�ݺ�ߣ

BÀI TẬP MŨ VÀ LOGARIT
1 Hàm số mũ, hàm số lũy thừa
1.1 Rút gọn các biểu thức sau trong miền xác định của nó
a) P =
x
3
2 + y
3
2
(x2 − xy)
2
3
:
x
−2
3 3
√
x − y
x
√
x − y
√
y
.
b) Q = a3 ( 4
√
a + 4
√
b)2
+ ( 4
√
a − 4
√
b)2
a +
√
ab
. 3
a
√
a.
ĐS: a) P = x2
y + y2
; b) Q = 32a.
1.2 Cho x < 0, chứng minh rằng
−1 + 1 + 1
4
(2x − 2−x)2
1 + 1 + 1
4
(2x − 2−x)2
=
1 − 2x
1 + 2x
1.3 Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y =
2x
+ 2−x
2
.
ĐS: Đồng biến trên (0; +∞), nghịch biến trên (−∞; 0).
1.4 Xét hàm số f(x) =
2x
+ 2−x
2
và g(x) =
2x
− 2−x
2
. Chứng minh rằng ∀x1, x2 ta có các hệ
thức sau:
a) f(x1 + x2) + f(x1 − x2) = 2f(x1)f(x2).
b) g(2x1) = 2g(x1)f(x1).
c) f(2x1) = 2f2
(x1) − 1.
1.5 Cho hàm số f(x) =
4x
4x + 2
. Tính tổng
S = f
1
1993
+ f
2
1993
+ . . . + f
1992
1993
ĐS: S = 996.
2 Hàm số logarit
2.1 Rút gọn các biểu thức sau
a) A = 92 log3(4)+4 log81(2)
b) B = loga
a2 3
√
a
5
√
a4
4
√
a
với a > 0, a = 1.
1

ĐS: a) A = 1024; b) B =
31
20
.
2.2 Cho log12(27) = a. Tính theo a giá trị của log6(16).
ĐS: log6(16) =
12 − 4a
3 + a
.
2.3 Cho log14(28) = a. Tính theo a giá trị của log49(16).
2.4 Cho lg(392) = a; lg(112) = b. Tính log5(7) theo a và b.
ĐS: log5(7) =
4a − 3b
a − 2b + 5
.
2.5 Cho log2(3) = a; log3(5) = b; log7(2) = c. Tính log140(63) theo a, b và c.
ĐS: log140(63) =
2ac + 1
abc + 2c + 1
.
2.6 Cho log4(75) = a; log8(45) = b. Tính log 3√
25(135) theo a và b.
ĐS: log 3√
25(135) =
45b − 6a
8a − 6b
.
2.7 Cho a, b > 0 và a2
+ b2
= 7. Chứng minh rằng ∀α > 0, α = 1 ta có
logα
a + b
3
=
1
2
(logα a + logα b)
2.8 Chứng minh rằng 2014 = − log5


log5
5 5
. . .
5
√
5
2014 dấu căn


.
2.9 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác vuông với c là cạnh huyền. Giả sử c ± b = 1.
Chứng minh
logc+b(a) + logc−b(a) = 2 logc+b(a). logc−b(a)
2.10 Cho log12(18) = α; log24(54) = β. Chứng minh rằng: α.β + 5(α − β) = 1.
2.11 Giả sử
x(y + z − x)
lg z
=
y(x + z − y)
lg y
=
z(y + x − z)
lg z
. Chứng minh rằng
xy
yx
= zy
yz
= zx
xz
2.12 Cho N > 0, N = 1. Chứng minh rằng
1
log2 N
+
1
log3 N
+ . . . +
1
log2014 N
=
1
log2014! N
2.13 Cho y = 10
1
1−lg x ; z = 10
1
1−lg y . Chứng minh rằng x = 10
1
1−lg z .
2.14 Tính các giới hạn sau
a) A = lim
x→0
e5x+3
− e3
2x
b) B = lim
x→0
ex
− 1
√
x + 1 − 1
c) C = lim
x→0
ln(1 + x3
)
2x
d) C = lim
x→0
ln(1 + 2x)
tan x
ĐS: A =
5e3
2
; B = 2; C = 0; D = 2.
2.15 Cho hàm số y = ln
1
1 + x
. Chứng minh rằng xy + 1 = ey
.
2

2.16 Cho hàm số y =
1
1 + x + ln x
. Chứng minh rằng xy = y(ln x − 1).
2.17 Cho hàm số y = e−x
sin x. Chứng minh rằng y + 2y + 2y = 0.
2.18 Cho hàm số y = sin(ln x) + cos(ln x). Chứng minh rằng y + xy + x2
y = 0.
2.19 Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số y = 3x2−3x+1
và y =
1
3
2−x
.
2.20 Cho 0 < x < 1; 0 < y < 1 và x < y. Chứng minh rằng
1
y − x
ln
y
1 − y
− ln
x
1 − x
> 4.
2.21 Cho x > y > 0. Chứng minh
x + y
2
>
x − y
ln x − ln y
.
2.22 Chứng minh nếu x > 0 thì ln x <
√
x.
2.23 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y =
ln2
x
x
trên [1; e3
].
3 Phương trình mũ và logarit
3.1 Giải các phương trình sau
a) (2 +
√
3)2x
= 2 −
√
3 b) 2x2−3x+2
= 4
c) 2.3x+1
− 6.3x−1
− 3x
= 9 d) 9x+1
= 272x+1
e) log2
1
x
= log1
2
(x2
− x − 1) f) log4(x + 12). logx 2 = 1
g) log3 x + log9 x + log27 x = 11 h) log3(3x
+ 8) = 2 + x
a) log2[x(x − 1)] = 1 b) log2 x + log2(x − 1) = 1
c) log2 x + log4 x = log1
2
√
3 d) log2(3 − x) + log2(1 − x) = 3
e) 1 −
1
2
log(2x − 1) =
1
2
log(x − 9) f)
1
6
log2(x − 2) −
1
3
= log1
8
√
3x − 5
a) 3x−1
.2x2
= 8.4x−2
b) 2x
.5x
= 0, 2. log(10x−1
)5
c) 0, 125.42x−3
= (4
√
2)x
d) 2x+1
.5x
= 200
e) 3x
.8
x
x−1 = 36 f) 32−log3 x
= 81x
g) 34x
= 43x
h) 5x−1
= 10x
.2−x
.5x+1
a) 32x+5
= 3x+2
+ 2 b) 3.4x
− 2.6x
= 9x
c) 3x+1
+ 18.3−x
= 29 d) 27x
+ 12x
= 2.8x
e) log2
2 x − 3 log2 x + 2 = 0 f) logx−1 4 = 1 + log2(x − 1)
g)
1
5 − log x
+
2
1 + log x
= 1 h) log1
2
x + log2
2 x
3

a) 8.3x
+ 3.2x
= 24 + 6x
b) 12.3x
+ 3.15x
− 5x+1
= 20
c) 4x2−3x+2
+ 4x2+6x+5
= 42x2+3x+7
+ 1 d) 4x2+2x
+ 21−x2
= 2(x+1)2
+ 1
e) 2 log2
9 x = log3 x. log3(
√
2x + 1 − 1) f) log2 x + 2 log7 x = 2 + log2 x. log7 x
a) 2x
= 3 − x b) 2x
= 2 − log3 x
c) log2 x = 3 − x d) 3x
+ 4x
= 5x
e) 4x
− 3x
= 1 f)
1
3
x
= x + 4
4 Bất phương trình mũ và logarit
4.1 Giải các bất phương trình sau
a) 23−6x
> 1 b) 16x
> 0, 125
c) 2x+2
− 2x+3
− 2x+4
> 5x+1
− 5x+2
d) log5(3x − 1) < 1
e) log1
3
(5x − 1) > 0 f) log0,5(x2
− 5x + 6) ≥ 1
g) log3 log1
2
(x2
− 1) < 1 h) log3
1 − 2x
x
≤ 0
i) log0,5(4x + 11) < log0,5(x2
+ 6x + 8) j) log1
3
(x + 1) > log3(2 − x)
4.2 Giải các bất phương trình sau
a) 9x
< 2.3x
+ 3 b) 52x+1
> 5x
+ 4
c) log2
0,5 x + log0,5 x − 2 ≤ 0 d) 2x
+ 2−x+1
− 3 < 0
e) 4x
− 2.52x
< 10x
f) 4x
− 3.2x
+ 2 > 0
g) log2
3 x − 5 log3 x + 6 ≤ 0 h) log2
0,2 x − 5 log0,2 x < −6
i) 3 + x2
(2x−1
+ 22−x
) > 3x2
+ 22−x
+ 2x−1
5 Mũ và logarit trong các đề thi tuyển sinh đại học
5.1 (CĐ 2008). Giải phương trình log2
2(x + 1) − 6 log2
√
x + 1 + 2 = 0.
ĐS: x = 1; 3.
5.2 (Khối A - 2002). Cho phương trình log2
3 x + log2
3 +1 − 2m − 1 = 0 (với m là tham số).
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3
√
3
].
4

ĐS: a) x = 3
√
3
; b) 0 ≤ m ≤ 2.
5.3 (Khối A - 2004). Giải hệ phương trình



log1
4
(y − x) − log4
1
y
= 1
x2
+ y2
= 25.
.
ĐS: (3; 4).
5.4 (Khối A - 2006). Giải phương trình 3.8x
+ 4.12x
− 18x
− 2.27x
= 0.
ĐS: x = 1.
5.5 (Khối A - 2007). Giải bất phương trình 2 log3(4x − 3) + log1
3
(2x + 3) ≤ 2.
ĐS: 3
4
< x ≤ 3.
5.6 (Khối A - 2009). Giải hệ phương trình



log2(x2
+ y2
) = 1 + log2(xy)
3x2−xy+y2
= 81.
ĐS: (2; 2) và (−2; 2).
5.7 (Khối B - 2002). Giải bất phương trình logx (log3(9x
− 72)) ≤ 1.
ĐS: log9 73 < x ≤ 2.
5.8 (Khối B - 2005) Giải hệ phương trình



√
x − 1 +
√
2 − y = 1
3 log9(9x2
) − log3 y3
= 3.
ĐS: (1; 1) và (2; 2).
5.9 (Khối B - 2006). Giải bất phương trình log5(4x
+ 144) − 4 log5 2 < 1 + log5(2x−2
+ 1).
ĐS: 2 < x < 4.
5.10 (Khối B - 2007). Giải phương trình (
√
2 − 1)x
+ (
√
2 + 1)x
− 2
√
2 = 0.
ĐS: x = ±1.
5.11 (Khối B - 2008). Giải bất phương trình log0,7 log6
x2
+ x
x + 4
< 0
ĐS: x ∈ (−4; −3) ∪ (8; +∞).
5.12 (Khối B - 2010). Giải hệ phương trình



log2(3y − 1) = x
4x
+ 2x
= 3y2
(x, y ∈ R).
5.13 (Khối D - 2002). Giải hệ phương trình



23x
= 5y2
− 4y
4x
+ 2x+1
2x + 2
= y.
ĐS: (0; 1) và (2; 4).
5.14 (Khối D - 2003). Giải phương trình 2x2−x
− 22+x−x2
= 3.
ĐS: x = −1; x = 2.
5.15 (Khối D - 2006). Chứng minh rằng ∀a, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất



ex
− ey
= ln(1 + x) − ln(1 + y)
y − x = a.
5.16 (Khối D - 2006) Giải phương trình 2x2+x
− 4.2x2−x
− 22x
+ 4 = 0.
5

ĐS: x = 0; 1.
5.17 (Khối D - 2007). Giải phương trình log2(4x
+ 15.2x
+ 27) + 2 log2
1
4.2x − 3
= 0
ĐS: x = log2 3.
5.18 (Khối D - 2008). Giải bất phương trình log1
2
x2
− 3x + 2
x
≥ 0.
ĐS: x ∈ [2 −
√
2; 1) ∪ (2; 2 +
√
2]
5.19 (Khối D - 2010). Giải phương trình 42x+
√
x+2
+ 2x3
= 42+
√
x+2
+ 2x3+4x−4
.
ĐS: x = 1; 2.
5.20 (Khối D - 2010). Giải hệ phương trình



x2
− 4x + y + 2 = 0
2 log2(x − 2) − log√
2 y = 0
ĐS: (3; 1).
6

�ݺ�ߣ

Chuyên đề bai tap mu va logarit

Recommended

More Related Content

What's hot (20)

Similar to Chuyên đề bai tap mu va logarit (20)

More from Thiên Đường Tình Yêu (20)

Chuyên đề bai tap mu va logarit