�ݺ�ߣ

อัตราส่ว�Ȩ��รีโกณมิติ

• เนื่องจากปัจจุบันวิชา คณิตศาสตร์เป็นวิชาสากลที่มนุษย์เรียนอยู่ทุกๆวัน ซึ่งนักเรียนในยุคนี้
เองมีความเข้าใจในวิชานี้ แทบนับคนได้เลย ซึ่งส่งผลทาให้การเรียนในวิชานี้ เป็นไปได้อย่าง
อยากลาบาก ดังนั้น ผู้จัดทาจึงได้ทาโครงงานนี้ เพื่อส่งเสริมและ พัฒนาการเรียนรู้ในสาขาวิชา
คณิตศาสตร์ เพื่อการนาไปประยุกต์ใช้ เพื่อการสอบต่อ และเพื่อการใช้งานในอนาคตของผู้ที่
สนใจค้นคว้าในด้านนี้

• 1.เพื่อส่งเสริมการเรียนรู้พัฒนาผู้ที่สนใจอ่าน
• 2.เพื่อการปรับปรุงพัฒนาระบบข้อมูลต่อไป
• 3.เพื่อเป็นสื่อการเรียนการสอนสาหรับครูอาจารย์และคนทั่วไป
• 4.เพื่อแนะแนวทางความเข้าใจต่อคณิตศาสตร์

1.1 อัตราส่วน
ตรีโกณมิติของมุม
ภายในสามเหลี่ยม
มุมฉาก
30,45 และ 60
องศา
1.3 การนาไปใช้
ตรีโกณมิติอื่นๆ
ที่ควรทราบ
1.5 ความสัมพันธ์
ระหว่างอัตราส่วน
ภายในรูปสามเหลี่ยม
มุมฉากที่ควรทราบ
ผู้จัดทา

A
BC
c
a
b
อัตราส่ว�Ȩ��รีโกณมิติของมุมภายในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก คือ ความสัมพันธ์ระหว่าง
ด้านและมุมภายในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
อัตราส่ว�Ȩ��รีโกณมิติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่สัมพันธ์กับมุม A คือ
หน้าต่อไปจร้า!!

 sin A =
ความยาวด้านตรงข้ามมุม 𝐴
ความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก
=
𝑎
𝑐
 cos A =
ความยาวด้านประชิดมุม 𝐴
=
𝑏
𝑐
 tan A =
=
𝑎
𝑏

จงหาค่าอัตราส่วนของความยาวด้าน ซึ่งเป็นค่า sin, cos และ tan ของมุม x
ใน รูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้
C
AB
X
sin x = BC/AC
cos x = BA/AC
tan x = BC/BA

จงหาค่าอัตราส่วนของความยาวด้าน ซึ่งเป็นค่า sin, cos และ tan
ของมุม x ในรูปสามเหลี่ยมต่อไปนี้
sin x = PQ/PR
cos x = RQ/PR
tan x = PQ/RQ

1) sin 30 + cos 60 + tan 45
=
1
2
+
1
2
+ 1
=1+ 1
=2
Sol
.
sin 30 + cos 60 + tan 45

2) sin 45 – cos 45 + tan 60
=
2
2
-
2
2
+ 3
= 0+ 3
= 3
Sol
.
sin 45 – cos 45 + tan 60

3) 3 tan2 45 + 4 sin2 30+ tan2 60
= 3(1)2+4
1
2
2
+ 3
2
= 3+4+3
= 10
Sol
.
3 tan2
45 + 4 sin2
30+ tan2
60

4)ถ้า xsin 30 cos45=tan 45 sin45 จงหาค่าx
X(
1
2
)(
2
2
) = (1)(
2
2
)
X(
2
4
)=
2
2
x =(
2
2
)(
4
2
)
Sol
.
xsin 30 cos45=tan 45 sin45
x =
4
2
x = 2

เราสามารถนาเอาอัตราส่ว�Ȩ��รีโกณมิติไปใช้ในการแก้ปัญหาได้ดังนี้
ตัวอย่างที่ 1 สามเหลี่ยมมุมฉากรูปหนึ่ง มีมุมแหลมมุมหนึ่งกาง 30 องศา และด้านที่
ยาวที่สุดยาว 4 3 นิ้ ว จงหาด้านที่สั้นที่สุด
วิธีทา ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก มี 𝐶 เป็นมุมฉาก และ 𝐴 = 30
องศา และ AB = 4 3
ดังนั้น BC เป็นด้านที่สั้นที่สุด

ตัวอย่างที่ 2 ชายคนหนึ่งต้องการวัดส่วนกว้างของแม่น้า เขายืนอยู่ริมฝั่งที่จุด A แล้ว
มองข้ามไปที่จุด B ซึ่งอยู่ตรงข้าม ซึ่งเป็นระยะที่สั้นที่สุด แล้วเขาเดินเลียบ
ฝั่งแม่น้าไปเป็นระยะทาง 100 เมตร ก็หยุดอยู่ที่จุด C วัดมุม ACB ได้
40 องศา จงหาความกว้างของแม่น้า (กาหนด tan 40 = 0.839)
วิธีทา จากรูป AB เป็นความกว้างของแม่น้า
ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก มี 𝐴 = 90 และ 𝑐 = 40 องศา
จะสามารถเขียนรูปได้ดังนี้

จากรูปจะได้
𝐴𝐵
𝐴𝐶
= tan 40
AB = AC tan 40
= 100x0.839
= 83.90 เมตร
ดังนั้นแม่น้ากว้าง 83.90 เมตร
B
CA
40
100

ตัวอย่างที่ 3 ตึกสองชั้นหลังหนึ่งมีพื้นชั้นล่างต่ากว่าพื้นชั้นบน 3 เมตร มีบันไดทอดเดียว
ชั้นบันไดแต่ละชั้นกว้าง 20 เซนติเมตร และสูงกว่ากัน 15 เซนติเมตร จงหาว่า
บันไดยาวเท่าไรและบันไดทามุมกับพื้นกี่องศา (กาหนด tan 37=0.75)
วิธีทา จากรูป AB เป็นความยาวของ
บันได AC = 3
เมตรจะได้ บันไดแต่ละชั้นสูง 15 cm.
ดังนั้น บันไดมี =
300
15
= 20 ชั้น
และ บันไดแต่ละชั้นกว้าง 20
cm.ดังนั้น บันไดอยู่ห่างจากจุด C =20x20
ดังนั้น บันไดอยู่ห่างจากจุด 4 m.
A
BC
3 m.
15 cm.
20 cm.

บันได จะได้ 𝐴𝐵2
=𝐵𝐶2
+ 𝐶𝐴2
= 42 + 32
= 16+9 = 25 = 52
ดังนั้น AB = 5 m.
_____(1)
A
BC
3 m.
15 cm.
20 cm.

บันได
และ จะได้
𝐴𝐶
𝐵𝐶
= tan B
3
4
= tan B
ดังนั้น tan B = 0.75= tan 37
ดังนั้น บันไดทามุมกับพื้น 37 องศา____(2)
A
BC
3 m.
15 cm.
20 cm.

บันได
สรุปคำตอบ
1.บันไดยาว 5 เมตร
2.บันไดทามุมกับพื้น 37 องศา
A
BC
3 m.
15 cm.
20 cm.

จากอัตราส่ว�Ȩ��รีโกณมิติที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น เราสามารถหาอัตราส่วนกลับของ
อัตราส่ว�Ȩ��รีโกณมิติได้ดังนี้
 cosec A =
=
𝑐
𝑎
=
1
sin 𝐴
 sec A =
=
𝑐
𝑏
=
1
cos 𝐴
 cosec A =
ความยาวด้านประชิดมุมฉาก
=
𝑏
𝑎
=
1
tan 𝐴

อัตราส่วนมุม 30 องศา 45 องศา 60 องศา
sin
1
2
1
2
3
2
cosec 2 2
2
3
cos
3
2
1
2
1
2
sec
2
3
2 2
tan
1
3
1 3
cot 3 1
1
3
ตำรำงแสดงค่ำของอัตรำส่วนตรีโกณมิติของมุม 30,45 และ 60 องศำ

1) 𝑐𝑜𝑡2
45 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐60 𝑐𝑜𝑡30 𝑠𝑒𝑐2
45
= 1 2
(
2
3
)( 3) 2
2
= (1)(2)(2)
= 4
Sol. 𝑐𝑜𝑡2
45 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐60 𝑐𝑜𝑡30 𝑠𝑒𝑐2
45

2) 𝑠𝑖𝑛30 𝑠𝑒𝑐60 + 𝑡𝑎𝑛60 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐60 + cosec45 sec45
=
1
2
(2)+( 3)(
2
3
) + (
2
2
)(
2
2
)
= 1+2+1
Sol. 𝑠𝑖𝑛30 𝑠𝑒𝑐60 + 𝑡𝑎𝑛60 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐60 + cosec45 sec45
= 4

3)
1
2
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐260 - 𝑠𝑒𝑐245 - 2𝑐𝑜𝑡260
=
1
2
(
2
3
)2 − 2
2
-2 3
2
=
1
2
(
4
3
) – 2 – 2(3)
=
4
6
- 2 - 6
Sol.
1
2
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2
60 - 𝑠𝑒𝑐2
45 - 2𝑐𝑜𝑡2
60
=
4
6
-
12
6
-
36
6
= −
44
6
= -7.333

 sin A x cosec A = 1
 cos A x sec A = 1
 tan A x cot A = 1
 sin2
A + cos2
A = 1
 𝑠𝑒𝑐2 𝐴 - 𝑡𝑎𝑛2 𝐴 = 1
 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2
𝐴 - cot2
𝐴 = 1
 tan A =
sin 𝐴
cos 𝐴
และ cot A =
cos 𝐴
sin 𝐴

1.กาหนด sin A =
5
13
จงหา cos A และ tan A
Sol
.
จาก ท.บ. ปีกาทอรัส จะได้ 𝑐2= 𝑎2+𝑏2
B
AC
c
a
b
132
= 52
+𝑏2
132 − 52= 𝑏2
169 −25= 𝑏2
144= 𝑏2
12= b
ดังนั้น cos A =
12
13
และ tan A =
5
12

 นาย นิชฌาน สิริกุลพิบูลย์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6/11 เลขที่ 19
โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย ปีการศึกษา 2557
 นาย พิเชษฐ์ ประทุมเทพ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 6/11 เลขที่ 38
โรงเรียนยุพราชวิทยาลัย ปีการศึกษา 2557

�ݺ�ߣ

อัตราส่ว�Ȩ��รีโกณมิติ

More Related Content

อัตราส่ว�Ȩ��รีโกณมิติ