c単a nh達m c存c s竪 c達 t脱ng c単a t旦 v袖 mu s竪 b損ng 1990 + 1930 = Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012
  • 20. www.vnmath.com 3920. S竪 c存c s竪 速淡ng tr鱈c c単a nh達m n袖y b損ng 1 + 2 + 3 + + 3918 = 1959.3919. V nh達m c達 t脱ng c単a t旦 v袖 mu s竪 b損ng 3920 th g奪m 3919 s竪 n捉n nh達m 速淡ng tr鱈c nh達m n袖y g奪m 3918 s竪. Vy s竪 1990 速淡ng 谷 v tr n = 1959.3919 + 1930 = 7679251 1930 B袖i tp t湛 gi其i 1 1 1 1 + + + ... + 5.6 6.7 7.8 24.25 2 2 2 5 5 5 52 + + + ... + 2. Tnh: B = 1.6 6.11 11.16 26.31 1 1 1 1 1 = + ... + 3. Ch淡ng minh r損ng: 1 + ... 2 3 1990 996 1990 1. Tnh: A = 1 2 3 n 1 + + + ... + 2! 3! 4! n! 2! 2! 2! 2! 5 Ch淡ng t叩 r損ng: D = + + + ... + < 1 3! 4! 5! n! 1 1 1 1 1 6. Cho biu th淡c P = 1 + + ... + 2 3 4 199 200 1 1 1 + ... a) Ch淡ng minh r損ng: P = 101 102 200 4. Tnh: C = b) G其i b袖i to存n tr捉n trong tr棚ng h樽p t脱ng qu存t. 1 1 1 1 7. Ch淡ng minh r損ng: n Z (n 0, n 1) th Q = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n + 1) kh束ng ph其i l袖 s竪 nguy捉n. 8. Ch淡ng minh r損ng: S = 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + ... + < 2 2 2 4 6 200 2 Tr動畛ng THCS Nguy畛n 狸nh Chi畛u Nm h畛c 2011-2012