![ค่ำควำมจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมำณ
1.∀x[P(x)] มีค่ำควำมจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอก
ภพสัมพัทธ์ทำให้P(x) เป็นจริง
2. ∀x[P(x)] มีค่ำควำมจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่ำงน้อย
1 ตัวที่ทำให้P(x) เป็นเท็จ
3. ∃x[P(x)] มีค่ำควำมจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่ำน้อย 1
ตัวที่ทำให้P(x) เป็นจริง
4.∃x[P(x)] มีค่ำควำมจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ใน
เอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้P(x) เป็นจริง](https://image.slidesharecdn.com/random-141204104630-conversion-gate02/85/4-27-320.jpg)
ปลุกจิตคณิต ม.4 - ตรรกศาสตร์
- 1. ตรรกศาสตร์
- 2. คำว่ำ “ตรรกศาสตร์” ได้มำจำกศัพท์ภำษำสัน สฤตสองศัพท์ คือ ตรฺรก และศำสตฺร ตรรก หมำยถึง กำรตรึกตรอง ควำมคิด ควำม นึกคิด และคำว่ำ ศำสตฺร หมำยถึง วิชำ ตำรำ รวมกันเข้ำเป็น “ตรรกศำสตร์” หมำยถึง วิชำว่ำ ด้วยควำมนึกคิดอย่ำงเป็นระบบ ปรำชญ์ทั่วไป จึงมีควำมเห็นร่วมกันว่ำ ตรรกศำสตร์ คือ วิชำ ว่ำด้วย กำรใช้กฎเกณฑ์กำรใช้เหตุผล
- 3. ประพจน์ (Proposition) ประพจน์ คือ ประโยคที่เป็นจริงหรือเป็น เท็จเพียงอย่ำงเดียวเท่ำนั้น * ประโยคเหล่ำนี้อำจจะอยู่ในรูปประโยค บอกเล่ำหรือประโยคปฏิเสธก็ได้
- 4. ประโยคเปิด (Open sentence) บทนิยำม ประโยคเปิดคือ ประโยคบอก เล่ำ ซึ่งประกอบด้วยตัวแปรหนึ่งหรือมำกกว่ำ โดยไม่เป็นประพจน์ แต่จะเป็นประพจน์ได้เมื่อ แทนตัวแปรด้วยสมำชิกเอกภพสัมพัทธ์ตำมที่ กำหนดให้นั่นคือเมื่อแทนตัวแปรแล้วจะ สำมำรถบอกค่ำควำมจริง
- 6. ตัวเชื่อมประพจน์ ” และ ” ( conjunetion ) ใช้ สัญลักษณ์แทน Ù และเขียนแทนด้วย P Ù Q แต่ละประพจน์มี ค่ำควำมจริง(truth value) ได้2 อย่ำงเท่ำนั้น คือ จริง(True) หรือ เท็จ(False) ถ้ำทั้ง P และ Qเป็นจริงจะได้ว่ำ PÙQ เป็น จริง กรณีอื่นๆ P Ù Q เป็นเท็จ
- 7. P Q P Q T T F F T F T F T F F F
- 8. ตัวเชื่อมประพจน์ ” หรือ ” ( Disjunction ) ใช้ สัญลักษณ์แทน V และเขียนแทนด้วย P V Q และเมื่อ P V Q จะเป็นเท็จ ในกรณีที่ทั้ง P และ Q เป็นเท็จเท่ำนั้น กรณีอื่น P V Q เป็นจริง
- 9. P Q P V Q T T F F T F T F T T T F
- 10. ตัวเชื่อมประพจน์ “ ถ้า….แล้ว” Conditional) ใช้ สัญลักษณ์แทน ® และเขียนแทนด้วย P®Q
- 12. ตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ” (Biconditional) ใช้ สัญลักษณ์แทน « และเขียนแทนด้วย P«Q นั้นคือ P«Q จะเป็นจริงก็ต่อเมือ ทั้ง P และ Q เป็นจริงพร้อม กันหรือทั้ง P และ Q เป็นเท็จพร้อมกัน
- 15. นิเสธ (Negation) ใช้สัญลักษณ์แทน ~ เขียนแทนนิเสธของ P ด้วย ~P ถ้ำ P เป็นประพจน์นิเสธของประพจน์ P คือประพจน์ที่มีค่ำควำมจริงตรงข้ำมกัน P P P T F F T
- 16. สัจนิรันดร์ (Tautology) และ ควำมขัดแย้ง (Contradiction)
- 17. สัจนิรันดร์ (Tautology) คือ รูปแบบประพจน์ที่มีค่ำควำมจริงเป็น จริงเสมอโดยไม่ขึ้นอยู่กับค่ำควำม จริงของตัวแปรของแต่ละประพจน์ที่ มีรูปแบบเป็นสัจนิรันดร์ เรียกว่ำ ประพจน์สัจนิรันดร์ (Tautology statement)
- 18. P Q P v Q P PvQ T T F F T T T F T T T F T T T T จำกตำรำงแสดงค่ำควำมจริงไม่ว่ำ P และ Q จะเป็นจริง หรือเท็จก็ตำม ประพจน์ P® PvQ เป็นจริงเสมอ ดังนั้น ประพจน์นี้เป็น สัจนิรันดร์
- 19. ควำมขัดแย้ง (Contradiction) คือ รูปแบบประพจน์ที่มีค่ำควำมจริง เป็นเท็จเสมอโดยไม่ขึ้นอยู่กับค่ำควำม จริงของตัวแปรของแต่ละประพจน์ย่อย ประพจน์ที่มีรูปแบบ เป็นควำมขัดแย้ง เรียกว่ำ ประพจน์ควำมขัดแย้ง (Contradicithon statement)
- 20. ทฤษฎีตรรกสมมูล (Logical Equivalences) ควำมรู้ประพจน์ตรรกะสมมูล (Logical equivalent statement) มีประโยชน์มำก สำหรับกำร หำข้อโต้แย้งและข้อสรุปในทำงคณิตศำสตร์ ซึ่งในทำง ปฏิบัติแล้วกำรสรุปเหตุผลในแต่ละรูปจะยุ่งยำกมำก หำกไม่อำศัยทฤษฎี ตรรกะสมมูลในกำรกล่ำวอ้ำง ดังนั้นจึงสรุปทฤษฎีตรรกะสมมูลไว้สำหรับใช้อ้ำงอิง ต่อไป
- 21. กำหนดให้p , q , r แทนประพจน์ใดๆ t แทนสัจนิรันดร์ c แทน ควำมขัดแย้ง 1. กฎกำรสลับที่ (Commutative laws) p ^ q = q ^p , p ^ q = q v p 2. กฎกำรเปลี่ยนหมู่ (Associative laws) (p ^ q) ^r = p ^ (q ^ r) , (p ^ q) v r = p v (q ^ r) 3. กฎกำรแจกแจง (Distributive laws) p ^ (q v r) = (p ^ q) v ( p ^ r) , p v (q ^ r) = (p v q) ^ ( p v r)
- 22. 4. กฎเอกลักษณ์ (Identity laws) p v t = t , p ^ t = p 5. กฎนิเสธ (Negative laws) p v ~p = t , p ^ ~ p = c 6.กฎนิเสธซ้อนนิเสธ (Double negative laws) ~(~p) = p 7. กฎนิจพล (Idempotent laws) p ^p = p , p = p
- 23. 8. กฎของเดอมอเกน (demerger’s laws) ~(p ^q) = ~p v ~q , ~(p v q) = ~p v ~q 9. กฎกำรจำกัดขอบข่ำย (Universal bound laws) p v t = t , p ^ c = c 10. กฎกำรซึมซับ (Absorption laws) p v (p ^ q) = p , p ^ (p v q) = p 11. นิเสธของ c และ t ~t = c , ~c=t
- 25. ตัวบ่งปริมำณ "ทั้งหมด" หมำยถึงทุกสิ่งทุก อย่ำงที่ต้องกำรพิจำรณำในกำรนำไปใช้อำจ ใช้คำอื่นที่มีควำมหมำยเช่นเดียวกับ "ทั้งหมด" ได้ได้แก่ "ทุก" "ทุก ๆ" "แต่ ละ" "ใด ๆ" ฯลฯ เช่น คนทุกคนต้องตำย, คนทุก ๆ คนต้องตำย,คนแต่ละคนต้อง ตำย, ใคร ๆ ก็ต้องตำย
- 26. ตัวบ่งปริมำณ "บำง" หมำยถึงบำงส่วน หรือบำงสิ่งบำงอย่ำงที่ต้องกำรพิจำรณำ ในกำรนำไปใช้อำจใช้คำอื่นที่มี ควำมหมำยเช่นเดียวกันได้ได้แก่" บำงอย่ำง" "มีอย่ำงน้อยหนึ่ง" เช่น สัตว์ มีกระดูกสันหลังบำงชนิดออกลูกเป็นไข่ , มีสัตว์มีกระดูกสันหลังอย่ำงน้อยหนึ่ง ชนิดที่ออกลูกเป็นไข่
- 27. ค่ำควำมจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมำณ 1.∀x[P(x)] มีค่ำควำมจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอก ภพสัมพัทธ์ทำให้P(x) เป็นจริง 2. ∀x[P(x)] มีค่ำควำมจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่ำงน้อย 1 ตัวที่ทำให้P(x) เป็นเท็จ 3. ∃x[P(x)] มีค่ำควำมจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่ำน้อย 1 ตัวที่ทำให้P(x) เป็นจริง 4.∃x[P(x)] มีค่ำควำมจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ใน เอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้P(x) เป็นจริง
- 29. 1.กำรให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็นกำรให้เหตุ โดยนำข้อควำมที่กำหนดให้ซึ่งต้อง ยอมรับว่ำเป็นจริง ทั้งหมด เรียกว่ำ เหตุ และข้อควำมจริงใหม่ที่ได้เรียกว่ำ ผลสรุป ซึ่งถ้ำ พบว่ำเหตุที่กำหนดนั้นบังคับให้เกิดผลสรุปไม่ได้แสดงว่ำ กำรให้เหตุผล ดังกล่ำวสมเหตุสมผล แต่ถ้ำพบว่ำเหตุที่กำหนดนั้นบังคับให้เกิดผลสรุปไม่ได้แสดงว่ำ กำรให้เหตุผลดังกล่ำวไม่สมเหตุสมผล ตัวอย่ำง เหตุ 1. คนทุกคนต้องหำยใจ 2 . นำยเด่นต้องหำยใจ ผลสรุป นำยเด่นต้องหำยใจ
- 30. 2.กำรให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็นกำรให้เหตุผลโดยอำศัยข้อสังเกตหรือผลกำรทดลองจำก หลำยๆตัวอย่ำง มำสรุปเป็นข้อตกลง หรือข้อคำดเดำทั่วไป หรือ คำพยำกรณ์และจะต้องมี ข้อสังเกต หรือ ผลกำรทดลอง หรือ มีประสบกำรณ์ที่มำกพอที่จะปักใจเชื่อได้แต่ก็ยังไม่ สำมำรถแน่ใจในผลสรุปได้เต็มที่เหมือนกับกำรให้เหตุผลแบบนิรนัย ตัวอย่ำงกำรให้เหตุผลแบบอุปนัย เช่น เรำเคยเห็นว่ำมีปลำจำนวนมำกที่ออกลูกเป็นไข่ เรำจึง อนุมำนว่ำ “ปลำทุกชนิดออกลูกเป็นไข่ ” ซึ่งกรณีนี้ถือว่ำไม่สมเหตุสมผล ทั้งนี้เพรำะข้องสังเกต หรือ ตัวอย่ำงที่พบว่ำยังไม่มำกพอที่จะสรุป เพรำะโดยข้อเท็จจริงแล้วมีปลำบำงชนิดที่ออกลูก เป็นตัว เช่น ปลำหำงนกยูง เป็นต้น