際際滷

際際滷Share a Scribd company logo
Referat
 Opera釘i
Capitolul I

                             Opera釘ii cu mul釘imi


則1.1 Reuniunea mul釘imilor

Defini釘ie: Se numete reuniunea a dou mul釘imi A i B, mul釘imea tuturor
elementelor ce apar釘in cel pu釘in uneia dinte ele.
Notm: AB
Citim: mul釘imea A reunit cu mul釘imea B
Deci: AB = {xx  A sau x  B}
Grafic, reuniunea a dou mul釘imi este reprezentat 樽n fig. I, prin por釘iunea
eviden釘iat.




Exemplu: A={1,5,6,8,10} i B={5,8,9,12,17}, atunci
AB={1,5,6,8,10}{5,8,9,12,17}={1,5,6,8,9,10,12,17}, adic:

                             A                       B
                             10                 9
                                        5            17
                         1
                                  6         8
                                                12




                                       AUB
Observa釘ie: Aa cum am definit reuniunea a dou mul釘imi putem defini reuniunea
unui numr finit de mul釘imi, dac A1, A2, A3,...,An sunt n mul釘imi, atunci
reuniunea lor va fi: A1A2A3...An.
Exemplu :A={2,4,5,7,9}, B={1,2,4,7,11,20} i C={20,22}, atunci
ABC={2,4,5,7,9}{1,2,4,7,11,20}{20,22}={1,2,4,5,7,9,11,20,22}.



則1.2 Intersec釘ia mul釘imilor

Defini釘ie: Se numete intersec釘ia a dou mul釘imi A i B, mul釘imea tuturor
elementelor care sunt comune celor dou mul釘imi.
Notm: AB
Citim: mul釘imea A intersectat cu mul釘imea B
Deci: AB = {x | x  A i x  B}
Grafic, intersec釘ia a dou mul釘imi este reprezentat 樽n fig. II prin por釘iunea
eviden釘iat.




Exemplu: A={1,2,3,4,5} i B={2,4,7,8}, atunci:
   AB={1,2,3,4,5}{2,4,7,8}={2,4}, adic:

           A                   B
                     2         7
           5
      1        3         4
                                   8


                     AB
Not: n fig. II.c) avem mul釘imile A i B, care nu au 樽n comun nici un element,
adic AB=, atunci mul釘imile A i B se numesc disjunctive.
Observa釘ie: Aa cum am definit intersec釘ia a dou mul釘imi putem defini intersec釘ia
unui numr finit de mul釘imi, dac A1, A2, A3,...,An sunt n mul釘imi, atunci
intersec釘ia lor va fi: A1A2A3...An.
Exemplu: A=(-  ,1] i B=(-2,3), atunci
AB=(-  ,1](-2,3)=(-2,1],                                                  adic:




則1.3 Diferen釘a a dou mul釘imi

Defini釘ie: Fie A i B dou mul釘imi. Se numete diferen釘a dintre mul釘imea A i
mul釘imea B mul釘imea tuturor elementelor care apar釘in lui A i care nu apar釘in lui
B.
Notm: AB (sau A-B)
Citim: diferen釘a dintre mul釘imea A i mul釘imea B
Deci: AB ={x | x  A i x B}
Grafic, diferen釘a dintre mul釘imea A i mul釘imea B este reprezentat 樽n fig. III, prin




por釘iunea eviden釘iat.


Exemplu: A={a,b,c,d,e} i B={b,e,f,g,h,k}, atunci:
     AB={a,b,c,d,e}{b,e,f,g,h,k}={a,c,d},
BA={b,e,f,g,h,k}{a,b,c,d,e}={f,g,h,k}, adic:
                                    A                     B
                                                      f
                                c                             h
                        a                     b                     k
                                                  e
                                d                         g

                       AB                                              BA


則1.4 Complementara unei submul釘imi

Defini釘ie: Fie dat mul釘imea A i B o submul釘ime a lui A. Submul釘imea lui A
format din acele elemente ce nu apar釘in lui B se numete complementara lui B 樽n
raport cu A.
Notm: CAB (sau A-B)
Citim: complementara lui B 樽n raport cu A.
Deci: CAB = {x | x  A i x B, AB }
Grafic, complimentara unei submul釘imi B 樽n raport cu
mul釘imea A este reprezentat 樽n fig. IV, prin por釘iunea
eviden釘iat.
Exemplu: Fie A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} i B={3,7,8}, atunci
CAB={1,2,3,4,5,6,7,8,9}-{3,7,8}={1,2,4,5,6,9}, adic:


                                        1         9
                            A                 7
                                        a B               4
                            5
                                         8            6
                                    2         3
                                                                  CAB


則1.5 Produsul cartezian

Defini釘ie: Mul釘imea format din toate perechile ordonate (x; y) care au primul
element din mul釘imea A i al doilea element din mul釘imea B se numete produs
cartezian al mul釘imilor A i B.
Defini釘ie: O pereche (x; y) se numete ordonat dac (x; y)  (y; x), pentru x  y i
(x; y) = (y; x), pentru x = y.
Defini釘ie: Dou perechi ordonate (x, y) i (u, v) sunt egale, dac i numai dac
x = u i y = v.
Notm: A  B
Citim: produs cartezian al mul釘imii A cu mul釘imea B
Deci: A  B = {(x, y)|x  A i y  B}
Imaginea, intuitiv a produsului cartezian a dou mul釘imi este 樽n figura de mai jos.




   Exemplu: Se dau mul釘imile: A={1;2;3}; B={3;4;5}.
   Calcula釘ii AB i reprezenta釘i 樽n sistemul ortogonal de axe:
   AB={1;2;3}{3;4;5}={(1,3);(2,3);(3,3);(1,4);(2,4);(3,4);(1,5);(2,5);(3,5)} i
   reprezentm 樽n figura de mai jos:




Prin analogie, produsul cartezian a trei mul釘imi, este o mul釘ime de triplete:
ABC = {(x, y, z)|x  a, y  B, z  C}
Imaginea, intuitiv produsului cartezian a trei mul釘imi este 樽n figura de mai jos.
Observa釘ie, prin produsul cartezian al mul釘imilor X1, X2, , Xn, 樽n釘elegem mul釘imea
sistemelor numerice ordonate (x1, x2, , xn) cu xi  Xi,   i = 1, n ,   adic
X1X2...Xn={(x1,x2,...,xn) | xi  Xi,  =
                                         i    1, n }

Not, numrul de elemente (perechile produsului cartezian AB) este egal cu
numrul de elemente a lui A 樽mul釘ite cu numrul de elemente ale lui B
                              card (AB) = card A*card B
Exemplu: Fie A={1,2} i B={3,4}; AB={1,2}{3,4}={(1,3);(1,4);(2,3);(2,4)};
Vom nota: numrul de elemente a mul釘imii A cardA=2, numrul de elemente a
mul釘imii B cardB=2. Numrul de elemente al mul釘imii AB
                                  card(AB)=2*2=4.
Prin urmare card (AB) = card A*card B



則1.6 Diferen釘a simetric a dou mul釘imi

Fie date
mul釘imile A
i B, iar
diferen釘a
dinte aceste
mul釘imi este reprezentat 樽n figura de mai jos:
Defini釘ie: Se numete diferen釘a simetric a mul釘imii A i B, reuniunea
diferen釘elor A - B i B - A.
Notm: Diferen釘a simetric cu  i se definete prin rela釘ia A B =(A-B)  (B-A).
Grafic, diferen釘a simetric dintre mul釘imea A i mul釘imea B este reprezentat 樽n
fig.V, prin por釘iunea eviden釘iat.




Exemplu: A={ ,侶 , 袖 , ,  } i B={ 留 ,侶 , 了 , ,  両}, atunci:
                                                     ,
  A B ={ , 袖 ,  }  { 留 , 了 ,  両}={ , 袖 ,  , 留 , 了 ,  両}, adic:
                                  ,                         ,

                                  A           B
                                   両留
                                袖
                                  侶   了
                                     
                          AB                           BA

                                         AB




                   ELEMENTE DE LOGIC MATEMATIC
                               Enun釘uri i propozi釘ii




Defini釘ie: O mul釘ime finit de semne se numete alfabet.
Defini釘ie: Se numete enun釘 orice succesiune de semne dintr-un alfaben
dat.
Logica matematic studiaz acele enun釘uri care sunt fie adevrate, fie
false.
Defini釘ie: Se numete propozi釘ie un enun釘 care poate fi adevrat sau fals,
niciodat adevrat i fals simultan.
p, q, r-notate
Balena este un pete. F
Propozi釘iile sunt legate 樽ntre ele cu ajutorul conectri logicii:
           - non (nega釘ia propozi釘ie);
             - i (conjunc釘ia propozi釘iei);
          V - sau (disjunc釘ia propozi釘iei);
            -implic (implica釘ia propozi釘iei);
           -echivalent (echivalen釘a propozi釘iei);
Dac o propozi釘ie este adevrat spunem c ea apare ca valoare de
adevr, adevrul i notm A sau 1 .
Dac o propozi釘ie este fals spunem c ea are ca valoare de adevr falsul
notm F sau 0 .
Valoarea de adevr a unei propozi釘ii p se noteaz v(p).
Nega釘ia propozi釘iei
Defini釘ie: Nega釘ia unei propozi釘ii p este propozi釘ia notat p care are
valoarea de adevr v( p)=1-v(p).

p     p
1   0
0   1

Exemplu:
  1. Propozi釘ia Rom但nia se afl 樽n Asia. are nega釘ia  Rom但nia nu se
     afl 樽n Asia..
  2. Propozi釘ia 3<7 are nega釘ia 37.

Conjunc釘ia propozi釘iei
Defini釘ie: Conjunc釘ia a dou propozi釘ii p,q este propozi釘ia notat p  q
cu valoarea de adevr v(p  q)=v(p) v(q).


p q p q
1   1   1
1   0   0
0   1   0
0   0   0


Conjunc釘ia a dou propozi釘ii este o propozi釘ie adevrat doar atunci c但nd
ambele propozi釘ii sunt adevrate i este fals 樽n celelalte cazuri.
Exemple:
1.Crapul este un pete i 8 este par. este adevrat.
2. 3=5 i 11:3 este fals.
Disjunc釘ia propozi釘iei
Defini釘ie: Disjunc釘ia a dou propozi釘ii p,q este propozi釘ia notat p V q
cu v(p V q)=v(p)+v(q)-v(p) v(q).

p q pV q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Disjunc釘ia a dou propozi釘ii este o propozi釘ie fals doar atunci c但nd
ambele propozi釘ii sunt false.
Exemple:
  1. 20:4=5 sau 34=12 este adevrat.
  2. 25:5=3 sau 12<5 este fals.

Implica釘ia
Defini釘ie: Implica釘ia propozi釘iilor p,q este propozi釘ia notat p q, cu
v(p q)=1-v(p)+v(p) v(q).
p  q sau p q

p q q
1 1 0 1
1 0 0 0
0 1 1 1
0 0 1 1
Implica釘ia a dou propozi釘ii este o propozi釘ie fals doar atunci c但nd
adevrul implic falsul.
p- premis sau ipostaz
q- concluzie
Exemplu: 3=3, pentru c 2>3. este fals.

Echivalen釘a
Defini釘ie: Echivalen釘a propozi釘iei p,q este propozi釘ia pq cu v(p q)
=1-v(p)-v(q)+2v(p) v(q).
p  q sau (p  q) (q  p)
 p q pq qp pq
 1 1 1          1      1
 1 0 0          1      0
 0 1 1          0      0
 0 0 1          1      1

Dou propozi釘ii sunt echivalente doar atunci c但nd ambele propozi釘ii au
aceeai valoare de adevr.
Dou propozi釘ii compuse sunt echivalente () atunci c但nd pentru
aceeai valoare ale propozi釘iei componente prop compuse au aceeai
valoare de adevr.
Exemple:
1.3>2 dac i numai dac 5<6 este propozi釘ie adevrat.
2. 3=5 dac i numai dac urii se hrnesc cu beton este propozi釘ie
fals.
 Defini釘ie:O expresie a crui valoare de adevr este adevrul indiferent
de valorile propozi釘iei componente se numete tautologie.
Teorem: Fie p,q propozi釘ii. Avem [(pq)  (q p)] (pq).




p q pq qp (pq) (qp) p
                         q
0 0 1   1   1            1                   1
0 1 1   0   0            0                   1
1 0 0   1   0            0                   1
1 1 1   1   1            1                   1
Teorem: Legea dublei nega釘ii : p  q
 p   p    p    p q
 0   1    0      1
1    0    1      1

Exemplu:
Este fals c Ana nu
mers la cinema, adic
Ana a mers la cinema.
 Legea ter釘ului exclus : Propozi釘ia p V q este adevrat.
 P     p     p p
 0     1      1
 1     0      1
Exemple: 3族+4族=5族 sau 3族+4族5族


Metoda reducerii la absurd: Fie p,q propozi釘ii. Avem
(pq)  ( q p).


p    q       Pq    q  p (p q) ( qp)
 0       1    1       1              1
 0       1    1       1              1
 1       0    0       0              1
 1       1    1       1              1

Exemple: Dac 4>3, atunci 2 >2続 este echivalent cu Dac 2 2続,
atunci 43.
Teorem: Legea dublei nega釘ii : p  q
 p   p    p    p q
 0   1    0      1
1    0    1      1

Exemplu:
Este fals c Ana nu
mers la cinema, adic
Ana a mers la cinema.
 Legea ter釘ului exclus : Propozi釘ia p V q este adevrat.
 P     p     p p
 0     1      1
 1     0      1
Exemple: 3族+4族=5族 sau 3族+4族5族


Metoda reducerii la absurd: Fie p,q propozi釘ii. Avem
(pq)  ( q p).


p    q       Pq    q  p (p q) ( qp)
 0       1    1       1              1
 0       1    1       1              1
 1       0    0       0              1
 1       1    1       1              1

Exemple: Dac 4>3, atunci 2 >2続 este echivalent cu Dac 2 2続,
atunci 43.

More Related Content

90394951 operatii-cu-multimi

  • 2. Capitolul I Opera釘ii cu mul釘imi 則1.1 Reuniunea mul釘imilor Defini釘ie: Se numete reuniunea a dou mul釘imi A i B, mul釘imea tuturor elementelor ce apar釘in cel pu釘in uneia dinte ele. Notm: AB Citim: mul釘imea A reunit cu mul釘imea B Deci: AB = {xx A sau x B} Grafic, reuniunea a dou mul釘imi este reprezentat 樽n fig. I, prin por釘iunea eviden釘iat. Exemplu: A={1,5,6,8,10} i B={5,8,9,12,17}, atunci AB={1,5,6,8,10}{5,8,9,12,17}={1,5,6,8,9,10,12,17}, adic: A B 10 9 5 17 1 6 8 12 AUB
  • 3. Observa釘ie: Aa cum am definit reuniunea a dou mul釘imi putem defini reuniunea unui numr finit de mul釘imi, dac A1, A2, A3,...,An sunt n mul釘imi, atunci reuniunea lor va fi: A1A2A3...An. Exemplu :A={2,4,5,7,9}, B={1,2,4,7,11,20} i C={20,22}, atunci ABC={2,4,5,7,9}{1,2,4,7,11,20}{20,22}={1,2,4,5,7,9,11,20,22}. 則1.2 Intersec釘ia mul釘imilor Defini釘ie: Se numete intersec釘ia a dou mul釘imi A i B, mul釘imea tuturor elementelor care sunt comune celor dou mul釘imi. Notm: AB Citim: mul釘imea A intersectat cu mul釘imea B Deci: AB = {x | x A i x B} Grafic, intersec釘ia a dou mul釘imi este reprezentat 樽n fig. II prin por釘iunea eviden釘iat. Exemplu: A={1,2,3,4,5} i B={2,4,7,8}, atunci: AB={1,2,3,4,5}{2,4,7,8}={2,4}, adic: A B 2 7 5 1 3 4 8 AB
  • 4. Not: n fig. II.c) avem mul釘imile A i B, care nu au 樽n comun nici un element, adic AB=, atunci mul釘imile A i B se numesc disjunctive. Observa釘ie: Aa cum am definit intersec釘ia a dou mul釘imi putem defini intersec釘ia unui numr finit de mul釘imi, dac A1, A2, A3,...,An sunt n mul釘imi, atunci intersec釘ia lor va fi: A1A2A3...An. Exemplu: A=(- ,1] i B=(-2,3), atunci AB=(- ,1](-2,3)=(-2,1], adic: 則1.3 Diferen釘a a dou mul釘imi Defini釘ie: Fie A i B dou mul釘imi. Se numete diferen釘a dintre mul釘imea A i mul釘imea B mul釘imea tuturor elementelor care apar釘in lui A i care nu apar釘in lui B. Notm: AB (sau A-B) Citim: diferen釘a dintre mul釘imea A i mul釘imea B Deci: AB ={x | x A i x B} Grafic, diferen釘a dintre mul釘imea A i mul釘imea B este reprezentat 樽n fig. III, prin por釘iunea eviden釘iat. Exemplu: A={a,b,c,d,e} i B={b,e,f,g,h,k}, atunci: AB={a,b,c,d,e}{b,e,f,g,h,k}={a,c,d},
  • 5. BA={b,e,f,g,h,k}{a,b,c,d,e}={f,g,h,k}, adic: A B f c h a b k e d g AB BA 則1.4 Complementara unei submul釘imi Defini釘ie: Fie dat mul釘imea A i B o submul釘ime a lui A. Submul釘imea lui A format din acele elemente ce nu apar釘in lui B se numete complementara lui B 樽n raport cu A. Notm: CAB (sau A-B) Citim: complementara lui B 樽n raport cu A. Deci: CAB = {x | x A i x B, AB } Grafic, complimentara unei submul釘imi B 樽n raport cu mul釘imea A este reprezentat 樽n fig. IV, prin por釘iunea eviden釘iat. Exemplu: Fie A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} i B={3,7,8}, atunci CAB={1,2,3,4,5,6,7,8,9}-{3,7,8}={1,2,4,5,6,9}, adic: 1 9 A 7 a B 4 5 8 6 2 3 CAB 則1.5 Produsul cartezian Defini釘ie: Mul釘imea format din toate perechile ordonate (x; y) care au primul element din mul釘imea A i al doilea element din mul釘imea B se numete produs cartezian al mul釘imilor A i B.
  • 6. Defini釘ie: O pereche (x; y) se numete ordonat dac (x; y) (y; x), pentru x y i (x; y) = (y; x), pentru x = y. Defini釘ie: Dou perechi ordonate (x, y) i (u, v) sunt egale, dac i numai dac x = u i y = v. Notm: A B Citim: produs cartezian al mul釘imii A cu mul釘imea B Deci: A B = {(x, y)|x A i y B} Imaginea, intuitiv a produsului cartezian a dou mul釘imi este 樽n figura de mai jos. Exemplu: Se dau mul釘imile: A={1;2;3}; B={3;4;5}. Calcula釘ii AB i reprezenta釘i 樽n sistemul ortogonal de axe: AB={1;2;3}{3;4;5}={(1,3);(2,3);(3,3);(1,4);(2,4);(3,4);(1,5);(2,5);(3,5)} i reprezentm 樽n figura de mai jos: Prin analogie, produsul cartezian a trei mul釘imi, este o mul釘ime de triplete: ABC = {(x, y, z)|x a, y B, z C} Imaginea, intuitiv produsului cartezian a trei mul釘imi este 樽n figura de mai jos.
  • 7. Observa釘ie, prin produsul cartezian al mul釘imilor X1, X2, , Xn, 樽n釘elegem mul釘imea sistemelor numerice ordonate (x1, x2, , xn) cu xi Xi, i = 1, n , adic X1X2...Xn={(x1,x2,...,xn) | xi Xi, = i 1, n } Not, numrul de elemente (perechile produsului cartezian AB) este egal cu numrul de elemente a lui A 樽mul釘ite cu numrul de elemente ale lui B card (AB) = card A*card B Exemplu: Fie A={1,2} i B={3,4}; AB={1,2}{3,4}={(1,3);(1,4);(2,3);(2,4)}; Vom nota: numrul de elemente a mul釘imii A cardA=2, numrul de elemente a mul釘imii B cardB=2. Numrul de elemente al mul釘imii AB card(AB)=2*2=4. Prin urmare card (AB) = card A*card B 則1.6 Diferen釘a simetric a dou mul釘imi Fie date mul釘imile A i B, iar diferen釘a dinte aceste mul釘imi este reprezentat 樽n figura de mai jos:
  • 8. Defini釘ie: Se numete diferen釘a simetric a mul釘imii A i B, reuniunea diferen釘elor A - B i B - A. Notm: Diferen釘a simetric cu i se definete prin rela釘ia A B =(A-B) (B-A). Grafic, diferen釘a simetric dintre mul釘imea A i mul釘imea B este reprezentat 樽n fig.V, prin por釘iunea eviden釘iat. Exemplu: A={ ,侶 , 袖 , , } i B={ 留 ,侶 , 了 , , 両}, atunci: , A B ={ , 袖 , } { 留 , 了 , 両}={ , 袖 , , 留 , 了 , 両}, adic: , , A B 両留 袖 侶 了 AB BA AB ELEMENTE DE LOGIC MATEMATIC Enun釘uri i propozi釘ii Defini釘ie: O mul釘ime finit de semne se numete alfabet.
  • 9. Defini釘ie: Se numete enun釘 orice succesiune de semne dintr-un alfaben dat. Logica matematic studiaz acele enun釘uri care sunt fie adevrate, fie false. Defini釘ie: Se numete propozi釘ie un enun釘 care poate fi adevrat sau fals, niciodat adevrat i fals simultan. p, q, r-notate Balena este un pete. F Propozi釘iile sunt legate 樽ntre ele cu ajutorul conectri logicii: - non (nega釘ia propozi釘ie); - i (conjunc釘ia propozi釘iei); V - sau (disjunc釘ia propozi釘iei); -implic (implica釘ia propozi釘iei); -echivalent (echivalen釘a propozi釘iei); Dac o propozi釘ie este adevrat spunem c ea apare ca valoare de adevr, adevrul i notm A sau 1 . Dac o propozi釘ie este fals spunem c ea are ca valoare de adevr falsul notm F sau 0 . Valoarea de adevr a unei propozi釘ii p se noteaz v(p). Nega釘ia propozi釘iei Defini釘ie: Nega釘ia unei propozi釘ii p este propozi釘ia notat p care are valoarea de adevr v( p)=1-v(p). p p 1 0 0 1 Exemplu: 1. Propozi釘ia Rom但nia se afl 樽n Asia. are nega釘ia Rom但nia nu se afl 樽n Asia.. 2. Propozi釘ia 3<7 are nega釘ia 37. Conjunc釘ia propozi釘iei Defini釘ie: Conjunc釘ia a dou propozi釘ii p,q este propozi釘ia notat p q cu valoarea de adevr v(p q)=v(p) v(q). p q p q
  • 10. 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 Conjunc釘ia a dou propozi釘ii este o propozi釘ie adevrat doar atunci c但nd ambele propozi釘ii sunt adevrate i este fals 樽n celelalte cazuri. Exemple: 1.Crapul este un pete i 8 este par. este adevrat. 2. 3=5 i 11:3 este fals. Disjunc釘ia propozi釘iei Defini釘ie: Disjunc釘ia a dou propozi釘ii p,q este propozi釘ia notat p V q cu v(p V q)=v(p)+v(q)-v(p) v(q). p q pV q 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Disjunc釘ia a dou propozi釘ii este o propozi釘ie fals doar atunci c但nd ambele propozi釘ii sunt false. Exemple: 1. 20:4=5 sau 34=12 este adevrat. 2. 25:5=3 sau 12<5 este fals. Implica釘ia Defini釘ie: Implica釘ia propozi釘iilor p,q este propozi釘ia notat p q, cu v(p q)=1-v(p)+v(p) v(q). p q sau p q p q q 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 Implica釘ia a dou propozi釘ii este o propozi釘ie fals doar atunci c但nd adevrul implic falsul.
  • 11. p- premis sau ipostaz q- concluzie Exemplu: 3=3, pentru c 2>3. este fals. Echivalen釘a Defini釘ie: Echivalen釘a propozi釘iei p,q este propozi釘ia pq cu v(p q) =1-v(p)-v(q)+2v(p) v(q). p q sau (p q) (q p) p q pq qp pq 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 Dou propozi釘ii sunt echivalente doar atunci c但nd ambele propozi釘ii au aceeai valoare de adevr. Dou propozi釘ii compuse sunt echivalente () atunci c但nd pentru aceeai valoare ale propozi釘iei componente prop compuse au aceeai valoare de adevr. Exemple: 1.3>2 dac i numai dac 5<6 este propozi釘ie adevrat. 2. 3=5 dac i numai dac urii se hrnesc cu beton este propozi釘ie fals. Defini釘ie:O expresie a crui valoare de adevr este adevrul indiferent de valorile propozi釘iei componente se numete tautologie. Teorem: Fie p,q propozi釘ii. Avem [(pq) (q p)] (pq). p q pq qp (pq) (qp) p q 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1
  • 12. Teorem: Legea dublei nega釘ii : p q p p p p q 0 1 0 1 1 0 1 1 Exemplu: Este fals c Ana nu mers la cinema, adic Ana a mers la cinema. Legea ter釘ului exclus : Propozi釘ia p V q este adevrat. P p p p 0 1 1 1 0 1 Exemple: 3族+4族=5族 sau 3族+4族5族 Metoda reducerii la absurd: Fie p,q propozi釘ii. Avem (pq) ( q p). p q Pq q p (p q) ( qp) 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 Exemple: Dac 4>3, atunci 2 >2続 este echivalent cu Dac 2 2続, atunci 43.
  • 13. Teorem: Legea dublei nega釘ii : p q p p p p q 0 1 0 1 1 0 1 1 Exemplu: Este fals c Ana nu mers la cinema, adic Ana a mers la cinema. Legea ter釘ului exclus : Propozi釘ia p V q este adevrat. P p p p 0 1 1 1 0 1 Exemple: 3族+4族=5族 sau 3族+4族5族 Metoda reducerii la absurd: Fie p,q propozi釘ii. Avem (pq) ( q p). p q Pq q p (p q) ( qp) 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 Exemple: Dac 4>3, atunci 2 >2続 este echivalent cu Dac 2 2続, atunci 43.