�ݺ�ߣ

I . Các dạng toán về phương trình lượng giác
1 . Phương trìnhlượng giác cơ bản
- Phương trình sinx = a (1)
♦ |a| > 1: phương trình (1) vô nghiệm.
♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn sinα = a.
Khi đó phương trình (1) có các nghiệm là
x = α + k2π, k ∈ Z
và x = π-α + k2π, k ∈ Z.
Nếu α thỏa mãn điều kiện
−π
2
≤ 𝛼 ≤
π
2
và sinα = a thì ta viết α = arcsin a.
Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là
x = arcsina + k2π, k ∈ Z
và x = π - arcsina + k2π, k ∈ Z.
Các trường hợp đặc biệt:
Sinx = 0  x = kπ, k ∈ Z.
Sinx = -1 x=
−π
2
+ k2π, k ∈ Z
Sinx = 1 
π
2
+ k2π, k ∈ Z
- Phương trình cosx = a (2)
♦ |a| > 1: phương trình (2) vô nghiệm.
♦ |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn cosα = a.
Khi đó phương trình (2) có các nghiệm là
x = α + k2π, k ∈ Z
và x = -α + k2π, k ∈ Z.
−π
2
≤ 𝛼 ≤
π
2
và cosα = a thì ta viết α = arccos a.
x = arccosa + π

và x = -arccosa + k2π, k ∈ Z.
Các trường hợp đặc biệt:
Cosx = 0  x =
π
2
+ kπ, k ∈ Z.
Cosx = -1  π + k2π, k ∈ Z
Cosx = 1  k2π, k ∈ Z
-Phương trình tanx = α
Điều kiện: x ≠
π
2
+ kπ, k ∈ Z.
−π
2
≤ 𝛼 ≤
π
2
và tanα = a thì ta viết α = arctan a.
x = arctana + kπ,k ∈ Z
- Phương trình cotx = a (4)
Điều kiện: x ≠ kπ, k ∈ Z.
−π
2
≤ 𝛼 ≤
π
2
và cotα = a thì ta viết α = arccot a.
x = arccota + kπ, k ∈ Z
Ví dụ minh họa: Giải các phương trình lượng giác sau:
a) sinx = sin(π/6)
[
𝑥=
𝜋
6
+𝑘2𝜋
𝑥=𝜋+
𝜋
6
+𝑘2𝜋=
5𝜋
6
+𝑘2𝜋
k ∈ Z
b) 2cosx = 1
 cosx = ½  x= ±
𝜋
3
+ 𝑘2𝜋 (k ∈ Z)
c) tanx – 1 = 0
 cosx =
𝜋
4
+ 𝑘𝜋 (k ∈ Z)
d) cotx = tan2x.
 cotx = cot(
𝜋
2
− 2𝑥)
 x =
𝜋
2
− 2𝑥 + 𝑘𝜋

 x =
𝜋
6
+
𝑘𝜋
3
(k ∈ Z)
e ) cos2x – 3cosx + 2 = 0
 [ 𝑐𝑜𝑠𝑥=1
𝑐𝑜𝑠𝑥=2 (𝑣ô 𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚)
 x = 2𝑘𝜋 (k ∈ Z)
f )
1
𝑐𝑜𝑠2
𝑥−2
= 0
 tan2x + 1 – 2 = 0
 [ 𝑡𝑎𝑛𝑥=1
𝑡𝑎𝑛𝑥=−1
 x =±
𝜋
4
+ 𝑘𝜋 (k ∈ Z)
g ) (√3-1)sinx = 2sin2x
 (√3-1)sinx =4.sinxcosx
 [ 𝑠𝑖𝑛𝑥=0
√3−1=4𝑐𝑜𝑠𝑥
 [
𝑠𝑖𝑛𝑥=0
𝑐𝑜𝑠𝑥=
√3−1
4
[
𝑥=𝑘𝜋
x =±arc cos
√3−1
4
+𝑘2𝜋
(k ∈ Z)
2. Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác
α Sin x2 + b sinx + c = 0 Đặt t = sin x, | 𝑡| ≤ 1
α Cos x2 + b cosx + c = 0 Đặt t = cos x, | 𝑡| ≤ 1
α Tan x2 + b tanx + c = 0 Đặt t = tan x
α Cot x2 + b cotx + c = 0 Đặt t = cot x
=>Giải ra t, đưa phương trình về dạng cơ bản
Ví dụ minh họa:
a ) sin2x +2sinx - 3 = 0
[ 𝑠𝑖𝑛𝑥=1
𝑠𝑖𝑛𝑥= −3 (𝑣ô𝑙ý)
x==
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 (k ∈ Z)
b ) cos2x – sinx + 2 = 0
 1- 2cos2x– sinx + 2 = 0
[ 𝑠𝑖𝑛𝑥=1
𝑠𝑖𝑛𝑥= −3/2 (𝑣ô𝑙ý)
x=
𝜋
2
+ 2𝑘𝜋 (k ∈ Z)
c ) cos2x + cosx – 2 = 0
 2cos2x– 1 + cos x – 2 = 0
 [ 𝑐𝑜𝑠𝑥=1
𝑐𝑜𝑠𝑥= −3/2 (𝑣ô𝑙ý)
 x==2𝑘𝜋 (k ∈ Z)
d ) (sin2x) +tanx – 1 = 0
Đk: { 𝑐𝑜𝑠𝑥 ≠ 0
𝑠𝑖𝑛𝑥 ≠ 0
 x≠
𝑘𝜋
2
(k ∈ Z)
 tan2x + 1 + tanx – 1 = 0

 [ 𝑡𝑎𝑛𝑥=−1
𝑡𝑎𝑛𝑥=0
 {
𝑥 =
−𝜋
4
+ 𝑘𝜋 (𝑡ℎỏ𝑎 𝑚ã𝑛)
𝑥 = 𝑘𝜋 (𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑡ℎỏ𝑎)
e) 1+ sin2x + cos x + sin x = 0
1+2sinxcosx + 2.(cosx+sinx) = 0
 cos2x + sin2x + 2sinxcosx + 2(cosx+sinx) = 0
 (cosx+sinx)2+2(cosx+sinx) = 0
 [ 𝑐osx+sinx=0
𝑐osx+sinx+2=0(vô lý)
cosx = -sinx tanx = -1
 x=
−𝜋
4
+ 𝑘𝜋 (k ∈ Z)
3. Phương trình bậc nhất đối với sinx, cos x
a sinx + b cosx = c (*)
Đk: a2 + b2 ≥ c2
- Cách 1: Chia 2 vế cho √𝑎2 + 𝑏2
(*) <=>
𝑎
√ 𝑎2
+𝑏2sin x +
𝑏
√ 𝑎2
+𝑏2sin x =
𝑐
√ 𝑎2
+𝑏2
Vì (
𝑎
√ 𝑎2
+𝑏2)2 + (
𝑏
√ 𝑎2
+𝑏2)2 = 1
Nên ta đặt:
𝑏
√ 𝑎2
+𝑏2 = cos α (Sin x2 + Cos x2 =1)
𝑏
√ 𝑎2
+𝑏2 = sin α
=>sinx.cosα + cosx.sinα =
𝑐
√ 𝑎2
+𝑏2  sin(x+ α) =
𝑐
√ 𝑎2
+𝑏2 (Lúc này pt về dạng cơ bản)
- Cách 2: Chia 2 vế cho a (giả sử a ≠ 0)
(*) <=>sinx +
𝑏
𝑎
cos x =
𝑐
𝑎
<=> sinx.cosα + cosx.sinα =
𝑐
𝑎
cos α
<=> sin(x+α) =
𝑐
𝑎
cos α (về dạng cơ bản)
Ví dụ minh họa: Giải các phương trình sau:
a ) sin3x - √3cos3x = 2sin2x
2sin(3x-
𝜋
3
) = 2sin2x
 [
3𝑥−
𝜋
3
=2𝑥+𝑘2𝜋
3𝑥−
𝜋
3
=𝜋−2𝑥+𝑘2𝜋

𝑥=
𝜋
3
+𝑘2𝜋
𝑥=
2𝜋
15
+
𝑘2𝜋
5
(k ∈ Z)
b ) cos2x – sin2x = 0.

𝑐𝑜𝑠2𝑥+1
2
− 𝑠𝑖𝑛2𝑥 = 0

 cos2x – 2sin2x = -1
 √5.[
√5
5
sinx -
2√5
5
cosx] = -1
 sin(x-α) = -1/√5, với α thỏa mãn sin α =
2√5
5
và cos α =
√5
5
 [
𝑥=α+arcsin(−
1
√5
)+ 𝑘2𝜋
𝑥= α+ 𝜋−arcsin(−
1
√5
)+ 𝑘2𝜋
(k ∈ Z)
c ) sin7x – cos2x = √3(sin2x-cos7x)
 cos(7x -
𝜋
6
) = cos (2x -
𝜋
3
)
 7x -
𝜋
6
= ±(2x -
𝜋
3
) + 𝑘2𝜋
[
𝑥=−
𝜋
30
+
𝑘2𝜋
5
𝑥=
𝜋
18
+
𝑘2𝜋
9
(k ∈ Z)
d )
𝑐𝑜𝑠𝑥− √3𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥−0.5
= 0
ĐK: sinx ≠ ½  {
𝑥 ≠
𝜋
6
+ 𝑘2𝜋
𝑥 ≠
5𝜋
6
+ 𝑘2𝜋
(k ∈ Z)
𝑐𝑜𝑠𝑥− √3𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥−0.5
= 0
 cos(x+
𝜋
3
) = 0
 x +
𝜋
3
=
𝜋
2
+ 𝑘𝜋
 x=
𝜋
6
+ 𝑘𝜋
Kết hợp đk: x =
7𝜋
6
+ 𝑘2𝜋 (k ∈ Z)
4 . Phương trìnhđối xứng: a(sinx + cosx) + b.sinx.cosx + c = 0
Đặt t = sinx + cosx = √2 cos(x -
𝜋
4
) hoặc t = √2 cos(x -
𝜋
4
)
Điều kiện | 𝑡| ≤ √2
Khi đó t2 = 1+2sinxcosx  sinxcosx =
𝑡2
−1
2
Thay vào pt ta có:
at + b
𝑡2
−1
2
+ c = 0 (pt bậc 2 ẩn t)
Sau khi giải ra t ta có phương trình dạng cơ bản: t = √2 cos(x -
𝜋
4
)
*Chú ý: Với pt: a(sinx – cosx) + bsinx.cosx + c = 0
Đặt t = sinx – cosx =√2 sin(x -
𝜋
4
) | 𝑡| ≤ √2

=>t = 1- 2 sinx.cosx (Giải tương tự như trên)
Ví dụ minh họa:
Bài 1: Giải các pt sau:
a ) sinx+cosx –2sinxcosx+1=0
Đặt t = sin x + cos x, đk | 𝑡| ≤ √2 suy ra sinx.cosx =
𝑡2
−1
2
Khi đó pt có dạng:
t- (t2-1) + 1 = 0  t = -1 (chọn) và t = 2 (loại)
 sinx + cosx = -1  √2sin(x+
𝜋
4
) = -1
 sin(x+
𝜋
4
) = −
1
√2
 [ 𝑥=
−𝜋
2
+2𝑘𝜋
𝑥= 𝜋+𝑘2𝜋
(k ∈ Z)
Vậy pt có 2 nghiệm
b ) 1+tanx = 2√2sinx
Bài 2: Cho các pt: m(sinx+cosx) + sin2x + m-1 = 0 (1)
a) Giải pt với m = 2
b) Tìm m để pt vô nghiệm
Giải:
Đặt t = sin x + cos x, đk | 𝑡| ≤ √2 suy ra sinx.cosx =
𝑡2
−1
2
Khi đó pt có dạng:
Mt + (t2-1)+m-1 = 0 f(t) = t2 + mt + m – 2 = 0(2)
a) với m = 2 pt (2) có dạng:

t2 + 2t = 0  t = -2 (loại ) ; t = 0 (chọn)
 sinx + cos x = 0  x = 𝑥 =
−𝜋
4
+ 𝑘𝜋
b) Viết lại (2) dưới dạng:
5 . Phương trìnhđẳng cấp bậc 2 đối với sinx, cos x
a.sin2x + b.sinxcosx + c. Cos2x = 0 (*)
- B1: Xét cosx = 0  x =
𝜋
2
+ 𝑘π (k thuộc Z) có phải nghiệm không
- B2: Tiếp tục xét cosx ≠ 0. Chia hai vế cho cos2x
(*)atan2x + atanx + c = 0
Đặt t = tan x rồi giải t (pt về dạng cơ bản)
Ví dụ minh họa: Giải pt:
2sin2x + sinxcosx + 3cos2x– 2 = 0 (*)
 1 – cos 2x + ½ sin2x + 3.
1+𝑐𝑜𝑠2𝑥
2
– 2 = 0
 sin2x + cos 2x + 1 = 0
 √2sin(2x +
𝜋
4
) + 1 = 0
 sin(2x +
𝜋
4
) = −
1
√2
 sin(2x +
𝜋
4
) = sin( −
𝜋
4
)
 [
2x +
𝜋
4
= −
𝜋
4
+ 2𝑘𝜋
2x +
𝜋
4
=
5𝜋
4
+ 2𝑘𝜋
 [
x = −
𝜋
4
+ 𝑘𝜋
x =
𝜋
2
+ 𝑘𝜋

�ݺ�ߣ

Cach giai-va-cac-dang-bai-toan-phuong-trinh-luong-giac

More Related Content

Cach giai-va-cac-dang-bai-toan-phuong-trinh-luong-giac