Derivate
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Concetto di derivata di una funzione
![DEFINIZIONE DI DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO
O
x
y
f(x0)
f(x0+h)
x = h
f
Consideriamo una funzione f(x)
definita in un intervallo ] a, b [
Sia x0 un punto interno ad ] a, b [
e sia x0 + h il punto ottenuto
aggiungendo ad x0 la quantità h
Indicheremo con i simboli f e x
le seguenti differenze:
f = f(x0+h) – f(x0)
x = x0+h – x0 = h
Chiameremo infine rapporto incrementale relativo al punto x0 e all’incremento h il
seguente rapporto:
h
)f(xh)f(x
Δx
Δf 00
e le chiameremo rispettivamente incremento della funzione ( f )
e incremento della variabile ( x = h)
a b
.
x0
.
x0+h
DERIVATE 2/6](https://image.slidesharecdn.com/derivate-140402123002-phpapp01/85/Derivate-1-320.jpg)
Derivate
- 1. DEFINIZIONE DI DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO O x y f(x0) f(x0+h) x = h f Consideriamo una funzione f(x) definita in un intervallo ] a, b [ Sia x0 un punto interno ad ] a, b [ e sia x0 + h il punto ottenuto aggiungendo ad x0 la quantità h Indicheremo con i simboli f e x le seguenti differenze: f = f(x0+h) – f(x0) x = x0+h – x0 = h Chiameremo infine rapporto incrementale relativo al punto x0 e all’incremento h il seguente rapporto: h )f(xh)f(x Δx Δf 00 e le chiameremo rispettivamente incremento della funzione ( f ) e incremento della variabile ( x = h) a b . x0 . x0+h DERIVATE 2/6
- 2. Definizione: funzione derivabile in un punto – derivata in un punto Una funzione si dice derivabile in un punto x0 se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale della funzione quando l’incremento h della variabile tende a zero, cioè se esiste ed è finito il seguente limite: h )f(xh)f(x lim 00 0h Il risultato del precedente limite lo diremo derivata della f(x) nel punto x0 e lo indicheremo con uno qualunque dei simboli: f ’(x0) y ’(x0) 0xx xDf )x(x 0 dx df Se il precedente limite non esiste, oppure non dà come risultato un numero finito, allora diremo che la funzione f(x) non è derivabile nel punto x0 derivata in simboli: h )f(xh)f(x lim)(x'f 00 0 0 h DERIVATE 3/6
- 3. SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA O x1 x2 x yPromemoria: Il coefficiente angolare di una retta passante per i due punti P1(x1,y1) e P2(x2,y2) è : 12 12 xx yy m y1 y2 . . P1 P2 Data una funzione f(x), il rapporto incrementale relativo al punto x0 : y f(x0) f(x0+h) . . O x0 x0+h x h )f(xh)f(x 00 )f(x,x 00 risulta essere il coefficiente angolare della retta passante per i punti: h)f(x,hx 00 Questa retta la chiameremo retta secante passante per il punto di ascissa x0 retta secante DERIVATE 5/6
- 4. O x y f(x0) x0 . h . h . h f(x0+h) x0+h . h Quando h 0 accade che: 2. la retta secante tende l l alla retta tangente 1. il rapporto incrementale t tende alla derivata, infatti: )(xf h )f(xh)f(x lim 0 00 0h Quindi: La derivata di una funzione in un punto x0 è uguale al coefficiente angolare della tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa x0 Osservazione: Ricordando che l’equazione della retta passante per un punto è y – y0 = m (x – x0) allora l’equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto di ascissa x0 è: y – f(x0) = f ’(x0) ( x – x0) retta tangente DERIVATE 6/6 .