1. Unitat 3: Polinomis
1. Introducci坦
2. Monomis
a) Nomenclatura
b) Grau d'un monomi
c) Monomis semblants
3. Polinomis
a) Nomenclatura
b) Grau d'un polinomi
4. Valor num竪ric d'un polinomi
5. Operacions amb monomis
6. Suma i resta de polinomis
7. Producte de polinomis
8. Identitats notables
2. 1. Introducci坦
Parts de les matemtiques que coneixeu:
-Treball amb nombres, operacions,
jerarquia, etc.
Aritm竪tica
-Treball amb figures planes i cossos,
al pla o a l'espai.
-Treball amb relacions de depend竪ncia
entre nombres: funcions.
-Treball amb dades: recopilaci坦,
representaci坦 i interpretaci坦.
Geometria
Anlisi
Estad鱈stica i probabilitat
-Treball amb nombres desconeguts,
que substitu誰m per lletres: x, y, z, a, b,...
lgebra
3. 2. Monomis
Un monomi 辿s una expressi坦 alg竪brica formada pel
producte entre un nombre racional conegut (el coeficient) i
una o m辿s lletres elevades a un exponent natural (la part
literal).
2
S坦n monomis o no?
3x + 4x
4xy
2
x2 y
7
7x
1
x
5 x
2
a
3
9xt
3
2
x
-Les lletres o inc嘆gnites no poden trobar-se al denominador, ni estar
elevades a un nombre que no sigui natural.
-No poden apar竪ixer ni sumes ni restes.
Exercici 9 pg.65
4. 2. Monomis
a) Nomenclatura
1 3
b 揃h
2
Monomi de grau 4
(3+1=4)
Part literal
(les lletres)
Coeficient
(el n炭mero)
ici
rc
1
,1
10
.6 5
g
3p
i1
xe
E
El grau 辿s la suma de tots els exponents de la part literal.
b) Grau d'un monomi
c) Monomis semblants
Si dos o m辿s monomis tenen la mateixa part literal, direm que
s坦n monomis semblants.
3x
2
5 2
x
3
4x
2
2
x
3
5. 3. Polinomis
Un polinomi 辿s la suma indicada de diversos monomis no
semblants. ("poli"="molts", "mono"="un de sol")
a) Nomenclatura
Polinomi de grau 4
3
2
11x y7xy + 5x13
Terme
Grau 4
Terme
Terme
Grau 3
Grau 1
Terme
Grau 0
b) Grau d'un polinomi
El grau d'un polinomi 辿s el grau m辿s alt dels termes que el
formen.
Exercici 14, 15, 16 pg.66
6. 4. Valor num竪ric d'un polinomi
El valor num竪ric d'un polinomi 辿s el nombre o resultat que
s'obt辿 en substituir les lletres per nombres determinats i
realitzar les operacions indicades.
Exemple: Trobar el valor num竪ric del seg端ent polinomi per a x = 5.
2
3x + x+ 10
si x = 5
2
3 揃 5 + 5+ 10
2
3 揃 5 + 5+ 10=3 揃 25+ 5+ 10=75+ 5+ 10=90
Exercici 5 i 6 pg.64
7. 5. Operacions amb monomis
a) Suma i resta:
Dos monomis nom辿s es poden sumar si s坦n semblants. En aquest
cas, sumarem o restarem els coeficients i deixarem la mateixa part
literal.
3x 2+ 4x 29x 2=2x 2
2a+ b4a+ 2b=2a+ 3b
Exercici 1 full monomis
b) Producte i quocient:
El producte o quocient d'un o m辿s monomis 辿s un monomi que t辿
com a coeficient el producte/quocient dels coeficients, i com a part
literal el producte/quocient de les parts literals.
3a 揃 5b=(3 揃 5)揃(a 揃 b)=15ab
2
3
2
3
5x 揃 2x =(5 揃 2)揃( x 揃 x )=10x
5
Exercicis 2 i 3 full monomis
8. 5. Operacions amb monomis
c) La propietat distributiva:
Si tenim un factor multiplicant un par竪ntesi, podem aplicar la
propietat distributiva "distribuint" aquest factor a cada un dels termes
de l'interior del par竪ntesi.
3
3x 揃(5x 2x)
3
3
3x 揃(5x 2x)=3x 揃5x 3x 揃 2x
3
4
3x 揃5x 3x 揃 2x=15x 6x
2
Exercici 5 full monomis
9. 5. Operacions amb monomis
d) Extracci坦 de factor com炭:
Extreure factor com炭 d'una expressi坦 algebraica 辿s aplicar la
propietat distributiva a la inversa: mirarem quins factors comuns
t辿nen cada un dels termes, i els "extraurem" a fora d'un par竪ntesi.
15x 46x 2
3 揃 5揃 x 揃 x 揃 x 揃 x3 揃 2 揃 x 揃 x
3 揃 x 揃 x 揃(5 揃 x 揃 x2)
2
2
3x 揃(5x 2)
Exercici 4 full monomis
10. 6. Suma i resta de polinomis
a) Suma:
Per sumar o restar polinomis, nom辿s ens caldr sumar o restar els
termes semblants. Els disposarem en columnes, de grau major a menor.
Exemple:
P ( x)=5x 31
P ( x )+ Q( x)
3
+
Q ( x)=7x 35x 2+ 3
5x
1
3
2
7x 5x + 3
3
2
12x 5x + 2
11. 6. Suma i resta de polinomis
b) Resta:
Cal recordar que restar 辿s el mateix que sumar l'oposat. Aix鱈,
procedirem de la mateixa manera per嘆 sumant l'oposat del polinomi que
actua de subtrahend.
Exemple:
3
3
P ( x)=5x 1
P ( x)Q ( x)
2
Q ( x)=7x 5x + 3
3
+
1
5x
3
2
7x + 5x 3
3
2
2x + 5x 4
Exercici 21 pg 67
12. 7. Producte de polinomis
Per multiplicar polinomis els disposarem tamb辿 en columnes
ordenades, multiplicant cada terme del primer polinomi per cada terme del
segon polinomi, i reduint finalment els termes semblants.
Exemple:
2
P ( x)=3x 2x+ 7
Q ( x)=3x5
2
P ( x)揃 Q( x)
x
3x 2x+ 7
3x5
2
15x + 10x35
3
2
9x 6x + 21x
3
2
9x 21x + 31x35
Exercicis 26 i 27 pg.68
13. 8. Les identitats notables
a) Quadrat de la suma
2
2
2
(a+ b) =a + b + 2ab
Demostraci坦:
2
(a+ b) =(a+ b)揃(a+ b)=a 揃 a+ a 揃 b+ b 揃 a+ b 揃 b
2
2
a 揃 a+ 1a 揃 b+ 1a 揃 b+ b 揃 b=a + b + 2ab
Exemple:
2
2
2
2
2
(2x+ 3y) =(2x) + (3y) + 2 揃 2x 揃 3y=4x + 9y + 12xy
14. 8. Les identitats notables
b) Quadrat de la difer竪ncia
2
2
2
(ab) =a + b 2ab
Demostraci坦:
2
(ab) =(ab)揃(ab)=a 揃 a+ a 揃(b)b 揃 ab 揃(b)
2
2
a 揃 aa 揃 ba 揃 b+ b 揃 b=a + b 2ab
Exemple:
3
2
3 2
2
3
6
2
(2x 6x) =(2x ) + (6x) 2 揃 2x 揃 6x=4x + 36x 24x
4
15. 8. Les identitats notables
c) Suma per difer竪ncia
2
(a+ b)揃(ab)=a b
2
Demostraci坦:
(a+ b)揃(ab)=a 揃 a+ a 揃(b)+ b 揃 a+ b 揃(b)
2
a 揃 a1a 揃 b+ 1a 揃 bb 揃 b=a b
2
Exemple:
2
2
2
( x+ 2y )揃( x2y)=( x) (2y) = x 4y
2
Exercicis 30 pg.69
