![Jatkuvista ei-miss辰辰n derivoituvista
funktioista
PAAVO HEISKANEN, FM, matemaattisten aineiden opettaja, Nurmij辰rven ammattiopisto
Ajatus funktioista, jotka olisivat kaikkialla jatkuvia
mutta eiv辰t olisi derivoituvia yhdess辰k辰辰n pisteess辰
saattaa tuntua oudolta. T辰m辰 johtunee siit辰, ett辰
valtaosa jatkuvista funktiosta, jotka tulevat vastaan
lukiossa tai analyysin peruskursseilla yliopistossa,
ovat derivoituvia lukuun ottamatta mahdollisia yksitt辰isi辰 pisteit辰. Jatkuvia funktioita, jotka eiv辰t ole
yhdess辰k辰辰n pisteess辰 derivoituvia, on kuitenkin
olemassa. Tarkastelen artikkelissani, mink辰laisia
t辰llaiset funktiot ovat rakenteeltaan ja esittelen tarkemmin Weierstrassin funktiota, joka on klassinen
esimerkki t辰llaisesta patologisesta funktiosta. Lis辰ksi esittelen n辰iden funktioiden historiaa ja kuinka
paljon niit辰 oikeastaan onkaan; ovatko ne enemm辰n
s辰辰nt旦 vai poikkeus.
Matemaatikot 1700-luvun lopulla ja 1800-luvun alkupuolella laskivat t辰sm辰llisesti m辰辰ritettyjen funktioiden
derivaattoja, mik辰 onnistui yleens辰 hyvin muutamia
pisteit辰 lukuun ottamatta. T辰m辰 saikin matemaatikot
uskomaan, ett辰 jatkuvat funktiot olisivat derivoituvia
lukuun ottamatta yksitt辰isi辰 pisteit辰. Ranskalainen
matemaatikko ja fyysikko Andr辿-Marie Amp竪re yritti
jopa todistaa t辰m辰n teoreettisesti vuonna 1806. K辰sitys jatkuvien funktioiden derivoituvuudesta muuttui
kuitenkin lopullisesti, kun saksalainen matemaatikko Karl Weierstrass esitti hein辰kuussa 1872 luennollaan Berliinin tiedeakatemiassa esimerkin jatkuvasta
funktiosta, jolla ei ole derivaattaa miss辰辰n pisteess辰. T辰m辰 tunnetaan Weierstrassin funktion nimell辰.
Funktio julkaistiin vuonna 1875 Journal f端r die reine
und angewandte Mathematik -lehdess辰, jolloin siit辰 tuli ensimm辰inen julkaistu jatkuva ei-miss辰辰n derivoituva
funktio, lyhyesti CND-funktio (Continuous Nowhere
Differentiable). T辰m辰n takia sit辰 usein pidet辰辰n ensimm辰isen辰 esimerkkin辰 CND-funktiosta. Ks. Thim
(2003, s.4-5, s.2022).
Weierstrassin funktio ei kuitenkaan ollut ensimm辰inen t辰llainen funktio vaan muita esimerkkej辰 oli keksitty jo aikaisemmin. Ilmeisesti ensimm辰iset CND-funkiot esittiv辰t t邸ekkil辰inen matemaatikko Bernhard Bolzano noin vuonna 1830 ja sveitsil辰inen matemaatikko Charles Cell辿rier vuonna 1860.
Heid辰n esitt辰miens辰 funktioiden merkitys j辰i kuiten-
kin pieneksi, koska ne julkaistiin vasta Weierstrassin
funktion julkaisemisen j辰lkeen, joten ne j辰iv辰t heid辰n aikansa matemaatikoilta huomaamatta. Ks. Vesel箪 (2003, s.2-3).
Weierstrassin funktion rakenne
Weierstrassin funktio W: m辰辰ritell辰辰n 辰辰rett旦m辰n辰 summana kosini-funktioita seuraavasti:
W( x) = b k cos( a k x) ,
k =0
miss辰 0 < b < 1 ja a on pariton positiivinen kokonaisluku siten, ett辰 ab > 1 + 3/2. T辰ll旦in W on jatkuva ja rajoitettu :ss辰 mutta ei ole derivoituva miss辰辰n pisteess辰.
Tarkastellaan Weierstrassin funktiota arvoilla a = 7
ja a = 0,9 , eli funktiota
W( x) = 0,9k cos(7k x) .
k =0
Tutkitaan mit辰 funktion osasummille
n 1
Sn = 0,9k cos(7k x)
k =0
tapahtuu v辰lill辰 [1,1] , kun n:n arvo kasvaa. Piirret辰辰n
aluksi osasumman S1 = cos(x) kuvaaja (Kuva 1).
1
0.5
0
-0.5
-0.5
0
0.5
1
Kuva 1 Weierstrassin funktion osasumma S1 v辰lill辰 [1, 1].
D i m e n s i o 1/2007 25](https://image.slidesharecdn.com/dimensio2007-cnd1-140207103900-phpapp01/85/Dimensio2007-cnd1-1-320.jpg)
![Piirret辰辰n seuraavaksi osasumma S2 = cos(x)
+ 0,9cos(7x) (Kuva 2). Kuvasta n辰hd辰辰n selv辰sti,
kuinka Weierstrassin funktion huiput muuttuvat ter辰v辰mmiksi. Havaitaan, ett辰 yhden huipun tilalle muodostuu seitsem辰n huippua (huomaa, ett辰 a = 7 ).
1.5
monta ep辰derivoituvuuskohtaa mille tahansa v辰lille. Piirrett辰ess辰 esimerkiksi osasumma S51 = cos(x)
+0,9cos(7x) + 0,92cos(72x) +...+ 0,950cos(750x)
(Kuva 4) n辰kyy jo selv辰sti, kuinka sahalaitaisuus k辰y
yh辰 tihe辰mm辰ksi, huiput k辰yv辰t yh辰 jyrkemmiksi ja
funktioon alkaa muodostua selv辰sti piikkej辰 eli ep辰derivoituvuuskohtia.
10
1
0.5
5
0
-0.5
0
-1
-1.5
-5
-1
-0.5
0
0.5
1
Kuva 2 Weierstassin funktion osasumma S2 v辰lill辰 [1, 1].
Tarkastellaan seuraavaksi tilannetta n:n arvolla 3, eli osasummaa S3 = cos(x) + 0,9cos(7x) +
0,92cos(72x) (Kuva 3). Havaitaan sama ilmi旦 kuin
edell辰, eli kuvaajan huiput muuttuvat yh辰 ter辰v辰mmiksi ja niiden m辰辰r辰 kasvaa entisest辰辰n. J辰lleen yhden huipun tilalle muodostuu seitsem辰n huippua.
2
-1
-0.5
0
0.5
1
Kuva 4 Weierstassin funktion osasumma S51 v辰lill辰 [1, 1].
Tasoittuuko funktion rakenne
Tarkastellaan seuraavaksi osasummaa S51 hieman tarkemmin. Tarkoituksena on tutkia tasoittuvatko funktion piikit, mik辰li tarkennamme kuvaa pienemm辰lle
alueelle. Tarkennetaan kuvaa aluksi v辰lille [0,1, 0,1]
(Kuva 5). Funktion rakenne pysyy edelleen yht辰 sahalaitaisena, eiv辰tk辰 piikit n辰yt辰 tasoittuvan lainkaan.
1
10
0
8
-1
6
4
-2
2
-1
-0.5
0
0.5
1
Kuva 3 Weierstassin funktion osasumma S3 v辰lill辰 [1, 1].
0
Osasummien S1, S2 ja S3 kuvien perusteella voidaan havaita, ett辰 mit辰 suurempia arvoja n saa eli
mit辰 pidemm辰lle summausta jatketaan, sit辰 ter辰v辰mmiksi huiput k辰yv辰t ja sit辰 tihe辰mm辰ss辰 niit辰 on. N辰in
k辰y, koska jokaisen huipun tilalle muodostuu seitsem辰n uutta huippua aina n:n arvon kasvaessa yhdell辰.
T辰ll旦in voidaan kuvitella, ett辰 kun n kasvaa rajatta,
huippuja on 辰辰rett旦m辰n tihe辰ss辰 ja niist辰 tulee 辰辰rett旦m辰n ter辰vi辰. Funktioon muodostuu siis 辰辰rett旦m辰n
-0.1
26 D i m e n s i o 1/2007
-0.05
0
0.05
0.1
Kuva 5 Weierstrassin funktion osasumma S51 v辰lill辰
[0,1, 0,1].
Otetaan kuvasta edelleen kymmenkertainen suurennos, ja piirret辰辰n osasumman kuvaaja v辰lill辰
[0,01, 0,01] (Kuva 6). Viel辰k辰辰n funktion rakenteessa ei ole havaittavissa tasoittumista, vaan se pysyy yht辰 sahalaitaisena.](https://image.slidesharecdn.com/dimensio2007-cnd1-140207103900-phpapp01/85/Dimensio2007-cnd1-2-320.jpg)
![Muita esimerkkej辰 CND-funktiosta
10
8
6
4
2
0
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
Kuva 6: Weierstrassin funktion osasumma S51 v辰lill辰
[0,01, 0,01].
Tarkennetaan kuvaajaa edelleen kymmenkertaisesti ja piirret辰辰n osasumman kuvaaja v辰lill辰
[0,001, 0,001] (Kuva 7). Edelleen funktion rakenne s辰ilyy samanlaisena.
10
8
Bolzano esitti oman esimerkkins辰 CND-funktiosta
noin vuonna 1830 teoksessaan Functionenlehre, jota
ei kuitenkaan julkaistu viel辰 tuolloin. H辰nen esimerkkins辰 julkaistiin vasta vuonna 1922 Karel Rychl鱈kin
tutkielmassa T邸ekin kuninkaallisessa tiedeakatemiassa,
ja teos Functionenlehre julkaistiin vasta vuonna 1930
(Hyk邸ov叩, s.5-8). Bolzanon funktio perustuu geometriseen konstruktioon eik辰 sarjoihin, joihin useimmat
CDN-funktiot perustuvat. Funktio m辰辰ritell辰辰n jonona
paloittain lineaarisia funktioita {Bn(x)} , jotka suppenevat kohti CND-funktiota, kun n . Tarkastellaan funktion rakentumista kuvan avulla tilanteessa,
jossa m辰辰rittelyjoukko [a,b] = [0,10] ja arvojoukko
[A,B] = [0,10] (Kuva 8). Samaan tapaan jatkettaessa
funktion piikkien m辰辰r辰 kasvaa yh辰 suuremmaksi ja
suuremmaksi. Kun tarkastellaan funktiota B = lim Bn ,
n
saadaan funktio, joka on jatkuva mutta ep辰derivoituva
jokaisessa pisteess辰 m辰辰rittelyv辰lill辰辰n. Bolzanon funktio voidaan yleist辰辰 my旦s kaikille reaaliluvuille, jolloin
siit辰 tulee CND- funktio. Tarkempi m辰辰rittely l旦ytyy
esimerkiksi l辰hteest辰 Thim (2003, s. 11-17).
10
6
8
6
4
4
2
2
2
-0.001
-0.0005
0
0.0005
0.001
Kuva 7 Weierstrassin funktion osasumma S51 v辰lill辰
[0,001, 0,001].
Vaikka Weierstrassin funktiosta on tarkasteltu vain
osasummaa S51 , funktion rakenne ei n辰yt辰 tasoittuvan, huolimatta siit辰 ett辰 kuvaajasta tutkittaisiin yh辰
pienemp辰辰 osaa. Edellisist辰 tarkasteluista voidaan havaita, ett辰 Weierstrassin funktiolle tulee 辰辰rett旦m辰n
monta piikki辰 eli ep辰derivoituvuuskohtaa mille tahansa v辰lille, kun n kasvaa rajatta. N辰in ollen saadaan funktio, joka ei ole derivoituva miss辰辰n pisteess辰 mutta on kuitenkin jatkuvien funktioiden tasaisena raja-arvona jatkuva. Analyyttinen todistus t辰lle
l旦ytyy esimerkiksi l辰hteest辰 Heiskanen (2006). T辰ss辰 vaiheessa on hyv辰 muistaa, ett辰 kaikki edell辰 piirretyt osasummat ovat itse asiassa kaikkialla derivoituvia derivoituvien funktioiden 辰辰rellisin辰 summina.
Tarkastelemalla osasummien rakennetta voidaan kuitenkin ymm辰rt辰辰 kuinka Weierstrassin funktio rakentuu ja miksi siit辰 tulee CND-funktio.
4
6
8
10
Kuva 8 Bolzanon jonon kaksi ensimm辰ist辰 j辰sent辰 B1 (katkoviiva) ja B2 (yhten辰inen viiva).
Vuonna 1903 japanilainen Teiji Takagi esitti esimerkin CND-funktiosta (Kuva 9), joka on Weierstrassin funktiota yksinkertaisempi. Weierstrassin funktiossa esiintyv辰 trigonometrinen funktio on korvattu
et辰isyysfunktiolla, jossa tarkastellaan termin 2kx pienint辰 et辰isyytt辰 l辰himm辰st辰 kokonaisluvusta. Takagin
funktio T: m辰辰ritell辰辰n seuraavasti:
1
inf 2k x m .
k m
k =0 2
T( x) =
06
.
05
.
04
.
03
.
02
.
01
.
02
.
04
.
06
.
08
.
1
Kuva 9 Takagin funktion T osasumma S10 v辰lill辰 [0, 1].
D i m e n s i o 1/2007 27](https://image.slidesharecdn.com/dimensio2007-cnd1-140207103900-phpapp01/85/Dimensio2007-cnd1-3-320.jpg)
![Vuonna 1930 Bartel Leendert van der Waerden
julkaisi samantyyppisen funktion (Kuva 10) ilmeisesti tuntematta Takagin funktiota. Van der Waerdenin
funktio V: m辰辰ritell辰辰n seuraavasti:
1
inf 10 k x m .
k m
k = 0 10
V( x) =
0.5
Tarkastellaan viel辰 lyhyesti yht辰 esimerkki辰 kuluvalta vuosituhannelta. Kiinalainen matemaatikko
Liu Wen (2002) julkaisi vuonna 2002 CND-funktion,
joka perustuu 辰辰rett旦m辰辰n tuloon eik辰 辰辰rett旦m辰辰n
summaan kuten monet muut esimerkit. Wenin funktio L: m辰辰ritell辰辰n
L( x) = (1 + a n sin(b n x)) ,
0.4
n =1
0.3
n
n =1
k =1
miss辰 0 < an < 1 kaikilla n, a n < ja b n = pk ,
0.2
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Kuva 10 Van der Waerdenin funktion V osasumma S100
v辰lill辰 [0, 1].
Vuonna 1953 John McCarthy julkaisi esimerkin
CND-funktiosta. McCarthy (1953) kirjoittaa, ett辰 t辰ll辰 funktiolla on helpoin todistus, jonka h辰n on
CND-funktiolle koskaan n辰hnyt. Jos todistusta vertaa esimerkiksi Weierstrassin funktion todistukseen,
vaikuttaa v辰ite varsin uskottavalta. Todistukset l旦ytyv辰t muun muassa l辰hteest辰 Heiskanen (2006). McCarthyn funktio M: m辰辰ritell辰辰n funktiosarjana seuraavasti:
k
1
M( x) = k g(22 x) ,
k =1 2
miss辰 apufunktio g:
vasti:
m辰辰ritell辰辰n seuraa-
ｧ1 + x, x [2,0]
g( x) = ｨ
ｩ1 x, x [0,2]
ja g(x + 4) = g(x). Funktio g on siis jatkuva ja jaksollinen jakson pituutena 4. Jo piirrett辰ess辰 osasumman
3
k
1
S3 = k g(22 x) kuvaaja (Kuva 11), k辰y hyvin ilmi
k =1 2
McCarthyn funktion sahalaitaisuus.
ja pk on parillinen kokonaisluku kaikilla k .
2n
Lis辰ksi vaaditaan, ett辰 lim
=0.
n a p
n n
2
1.5
1
0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Kuva 12 Wenin funktio L v辰lill辰 [0, 1] kun an = 2-n ja
pn = 6n.
Jatkuvien ei-miss辰辰n derivoituvien funktioiden
rakenteesta
Tarkastellaan hieman CND-funktioiden rakennetta.
Kuten edell辰 mainituista esimerkeist辰 huomaamme,
osa funktioista on konstruoitu geometrisesti, osa 辰辰rett旦mien summien avulla ja osa 辰辰rett旦mien tulojen
avulla. Muitakin esimerkkej辰 on olemassa, ks. esimerkiksi Thim (2003). Kun tarkastelemme edell辰 k辰siteltyjen funktioiden kuvaajia, havaitsemme, ett辰 kaikissa
funktioissa on 辰辰rett旦m辰n monta piikki辰 mill辰 tahansa v辰lill辰, mist辰 seuraa funktioiden ep辰derivoituvuus.
Tarkastellaan rakenteesta esimerkkin辰 tarkemmin
Weierstrassin funktiota
W( x) = b k cos( a k x) .
k =0
08
.
06
.
04
.
02
.
02
.
04
.
06
.
08
.
1
-.
02
-.
04
-.
06
28 D i m e n s i o 1/2007
Kuva 11 McCarthyn funktion
osasumma S3 v辰lill辰 [0, 1].
Kosinifunktio on jaksollinen, jolloin funktiosta W
tulee my旦s jaksollinen. Kosinifunktion edess辰 oleva
kerroin b, 0 < b < 1 , pit辰辰 summafunktion rajoitettuna (lis辰ksi kosinifunktio on rajoitettu). Jaksollisella
funktiolla (t辰ss辰 tapauksessa cos(akx)) saadaan siis aikaiseksi piikit eli ep辰derivoituvuuskohdat ja termi bk
huolehtii siit辰, ett辰 summa pysyy rajoitettuna. Samalla
periaatteella on rakennettu muun muassa McCarthyn
funktio sek辰 Takagin ja Van der Waerdenin funktiot.](https://image.slidesharecdn.com/dimensio2007-cnd1-140207103900-phpapp01/85/Dimensio2007-cnd1-4-320.jpg)
Dimensio2007 cnd1
- 1. Jatkuvista ei-miss辰辰n derivoituvista funktioista PAAVO HEISKANEN, FM, matemaattisten aineiden opettaja, Nurmij辰rven ammattiopisto Ajatus funktioista, jotka olisivat kaikkialla jatkuvia mutta eiv辰t olisi derivoituvia yhdess辰k辰辰n pisteess辰 saattaa tuntua oudolta. T辰m辰 johtunee siit辰, ett辰 valtaosa jatkuvista funktiosta, jotka tulevat vastaan lukiossa tai analyysin peruskursseilla yliopistossa, ovat derivoituvia lukuun ottamatta mahdollisia yksitt辰isi辰 pisteit辰. Jatkuvia funktioita, jotka eiv辰t ole yhdess辰k辰辰n pisteess辰 derivoituvia, on kuitenkin olemassa. Tarkastelen artikkelissani, mink辰laisia t辰llaiset funktiot ovat rakenteeltaan ja esittelen tarkemmin Weierstrassin funktiota, joka on klassinen esimerkki t辰llaisesta patologisesta funktiosta. Lis辰ksi esittelen n辰iden funktioiden historiaa ja kuinka paljon niit辰 oikeastaan onkaan; ovatko ne enemm辰n s辰辰nt旦 vai poikkeus. Matemaatikot 1700-luvun lopulla ja 1800-luvun alkupuolella laskivat t辰sm辰llisesti m辰辰ritettyjen funktioiden derivaattoja, mik辰 onnistui yleens辰 hyvin muutamia pisteit辰 lukuun ottamatta. T辰m辰 saikin matemaatikot uskomaan, ett辰 jatkuvat funktiot olisivat derivoituvia lukuun ottamatta yksitt辰isi辰 pisteit辰. Ranskalainen matemaatikko ja fyysikko Andr辿-Marie Amp竪re yritti jopa todistaa t辰m辰n teoreettisesti vuonna 1806. K辰sitys jatkuvien funktioiden derivoituvuudesta muuttui kuitenkin lopullisesti, kun saksalainen matemaatikko Karl Weierstrass esitti hein辰kuussa 1872 luennollaan Berliinin tiedeakatemiassa esimerkin jatkuvasta funktiosta, jolla ei ole derivaattaa miss辰辰n pisteess辰. T辰m辰 tunnetaan Weierstrassin funktion nimell辰. Funktio julkaistiin vuonna 1875 Journal f端r die reine und angewandte Mathematik -lehdess辰, jolloin siit辰 tuli ensimm辰inen julkaistu jatkuva ei-miss辰辰n derivoituva funktio, lyhyesti CND-funktio (Continuous Nowhere Differentiable). T辰m辰n takia sit辰 usein pidet辰辰n ensimm辰isen辰 esimerkkin辰 CND-funktiosta. Ks. Thim (2003, s.4-5, s.2022). Weierstrassin funktio ei kuitenkaan ollut ensimm辰inen t辰llainen funktio vaan muita esimerkkej辰 oli keksitty jo aikaisemmin. Ilmeisesti ensimm辰iset CND-funkiot esittiv辰t t邸ekkil辰inen matemaatikko Bernhard Bolzano noin vuonna 1830 ja sveitsil辰inen matemaatikko Charles Cell辿rier vuonna 1860. Heid辰n esitt辰miens辰 funktioiden merkitys j辰i kuiten- kin pieneksi, koska ne julkaistiin vasta Weierstrassin funktion julkaisemisen j辰lkeen, joten ne j辰iv辰t heid辰n aikansa matemaatikoilta huomaamatta. Ks. Vesel箪 (2003, s.2-3). Weierstrassin funktion rakenne Weierstrassin funktio W: m辰辰ritell辰辰n 辰辰rett旦m辰n辰 summana kosini-funktioita seuraavasti: W( x) = b k cos( a k x) , k =0 miss辰 0 < b < 1 ja a on pariton positiivinen kokonaisluku siten, ett辰 ab > 1 + 3/2. T辰ll旦in W on jatkuva ja rajoitettu :ss辰 mutta ei ole derivoituva miss辰辰n pisteess辰. Tarkastellaan Weierstrassin funktiota arvoilla a = 7 ja a = 0,9 , eli funktiota W( x) = 0,9k cos(7k x) . k =0 Tutkitaan mit辰 funktion osasummille n 1 Sn = 0,9k cos(7k x) k =0 tapahtuu v辰lill辰 [1,1] , kun n:n arvo kasvaa. Piirret辰辰n aluksi osasumman S1 = cos(x) kuvaaja (Kuva 1). 1 0.5 0 -0.5 -0.5 0 0.5 1 Kuva 1 Weierstrassin funktion osasumma S1 v辰lill辰 [1, 1]. D i m e n s i o 1/2007 25
- 2. Piirret辰辰n seuraavaksi osasumma S2 = cos(x) + 0,9cos(7x) (Kuva 2). Kuvasta n辰hd辰辰n selv辰sti, kuinka Weierstrassin funktion huiput muuttuvat ter辰v辰mmiksi. Havaitaan, ett辰 yhden huipun tilalle muodostuu seitsem辰n huippua (huomaa, ett辰 a = 7 ). 1.5 monta ep辰derivoituvuuskohtaa mille tahansa v辰lille. Piirrett辰ess辰 esimerkiksi osasumma S51 = cos(x) +0,9cos(7x) + 0,92cos(72x) +...+ 0,950cos(750x) (Kuva 4) n辰kyy jo selv辰sti, kuinka sahalaitaisuus k辰y yh辰 tihe辰mm辰ksi, huiput k辰yv辰t yh辰 jyrkemmiksi ja funktioon alkaa muodostua selv辰sti piikkej辰 eli ep辰derivoituvuuskohtia. 10 1 0.5 5 0 -0.5 0 -1 -1.5 -5 -1 -0.5 0 0.5 1 Kuva 2 Weierstassin funktion osasumma S2 v辰lill辰 [1, 1]. Tarkastellaan seuraavaksi tilannetta n:n arvolla 3, eli osasummaa S3 = cos(x) + 0,9cos(7x) + 0,92cos(72x) (Kuva 3). Havaitaan sama ilmi旦 kuin edell辰, eli kuvaajan huiput muuttuvat yh辰 ter辰v辰mmiksi ja niiden m辰辰r辰 kasvaa entisest辰辰n. J辰lleen yhden huipun tilalle muodostuu seitsem辰n huippua. 2 -1 -0.5 0 0.5 1 Kuva 4 Weierstassin funktion osasumma S51 v辰lill辰 [1, 1]. Tasoittuuko funktion rakenne Tarkastellaan seuraavaksi osasummaa S51 hieman tarkemmin. Tarkoituksena on tutkia tasoittuvatko funktion piikit, mik辰li tarkennamme kuvaa pienemm辰lle alueelle. Tarkennetaan kuvaa aluksi v辰lille [0,1, 0,1] (Kuva 5). Funktion rakenne pysyy edelleen yht辰 sahalaitaisena, eiv辰tk辰 piikit n辰yt辰 tasoittuvan lainkaan. 1 10 0 8 -1 6 4 -2 2 -1 -0.5 0 0.5 1 Kuva 3 Weierstassin funktion osasumma S3 v辰lill辰 [1, 1]. 0 Osasummien S1, S2 ja S3 kuvien perusteella voidaan havaita, ett辰 mit辰 suurempia arvoja n saa eli mit辰 pidemm辰lle summausta jatketaan, sit辰 ter辰v辰mmiksi huiput k辰yv辰t ja sit辰 tihe辰mm辰ss辰 niit辰 on. N辰in k辰y, koska jokaisen huipun tilalle muodostuu seitsem辰n uutta huippua aina n:n arvon kasvaessa yhdell辰. T辰ll旦in voidaan kuvitella, ett辰 kun n kasvaa rajatta, huippuja on 辰辰rett旦m辰n tihe辰ss辰 ja niist辰 tulee 辰辰rett旦m辰n ter辰vi辰. Funktioon muodostuu siis 辰辰rett旦m辰n -0.1 26 D i m e n s i o 1/2007 -0.05 0 0.05 0.1 Kuva 5 Weierstrassin funktion osasumma S51 v辰lill辰 [0,1, 0,1]. Otetaan kuvasta edelleen kymmenkertainen suurennos, ja piirret辰辰n osasumman kuvaaja v辰lill辰 [0,01, 0,01] (Kuva 6). Viel辰k辰辰n funktion rakenteessa ei ole havaittavissa tasoittumista, vaan se pysyy yht辰 sahalaitaisena.
- 3. Muita esimerkkej辰 CND-funktiosta 10 8 6 4 2 0 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 Kuva 6: Weierstrassin funktion osasumma S51 v辰lill辰 [0,01, 0,01]. Tarkennetaan kuvaajaa edelleen kymmenkertaisesti ja piirret辰辰n osasumman kuvaaja v辰lill辰 [0,001, 0,001] (Kuva 7). Edelleen funktion rakenne s辰ilyy samanlaisena. 10 8 Bolzano esitti oman esimerkkins辰 CND-funktiosta noin vuonna 1830 teoksessaan Functionenlehre, jota ei kuitenkaan julkaistu viel辰 tuolloin. H辰nen esimerkkins辰 julkaistiin vasta vuonna 1922 Karel Rychl鱈kin tutkielmassa T邸ekin kuninkaallisessa tiedeakatemiassa, ja teos Functionenlehre julkaistiin vasta vuonna 1930 (Hyk邸ov叩, s.5-8). Bolzanon funktio perustuu geometriseen konstruktioon eik辰 sarjoihin, joihin useimmat CDN-funktiot perustuvat. Funktio m辰辰ritell辰辰n jonona paloittain lineaarisia funktioita {Bn(x)} , jotka suppenevat kohti CND-funktiota, kun n . Tarkastellaan funktion rakentumista kuvan avulla tilanteessa, jossa m辰辰rittelyjoukko [a,b] = [0,10] ja arvojoukko [A,B] = [0,10] (Kuva 8). Samaan tapaan jatkettaessa funktion piikkien m辰辰r辰 kasvaa yh辰 suuremmaksi ja suuremmaksi. Kun tarkastellaan funktiota B = lim Bn , n saadaan funktio, joka on jatkuva mutta ep辰derivoituva jokaisessa pisteess辰 m辰辰rittelyv辰lill辰辰n. Bolzanon funktio voidaan yleist辰辰 my旦s kaikille reaaliluvuille, jolloin siit辰 tulee CND- funktio. Tarkempi m辰辰rittely l旦ytyy esimerkiksi l辰hteest辰 Thim (2003, s. 11-17). 10 6 8 6 4 4 2 2 2 -0.001 -0.0005 0 0.0005 0.001 Kuva 7 Weierstrassin funktion osasumma S51 v辰lill辰 [0,001, 0,001]. Vaikka Weierstrassin funktiosta on tarkasteltu vain osasummaa S51 , funktion rakenne ei n辰yt辰 tasoittuvan, huolimatta siit辰 ett辰 kuvaajasta tutkittaisiin yh辰 pienemp辰辰 osaa. Edellisist辰 tarkasteluista voidaan havaita, ett辰 Weierstrassin funktiolle tulee 辰辰rett旦m辰n monta piikki辰 eli ep辰derivoituvuuskohtaa mille tahansa v辰lille, kun n kasvaa rajatta. N辰in ollen saadaan funktio, joka ei ole derivoituva miss辰辰n pisteess辰 mutta on kuitenkin jatkuvien funktioiden tasaisena raja-arvona jatkuva. Analyyttinen todistus t辰lle l旦ytyy esimerkiksi l辰hteest辰 Heiskanen (2006). T辰ss辰 vaiheessa on hyv辰 muistaa, ett辰 kaikki edell辰 piirretyt osasummat ovat itse asiassa kaikkialla derivoituvia derivoituvien funktioiden 辰辰rellisin辰 summina. Tarkastelemalla osasummien rakennetta voidaan kuitenkin ymm辰rt辰辰 kuinka Weierstrassin funktio rakentuu ja miksi siit辰 tulee CND-funktio. 4 6 8 10 Kuva 8 Bolzanon jonon kaksi ensimm辰ist辰 j辰sent辰 B1 (katkoviiva) ja B2 (yhten辰inen viiva). Vuonna 1903 japanilainen Teiji Takagi esitti esimerkin CND-funktiosta (Kuva 9), joka on Weierstrassin funktiota yksinkertaisempi. Weierstrassin funktiossa esiintyv辰 trigonometrinen funktio on korvattu et辰isyysfunktiolla, jossa tarkastellaan termin 2kx pienint辰 et辰isyytt辰 l辰himm辰st辰 kokonaisluvusta. Takagin funktio T: m辰辰ritell辰辰n seuraavasti: 1 inf 2k x m . k m k =0 2 T( x) = 06 . 05 . 04 . 03 . 02 . 01 . 02 . 04 . 06 . 08 . 1 Kuva 9 Takagin funktion T osasumma S10 v辰lill辰 [0, 1]. D i m e n s i o 1/2007 27
- 4. Vuonna 1930 Bartel Leendert van der Waerden julkaisi samantyyppisen funktion (Kuva 10) ilmeisesti tuntematta Takagin funktiota. Van der Waerdenin funktio V: m辰辰ritell辰辰n seuraavasti: 1 inf 10 k x m . k m k = 0 10 V( x) = 0.5 Tarkastellaan viel辰 lyhyesti yht辰 esimerkki辰 kuluvalta vuosituhannelta. Kiinalainen matemaatikko Liu Wen (2002) julkaisi vuonna 2002 CND-funktion, joka perustuu 辰辰rett旦m辰辰n tuloon eik辰 辰辰rett旦m辰辰n summaan kuten monet muut esimerkit. Wenin funktio L: m辰辰ritell辰辰n L( x) = (1 + a n sin(b n x)) , 0.4 n =1 0.3 n n =1 k =1 miss辰 0 < an < 1 kaikilla n, a n < ja b n = pk , 0.2 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 10 Van der Waerdenin funktion V osasumma S100 v辰lill辰 [0, 1]. Vuonna 1953 John McCarthy julkaisi esimerkin CND-funktiosta. McCarthy (1953) kirjoittaa, ett辰 t辰ll辰 funktiolla on helpoin todistus, jonka h辰n on CND-funktiolle koskaan n辰hnyt. Jos todistusta vertaa esimerkiksi Weierstrassin funktion todistukseen, vaikuttaa v辰ite varsin uskottavalta. Todistukset l旦ytyv辰t muun muassa l辰hteest辰 Heiskanen (2006). McCarthyn funktio M: m辰辰ritell辰辰n funktiosarjana seuraavasti: k 1 M( x) = k g(22 x) , k =1 2 miss辰 apufunktio g: vasti: m辰辰ritell辰辰n seuraa- ｧ1 + x, x [2,0] g( x) = ｨ ｩ1 x, x [0,2] ja g(x + 4) = g(x). Funktio g on siis jatkuva ja jaksollinen jakson pituutena 4. Jo piirrett辰ess辰 osasumman 3 k 1 S3 = k g(22 x) kuvaaja (Kuva 11), k辰y hyvin ilmi k =1 2 McCarthyn funktion sahalaitaisuus. ja pk on parillinen kokonaisluku kaikilla k . 2n Lis辰ksi vaaditaan, ett辰 lim =0. n a p n n 2 1.5 1 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12 Wenin funktio L v辰lill辰 [0, 1] kun an = 2-n ja pn = 6n. Jatkuvien ei-miss辰辰n derivoituvien funktioiden rakenteesta Tarkastellaan hieman CND-funktioiden rakennetta. Kuten edell辰 mainituista esimerkeist辰 huomaamme, osa funktioista on konstruoitu geometrisesti, osa 辰辰rett旦mien summien avulla ja osa 辰辰rett旦mien tulojen avulla. Muitakin esimerkkej辰 on olemassa, ks. esimerkiksi Thim (2003). Kun tarkastelemme edell辰 k辰siteltyjen funktioiden kuvaajia, havaitsemme, ett辰 kaikissa funktioissa on 辰辰rett旦m辰n monta piikki辰 mill辰 tahansa v辰lill辰, mist辰 seuraa funktioiden ep辰derivoituvuus. Tarkastellaan rakenteesta esimerkkin辰 tarkemmin Weierstrassin funktiota W( x) = b k cos( a k x) . k =0 08 . 06 . 04 . 02 . 02 . 04 . 06 . 08 . 1 -. 02 -. 04 -. 06 28 D i m e n s i o 1/2007 Kuva 11 McCarthyn funktion osasumma S3 v辰lill辰 [0, 1]. Kosinifunktio on jaksollinen, jolloin funktiosta W tulee my旦s jaksollinen. Kosinifunktion edess辰 oleva kerroin b, 0 < b < 1 , pit辰辰 summafunktion rajoitettuna (lis辰ksi kosinifunktio on rajoitettu). Jaksollisella funktiolla (t辰ss辰 tapauksessa cos(akx)) saadaan siis aikaiseksi piikit eli ep辰derivoituvuuskohdat ja termi bk huolehtii siit辰, ett辰 summa pysyy rajoitettuna. Samalla periaatteella on rakennettu muun muassa McCarthyn funktio sek辰 Takagin ja Van der Waerdenin funktiot.
- 5. Onko jatkuvia ei-miss辰辰n derivoituvia funktioita paljon? T辰h辰n menness辰 on selv辰辰, ett辰 CND-funktioita on olemassa. Mutta kuinka paljon niit辰 sitten on? Niit辰 on selv辰stikin 辰辰rett旦m辰n paljon, sill辰 esimerkiksi Weierstrassin funktiosta saadaan 辰辰rett旦m辰n monta eri funktiota a:n ja b:n eri arvoilla. Mielenkiinto kohdistuukin siihen, kumpia on enemm辰n: jatkuvia funktioita, jotka ovat jossakin pisteess辰 derivoituvia, vai jatkuvia funktioita, jotka eiv辰t ole miss辰辰n derivoituvia. Selv辰sti molempia on 辰辰rett旦m辰n paljon, mutta pystyt辰辰n osoittamaan, ett辰 CND-funktioita on paljon enemm辰n kuin jatkuvia jossakin derivoituvia funktioita. Todistus perustuu Bairen kategorioihin ja Bairen kategorialauseeseen. Todistuksessa osoitetaan, ett辰 CND-funktiot kuuluvat Bairen toiseen kategoriaan ja jatkuvat jossakin derivoituvat funktiot Bairen ensimm辰iseen kategoriaan. CND-funktioiden joukko on siis topologisessa mieless辰 paljon suurempi kuin jatkuvien jossakin pisteess辰 derivoituvien funktioiden joukko. Tarkempi tarkastelu l旦ytyy esimerkiksi l辰hteist辰 Thim (2003, s. 7184) ja Gaul & Kim (2002, s.2-4). Voidaan siis todeta, ett辰 ik辰vi辰 funktioita on paljon enemm辰n kuin siistej辰 funktioita; toisin sa- noen mielivaltaisesti valittu jatkuva funktio ei yleens辰 ole miss辰辰n derivoituva. Nykyisin CND-funktioiden olemassaolo on keskeist辰 uudemmille tutkimuksen ja sovellusten aloille, kuten fraktaaleille ja kaaosteorialle. CND-funktiot ovat hyv辰 esimerkki siit辰, ett辰 liiallinen luottamus intuitioon voi olla pett辰v辰辰 matematiikassa. Viitteet: Gaul, R. & Kim, N. 2002. How Many continuous Nowhere Differentiable Functions Are There? Nebraskan yliopisto: Mathematics Awareness Month. http://www.unomaha.edu/wwwmath/MAM/2002/Poster02/Contnondiff.pdf (11.11.2006) Heiskanen, P. 2006. Jatkuvuus- ja derivoituvuus-k辰sitteet lukion pitk辰ss辰 matematiikassa. Matematiikan pro gradu -ty旦, Jyv辰skyl辰n yliopisto: Matematiikan ja tilastotieteen laitos. http://personal.inet.鍖/koti/paavoheiskanen/opiskelu/gradu.pdf (11.11.2006). Hyk邸ov叩, M. 2000. Karel Rychl鱈k and Bernard Bolzano. http://euler.fd.cvut.cz/publikace/HTM/MH_BB31.pdf (11.11.2006). McCarthy, J. 1953. An Everywhere Continuous Nowhere Differentiable Function. The American Mathematical Monthly, Vol. 60, No. 10, 709. Thim, J. 2003. Continuous Nowhere Differentiable Functions. Master Thesis, Lule奪 tekniska universitet. www.ludd.luth.se/~ivileel/master_thesis.pdf (11.11.2006). Vesel箪, J. 2003. Weierstrass Theorem before Weierstrass. http://www.math.technion.ac.il/hat/fpapers/jiri.pdf (11.11.2006). Wen, L. 2002. A Nowhere Differentiable Continuous Function Constructed by In鍖nite Products. The American Mathematical Monthly, Vol. 109, No. 4, 378-380. Jatkuvat ei-miss辰辰n derivoituvat funktiot lukion pitk辰ss辰 matematiikassa PAAVO HEISKANEN, FM, pt. tuntiopettaja, Nurmij辰rven ammatiopisto Tein kev辰辰ll辰 2006 kahdessa lukiossa kyselyn jatkuvuuden ja derivoituvuuden osaamisesta. T辰m辰n kyselyn tulokset antavat olettaa, ett辰 pitk辰n matematiikan opiskelijat hallitsevat varsin heikosti jatkuvuuden ja derivoituvuuden v辰lisen yhteyden (Heiskanen, 2006). Koska derivoituvuus on selke辰sti vahvempi ominaisuus kuin jatkuvuus, tavoitteena lienee kuitenkin, ett辰 derivaatan opiskeltuaan opiskelijat hallitsevat n辰iden k辰sitteiden v辰lisen yhteyden paremmin. Esittelen artikkelissani Tallin (2002) kehittelem辰n menetelm辰n, jolla voidaan luoda havainnollinen kuva derivoituvuudesta k辰ytt辰en hyv辰ksi paikallinen suoruus -k辰sitett辰. Tarkastelen my旦s kuinka jatkuvia ei-miss辰辰n derivoituvia funktioita voitaisiin k辰sitell辰 lukion pitk辰ss辰 matematiikassa ja miten niit辰 voi- taisiin k辰ytt辰辰 hyv辰ksi derivoituvuus-k辰sitteen hallinnan syvent辰misess辰. Tutkin matematiikan pro gradu -tutkielmassani, Jatkuvuus- ja derivoituvuus-k辰sitteet lukion pitk辰ss辰 matematiikassa, muun muassa jatkuvia ei-miss辰辰n derivoituvia funktiota, lyhyesti CND-funktioita (Continuous Nowhere Differentiable). Lukiossa suorittamani kyselyn perusteella monet lukion pitk辰n matematiikan opiskelijat pit辰v辰t outona ajatusta, ett辰 t辰llaisia funktioita on olemassa. Opiskelijoilla on k辰sitys, ett辰 yleens辰 jatkuvat funktiot ovat derivoituvia lukuun ottamatta muutamia pisteit辰. K辰sitys ei ole lainkaan yll辰tt辰v辰, sill辰 n辰inh辰n tilanne yleens辰 onkin kaikissa lukiossa vastaan tulevissa funktioissa. Tyypillisen辰 esimerkkin辰 jatkuvasta funktiosta, joka on ep辰deri- D i m e n s i o 1/2007 29