Matrices+y+determinantes
- 2. MATRICES E DETERMINANTES Definición de matriz Chámase matriz de dimensión mxn a unha táboa rectangular formada por m filas e n columnas de números reais: aij representa o elemento que está na fila i e na columna j o elemento a25 será o elemento da fila 2 e columna 5.
- 3. TIPOS DE MATRICES Matriz fila: ( )naaaa 1131211 Matriz columna: 1 31 21 11 ma a a a Matriz nula Matriz cadrada:
- 4. TIPOS DE MATRICES Matriz diagonal: Matriz unidade ou identidade: Matriz Triangular: matriz triangular inferior matriz triangular superior
- 5. MATRIZ TRASPOSTA Chámase TRASPOSTA dunha matriz A, a matriz que se obtén ao cambiar na matriz A as filas polas columnas Matriz simétrica: Unha matriz cadrada A é simétrica cando A = At Matriz antisimétrica: Unha matriz cadrada é antisimétrica cando -A = At
- 6. SUMA E DIFERENCIA DE MATRICES non se poden sumar. A + (B + C) = (A + B) + C Propiedade Asociativa A + B = B + A Propiedade conmutativa Matriz NulaA + 0 = A (0 é a matriz nula) Só se poden sumar ou restar matrices coa mesma dimensión
- 7. PRODUCTO DUNHA MATRIZ POR UN NÚMERO PROPIEDADES PRODUCTO DUN Nº POR UNHA MATRIZ a.(b.A)=(a.b).A a.(A+B)=a-A+a.B (a+b).A=a.A+b.A 1.A=A
- 8. PROPIEDADES DO PRODUCTO DE MATRICES Para que dúas matrices se poidan multiplicar é necesario que o nº de columnas da primeira coincida co nº de filas da segunda ASOCIATIVA: (A.B).C=A.(B.C) DISTRIBUTIVA : A.(B+C) = A.B+A.C (A+B).C = A.C+B.C NON É CONMUTATIVO : A.B ≠ B. A. PRODUCTO DE MATRICES
- 9. DETERMINANTE DUNHA MATRIZ CADRADA Determinante de orden 2 Determinante de orden 3
- 10. DETERMINANTE DE ORDEN n MENOR COMPLEMENTARIO. ADXUNTO. Sexa A unha matriz cadrada de orden n, chámase menor complementario do elemento aij ao determinante da matriz que resulta o suprimir en A a fila i e a columna j, designase M ij Chámase adxunto do elemento aij e denotase Aij a Aij= (-1) i+ j Mij Defínese determinante de A como a suma dos elementos dunha liña polos seus respectivos adxuntos.
- 11. PROPIEDADES DOS DETERMINANTES Todas as propiedades que se enuncian para filas tamén son certas para columnas. Se se multiplican todos os elementos dunha fila por un nº o determinante queda multiplicado por dito número. Se se permutan dúas filas o determinante cambia de signo. Se todos os elementos dunha fila son 0 o determinante é 0. Se dúas filas son iguais ou proporcionais o determinante é 0. Se cada elemento dunha fila é suma de 2 sumandos , o determinante é igual á suma de dous determinantes que teñan nesa fila os primeiros e os segundos sumandos respectivamente e nas demais os mesmos elementos que o determinante inicial. Se a unha fila se lle suma un múltiplo doutra o determinante non varía. Se as filas son linearmente dependentes o determinante é 0.
- 12. Unha matriz cadrada que ten inversa dise que é inversible ou regular; en caso contrario recibe o nome de singular. MATRIZ INVERSA Hai varios métodos para calcular a matriz inversa dunha matriz dada: método de Gauss Usando determinantes Directamente Chámase inversa dunha matriz cadrada A de orden n a outra matriz de orden n, B que verifique que A·B = B· A = In Unha matriz cadrada ten inversa cando e só cando o seu determinante é distinto de 0
- 13. A matriz que se calculou realmente sería a inversa pola "dereita", pero é fácil comprobar que tamén cumpre A-1 · A = I, co que é realmente a inversa de A. Dada a matriz buscamos unha matriz que cumpra A·A-1 = I2, é dicir Para elo propoñemos o sistema de ecuacións: Cálculo Directo da Matriz Inversa
- 14. Cálculo da matriz inversa usando determinantes t adxA A A )( 11 =−
- 15. O rango non pode ser maior ao número de filas ou de columnas. RANGO DUNHA MATRIZ Chámase “menor” de orden p dunha matriz ao determinante que resulta de eliminar certas filas e columnas ata quedar una matriz cadrada de orden p. É dicir, ao determinante de calquera submatriz cadrada de A Nunha matriz A m×n pode haber varios menores de orden p. Definición: Rango dunha matriz é a orde do maior menor non nulo que se poida formar na matriz. Consecuencia
- 16. As dúas primeiras filas son L.I. a terceira depende linealmente das dúas primeiras RANGO DUNHA MATRIZ Vectores fila dunha matriz: As filas dunha matriz poden ser consideradas como vectores. É posible que sexan linealmente Independentes (L.I.) e é posible que uns dependan linealmente de outros. Por exemplo: As dúas primeiras líñas son L.I., as outras dúas dependen linealmente das primeiras As súas dúas son linealmente independentes = 2431 5232 A = 43 50 12 31 B −− = 158 209 351 C 2123 FFF −⋅= 214 FFF += 312 FFF =− Chámase rango dunha matriz ao número de filas Linealmente Independentes
- 17. Teorema Nunha matriz o número de filas L.I. coincide co número de columnas L.I. RANGO DUNHA MATRIZ Vectores columna dunha matriz: Tamén as columnas dunha matriz poden ser consideradas como vectores. Poderíamos definir rango da matriz como o número de columnas linealmente independentes, pero aparece a dúbida de se esa definición pode contradecir á anterior. Rango dunha matriz é o número de filas, ou columnas, linealmente independentes.
- 18. O rango dunha matriz podémolo calcular por dous métodos diferentes: RANGO DUNHA MATRIZ Polo método de Gauss Usando Determinantes
- 19. Cálculo do rango: método de Gauss Se se permutan dúas filas o rango non varía Se se multiplica unha fila por un nº non nulo o rango non varía Se a unha fila se lle suma ou resta outra paralela o rango non varía
- 20. Cálculo do rango dunha matriz polo método de Gauss
- 21. Cálculo de rango por determinantes
- 22. Cálculo do rango dunha matriz polo método de Gauss