![C問題 考察
? 全点間最短距離を求めるワーシャルフロイド法を用いる
→O(N^3)で全点間距離テーブルが計算可能
→辺が1つ増える毎にテーブルをO(N^3)で更新していて
はTLE
? ある辺を既存の辺より小さいコストの辺に変更するとき
O(N^2)でテーブル更新可能
→コストがcの辺(a,b)を追加時，頂点i,j間の最短距離
cost[i][j]は以下のように更新される
cost[i][j] = min( cost[i][j], cost[i][a] + cost[b][j] + c,
cost[i][b] + cost[a][j] + c)
※cost[][]は全点間最短距離を記録した二次元テーブル
2015/3/7 11](https://image.slidesharecdn.com/arc035-150307073029-conversion-gate01/85/AtCoder-Regular-Contest-035-11-320.jpg)
AtCoder Regular Contest 035 解説
- 1. AtCoder Regular Contest 035 解説 AtCoder株式会社 代表取締役 高橋 直大 2015/3/7 1
- 2. 競技プログラミングを始める前に ? 競技プログラミングをやったことがない人へ – まずはこっちのスライドを見よう！ – http://www.slideshare.net/chokudai/abc004 2015/3/7 2
- 3. ?AtCoder Inc. All rights reserved. 3 A問題 高橋くんと回文 1. 問題概要 2. アルゴリズム 2015/3/7 3
- 4. A問題 問題概要 ? 文字列 s が与えられる． ? *を自由な文字に置き換えて，sを回文にできるか判 定 ? *を置き換える文字はそれぞれ異なっていてもOK ? 制約 – 1 ≦ |s| ≦ 1000 2015/3/7 4
- 5. A問題 アルゴリズム ? 解法1 – 前と後ろで対応する文字が同じになりうるか調べる – つまり，i 番目と |s|+1-i 番目の文字で，どちらかが * であ るか，どちらも同じ文字であるか調べる(1 <= i <= |s|) – 1つでも同じになりえない文字の組があればNO，そうでな ければYES ? 解法2 – sとsをひっくり返した文字列tの間で，sのi番目とtのi番目 が同じ文字になりうるか調べる． – 結局やっていることは同じ．この方が少し楽かも． 2015/3/7 5
- 6. ?AtCoder Inc. All rights reserved. 6 B問題 アットコーダー王国のコンテスト事情 1. 問題概要 2. 考察＆解法 2015/3/7 6
- 7. B問題 問題概要 ? 問題がN個ある ? それぞれの問題を解くのにかかる時間を知っている ? 解いた時間に依存するペナルティがある – 問題ペナルティ=コンテスト開始からその問題を正解するまでの時間 – コンテストペナルティ=問題ペナルティの総和 ? 全完するときの最小コンテストペナルティと，それを 達成する解き方の数を求めよ ? 制約 – 1 ≦ N ≦ 100000 – 1≦(各問題を解くのにかかる時間)≦ 1000 2015/3/7 7
- 8. B問題 考察＆解法 ? コンテストペナルティ最小を達成するためには， かかる時間の小さい問題から解けば良い →かかる時間順でソートして，シミュレーションする (最大ケースで答えが32bit整数を超えるので注意) ? かかる時間が同じ問題は，解く順序を入れ替えても 最小ペナルティが変わらない． →かかる時間が同じ問題がx個あったら，解き方はx!通り ? 全体の組み合わせ数としては，それらの積が答え ? 計算量 – ソートにO(n log n) ←標準ライブラリを使いましょう – その他 O(n) 2015/3/7 8
- 9. ?AtCoder Inc. All rights reserved. 9 C問題 アットコーダー王国の交通事情 1. 問題概要 2. 考察 3. 解法 2015/3/7 9
- 10. C問題 問題概要 ? N頂点,M本の辺から成る重み付き無向グラフがある ? このグラフにK本無向辺を新たに追加する ? 追加する度に，全点対間の距離の和を求めよ ? 制約 – 1 ≦ N ≦ 400, 1 ≦ M ≦ 1000, 1 ≦ K ≦ 400 – 1≦(各問題を解くのにかかる時間)≦ 1000 2015/3/7 10
- 11. C問題 考察 ? 全点間最短距離を求めるワーシャルフロイド法を用いる →O(N^3)で全点間距離テーブルが計算可能 →辺が1つ増える毎にテーブルをO(N^3)で更新していて はTLE ? ある辺を既存の辺より小さいコストの辺に変更するとき O(N^2)でテーブル更新可能 →コストがcの辺(a,b)を追加時，頂点i,j間の最短距離 cost[i][j]は以下のように更新される cost[i][j] = min( cost[i][j], cost[i][a] + cost[b][j] + c, cost[i][b] + cost[a][j] + c) ※cost[][]は全点間最短距離を記録した二次元テーブル 2015/3/7 11
- 12. C問題 解法 ? まとめると – 最初にO(N^3)で全点間最短距離テーブルを構築 – 辺の追加時に毎回O(N^2)でテーブル更新 ? を行うことで満点を得れる ? 計算量: O(N^3 + KN^2) ? 余談ですが，ワーシャルフロイドのアルゴリズムは O(N^3)ですが，アルゴリズムが非常に単純なので， 多少頂点数が多くても高速に動作することが多いで す． 2015/3/7 12
- 13. ?AtCoder Inc. All rights reserved. 13 D問題 高橋くんとマラソンコース 1. 問題概要 2. アルゴリズム 2015/3/7 13
- 14. D問題 問題概要 ? 南北?東西方向の道があり，交差点の間を北?東方 向にのみ進める． ? 交差点上にN個のチェックポイントがある． ? 以下の2つのクエリーを処理 – kj 番目のチェックポイントを (aj,bj)に設定しなおす – チェックポイントl1jからチェックポイントr1jまでの経路数と， チェックポイントl2jからチェックポイントr2jまでの経路数のう ち，どちらが多いか答える．ただし，多い方は少ない方の 2倍以上． ? 制約 – 2<=N<=2*10^5 – 1<=(チェックポイントの座標)<=10^6 2015/3/7 14
- 15. D問題 アルゴリズム ? 東西方向で東を正にX軸，南北方向に北を正にY軸を取 ります． ? 隣り合うチェックポイントのx座標の差がdx，y座標の差 がdyのとき，その2つのチェックポイント間の経路の数は dx+dyCdx =(dx+dy)!/(dx!)/(dy!) (dx個の→，dy個の↑の並べ替えの個数に等しいから) ? チェックポイントaからチェックポイントbまでの経路の数 は，(aとa+1間の経路数)*(a+1とa+2間の経路数)* ‥ *(b-1とb間の経路数) ? 経路数はメチャクチャでかくなりそう． – (1,1) から (10^6,10^6) への経路数の時点でヤバイ ? 経路数の計算では掛け算?割り算しか出てこない． 2015/3/7 15
- 16. D問題 アルゴリズム ? 普通に計算するのはよくない ? logを取ってみよう！！ – 0<a<b のとき log(a)<log(b) なので，大小関係が維持され る． – log(a*b)=log(a)+log(b) , log(a/b)=log(a)-log(b) から，経路 数は楽に計算できそう． – 数がそこまででかくならない ? (1,1) から (10^6,10^6) までの経路数をwとおくと，log(w)は10^6ぐ らい． – 大と小で2倍差があれば，logを取った値はlog(2)≒0.69以 上差があるので誤差もOK 2015/3/7 16
- 17. D問題 アルゴリズム ? 部分点解法では，番号が隣り合う２つのチェックポイ ントの間の経路数にlogを取ったものを毎回計算し， それらの和の大小を比較する． – 予め階乗にlogを取ったものを求めておく必要がある ? 満点解法では，セグメント木を使い，区間の和を求 められるようにしておく． – チェックポイントの更新では，その前後の経路数を更新 – 比較では，和の大小を比較 2015/3/7 17