ݺߣ

ݺߣShare a Scribd company logo

Η λογική στον 20ο αιώνα (μέρος γ΄)

•
•
J
jpapoglou
1 of 18
Η λογική στον 20ο αιώνα (μέρος γ΄)
Η λογική στον 20ο αιώνα (μέρος γ΄)
Η νεότερη λογική είναι γνωστή ως «συμβολική» ή «τυπική» ή «μαθηματική» Άρχισε ουσιαστικά από τα έργα «Τυπική λογική» του Augustus de Morgan και Mathematical Analysis of Logic του George Boole.
Κύριοι εκπρόσωποι αυτής της σχολής: John Venn, Charles Peirce και Ernst Schroder Επικέντρωσε το ενδιαφέρον της στην μελέτη της σχέσης που υπάρχει μεταξύ πράξεων όπως η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός και λογικών πράξεων στα πλαίσια της George Boole, επιχειρηματολογίας. 1815-1864 Ο μαθηματικός George Boole, παρουσίασε το 1847 μια άλγεβρα με μεταβλητές δύο τιμών (που καλούνται "λογικές μεταβλητές"). Ουσιαστικά παρουσίασε με τα μαθηματικά της εποχής του, την Αριστοτέλεια λογική, του είναι ή δεν είναι.
Κύριοι εκπρόσωποι αυτής της σχολής: Bertrand Russell και Gottlob Frege Τα μέλη της λογικιστικής σχολής πίστευαν ότι η λογική αποτελούσε τη βάση για κάθε επιχειρηματολογία. Gottlob Frege 1848 - 1925 O Φρέγκε στην προσπάθειά του να θεμελιώσει τη γεωμετρία υποστήριξε ότι αρκεί μια ιδιότητα για να περιγράψει το σύνολο των αντικειμένων που την ικανοποιούν.
Ο Ράσελ όμως έδειξε με το Παράδοξό του ότι το σύστημα του Φρέγκε ήταν αντιφατικό και κατά συνέπεια, έπρεπε να απορριφθεί. Για να ξεπεράσουν τα προβλήματα που προέκυπταν ο Ράσελ συνεργάστηκε με τον Alfred Whitehead, και Alfred north Whitehead δημιούργησαν το τρίτομο έργο Principia 1861 - 1947 Mathematica, στο οποίο ανέπτυξαν την λεγόμενη «Θεωρεία των τύπων» Ο τρόπος που οι Ράσελ και Ουάϊτχεντ απέφυγαν τα παράδοξα ήταν η συμπερίληψη στο σύστημά τους της «αρχής του φαύλου κύκλου» η οποία έλεγε ότι καμία οντότητα δεν μπορεί να οριστεί με αναφορά σε μία ολότητα που περιέχει την οντότητα που θέλουμε να Bertrand Russell ορίσουμε. 1872 - 1970
1+1=…. 2 έπειτα από 379 σελίδες απόδειξης.
Κύριοι εκπρόσωποι αυτής της σχολής: Richard Dedekind, Giuseppe Peano, David Hilbert. Σκοπός των ερευνών της σχολής αυτής ήταν η κατασκευή αξιωματικών συστημάτων για επί μέρους κλάδους των μαθηματικών, δηλ, την γεωμετρία, την θεωρεία αριθμών, τη θεωρεία Giussepe Peano συνόλων κ.λ.π. 1858 - 1932 Βασική επιδίωξη ήταν να αποδειχθεί ότι αυτά τα αξιωματικά συστήματα δεν οδηγούν σε αντιφάσεις. Ο Χίλμπερτ κατέστρωσε το περίφημο «πρόγραμμα Χίλμπερτ», στόχος του οποίου ήταν η τυποποίηση των μαθηματικών προς αυτή την κατεύθυνση.
Πρέπει να μάθουμε, θα μάθουμε 1ον : Τα μαθηματικά οφείλουν, τουλάχιστον θεωρητικά, να απαντήσουν σε κάθε ερώτημα 2ον : Τα μαθηματικά οφείλουν να είναι απαλλαγμένα από ασυνέπειες. David Hilbert 1862 - 1943
Τα Θεωρήματα της μη-πληρότητας Kurt Gödel 1906 - 1978
Κρητικό παράδοξο ή Παράδοξο του ψεύτη Κρῆτες ἀεὶ ψεῦσται (οι Κρήτες είναι πάντα ψεύτες) ΕΠΙΜΕΝΙΔΗΣ
Ο Γκέντελ ερμήνευσε από την αρχή το παράδοξο του ψεύτη εισάγοντας την έννοια της απόδειξης. «Η πρόταση αυτή δεν επιδέχεται καμία απόδειξη.» δηλ . ο Γκέντελ απέδειξε ότι υπήρχαν μη αποδείξιμες προτάσεις, δεν είχε όμως καταδείξει κάποια
Το 1963 ανέπτυξε μια τεχνική ελέγχου σχετικά με το κατά πόσο ένα συγκεκριμένο ερώτημα είναι ή όχι μη αποδείξιμο. Η ειρωνεία Ένα από τα 23 προβλήματα του Hilbert που ανέφερε το 1900 στο συνέδριο των μαθηματικών ήταν μη αποδείξιμο. Paul Cohen 1934 – 2007
 1. Η υπόθεση του συνεχούς.  2. H μη αντιφατικότητα των αξιωμάτων της αριθμητικής.  3. Ορισμός του ευκλείδειου όγκου.  4 - 5 Ταξινόμηση των νέων γεωμετριών  6. Αξιωματικοποίηση της φυσικής.  7 - 13 Προβλήματα θεωρίας αριθμών. Ξεχωρίζουν: 8. Υπόθεση Riemann και εικασία του Goldbach 10. Διοφαντικές εξισώσεις  14 - 18 Προβλήματα άλγεβρας  19 - 23 Προβλήματα ανάλυσης - διαφορικών εξισώσεων
Ήθελε να βρει αν υπήρχε τρόπος να καθοριστεί ποια ερωτήματα ήταν αποδείξιμα και ποια όχι, και είχε προσπαθήσει να αναπτύξει μια τέτοια μέθοδο. Τελικά αποδεικνύει ότι όχι μόνο δεν θα ξέρουμε τα πάντα αλλά και δεν θα ξέρουμε τι μπορούμε να αποδείξουμε και τι όχι. Alan Turing 1912 – 1954
ΔΕΝ ΘΑ ΜΑΘΟΥΜΕ ΤΑ ΠΑΝΤΑ Υπάρχει ignorabimus Wir müssen Wissen Wir werden Wissen
Βιβλιογραφία  «Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά» του Simon Singh Εκδ:ΤΡΑΥΛΟΣ  Διάλεξη του Απόστολου Δοξιάδη με τίτλο «Η Παράνοια στους Αλγόριθμους» ΛΟΓΙΚΗ - Θεωρία και Πρακτική (Γ΄ Τάξη Ενιαίου Πειραματικού Λυκείου)
Η λογική στον 20ο αιώνα (μέρος γ΄)

More Related Content

Η λογική στον 20ο αιώνα (μέρος γ΄)

  • 3. Η νεότερη λογική είναι γνωστή ως «συμβολική» ή «τυπική» ή «μαθηματική» Άρχισε ουσιαστικά από τα έργα «Τυπική λογική» του Augustus de Morgan και Mathematical Analysis of Logic του George Boole.
  • 4. Κύριοι εκπρόσωποι αυτής της σχολής: John Venn, Charles Peirce και Ernst Schroder Επικέντρωσε το ενδιαφέρον της στην μελέτη της σχέσης που υπάρχει μεταξύ πράξεων όπως η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός και λογικών πράξεων στα πλαίσια της George Boole, επιχειρηματολογίας. 1815-1864 Ο μαθηματικός George Boole, παρουσίασε το 1847 μια άλγεβρα με μεταβλητές δύο τιμών (που καλούνται "λογικές μεταβλητές"). Ουσιαστικά παρουσίασε με τα μαθηματικά της εποχής του, την Αριστοτέλεια λογική, του είναι ή δεν είναι.
  • 5. Κύριοι εκπρόσωποι αυτής της σχολής: Bertrand Russell και Gottlob Frege Τα μέλη της λογικιστικής σχολής πίστευαν ότι η λογική αποτελούσε τη βάση για κάθε επιχειρηματολογία. Gottlob Frege 1848 - 1925 O Φρέγκε στην προσπάθειά του να θεμελιώσει τη γεωμετρία υποστήριξε ότι αρκεί μια ιδιότητα για να περιγράψει το σύνολο των αντικειμένων που την ικανοποιούν.
  • 6. Ο Ράσελ όμως έδειξε με το Παράδοξό του ότι το σύστημα του Φρέγκε ήταν αντιφατικό και κατά συνέπεια, έπρεπε να απορριφθεί. Για να ξεπεράσουν τα προβλήματα που προέκυπταν ο Ράσελ συνεργάστηκε με τον Alfred Whitehead, και Alfred north Whitehead δημιούργησαν το τρίτομο έργο Principia 1861 - 1947 Mathematica, στο οποίο ανέπτυξαν την λεγόμενη «Θεωρεία των τύπων» Ο τρόπος που οι Ράσελ και Ουάϊτχεντ απέφυγαν τα παράδοξα ήταν η συμπερίληψη στο σύστημά τους της «αρχής του φαύλου κύκλου» η οποία έλεγε ότι καμία οντότητα δεν μπορεί να οριστεί με αναφορά σε μία ολότητα που περιέχει την οντότητα που θέλουμε να Bertrand Russell ορίσουμε. 1872 - 1970
  • 7. 1+1=…. 2 έπειτα από 379 σελίδες απόδειξης.
  • 8. Κύριοι εκπρόσωποι αυτής της σχολής: Richard Dedekind, Giuseppe Peano, David Hilbert. Σκοπός των ερευνών της σχολής αυτής ήταν η κατασκευή αξιωματικών συστημάτων για επί μέρους κλάδους των μαθηματικών, δηλ, την γεωμετρία, την θεωρεία αριθμών, τη θεωρεία Giussepe Peano συνόλων κ.λ.π. 1858 - 1932 Βασική επιδίωξη ήταν να αποδειχθεί ότι αυτά τα αξιωματικά συστήματα δεν οδηγούν σε αντιφάσεις. Ο Χίλμπερτ κατέστρωσε το περίφημο «πρόγραμμα Χίλμπερτ», στόχος του οποίου ήταν η τυποποίηση των μαθηματικών προς αυτή την κατεύθυνση.
  • 9. Πρέπει να μάθουμε, θα μάθουμε 1ον : Τα μαθηματικά οφείλουν, τουλάχιστον θεωρητικά, να απαντήσουν σε κάθε ερώτημα 2ον : Τα μαθηματικά οφείλουν να είναι απαλλαγμένα από ασυνέπειες. David Hilbert 1862 - 1943
  • 10. Τα Θεωρήματα της μη-πληρότητας Kurt Gödel 1906 - 1978
  • 11. Κρητικό παράδοξο ή Παράδοξο του ψεύτη Κρῆτες ἀεὶ ψεῦσται (οι Κρήτες είναι πάντα ψεύτες) ΕΠΙΜΕΝΙΔΗΣ
  • 12. Ο Γκέντελ ερμήνευσε από την αρχή το παράδοξο του ψεύτη εισάγοντας την έννοια της απόδειξης. «Η πρόταση αυτή δεν επιδέχεται καμία απόδειξη.» δηλ . ο Γκέντελ απέδειξε ότι υπήρχαν μη αποδείξιμες προτάσεις, δεν είχε όμως καταδείξει κάποια
  • 13. Το 1963 ανέπτυξε μια τεχνική ελέγχου σχετικά με το κατά πόσο ένα συγκεκριμένο ερώτημα είναι ή όχι μη αποδείξιμο. Η ειρωνεία Ένα από τα 23 προβλήματα του Hilbert που ανέφερε το 1900 στο συνέδριο των μαθηματικών ήταν μη αποδείξιμο. Paul Cohen 1934 – 2007
  • 14. 1. Η υπόθεση του συνεχούς.  2. H μη αντιφατικότητα των αξιωμάτων της αριθμητικής.  3. Ορισμός του ευκλείδειου όγκου.  4 - 5 Ταξινόμηση των νέων γεωμετριών  6. Αξιωματικοποίηση της φυσικής.  7 - 13 Προβλήματα θεωρίας αριθμών. Ξεχωρίζουν: 8. Υπόθεση Riemann και εικασία του Goldbach 10. Διοφαντικές εξισώσεις  14 - 18 Προβλήματα άλγεβρας  19 - 23 Προβλήματα ανάλυσης - διαφορικών εξισώσεων
  • 15. Ήθελε να βρει αν υπήρχε τρόπος να καθοριστεί ποια ερωτήματα ήταν αποδείξιμα και ποια όχι, και είχε προσπαθήσει να αναπτύξει μια τέτοια μέθοδο. Τελικά αποδεικνύει ότι όχι μόνο δεν θα ξέρουμε τα πάντα αλλά και δεν θα ξέρουμε τι μπορούμε να αποδείξουμε και τι όχι. Alan Turing 1912 – 1954
  • 16. ΔΕΝ ΘΑ ΜΑΘΟΥΜΕ ΤΑ ΠΑΝΤΑ Υπάρχει ignorabimus Wir müssen Wissen Wir werden Wissen
  • 17. Βιβλιογραφία  «Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά» του Simon Singh Εκδ:ΤΡΑΥΛΟΣ  Διάλεξη του Απόστολου Δοξιάδη με τίτλο «Η Παράνοια στους Αλγόριθμους» ΛΟΓΙΚΗ - Θεωρία και Πρακτική (Γ΄ Τάξη Ενιαίου Πειραματικού Λυκείου)