�ݺ�ߣ

Struktur Bilangan ReaL
Bilangan kompleks
Bilangan imajiner Bilangan real
Bilangan Irrasional Bilangan Rasional
Bilangan pecahan Bilangan Bulat
Bilangan bulat negative Bilangan cacah
Nol Bilangan asli
Bilangan prima bilangan komposit
Bilangan Kompleks yaitu bilangan yang ada pada dua dimensi, yaitu bilangan real dan bilangan
imajiner. Bentuk umum Z = a+bi ; dimana a = bilangan real
b = koefisien imajiner
i = imajiner
Bilangan real yaitu bilangan yang digunakan dalam ilmu pengetahuan maupun kehidupan
sehari-hari.
Bilangan rasional yaitu bilangan yang dapat dinyatakan dalam perbandingan dua buah bilangan
bulat atau jika dalam bentuk desimal merupakan desimal yang berakhir atau jika tidak berakhir
merupakan bentuk desimal berulang secara teratur.
Contoh: a. 1,23 =
123
100

b. 1,256256256…
256
10001
1
1
1000
256
10001
999
1000
256
1
999
1255
999
= +
−
= +
= +
=
c. 2,4444444…
4
102
1
1
10
4
102
9
10
4
2
9
22
9
= +
−
= +
= +
=
Interval Bilangan Real
Beberapa cara menyatakan interval bilangan real
1. Menggunakan notasi himpunan
2. Menggunakan garis
3. Menggunakan pasangan suprimun (batas max) dan infrimum(batas min)

Contoh:
1. A = {1, 2, 3, 4}
Secara Notasi: A = {x | 1 ≤ x ≤ 4, x ∊ R}
Grafik garis: A =
Suprimum dan infrimum : A = [1,4]
Secara Notasi: A = {x | 1 ≤ x < 5, x ∊ R}

Grafik garis: A =
Suprimum dan infrimum: A = [1,5)
Secara Notasi: A = {x | 0 < x ≤ 4, x ∊ R}
Grafik garis: A =
Suprimum dan infrimum: A = (0,4]
2. B = {1,2,3,. . .}
Secara Notasi: B = {x | x ≥ 1, x ∊ R}

Grafik garis: B =
Suprimum dan infrimum: A = [1, ̴)
3. C = {…, 8, 9, 10}
Secara notasi: c = {x| x ≤ 10, x ∊ R}
Grafik garis: C =
Suprimum dan infrimum: C = (-~, 10]

Sifat-sifat urutan bilangan real
• Trikotomi yaitu ∀ a, b ∊ R maka satu diantara berikut benar: a = b
a > b
a < b
• Transitif (silogisme)
Menyatakan ∀ a, b, c ∊ R berlaku bila a < b dan b < c maka a < c
• Sifat Additif menyatakan ∀ a,b,c ∊ R berlaku bila a < b maka (a+c) < (b+c)
• Multiplikatif menyatakan ∀ a, b, c ∊ R berlaku bila a < b maka (a x c) < (b x c) {untuk c > 0}
(a x c) > (b x c) {untuk c < 0}
Sifat Kealjabaran Bilangan Real
• Tertutup dalam penjumlahan dan perkalian

karena ∀ a,b ∊ R maka a+b=c ∊ R
juga a x b = q ∊ R
• Komutatif dalam penjumlahan dan perkalian
karena ∀ a,b ∊ R maka a+b = b+a
juga a x b = b x a
• Assosiatif
karena ∀ a,b,c ∊ R maka a+(b+c) = (a+b)+c
juga a x (b x c) = (a x b) x c
• Unsur Identitas
pada + yaitu 0, karena ∀ a ∊ R berlaku a + 0 = 0 + a = a
pada x yaitu 1, karena ∀ a ∊ R berlaku a x 1 = 1 x a = a

• Memenuhi syarat invers
Karena ∀a ∊ R, ∃a-1
∊ R a + a-1
= a-1
+a = 0
Karena ∀b ∊ R, ∃b-1
∊ R b x b-1
= b-1
x b = 1
• Distributif
Karena ∀ a,b,c ∊ R berlaku a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
(a + b) x c = (a x c) + (b x c)

PERTAKSAMAAN
• Kesamaan : suatu persamaan yang tidak memiliki variabel.
Misal: 2+3 = 5
• Persamaan: suatu persamaan yang memiliki variabel, sehingga memerlukan penyelesaian khusus
untuk mencari nilai variabel tsb.
Misal: 2x -5 = 9
• Ketidaksamaan: suatu pertidaksamaan yang tidak memiliki variabel.
Misal: 2+5 < 10
• Pertidaksamaan: suatu pertidaksamaan yang memiliki variabel, sehingga memerlukan penyelesaian
khusus untuk mencari nilai variabel tsb.
Misal: 3x+6 >5
1. Pertaksamaan Linier
Contoh: 2x + 5 > 3
3x + 8 < x +10
-2 < 2x + 3 < 8
2x < 5x - 7 < 8x + 3
Dalam penyelesaian pertaksamaan linier gunakan kaidah additif dan multiplikatif dalam urutan
bilangan real, yaitu:
1. Pada tiap pertaksamaan dapat menambahkan bilangan real yang sama pada masing-masing ruas
tanpa mengubah tanda pertaksamaan
2. Pada setiap pertaksamaan dapat dikalikan bilangan yang sama untuk masing-masing ruas,
dengan catatan:
a. jika bilangan pengali ≥ 0, tanda pertaksamaan tetap
b. jika bilangan pengali < 0, tanda pertaksamaan dibalik
Contoh:
a. -3 < 2x + 5 < 9
Jawab: -3 -5 < 2x < 9 - 5
-8 < 2x < 4
-4 < x < 2
HP (-4, 2)

b. 2x < 5x - 7 < 8x + 3
2x < 5x – 7 dan 5x – 7 < 8x + 3
-3x < -7 -3x < 10
x >
7
3
x >
10
3
−
| x | √
10
3
− 7
3
Jadi {x > 7/3} maka hp =
7
,
3
 
∞÷ 
Pertidaksamaan Non Linier
Contoh: x2
+5x -6 > 0
3 5
2
2 1
x
x
+
>
−
untuk menyelesaikan pertaksamaan non linier perlu dilakukan langkah sebagai berikut:
1. Gunakan kaidah additif dan multiplikatif seperti pada pertaksamaan linier
2. Buat ruas kanan = 0
3. Buat ruas kiri menjadi faktor-faktor linier
4. Jika ruas kiri merupakan benttuk fungsi rasional buatlah masing-masing penyebut dan
pembilang menjadi faktor linier tersendiri
5. Tentukan nilai nol fungsi dari faktor linier pada ruas kiri
6. Dengan menggunakan garis bilangan real, tentukan ruas interval dengan pembagi di titik nol
fungsi yang diperoleh
7. Dengan menggunakan sample bilangan pada masing-masing ruas interval, yaitu:
a. jika positif merupakan daerah penyelesaian dari pertaksamaan > atau ≥
b. jika negatif merupakan daerah penyelesaian dari pertaksamaan < atau ≤
Contoh:
a. x2
– x – 6 > 0
(x-2) (x-3) > 0

x > 2 atau x > 3
Hp (2, ~) U (3,~)
b.
3 5
2
2 1
x
x
+
≥
−
3 5
2 0
2 1
3 5 2(2 1)
0
2 1 2 1
3 5 4 2
0
2 1
7
0
2 1
x
x
x x
x x
x x
x
x
x
+
− ≥
−
+ −
− ≥
− −
+ − +
≥
−
− +
≥
−
Persamaannya: -x + 7 = 0 maka x =7
2x – 1 = 0 maka x =1/2
Ujikan setiap interval ke pertidaksamaan awal
x √ x
½ 7
Karena penyebut 2x – 1 maka x ≠ 1/2
Jadi {½ < x ≤ 7} maka hp = (1/2, 7]
Nilai Mutlak
Nilai mutlak dituliskan dengan |x| didefinisikan dengan |x| = x jika x ≥ 0 dan
=-x jika x < 0

Misal: |5| = 5; |-5|=5; |0|=0
Sifat-sifat nilai mutlak:
1. |ab|=|a| |b|
2. |a/b|=|a|/|b|
3. |a+b|=|a|+|b|
4. |a-b|=||a|-|b||
Penyelesaian nilai mutlak dapat menggunakan pengkuadratan atau dengan teorema:
1. |x|< a maka –a < x < a
2. |x|> a maka x > -a atau x > a
Contoh:
1. Tentukan penyelesaian pertidaksamaan berikut:
a. |3x-5|≥ 1
Karena persamaan lebih besar menggunakan teorema 2
Jawab: 3x-5 ≥ -1 atau 3x-5 ≥ 1
3x ≥ 4 3x ≥ 6
{x ≥4/3} {x ≥ 2}
hp [4/3,~] U [2,~]
b.
3 1
3
2 5
x
x
+
≤
−
Karena pertidaksamaan lebih kecil menggunakan teorema 1
3 1
3
2 5
3 1
3 0
2 5
3(2 5) 3 1
0
2 5 2 5
6 15 3 1
0
2 5
9 14
0
2 5
x
x
x
x
x x
x x
x x
x
x
x
+
− ≤
−
+
− − ≤
−
− − +
− ≤
− −
− + − −
≤
−
− +
≤
−
dan
3 1
3
2 5
3 1
3 0
2 5
3 1 3(2 5)
0
2 5 2 5
3 1 6 5
0
2 5
3 6
0
2 5
x
x
x
x
x x
x x
x x
x
x
x
+
≤
−
+
− ≤
−
+ −
− ≤
− −
+ − +
≤
−
− +
≤
−

Persamaannya: -9x +1 4 = 0 maka x = 14/9 Persamaannya: -3x+6 = 0 maka x = 2
2x – 5 = 0 maka x = 5/2 2x – 5 = 0 maka x = 5/2
Uji setiap intervalnya Uji setiap intervalnya
- + - + - +
14/9 5/2 2 5/2
Karena penyebut 2x – 5 maka x ≠ 5/2
Yang memenuhi x ≤ 14/9 atau x > 5/2 Yang memenuhi x ≤ 2 atau x > 5/2
Jadi {x ≤ 14/9} ⋃ {x ≤ 2} ⋃ {x > 5/2}
Hp (- ̴, 14/9] ⋃ (- ̴,2] ⋃ (5/2, ̴)

c. 5 2 5x x+ < +
Mutlak di kedua ruas digunakan metode pengkuadratan.
2 2
2 2
2 2
2
( 5) 2( 5)
10 25 2( 10 25)
10 25 2 20 50
10 25 0
( 5)( 5) 0
x x
x x x x
x x x x
x x
x x
+ < +
+ + < + +
+ + < + +
− − − <
− − + <
Persamaannya: -x – 5 = 0 maka x =-5
x + 5 = 0 maka x = -5
ujikan tiap interval ke persamaan awal
√ √
- 5
Jadi {x < -5} dan {x > -5} maka hp (-5, ̴)⋃ (- ̴ ,-5)
d.
5
1
2
x
x
+
>
−
Karena tanda lebih besar digunakan teorema 2

5
1
2
5
1 0
2
5 2
0
2 2
5 2
0
2
2 3
0
2
x
x
x
x
x x
x x
x x
x
x
x
+
< −
−
+
+ <
−
+ −
+ <
− −
+ + −
<
−
+
<
−
dan
5
1
2
5
1 0
2
5 2
0
2 2
5 2
0
2
7
0
2
x
x
x
x
x x
x x
x x
x
x
+
>
−
+
− >
−
+ −
− >
− −
+ − +
>
−
>
−
Persamaan: 2x+3 = 0 maka x = -3/2 Persamaan: x-2 = 0 maka x = 2
x-2 = 0 maka x = 2
Ujikan tiap interval
- + - - +
-3/2 2 2
Karena penyebut x – 2 maka x ≠ 2
Jadi {-3/2 < x < 2} ⋃ {x > 2}
Hp (-3/2, 2) ⋃ (2, ̴)

FUNGSI
Fungsi yaitu aturan yang memasang setiap elemen suatu himpunan dengan tepat pada suatu elemen
himpunan kedua.
A f(x) B
a 3
b 4
c 5
d 10
Keterangan:
A = {a,b,c,d} → domain / daerah asal
B = {3,4,5,10} → kodomaim / daerah kawan
C = {3,4,10} → range / daerah hasil
Aturan hubungan antara A dengan B → aturan fungsi f(x).
Contoh:
Diketahui A ={1,2,3} dan f(x) = 2x - 5. Tentukan range dari himpunan A tersebut. Dan gambarkan sketsa
grafiknya!
Jawab:
f (x) = 2x – 5 2
f(1) = 2(1) - 5 = -3 1
f(2) = 2(2) – 5 = -1 -3 -2 -1 1 2 3
f(3) = 2(3) – 5 = 1 -1
Jadi range adalah {-3, -1, 1} - 2
-3

Operasi Fungsi
Asal g(x) ≠ 0
Komposisi fungsi
(fog) (x) = f(g(x))
(hofog) (x) = h(fog(x))
Contoh:
Diketahui 2
( ) 1f x x= −
2
2
( )
( ) 4
g x
x
h x x x
=
= +
a. (f.g)(2)
2
2
2
( . )( ) 1.
2 1
f g x x
x
x
x
= −
−
=
2
2 (2) 1
( . )(2)
2
3
f g
−
=
=
b. (f/g) (3)
( )
2 2
1 1
2 2
f x x x
x
g
x
  − −
= = ÷
 
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( . )( ) ( ). ( )
( )
( / )( )
( )
f g x f x g x
f g x f x g x
f g x f x g x
f x
f g x
g x
+ = +
− = −
=
=

( )
2
3 (3) 1 3
3 8
2 2
f
g
− 
= = ÷
 
c. (fog)(2)
2
( )( ) ( ( ))
2
( )
2
1
4
1
2
fog x f g x
f
x
x
x
=
=
 
= − ÷
 
 
= − ÷
 
4
( )(2) 1
(1)
3
fog
 
= − ÷
 
=
d. 2
( )( ) ( ( ( )) ( ( 4))gofoh x g f h x g f x= = +
2 2
2 2
( ( 4 ) 1
2
( 4 ) 1
g x x
x x
= + −
=
+ −
e. 2 2
2
( )(1)
((1) 4(1)) 1
gofoh =
+ −
2 2 2
1
25 1 4
= = = =
−
f.
22
(2) (3) 3 1 1 8
2
g f+ = + − = +
g. ( )2 2
(1). (2) (1 4). 2 1 5 3h f = + − =
Fungsi Invers
Contoh:
Diketahui f(t)=
2 5
7
t +
g(t)=
2
2
9
5 6
t
t t
−
− +
h(t)= 2
6t t+ −

a. 1 2 5
( ) ( )
7
t
f t f t− +
→
1
2 5
7
7 2 5
2 7 5
7 5
2
7 5
( )
2
t
y
y t
t y
y
t
t
f t−
+
=
= +
= −
−
=
+
=
b. f-1
(3)=
7.3 5 26
13
2 2
+
= =
c.
2
1
2
9
( ) ( )
5 6
t
g t g t
t
− −
→ =
− +
2
2
1
9
5 6
( 3)( 3)
( 3)( 2)
( 3)
( 2)
2 3
3 2
( 1) 3 2
3 2
1
3 2
( )
1
t
y
t
t t
y
t t
t
y
t
yt y t
yt t y
t y y
y
t
y
t
g t
t
−
−
=
− +
− +
=
− +
+
=
+
− = +
− = +
− = +
+
=
−
+
=
+
d. g-1
(1)
3 2.1 5
1 1 2
+
= =
+
e. 1 2
( ) ( ) 6h t h t t t−
→ = + −

2
2
2
1
6
( 1) 7
( 1) 7
1 7
7 1
( ) 7 1
y t t
y t
t y
t y
t y
h t t−
= + −
= + −
+ = +
+ = +
= + −
= + −
f. h-1
(2) = 2 7 1 9 1 3 1 2+ − = − = − =
g. 1
( ) ( )foh t−
( )( ) ( ( ))foh t f h t=
2
2
2
( 6)
2( 6) 5
7
2 1
7
f t t
t t
t t
= + −
+ − +
=
+ −
=
2
2
2
2
1
2 1
7
7 2 1
2 18
7 2
4 16
18 2
7 2
16 4
18 2
7 2
16 4
18 2
2 7
16 4
18 2
7
16 4
2
18 2
7
16 4( ) ( )
2
t t
y
y t t
y t
y t
y t
t y
y
t
t
foh t−
+ −
=
= + −
 
= + + ÷ ÷
 
 
− = + ÷ ÷
 
− = +
= − −
− −
=
− −
=

LIMIT
Limit bermakna “mendekati”. Misal bada bentuk ( )
3
1
1
x
f x
x
−
=
−
.
Dalam hal ini, fungsi tersebut tidak terdefinisi pada x =1 karena di titik ini f(x)= 0
0 yang tanpa arti.
Tetapi kita masih dapat menanyakan apa yang terjadi pada x mendekai 1.
x 3
1
1
x
xy −
−=
1,1
1,01
1,001
1
0,999
0,99
0,9
3,310
3,030
3,003
?
2,997
2,970
2,710
Definisi limit secara intuisi:
“Untuk menyatakan bahwa lim ( )
x c
f x L
→
= berarti bahwa jika x dekat tetapi berlainan dengan c, maka f(x)
dekat ke L”.
Contoh:
3
1
1
lim 3
1x
x
x→
−
−
;
LIMIT SEPIHAK
Definisi:
“Suatu fungsi dikatakan memiliki limit pada x = a, jika dan hanya jika lim ( ) lim ( ) lim ( )
x cx c x c
f x f x f x− + →→ →
= = ”
Contoh:
2
3
5 6
lim
3x
x x
x→−
+ +
+

( ) ( )
( )
2
3 3
3
5 6 ( 3)( 2)
lim lim
3 ( 3)
lim ( 2)
3 2
1
x x
x
x x x x
x x
x
− −
−
→− →−
→−
+ + + +
=
+ +
= +
= − +
= −
( ) ( )
( )
2
3 3
3
5 6 ( 3)( 2)
lim lim
3 ( 3)
lim ( 2)
3 2
1
x x
x
x x x x
x x
x
+ +
+
→− →−
→−
+ + + +
=
+ +
= +
= − +
= −
Jadi dapat disimpulkan bahwa
2
3
5 6
lim
3x
x x
x→−
+ +
+
= -1
Terdapat beberapa fungsi yang memungkinkan limit kiri tidak sama dengan limit kanan,yaitu:
1. Fungsi bersyarat / tangga
2. Fungsi mutlak
3. Fungsi bilangan bulat terbesar
Contoh:
1
1
lim
1x
x
x→
+
+
( ) ( )
1 1
1 ( 1)
lim lim 1
1 1x x
x x
x x− −
→ →
+ +
= =
+ +
( ) ( )
1 1
1 ( 1)
lim lim 1
1 1x x
x x
x x+ +
→ →
+ +
= =
+ +
Karena ( ) ( )
1 1
1 1
lim lim
1 1x x
x x
x x− +
→ →
+ +
=
+ +
maka
1
1
lim 1
1x
x
x→
+
=
+

1
1
lim
1x
x
x→−
+
+
( )
( ) ( )
1 1
1 1
lim lim 1
1 1x x
x x
x x− −
→− →−
+ +
= − = −
+ +
( )
( ) ( )
1 1
1 1
lim lim 1
1 1x x
x x
x x+ +
→− →−
+ +
= =
+ +
Karena ( ) ( )
1 1
1 1
lim lim
1 1x x
x x
x x− +
→− →−
+ +
≠
+ +
maka
1
1
lim
1x
x
x→−
+
+
tidak ada.
Ketentuan Penyelesaian Soal Limit
1. Jika f(x) bukan bentuk tak tentu
Maka lim ( ) ( )
x a
f x f a
→
=
Contoh: ( )2 2
2
lim 2 2 2(2) 2 6
x
x
→
− = − =
2. Jika f(x) merupakan bentuk tak tentu (
0 00
0 , ,0. , ,1 , ,0∞∞
∞ ∞ ∞ −∞ ∞ )
Lakukan alternative:
a. Menggunakan trik manipulasi aljabar dengan memperhatikan dalil-dalil limit dan atau rumus
dasar limit
b. Menggunakan dalil l’hopital
Contoh:
( )
3 2
1 1
2
1
2
1 ( 1)( 1)
lim lim
1 ( 1)
lim 1
1 1 1
3
x x
x
x x x x
x x
x x
→ →
→
− − + +
=
− −
= + +
= + +
=

9 9
9 ( 3)( 3)
lim lim
3 3
9 3
6
x x
x x x
x x→ →
− − +
=
− −
= +
=
3. Jika fungsi yang dicari limitnya merupakan fungsi khusus (f.bilangan bulat terbesar, f.mutlak,
atau f.bersyarat) maka perlu meneliti limit kiri dan limit kanan.
Contoh:
§ ¨1
lim 2 1
x
x
→
+
§ ¨ § ¨( )
1
lim 2 1 2.0 1 1
x
x−
→
+ = + =
§ ¨ § ¨( )
1
lim 2 1 2.1 1 3
x
x+
→
+ = + =
Karena § ¨ § ¨( ) ( )
1 1
lim 2 1 lim 2 1
x x
x x− +
→ →
+ ≠ + maka § ¨1
lim 2 1
x
x
→
+ tidak ada.
Dalil-dalil Limit
[ ]
[ ] [ ] [ ]
( )
lim
lim . ( ) lim ( )
lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
lim ( ). ( ) lim ( ) .lim ( )
lim ( )( )
lim
( ) lim ( )
lim( ( )) lim ( )
limln ( ) ln lim
x a
x a x a
x a x a x a
x a x a x a
x a
x a
x a
n
n
x a x a
x a x a
c c
k f x k f x
f x g x f x g x
f x g x f x g x
f xf x
g x g x
f x f x
f x
→
→ →
→ → →
→ → →
→
→
→
→ →
→ →
=
=
   ± = ±
   
=
=
 =
 
=
lim ( )
( )
( )
lim ( ) lim ( )
lim( ( )) lim ( )
x a
n n
x a x a
g x
g x
x a x a
f x
f x f x
f x f x
→
→ →
→ →
 
 
=
 =
 

Contoh soal:
( ) ( )
( )
( )
2
2 1
2
1 1 1
882 2
3 3
82
8
lim 1
2 1 2
1 1
2 1 1
2
lim lim lim
1 1
2
lim 2 5 2 lim 2 5 2
2.3 5.3 2
(5)
390625
lim( 5 1) lim( 5 1)
(1 5.1 1)
(5)
25
x
x x x
x x
x
x
x x
x x x x
x x x x
x x x x
→
→ → →
→ →
+
+
→ →
+
+ = +
= +
=
 − + = − +
 
= − +
=
=
+ − = + −
= + −
=
=
Jika lim ( ) 2 lim ( ) 8. :
x a x a
f x dan g x Tentukan
→ →
= = −
( ) ( )
( )
( )
3 3
3
3
. lim ( ) ( ) 3 lim ( ).lim ( ) 3
lim ( ). lim ( ) lim3
8. 2 3
2.(5)
10
2lim ( ) 3lim ( )2 ( ) 3 ( )
.lim
( ) ( ) lim ( ) lim ( )
2.2 3( 8)
2 ( 8)
4 24
6
28
6
14
3
x a x a x a
x a x a x a
x a x a
x a
x a x a
a g x f x g x f x
g x f x
f x g xf x g x
b
f x g x f x g x
→ → →
→ → →
→ →
→
→ →
+ = +
= +
= − +
= −
= −
−−
=
+ +
− −
=
+ −
+
=
−
= −
= −

Rumus dasar limit
0 0
0 0
lim 0 ; .
...
lim 0
...
1
lim 0
sin
lim lim 1
sin
tan
lim lim 1
tan
x
n
mx
x
x
x x
x x
a
a B real
x
a
untuk n m
b
ax
untuk n m
bx
untuk n m
untuk a b
a a
ketentuan untuk a b
b b
untuk a b
x x
x x
x x
x x
→∞
→∞
∞
→∞
→ →
→ →
= ∈

= =
+
= <
+ =∞ >


= =
   
= < ÷  ÷
    = ∞ >
= =
= =
3 2
3 2 4 4 4
44
4 4
2 3
4
2 3
4
5 7 5
5 7 5
lim lim
8 58 5
5 7 5
lim
5
8
5 7 5
5
8
0 0 0
8 0
0
8
0
x x
x
x x x
x x x x x x
xx
x x
x x x
x
→∞ →∞
→∞
+ −
+ −
=
+
+
+ −
=
+
+ −
∞ ∞ ∞=
+
∞
+ −
=
+
=
=

0 0
2sin 4 sin 4 4 7
lim 2lim . .
tan 7 tan 7 4 7x x
x x x x
x x x x→ →
=
0
0
0
sin 4 7 4
2lim . .
4 tan 7 7
4
2lim.1.1.
7
4
2.1.1.lim
7
4
2.
7
8
7
x
x
x
x x x
x x x
x
x
x
x
→
→
→
=
=
/
=
/
=
=
1
2 1 5
2 5 2
lim lim
15 2
5 1 2
5
x
x x
xx x
x
x
→∞ →∞
 
+ ÷+  =
+  
+ ÷
 
1
1 5
22
lim
5 1
1 2
5
1
1 5
22
5 1
1 2
5
(1 0)
0.
(1 0)
1
0. 0
1
x
x
xx→∞
∞
∞
∞
  
+ ÷ ÷ ÷    =  ÷
    
+ ÷ ÷ ÷  
  
+ ÷ ÷ ÷    = ÷
    
+ ÷ ÷ ÷  
+
=
+
= =

Dalil L’hopital
Jika
( )
( )
( )
g x
f x
h x
= merupakan bentuk 0
0 atau ∞
∞ , maka:
( ) '( )
lim lim
( ) '( )
"( )
lim
"( )
x a x a
x a
g x g x
h x h x
g x
h x
→ →
→
=
=
= . . . dst s/d ≠ 0
0 atau ∞
∞
Contoh:
3 20 0
0
0
sin 1 cos
lim lim
3
sin
lim
6
cos
lim
6
cos0
6
1
6
x x
x
x
x x x
x x
x
x
x
→ →
→
→
− −
=
=
=
=
=

KONTINUITAS
Yaitu untuk memerikan proses tanpa perubahan yang mendadak.
Syarat kontinu :
( ) lim ( )
x a
f a f x
→
=
Pada semua fungsi kecuali fungsi khusus, akan kontinu jika :
lim ( ) lim ( ) ( )
x a x a
f x f x f a− +
→ →
= =
Teorema:
1. Nilai mutlak suatu fungsi akan kontinu di setiap bilangan real.
2. Jika f(x) dan g(x) kontinu di c, maka:
• K f(x), (f +g) (x), (f - g)(x), (f . g)(x) , f(x)n
juga akan kontinu di c.
• ( )n f x kontinu di c f(c) > 0 jika n genap
•
( )
( )
f x
g x
kontinu di c jika g(c) ≠ 0
3. Jika lim ( )
x c
g x L
→
= dan f(x) kontinu di L maka lim ( ) lim ( ( )) ( )
x c x c
fog x f g x f L
→ →
= =
Jika g(x) kontinu di c dan f(x) kontinu di g(c) maka fungsi komposit (fog) kontinu di c
4. f(x) kontinu pada selang terbukla (a,b) jika f kontinu di setiap titik (a,b). f(x) kontinu pada selang
tertutup [a,b] jika kontinu pada (a,b), kontinu di kanan a dan kontinu di kiri b.
Contoh Soal
1. Tentukan apakan f(x) kontinu di titik x = 2
a. f(x) = 2x3
– 6
Jawab:
3 3
2
lim2 6 2.2 6 10
x
x
→
− = − =
3
(2) 2.2 6 10f = − =
Karena
3
2
lim2 6 (2) 10
x
x f
→
− = = maka f(x) kontinu di x = 2
b. f(x) 2x + 5, untuk x ≠ 2
x2
+ 5, untuk x = 2

Jawab:
2
2
2
2
lim 2 5 2.2 5 9
lim 2 5 2.2 5 9
lim ( ) 9
(2) 2 5 9
x
x
x
x
x
f x
f
−
+
→
→
→
+ = + =
+ = + =
=
= + =
Karena 2
lim ( ) (2) 9
x
f x f
→
= = maka f(x) kontinu di x = 2
c. f(x) 3X – 2, untuk x ≤ 2
8 , untuk x > 2
Jawab:
2
2
2
lim 3 2 3.2 2 4
lim 8 8
lim ( )
(2) 3.2 2 4
x
x
x
x
f x tidak ada
f
−
+
→
→
→
− = − =
=
= − =
Karena 2
lim ( )
x
f x
→
tidak ada maka f(x) tidak kontinu di x = 2
2. f(t) =| 2
2 5t t− + |
Pada f(t) =| 2
2 5t t− + | selalu kontinu dibilangan manapun karena
f(t) =| 2
2 5t t− + | = 2
2 5t t− +
3. g(t)=
3
8
2
t
t
−
−
3 2
2 2
2
2
2
8 ( 2)( 2 4)
lim lim
2 ( 2)
lim 2 4
2 2.2 4
12
x x
x
t t t t
t t
t t
→ →
→
− − + +
=
− −
= + +
= + +
=

3
2 8
(2)
2 2
0
0
g
−
=
−
=
=:
∴ g(t) =
3
8
2
t
t
−
−
diskontinu pada x = 2, karena g(2) tidak ada
4. 2
2 3
( )
6
x
f x
x x
+
=
− −
F(x) tidak kontinu jika 2
6x x− −
2
6 0
( 3)( 2) 0
3 2
x x
x x
x dan x
− − =
− + =
= = −
∴f(x) tidak kontinu pada titik x = -2 dan x =3
5. Tentukan nilai a & b sehingga fungsi berikut kontinu di mana-mana.
f(x)
1 1
1 2
3 2
x jika x
ax b jika x
x jika x
+ <
+ ≤ <
≥
Jawab:
Kemungkinan f(x) diskontinu, yaitu pada x=1 dan x=2. Agar f(x) kontinu pada semua x maka
harus terpenuhi.
1. 1
(1) lim ( )
x
f f x
→
= 2. 2
(2) lim ( )
x
f f x
→
=
Syarat 1 Syarat 2
1 1
1 1
(1) lim ( ) lim ( )
(1) lim 1 lim( )
1 1 (1)
2
2
x x
x x
f f x f x
a b x ax b
a b a b
a b a b
a b
− +
− +
→ →
→ →
= =
+ = + = +
+ = + = +
+ = = +
+ =
2 2
2 2
(2) lim ( ) lim ( )
3(2) lim lim 3
6 (2) 3(2)
6 2 6
2 6
x x
x x
f f x f x
ax b x
a b
a b
a b
− −
− −
→ →
→ →
= =
= + =
= + =
= + =
+ =
Persamaan 1 dan 2

2
2 6
4
4
2
4 2
2
a b
a b
a
a
a b
b
b
+ =
+ = −
− = −
=
+ =
+ =
= −
∴ a = 4 dan b = -2 agar f(x) dapat kontinu dimanapun

TURUNAN (DERIVATIF)
( ) ( )
0
lim
h
f x h f xdy
dx h→
+ −
=
dy
dx
merupakan Turunan fungsi y = f(x) terhadap perubahan x
Contoh soal :
Buktikan turunan
dy
dx
 
 ÷
 
dari :
a. f(x) = x2
( ) ( )
0
lim
h
f x h f xdy
dx h→
+ −
=
( )
2 2
0
2 2 2
0
0
0
lim
2
lim
(2 )
lim
lim 2
2 0
2
h
h
h
h
x h x
h
x xh h x
h
h x h
h
x h
x
x
→
→
→
→
+ −
=
+ + −
=
+
=
= +
= +
=

b. f(x) = sin x
( ) ( )
0
lim
h
f x h f xdy
dx h→
+ −
=
( )
0
2
0
0
0 0
0 0
sin sin
lim
sin cos cos sin h sin
lim
sin (cos h ) cos sin h
lim
sin (cos h ) cos sin h
lim lim
cos h 1 sin h
sin lim coslim
sin.0 cos.1
0 cos
cos
h
h
h
h h
h x
x h x
h
x x x x
h
x i x
h h
x i x
h h
x
h h
x
x
→
→
→
→ →
→ →
+ −
=
+ −
=
−
= +
−
= +
−
= +
= +
= +
=
c. f(x) = 3x2
– 5x + 6
( )
( ) ( )
0
2 2
0
2 2 2
0
2 2 2
0
2
0
0
0
( ) ( )
lim
3( ) 5( ) 6 (3 5 6)
lim
3( 2 ) 5 5 6 3 5 6
lim
3 6 3 5 5 6 3 5 6
lim
6 3 5
lim
(6 5 3 )
lim
lim6 5 3
6 5 3(0)
6 5
h
h
h
h
h
h
h
f x h f x
h
x h x h x x
h
x xh h x h x x
h
x hx h x h x x
h
hx h h
h
h x h
h
x h
x
x
→
→
→
→
→
→
→
+ −
=
+ − + + − − +
=
+ + − − + − − +
=
+ + − − + − + −
=
+ −
=
− +
=
= − +
= − +
= −

Dalil turunan
Y = c (konstanta real) 0
dy
dx
=
( ) ( ) ( ) ( )
dy
y f x g x f x g x
dx
′ ′= ± → = ±
( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( )
dy
y f x g x f x g x f x g x
dx
′ ′= → = +
2
( ) ( ). ( ) ( ). ( )
( ) ( )
f x dy f x g x f x g x
y
g x dx g x
′ ′−
= → =
Rumus-rumus dasar turunan:
1
.n ndy
y ax an x
dx
−
= → =
x xdy
y e e
dx
= → =
x xdy
y a a n a
dx
= → = l
1
ln 'y x y
x
= → =
1
log '
ln
y a x y
x a
= ⇒ =
1 1
( )'( )
'( )
f y
f x
−
=
cos sin
dy
y x x
dx
= → =−
sin cos
dy
y x x
dx
= → =

2
tan sec
dy
y x x
dx
= → =
2
cot cos
dy
y x ec x
dx
= → = −
sec ' sec tan
csc ' csc cot
y x y x x
y x y x x
= ⇒ =
= ⇒ = −
Contoh Soal:
1. Tentukan turunan dari:
a. y = cos2
3x
y’ = D(cos 3x)2
y’ = 2 (cos 3x)2-1
.-sin 3x. 3
y’ = -6 sin 3x cos 3x
b. 2 2
sin .ln 2y x x x= +
D (sin2
x) = 2 sin x cos x
D ( 2
ln 2x x+ ) 2 2
1 1 1
. .2 2
22 2
x
x x x x
= +
+ +
( )
( )
2
2
2
2
2
2 2 1
2 2
2 2
2 2
2( 1)
2 2
1
2
x
x x
x
x x
x
x x
x
x x
 +
=  ÷
+ 
+
=
+
+
=
+
+
=
+
Y’ = f’(x).g(x) + f(x).g’(x)

2 2
2
2 2
2
1
2sin cos .ln 2 sin .
2
1
sin 2 .ln 2 sin .
2
x
x x x x x
x x
x
x x x x
x x
+
= + +
+
+
= + +
+
c.
2
2
3 4
( )
5
x x
h x
x x
−
=
+
D (3x2
– 4x)= 6x -4
D (x2
+ 5x)= 2x + 5
H’(x) = 2
( ). ( ) ( ). ( )
( )
f x g x f x g x
g x
′ ′−
=
2 2
2 2
3 2 2 3 2 2
2 2
3 2 3 2
2 2
3 2 3 2
2 2
2
2 2
(6 4)( 5 ) (2 5)(3 4 )
( 5 )
(6 30 4 20 ) (6 8 15 20 )
( 5 )
(6 26 20 ) (6 7 20 )
( 5 )
6 26 20 6 7 20 )
( 5 )
19
( 5 )
x x x x x x
x x
x x x x x x x x
x x
x x x x x x
x x
x x x x x x
x x
x
x x
− + − + −
=
+
+ − − − − + −
=
+
+ − − + −
=
+
+ − − − +
=
+
=
+

TURUNAN FUNGSI BERANTAI
Missal :
( )
( )
( )
dy
y f x
du
du
u g x
dv
dv
v h x
dx
= →
= →
= →
Sehingga : . .
dy dy du dv
dx du dv dx
= memiliki 2 cara penyelesaiaan.
1. dengan cara tak langsung → menggunakan pemisah-pemisah
2. dengan cara langsung → filosofi mengupas kulit bawang
CONTOH :
1. Dengan cara tak langsung tentukan Y’
dari :
Y = Ln (cos (x2
+3))
Jawaban :
Misal →
2
2
2
3 2
cos( 3) cos sin
1
cos( 3)
dv
v x x
dx
du
u x v v
dv
dy
y n x n u
du u
= + → =
= + = → = −
= + = = =l l
Maka → . .
dy dy du dv
dx du dv dx
=

( )
2
2
2
2
2
1
.(sin( 3)).2
cos( 3)
2 sin( 3)
cos( 3)
2 tan 3
x x
x
x x
x
x x
= +
+
− +
=
+
= − +
Jadi turunan dari y = ln cos (x2
+3) adalah -2x tan(x2
+ 3)
2. y = (cos3
(x2
- 6))4
Jawaban:
y = (cos3
(x2
- 6))4
= cos12
(x2
- 6)
Misal
2
2 2
12 2 12 11 11 2
6 2
cos( 6) cos sin sin( 6)
cos ( 6) 12 12cos ( 6)
dv
v x x
dx
du
u x v v x
dv
dy
y x u u x
du
= − → =
= − = → = − = − −
= − = → = = −
Maka . .
dy dy du dv
dx du dv dx
=
11 2 2
11 2 2
12cos ( 6). sin( 6).2
24cos ( 6)sin( 6)
x x x
x x
= − − −
= − − −
Jadi turunan dari y = (cos3
(x2
- 6))4
adalah 11 2 2
24cos ( 6)sin( 6)x x− − −
Turunan fungsi implisit
1. fungsi eksplisit
Yaitu fungsi yang variable terikatnya dapat dibuat dalam ruas terpisah dari variable
terpisah.
Y = f(x) y = variable terikat
f(x) = variable bebas
missal:
2
2
3
2 3
x
y e x
y x x
= +
= − −
2. fungsi imlisit
Yaitu fungsi dimana variable terikatnya bercampur dalam satu rumus dengan variable bebas.
F(x,y)=0 misal:
2 2
2
9 0
3 0xy
y x
y e x
+ − =
+ − =

Fungsi implisit dibagi 2, yaitu :
1. fungsi implisit yang dapat di eksplisitkan
Contoh:
2 2 2
9 0 9y x y x+ − = → = −
2. fungsi implisit yang tidak dapat di eksplisitkan
Contoh : 2
3 0xy
y e x+ − =
Kaidah-kaidah penurunan fungsi implisit:
Prinsip sama seperti menurunkan fungsi eksplisit, hanya saja setiap menurunkan variable
terikat (y) harus dikalikan dengan
dy
dx
atau yI
.
Contoh : 2 2
9 0y x+ − =
1. Dengan cara eksplisit
2 2
2
9 0
9
y x
y x
+ − =
= −
1
2 2
(9 )x= −
1
2 2
1
: (9 ) .( 2 )
2
sehingga y x x
−
= − −
1
2 2
2
1
. (9 )
2
9
x x
x
x
x
y
y
−
= − −
−
=
−
−
′ =
2. Dengan cara implisit
2 2
9 0y x+ − =
Maka derivatifnya / turunannya:
2 . 2 0 0
2 2
'
y y x
yy x
x
y
y
′+ − =
′ = −
−
=
Contoh 2: y2
+exy
-3x = 0
Maka derivative atau turunannya:

2y.y’ + xy’exy
+ yexy
– 3 = 0
2 y y’ + xy’exy
= - yexy
+ 3
y’ (2y + x exy
) = - yexy
+ 3
xy
xy
- ye + 3
'
2y + x e
y =
Contoh 3: x3
+ 3y2
+4x2
y +5 = 0
Maka derivative/ turunannya:
3x2
+ 6yy’ + 8xy + 4x2
y’ = 0
6yy’ + 4x2
y’ = - 3x2
– 8xy
y’ (6y +4x2
) = - 3x2
– 8xy
2
2
- 3x - 8xy
'
6y +4x
y =
APLIKASI TURUNAN
1. analisis bagian-bagian istimewa fungsi
2. masalah optimasi (maks/min)
3. garis singgung
C
A E B
D
Titik:
A dan B : batas definitive fungsi
FI
(x)=0
C : titik ekstrem maks FII
(x)<0
D : titik ekstrem min FI
(x)=0

FII
(x)>0
E : titik belok → FII
(x)=0
Titik Stasioner f’(c) = 0
Interval:
AC dan DB = interval monoton → FI
(x) > 0
CE dan ED = interval monoton → FI
(x) < 0
ACE = interval cabang ke bawah → FII
(x) < 0
EDB = interval cabang ke atas → FII
(x) > 0
Contoh:
Diketahui 2
( ) 3 1f x x x= − +
Ditanya : a. titik ekstrem maks, min , dan belok?
b. interval fungsi monoton naik/turun?
c. interval fungsi cekung ke bawah/atas?
d. sketsa grafik fungsi tersebut?
Jawab :

2
( ) 3 1f x x x= − +
a. Syarat ekstrem : 2
( ) 3 3 0f x x= − =
2
2
3 3
1
1
x
x
x
=
=
= ±
Untuk x = 1→ y = f(1) = 12
– 3.1 + 1 = 1 →(1,1)
Untuk x = -1→ y = f(-1)= (-1)2
+ 3.1 + 1= 3 → (-1,3)
FII
(x) = 6x
Ekstrem minimum f’’(x) > 0
Untuk x = 1 maka f’’(1) = 6(1) = 6 { 6 > 0, titik minimum}
Untuk x = -1 maka f’’(-1) = 6 (-1) = -6 { -6 < 0, titik maksimum}
Titik belok f’’(x) = 0
6x = 0
x = 0
x = 0 maka y = f (0) = 02
– 3. 0 + 1 = 1 (0,1)
Jadi titik maksimum (-1, 3);
Titik minimum (1,1)
Titik belok (0,1)
b. interval monoton naik/turun
Dari FI
(x)=3x2
-3=0
Diperoleh titik nol fungsi turuna 1 yaiti X=-1 dan X=1
yI
+ - +
-1 1
∴ interval fungsi monoton naik yaitu pada (-∼,-1)⋃(1,∼)
∴interval fungsi monoton turun yaitu pada (-1,1)
c. interval cekung ke bawah atau ke atas
dari f’’(x) = 6x = 0
x = 0
- + y’’
0

∴ interval fungsi monoton cekung ke atas yaitu pada (0, ∼)
∴interval fungsi monoton cekung ke bawah yaitu pada (-∼,0)
d. Titik stasioner f’(c) = 0
F’ (x) = 2x – 3 = 0
2x = 3
X =
3
2
F(x) = y = x2
- 3x + 1
2
3 3
3 1
2 2
13
4
   
= − − ÷  ÷
   
−
=
Jd titik stasionernya adalah
3 13
,
2 4
− 
 ÷
 
d. Sketsa grafik
3
2
1
-3 -2 -1 1 2 3
-1
-2
Contoh:
1. tentukan 2 buah bilangan positif yang jumlahnya 10 dan memiliki hasil kali maximal.
Jawab :
1. missal bilangan I = x dan bilangan II = 10-x
Karena bilangan I dan II = x + (10 - x) = 10

Hasil kali → H = x (10 - x)
= 10x-x2
Syarat ekstreem : H’
= 0 maka 10 -2x = 0
2x = 10
x = 5
∴Bilangan I = 5 maka bilangan II = 10 -5 = 5
2. Akan dibuat tempat air dari plat kaleng yang sangat tipis yang alsnya berbentuk lingkaran dan
dapat menampung air sebanyak 100 liter. Tentukan ikuran tempat air (jari-jari dan tinggi) agar
bahan yang dipakai sehemat mungkin.
catatan : tempat air tersebut tidak memakai tutup.
Jawab:
volume silinder
2
2
3 2
2
1000
1000000
1000000
v r h
l r h
cm r h
h
r
π
π
π
π
=
=
=
=
Luas Bahan
2
2
2
2
2 1
2
1000000
2 .
1000000
2.
2000000
L r rh
r r
r
r
r
r r
π π
π π
π
π
π −
= +
= +
= +
= +
Syarat Ekstreem 0
dL
dr
=

2
2
3
3
3
1
3
2 2000000 0
2 2000000
1000000
1000000
1000000
100
dL
r r
dr
r r
r
r
r
r
π
π
π
π
π
π
−
−
= + =
=
=
=
=
=
Maka
2
2
1/3
2/3
1/3
1000000
1000000
100
1000000
10000
100
h
rπ
π
π
π
π
π
=
=
 
 ÷
 
=
=
Jadi panjang r 1/3
100
π
= cm dan h 1/3
100
π
= cm

Latihan Soal
1. Buatlah notasi interval dari
a. A = {…,3, 4, 5}
b. B = {11,12,…,19,20}
c. C = {1, 2, 3, …}
2. Selesaikan pertidaksamaan berikut!
a. 3x+4 < 4x-5 < 7x+3
b. -3 < 4x < 9
c.
3 8
1
5 6
x
x
+
≥
−
d.
2 5
2
7
x
x
+
≤
−
e.
4 5
2
2 8
x
x
+
> −
+
f.
7
1
2 3
x
x
+
<
−
g. 3 3 3x x− < −
3. Untuk 3
( ) 4f t t= cari dan sederhanakan [ ]( ) ( ) /F t h F t h+ −
4. Untuk ( ) /( 4)g t t t= + cari dan sederhanakan [ ]( ) ( ) /G t h G t h+ −
5.
Diketahui: ( ) 4 5f x x= +
2
2 3
( )
2 5
( ) 4 8
x
g x
x
f x x x
+
=
−
= + +
Tentukan : a. ( )fog x b. 1
( )g x−
c. (1)hog d. 1
( )h x−
6. Diketahui : 2
( ) 2 5 3f x x x= − +
2 5
( )
3 2
( ) 7 3
x x
g x
x
h x x
+
=
−
= +
Ditanya: a. (4) (3)f g− b. (5) (2)h g×
c. (2) : (3)h f d. (2) (3)f h+
7. limit dari
5
20
8 4
lim
3 2x
x x
x x→
−
+

8. Tentukan nilai limit dari:
a.
0
2
7 tan
3lim
5x
x
x→
b. 0
4 3
sin
3 5lim
2
7 tan
7
x
x
x
→
9. Selidiki apakah fungsi berikut kontinu di x=1 dan x=-2 jika diketahui:
2
4 2 3
( ) 1 2 3
2 3 2
x jika x
F x x jika x
x jika x
 − ≤

= + − ≤ <

− + < −
10. Nyatakan fungsi dibawah ini kontinu atau diskontinu. Berilah penjelasan!
2
3
2
. ( ) 4 2 12
8
. ( )
2
3 2
. ( )
1 2
a f x x x
t
b g x
t
x jika x
c F x
x jika x
= − +
−
=
−
+ <
= 
+ >
11. tentukan kontinuitas fungsi
3
27
3
( ) 3
25 3
x
untuk x
F x x
untuk x
 −
≠
= −
 =
12. Tentukan Limit dari:
a.
2
5
25
lim
5x
x
x→
−
−
b. 22.
2
1
5 6
lim
1x
x x
x→
+ −
−
c. 23.
2
1
2 3
lim
1x
x x
x→
− −
+
d. 24.
2
0
3 4
lim
x
x x
x→
−
e. 25. 5
lim 1
x
x
→
−
13. Tentukan limit dari:
a.
2
4
3 5 6
lim
4 7x
x x
x x→∞
+ −
+
b.
5 4 2
5 2
7 8 1
lim
4 8x
x x x
x x→∞
− + −
+

14. Tentukan turunan pertama (y’) dari
a. y = 2ln3
(sin(tan(x2
+1))
b. y = xsinx
+ x lnx +x ex
c. y = cos2
x (ln 2x)
d.
21
1
y dan u x x
u
= = −
+
15. Tentukan '
dy
y
dx
= dari
a. x3
+ 3y2
+ 4x2
y + 5 = 0
b. sin(xy2
) – x3
y + ey
– 2x = 0
c.
2
2 3
0
x
y x x
y
− + =
16. Diketahui
3 21 5
( ) 6 2
3 2
f x x x x= + + − . Tentukan:
a. titik stasionernya
b. fungsi naik dan fungsi turun
c. titik balik maximum dan minimum
d. gambar kurva dari pers tersebut!
17. Akan dibuat tempat air dari kaleng dengan bidang alas berbentuk bujur sangkar. Tentukan ukuran-
ukurannya supaya dapat memuat air sebanyak-banyaknya. Luas bahan yang digunakan 432 dm2
dan
tebal bahan diabaikan.
18. Buktikan dengan
( ) ( )
0
lim
h
f x h f x
h→
+ −
a. f(x) = 2x3
- 5x+3 maka f’(x) = 6x2 – 5
b. f (x) = 5x2
- 6x + 5 maka f’(x) = 10x - 6

�ݺ�ߣ

Materi kalkulus i ti

More Related Content

Materi kalkulus i ti