際際滷

際際滷Share a Scribd company logo

Deferensial

Download as DOCX, PDF
Miftakul Sururi
Miftakul Sururi

Dokumen tersebut membahas tentang turunan fungsi dan berbagai aturan untuk menentukan turunan fungsi aljabar, trigonometri, transenden, parameter, dan lainnya. Secara khusus, dibahas definisi turunan, sifat-sifat dan aturan dasar turunan, turunan fungsi aljabar, trigonometri, eksponensial, logaritma, parameter, hiperbolik, serta contoh penerapannya.

1 of 16
BAB I PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit. Untuk keperluan ini dirancang teorema tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi invers. Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut. Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan (differentiation). Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan. Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Di fisika, turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda, dan turunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda sama dengan gaya yang diberikan kepada benda. Laju reaksi dari reaksi kimia juga merupakan turunan. Dalam riset operasi, turunan menentukan cara paling efisien dalam memindahkan bahan dan mendesain pabrik. Dengan menerapkan teori permainan, turunan dapat memberikan strategi yang paling baik untuk perusahaan yang sedang bersaing. Turunan sering digunakan untuk mencari titik ekstremum dari sebuah fungsi. Persamaan-persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan diferensial dan sangat penting dalam mendeskripsikan fenomena alam. Turunan dan perampatannya (generalization) sering muncul dalam berbagai bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional, geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak. 1|Page
1.2 RUMUSAN MASALAH 1. Definisi turunan 2. Deferensi fungsi aljabar 3. Deferensi fungsi trigonometri 4. Deferensi fungsi transenden 5. Deferensi fungsi parameter 1.3 TUJUAN 1. Untuk mengetahui deferensial fungsi aljabar 2. Untuk mengetahui deferensial fungsi trigonometri 3. Untuk mengetahui deferensial fungsi transenden 4. Untuk mengetahui deferensial fungsi parameter 1.4 BATASAN MASALAH 1. Definisi turunan 2. Deferensi fungsi aljabar 3. Deferensi fungsi trigonometri 4. Deferensi fungsi transenden 5. Deferensi fungsi parameter 2|Page
BAB II PEMBAHASAN 2.1 Pengertian Turunan Misalkan P adalah sebuah titik pada kurva y=f(c) dan Q merupakan titik yang dapat dipindahkan pada kurva tersebut. Titik P dan Q akan membentuk garis singgung dengan kemiringan . Kemiringan dapat diperoleh dari dengan nilai . Jadi kemiringan garis PQ dapat diperoleh dari: Untuk mencari kemiringan garis singgung ini, merupakan definisi turunan. Beberapa bentuk setara untukturunan.Perubahanyanglebihradikal,tetapi masih tetap hanyasuatuperubahancara penulisan,mungkin dipahami dengan menggantikan c+h dengan x,sehingga h dapat digantikan dengan x-c. Keterdiferensiasi mengimplikasi kontinuitas jika f(c) ada maka f kontinu di c.Jika sebuah kurva mempunyai sebuah garis singgung disebuah titik,maka kurva itu tidak dapat melompat atau sangat berayun di titik tersebut. Grafik turunan, turunan f(x) memberikan kemiringan garis singgung terhadap grafiky=f(x)pada nilai x. jadi ketika garis singgung miring naik kekanan,turunan positif,dan ketika garis singgung miring turun ke kiri,turunan negative.karenanya kita dapat memperoleh gambaran kasar dari turunan hanya dengan diketahui grafik fungsi. Untuk menentukan fungsi deferensial, dapat menggunakan berbagai notasi yakni: Notasi Leibniz Turunan f(x) terhadap x Notasi Lagrange (x) Notasi Newton Notasi Euler 3|Page
2.2 Aturan Pencarian Turunan 2.2.1 Sifat-Sifat Turunan Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan maka berlaku: 1. Kelipatan Konstanta Bukti : 2. Penjumlahan Bukti : 3. Selisih Bukti : 4|Page
4. Perkalian Bukti : 5. Pembagian Bukti : 2.2.2 Turunan Fungsi Aljabar Turunan fungsi aljabar merupakan penjabaran turunan dari fungsi tetap dan fungsi pangkat. 1. Fungsi konstan Bukti : 5|Page
2. Fungsi pangkat Pangkat Bukti : Di dalam kurung siku, semua suku kecuali yang pertama mempunyai h sehingga jika masing-masing suku ini mempunyai limit nol ketika h mendekati nol. 2.3 Aturan Rantai Aturan rantai adalah aturan yang sangat bermanfaat yang mempermudahkan kita dalam mencari turunan suatu fungsi. Dimana aturan rantai biasanya digunakan untuk menentukan fungsi komposisi. Misalkan dirumuskandengan terdeferensialkan di dan menentukan fungsi komposisi yang . Jika terdeferensialkan di dan terdiferensialkan di dan maka atau Fungsi komposisi dapat diperluas menjadi komposis 3 fungsi, 4 fungsi dan seterusnya. Jika Yakni Maka : 6|Page
Bukti: 2.4 Turunan fungsi invers Andaikan terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang I. Jika di suatu x tertentu dalam daerah I. Maka terdiferensiasikan di titik yang berpadanan dalam daerah hasil f dan Bukti : Menurut definisi limit Akan dibuktikan Dengan definisi limit, kita peroleh Karena dan Maka kita bisa menuliskan Karena f kontinu dan monoton murni, sehingga , sehingga Sehingga kita boleh melanjutkan proses maka kita bisa menuliskan 7|Page
Dengan ini kita mendapatkan Dimana 2.5 , diperoleh Diferensiasi implisit Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit namun sebagian yang lain tidak. Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di atas. Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi implisit . Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapat didiferensiasi terhadap x. Fungs鱈 implisit secara umum dapat ditulis sebagai f(x, y) = 0 dengan y sebagai fungs鱈 dalam x. Contoh fungsi implisit: 1) y 2x3 8 = 0 Contoh : 1. Tentukan dari fungs鱈 yang dirumuskan dengan y 2x3 8 = 0 Penyelesaian Apabila kedua ruas diturunkan terhadap x, maka akan diperoleh: 8|Page
2.6 Turunan Fungsi Trigonometri dan Siklometri Aturan turunan fungsi trigonometri hanya ada dua, yakni untuk Dxsinx dan Dxcosx. Untuk dan Bukti : Serta 9|Page
Fungsi siklometri adalah invers fungsi trigonometri. Akan dicari turunan invers fungsi sinus (arcus sinus) berikut. 1 x y 1 y x 10 | P a g e
2.7 Turunan Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial adalah fungsi dari suatu konstanta berpangkat tertentu. Bentuk fungsi eksponensial yang akan kami bahas disini adalah turunan fungsi dan . Jika maka Sedangkan untuk Jika sehingga 2.8 , maka diganti dengan e maka maka , jadi . Karena nilai Turunan Fungsi Logaritma Sebelum membahas turunan fungsi eksponen dan logaritma, akan dikenalkan dulu bilangan e yang kemuan disebut sebagai bilangan Euler, yakni sebuah bilangan yang merupakan pendekatan dari bentuk untuk n menuju tak hingga yang ditemukan pada tahun 1683 oleh Jacob Bernoulli Pada tahun 1748, Euler memberikan ide mengenai bilangan e, yaitu : Bentuk berikut ini dapat diubah menjadi Dari formulasi tersebut Euler memperoleh pendekatan untuk nilai e sampai 18 digit, yaitu e = 2,718281828459045235 Suatu logaritma dengan basis e dinamakan logaritma natural dan ditulis dengan ln. Sehingga 11 | P a g e
Turunan dasar pada fungsi logaritma dalam Sedangkan untuk 2.9 dan maka Turunan Fungsi Parameter Apabila disajikan persamaan berbentuk: x = f(t) y = g(t) maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari x dan y, dan t disebut parameter. Dari bentuk parameter ini dapat dicari dengan cara sebagai berikut. Dari bentukx = f(t) dibentuk , dengan begitu maka menggunakan aturan rantai, akan didapatkan ) dengan seperti berikut. 12 | P a g e
2.10 Turunan Fungsi Hiperbolik Fungsi hiperbolik diperoleh dari campuaran fungsi dan fungsi . Fungsi hiperbolik, cosinus hiperbolik dan empat fungsi hiperbolik lainya, didefinisikan sebagai berikut. Pembuktiannya menggunakan sisi kanan dari identitas terhadap euler. Ingat bahwa : Bukti turunan Bukti turunan Bukti turunan 13 | P a g e
BAB III PENUTUP 3.1 KESIMPULAN Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Pada geometri masalahnya adalah garis singgung sedangkan mekanis masalahnya pada kecepatan rata-rata dan kecepatan. 14 | P a g e
15 | P a g e
DAFTAR PUSTAKA Djohan, Warsoma, dkk. 2007. Diktat Kalkulus I. Bandung : Departemen Matematika, Fakultas MIPA ITB. http://id.wikipedia.org/wiki/Turunan_fungsi http://id.wikipedia.org/wiki/Turunan http://matematikasulis.blogspot.com/2013/03/rumus-lengkap-turunan.html Yudarwi. 2007. Turuna Fungsi Logaritma Dan Eksponensial 16 | P a g e

More Related Content

Deferensial

  • 1. BAB I PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit. Untuk keperluan ini dirancang teorema tentang turunan dasar, turunan dari operasi aljabar pada dua fungsi, aturan rantai untuk turunan fungsi komposisi, dan turunan fungsi invers. Kalkulus diferensial adalah salah satu cabang kalkulus dalam matematika yang mempelajari bagaimana nilai suatu fungsi berubah menurut perubahan input nilainya. Topik utama dalam pembelajaran kalkulus diferensial adalah turunan. Turunan dari suatu fungsi pada titik tertentu menjelaskan sifat-sifat fungsi yang mendekati nilai input. Untuk fungsi yang bernilai real dengan variabel real tunggal, turunan pada sebuah titik sama dengan kemiringan dari garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut. Secara umum, turunan suatu fungsi pada sebuah titik menentukan pendekatan linear terbaik fungsi pada titik tersebut. Proses pencarian turunan disebut pendiferensialan (differentiation). Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa pendiferensialan adalah proses keterbalikan dari pengintegralan. Turunan mempunyai aplikasi dalam semua bidang kuantitatif. Di fisika, turunan dari perpindahan benda terhadap waktu adalah kecepatan benda, dan turunan dari kecepatan terhadap waktu adalah percepatan. Hukum gerak kedua Newton menyatakan bahwa turunan dari momentum suatu benda sama dengan gaya yang diberikan kepada benda. Laju reaksi dari reaksi kimia juga merupakan turunan. Dalam riset operasi, turunan menentukan cara paling efisien dalam memindahkan bahan dan mendesain pabrik. Dengan menerapkan teori permainan, turunan dapat memberikan strategi yang paling baik untuk perusahaan yang sedang bersaing. Turunan sering digunakan untuk mencari titik ekstremum dari sebuah fungsi. Persamaan-persamaan yang melibatkan turunan disebut persamaan diferensial dan sangat penting dalam mendeskripsikan fenomena alam. Turunan dan perampatannya (generalization) sering muncul dalam berbagai bidang matematika, seperti analisis kompleks, analisis fungsional, geometri diferensial, dan bahkan aljabar abstrak. 1|Page
  • 2. 1.2 RUMUSAN MASALAH 1. Definisi turunan 2. Deferensi fungsi aljabar 3. Deferensi fungsi trigonometri 4. Deferensi fungsi transenden 5. Deferensi fungsi parameter 1.3 TUJUAN 1. Untuk mengetahui deferensial fungsi aljabar 2. Untuk mengetahui deferensial fungsi trigonometri 3. Untuk mengetahui deferensial fungsi transenden 4. Untuk mengetahui deferensial fungsi parameter 1.4 BATASAN MASALAH 1. Definisi turunan 2. Deferensi fungsi aljabar 3. Deferensi fungsi trigonometri 4. Deferensi fungsi transenden 5. Deferensi fungsi parameter 2|Page
  • 3. BAB II PEMBAHASAN 2.1 Pengertian Turunan Misalkan P adalah sebuah titik pada kurva y=f(c) dan Q merupakan titik yang dapat dipindahkan pada kurva tersebut. Titik P dan Q akan membentuk garis singgung dengan kemiringan . Kemiringan dapat diperoleh dari dengan nilai . Jadi kemiringan garis PQ dapat diperoleh dari: Untuk mencari kemiringan garis singgung ini, merupakan definisi turunan. Beberapa bentuk setara untukturunan.Perubahanyanglebihradikal,tetapi masih tetap hanyasuatuperubahancara penulisan,mungkin dipahami dengan menggantikan c+h dengan x,sehingga h dapat digantikan dengan x-c. Keterdiferensiasi mengimplikasi kontinuitas jika f(c) ada maka f kontinu di c.Jika sebuah kurva mempunyai sebuah garis singgung disebuah titik,maka kurva itu tidak dapat melompat atau sangat berayun di titik tersebut. Grafik turunan, turunan f(x) memberikan kemiringan garis singgung terhadap grafiky=f(x)pada nilai x. jadi ketika garis singgung miring naik kekanan,turunan positif,dan ketika garis singgung miring turun ke kiri,turunan negative.karenanya kita dapat memperoleh gambaran kasar dari turunan hanya dengan diketahui grafik fungsi. Untuk menentukan fungsi deferensial, dapat menggunakan berbagai notasi yakni: Notasi Leibniz Turunan f(x) terhadap x Notasi Lagrange (x) Notasi Newton Notasi Euler 3|Page
  • 4. 2.2 Aturan Pencarian Turunan 2.2.1 Sifat-Sifat Turunan Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan maka berlaku: 1. Kelipatan Konstanta Bukti : 2. Penjumlahan Bukti : 3. Selisih Bukti : 4|Page
  • 5. 4. Perkalian Bukti : 5. Pembagian Bukti : 2.2.2 Turunan Fungsi Aljabar Turunan fungsi aljabar merupakan penjabaran turunan dari fungsi tetap dan fungsi pangkat. 1. Fungsi konstan Bukti : 5|Page
  • 6. 2. Fungsi pangkat Pangkat Bukti : Di dalam kurung siku, semua suku kecuali yang pertama mempunyai h sehingga jika masing-masing suku ini mempunyai limit nol ketika h mendekati nol. 2.3 Aturan Rantai Aturan rantai adalah aturan yang sangat bermanfaat yang mempermudahkan kita dalam mencari turunan suatu fungsi. Dimana aturan rantai biasanya digunakan untuk menentukan fungsi komposisi. Misalkan dirumuskandengan terdeferensialkan di dan menentukan fungsi komposisi yang . Jika terdeferensialkan di dan terdiferensialkan di dan maka atau Fungsi komposisi dapat diperluas menjadi komposis 3 fungsi, 4 fungsi dan seterusnya. Jika Yakni Maka : 6|Page
  • 7. Bukti: 2.4 Turunan fungsi invers Andaikan terdiferensiasikan dan monoton murni (monoton tegas) pada selang I. Jika di suatu x tertentu dalam daerah I. Maka terdiferensiasikan di titik yang berpadanan dalam daerah hasil f dan Bukti : Menurut definisi limit Akan dibuktikan Dengan definisi limit, kita peroleh Karena dan Maka kita bisa menuliskan Karena f kontinu dan monoton murni, sehingga , sehingga Sehingga kita boleh melanjutkan proses maka kita bisa menuliskan 7|Page
  • 8. Dengan ini kita mendapatkan Dimana 2.5 , diperoleh Diferensiasi implisit Sebagian fungsi implisit dapat diubah ke dalam bentuk explisit namun sebagian yang lain tidak. Untuk fungsi yang dapat diubah dalam bentuk eksplisit, turunan fungsi dapat dicari dengan cara seperti yang sudah kita pelajari di atas. Untuk mencari turunan fungsi yang tak dapat diubah ke dalam bentuk eksplisit perlu cara khusus, yang disebut diferensiasi implisit . Dalam cara ini kita menganggap bahwa fungsi y dapat didiferensiasi terhadap x. Fungs鱈 implisit secara umum dapat ditulis sebagai f(x, y) = 0 dengan y sebagai fungs鱈 dalam x. Contoh fungsi implisit: 1) y 2x3 8 = 0 Contoh : 1. Tentukan dari fungs鱈 yang dirumuskan dengan y 2x3 8 = 0 Penyelesaian Apabila kedua ruas diturunkan terhadap x, maka akan diperoleh: 8|Page
  • 9. 2.6 Turunan Fungsi Trigonometri dan Siklometri Aturan turunan fungsi trigonometri hanya ada dua, yakni untuk Dxsinx dan Dxcosx. Untuk dan Bukti : Serta 9|Page
  • 10. Fungsi siklometri adalah invers fungsi trigonometri. Akan dicari turunan invers fungsi sinus (arcus sinus) berikut. 1 x y 1 y x 10 | P a g e
  • 11. 2.7 Turunan Fungsi Eksponensial Fungsi eksponensial adalah fungsi dari suatu konstanta berpangkat tertentu. Bentuk fungsi eksponensial yang akan kami bahas disini adalah turunan fungsi dan . Jika maka Sedangkan untuk Jika sehingga 2.8 , maka diganti dengan e maka maka , jadi . Karena nilai Turunan Fungsi Logaritma Sebelum membahas turunan fungsi eksponen dan logaritma, akan dikenalkan dulu bilangan e yang kemuan disebut sebagai bilangan Euler, yakni sebuah bilangan yang merupakan pendekatan dari bentuk untuk n menuju tak hingga yang ditemukan pada tahun 1683 oleh Jacob Bernoulli Pada tahun 1748, Euler memberikan ide mengenai bilangan e, yaitu : Bentuk berikut ini dapat diubah menjadi Dari formulasi tersebut Euler memperoleh pendekatan untuk nilai e sampai 18 digit, yaitu e = 2,718281828459045235 Suatu logaritma dengan basis e dinamakan logaritma natural dan ditulis dengan ln. Sehingga 11 | P a g e
  • 12. Turunan dasar pada fungsi logaritma dalam Sedangkan untuk 2.9 dan maka Turunan Fungsi Parameter Apabila disajikan persamaan berbentuk: x = f(t) y = g(t) maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari x dan y, dan t disebut parameter. Dari bentuk parameter ini dapat dicari dengan cara sebagai berikut. Dari bentukx = f(t) dibentuk , dengan begitu maka menggunakan aturan rantai, akan didapatkan ) dengan seperti berikut. 12 | P a g e
  • 13. 2.10 Turunan Fungsi Hiperbolik Fungsi hiperbolik diperoleh dari campuaran fungsi dan fungsi . Fungsi hiperbolik, cosinus hiperbolik dan empat fungsi hiperbolik lainya, didefinisikan sebagai berikut. Pembuktiannya menggunakan sisi kanan dari identitas terhadap euler. Ingat bahwa : Bukti turunan Bukti turunan Bukti turunan 13 | P a g e
  • 14. BAB III PENUTUP 3.1 KESIMPULAN Turunan fungsi ( diferensial ) adalah fungsi lain dari suatu fungsi sebelumnya, misalnya fungsi f menjadi f' yang mempunyai nilai tidak beraturan. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Pada geometri masalahnya adalah garis singgung sedangkan mekanis masalahnya pada kecepatan rata-rata dan kecepatan. 14 | P a g e
  • 15. 15 | P a g e
  • 16. DAFTAR PUSTAKA Djohan, Warsoma, dkk. 2007. Diktat Kalkulus I. Bandung : Departemen Matematika, Fakultas MIPA ITB. http://id.wikipedia.org/wiki/Turunan_fungsi http://id.wikipedia.org/wiki/Turunan http://matematikasulis.blogspot.com/2013/03/rumus-lengkap-turunan.html Yudarwi. 2007. Turuna Fungsi Logaritma Dan Eksponensial 16 | P a g e