�ݺ�ߣ

Daftar Isi
3. BARISAN
ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012)
Hendra Gunawan∗
∗Dosen FMIPA - ITB
E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id.
August 29, 2011
Hendra Gunawan ANALISIS REAL

Daftar Isi
3. BARISAN
3.1 Deﬁnisi Barisan
3.2 Kekonvergenan Barisan
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Dalam kisah Zeno tentang perlombaan lari antara Achilles dan
seekor kura-kura, ketika Achilles mencapai posisi x0 tempat sang
kura-kura mulai berlari, sang kura-kura telah menempuh x1 meter;
dan ketika Achilles mencapai posisi tersebut beberapa saat
kemudian, sang kura-kura telah menempuh x2 meter lebih jauh;
dan seterusnya. Sebagai contoh, bila Achilles berlari dengan
kecepatan 6 m/detik sementara sang kura-kura berlari dengan
kecepatan 3 m/detik (ditarik roda), maka Achilles akan mencapai
posisi-posisi tertentu yang pernah dicapai oleh sang kura-kura pada
saat
1
2
+
1
4
+ · · · +
1
2n
detik, n = 1, 2, 3, . . . .

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Bentuk penjumlahan di atas membentuk sebuah deret geometri,
yang jumlahnya sama dengan 1 − 1
2n . Jadi, dalam cerita di atas,
kita mempunyai sebuah ‘barisan’ bilangan 1 − 1
2n . Bila n ‘menuju
tak terhingga’, maka 1
2n ‘menuju 0’. Jadi barisan bilangan di atas
‘konvergen ke 1’. Dengan pengetahuan ini, pada akhirnya kita
dapat menyimpulkan bahwa Achilles akan menyalip sang kura-kura
setelah berlari selama 1 detik.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Sebuah barisan bilangan real dapat diartikan sebagai suatu daftar
bilangan real x1, x2, x3, . . . . Persisnya, sebuah barisan bilangan real
adalah suatu fungsi dari N k eR, yakni suatu aturan yang
mengaitkan setiap bilangan asli n dengan sebuah bilangan real
tunggal xn.
Di sini xn disebut sebagai suku ke-n barisan tersebut.
Notasi xn menyatakan barisan dengan suku ke-n xn.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Himpunan {xn : n ∈ N} disebut sebagai daerah nilai barisan xn .
Barisan xn dikatakan terbatas (terbatas di atas atau terbatas di
bawah) apabila daerah nilainya terbatas (terbatas di atas atau
terbatas di bawah).
Jadi, xn terbatas jika dan hanya jika terdapat K > 0 sedemikian
sehingga |xn| ≤ K untuk setiap n ∈ N.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Contoh 1
(i) Barisan 1
n adalah barisan bilangan 1, 1
2 , 1
3 , . . . .
(ii) Barisan (−1)n adalah barisan bilangan −1, 1, −1, 1, . . . .
Jika n ganjil, maka suku ke-n bernilai −1; dan jika n genap, maka
suku ke-n bernilai 1. Jadi daerah nilai barisan ini adalah {−1, 1}.
(iii) Barisan rn yang dideﬁnisikan secara induktif dengan r1 = 1
dan
rn+1 = 1 +
1
rn
, untuk n = 1, 2, 3, . . .
adalah barisan 1, 2, 3
2 , 5
3 , . . . .

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Soal Latihan
1 Buktikan bahwa ketiga barisan pada Contoh 1 merupakan
barisan terbatas.
2 Berikan dua buah contoh barisan yang tak terbatas.
3 Barisan Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... dapat dideﬁnisikan
secara induktif dengan x1 = x2 = 1 dan
xn+2 = xn + xn+1, n = 1, 2, 3, . . . .
Buktikan bahwa barisan xn tak terbatas.
4 Misalkan xn adalah barisan Fibonacci. Deﬁnisikan
rn := xn+1
xn
, n ∈ N. Buktikan bahwa barisan rn terbatas.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Barisan xn dikatakan konvergen ke L (L ∈ R) apabila untuk
setiap > 0 terdapat bilangan asli N (yang bergantung hanya
pada ) sedemikian sehingga
jika n ≥ N, maka |xn − L| < .
Secara intuitif, xn konvergen ke L apabila xn semakin mendekati
L ketika n semakin besar.
Secara informal, kita dapat mengatakan bahwa xn ‘menuju L’ bila
n ‘menuju tak terhingga’.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Bilangan L dalam hal ini disebut sebagai limit barisan xn , dan
kita tuliskan
lim
n→∞
xn = L,
atau
xn → L, bila n → ∞.
Untuk tiap n ∈ N, bilangan xn dapat dianggap sebagai hampiran
untuk L (dan sebaliknya, L merupakan hampiran untuk xn). Jarak
|xn − L| antara xn dan L menyatakan kesalahan pada penghampiran
tersebut (dengan sebagai taksiran kesalahan maksimum-nya).
Deﬁnisi di atas menyatakan bahwa kesalahan tersebut dapat dibuat
sekecil-kecilnya dengan memilih n cukup besar.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Contoh 2
Barisan 1
n konvergen ke 0, yakni
lim
n→∞
1
n
= 0.
Diberikan > 0 sembarang, kita dapat memilih bilangan asli
N > 1
sedemikian sehingga jika n ≥ N, maka
1
n
− 0 =
1
n
≤
1
N
< .
Catatan. Eksistensi bilangan asli N yang lebih besar dari bilangan
real 1
tentu saja dijamin oleh Sifat Archimedes.)

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Teorema 3
Sebuah barisan tidak mungkin konvergen ke dua buah limit yang
berbeda.
Bukti. Misalkan xn konvergen ke L dan juga ke M. Untuk > 0
sembarang, kita dapat memilih n cukup besar sedemikian sehingga
|L − M| ≤ |L − xn| + |xn − M| < + = 2 .
Karena ketaksamaan ini berlaku untuk tiap > 0, kita simpulkan
bahwa |L − M| = 0 atau L = M.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Teorema 4
Jika xn konvergen, maka xn terbatas.
Catatan. Kebalikan dari Teorema 4 tidak berlaku. Sebagai
contoh, (−1)n terbatas, tetapi tidak konvergen. Di sini
keterbatasan merupakan ‘syarat perlu’ tetapi bukan merupakan
‘syarat cukup’ untuk kekonvergenan.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Bukti. Misalkan xn konvergen ke L. Pilih N ∈ N sedemikian
sehingga untuk n ≥ N berlaku
|xn − L| < 1.
Akibatnya, untuk n ≥ N, kita mempunyai
|xn| ≤ |xn − L| + |L| < 1 + |L|.
Sebut K := maks{|x1|, . . . , |xN|, 1 + |L|}. Maka jelas bahwa
|xn| ≤ K,
untuk tiap n ∈ N. Ini menunjukkan bahwa xn terbatas.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Barisan yang tidak konvergen disebut barisan divergen. Dari
Teorema 4, kita mengetahui bahwa barisan tak terbatas tidak
mungkin konvergen, dan karenanya ia merupakan barisan divergen.
Sebagai contoh, barisan Fibonacci
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .
merupakan barisan divergen karena ia tak terbatas.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Selanjutnya perlu diingat bahwa barisan terbatas pun mungkin saja
divergen. Sebagai contoh, barisan (−1)n merupakan barisan
divergen. Dengan mudah kita dapat menunjukkan bahwa
lim
n→∞
(−1)n = ±1. Namun ini belum menunjukkan bahwa (−1)n
divergen. Untuk menunjukkan kedivergenan (−1)n , kita harus
meyakinkan bahwa lim
n→∞
(−1)n = L untuk sembarang L ∈ R.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Soal Latihan
1 Buktikan bahwa untuk setiap bilangan rasional r > 0, barisan
1
nr konvergen ke 0.
2 Buktikan bahwa n−1
n+1 konvergen ke 1.
3 Tuliskan arti dari lim
n→∞
xn = L. Tunjukkan bahwa
lim
n→∞
(−1)n = L untuk sembarang L ∈ R.
4 Buktikan jika c ∈ R dan xn konvergen ke L, maka cxn
konvergen ke cL.
5 Buktikan jika xn konvergen ke L > 0, maka terdapat N ∈ N
sedemikian sehingga xn > L
2 untuk tiap n ≥ N.
6 Berikan alasan sederhana mengapa barisan Fibonacci tidak
mungkin konvergen.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Dalam contoh dan soal-soal latihan pada subbab sebelumnya,
ketika > 0 diberikan, cukup mudah bagi kita untuk mencari
bilangan asli N yang memenuhi deﬁnisi barisan konvergen. Namun
secara umum tidaklah selalu demikian situasinya. Dalam hal ini
kita perlu mempunyai cara lain untuk memeriksa kekonvergenan
suatu barisan (dan menentukan limitnya) tanpa harus
menggunakan deﬁnisinya.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Proposisi 5
Misalkan xn → L dan yn → M bila n → ∞, dan λ, µ ∈ R. Maka
(i) λxn + µyn → λL + µM bila n → ∞.
(ii) xnyn → LM bila n → ∞.
(iii)
xn
yn
→
L
M
bila n → ∞, asalkan M = 0.
Catatan. Bukti bagian (ii) dan (iii) diserahkan sebagai latihan.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Bukti. (i) Berdasarkan Soal Latihan 3.2 No. 4, cukup dibuktikan
bahwa, jika xn → L dan yn → M untuk n → ∞, maka
xn + yn → L + M untuk n → ∞.
Diberikan > 0 sembarang, terdapat N1 ∈ N sedemikian sehingga
untuk n ≥ N1 berlaku
|xn − L| <
2
.
Pada saat yang sama, terdapat N2 ∈ N sedemikian sehingga untuk
n ≥ N2 berlaku
|yn − M| <
2
.
Sekarang pilih N := maks{N1, N2}. Maka, untuk n ≥ N, kita
peroleh (dengan menggunakan Ketaksamaan Segitiga)
|(xn + yn) − (L + M)| ≤ |xn − L| + |yn − M| <
2
+
2
= .
Ini menunjukkan bahwa xn + yn → L + M untuk n → ∞.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Contoh 6
lim
n→∞
2n2 − 5n
3n2 − 7n + 4
=
2
3
.
Penjelasan. Berdasarkan Proposisi 5 (serta contoh dan soal
latihan pada §3.2),
2n2 − 5n
3n2 − 7n + 4
=
2 − (5/n)
3 − (7/n) + (4/n2)
→
2 − 0
3 − 0 + 0
=
2
3
bila n → ∞.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Teorema 7 (Teorema Apit)
Misalkan xn ≤ yn ≤ zn untuk tiap n ∈ N. Jika xn → L dan zn → L
untuk n → ∞, maka yn → L untuk n → ∞.
Catatan. Hipotesis bahwa xn ≤ yn ≤ zn berlaku untuk tiap n ∈ N
dapat ‘diperlunak’ menjadi hanya berlaku untuk tiap n ≥ n0 untuk
suatu n0 ∈ N.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Bukti. Diberikan > 0 sembarang, pilih N ∈ N sedemikian
sehingga untuk n ≥ N berlaku
|xn − L| < dan |zn − L| <
atau
L − < xn < L + dan L − < zn < L + .
Akibatnya, untuk n ≥ N, kita peroleh
L − < xn ≤ yn ≤ zn < L + ,
sehingga
|yn − L| < .
Ini menunjukkan bahwa yn → L untuk n → ∞.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Contoh 8
Misalkan xn terbatas. Maka lim
n→∞
xn
n
= 0.
Penjelasan. Barisan xn terbatas berarti terdapat K > 0
sedemikian sehingga untuk setiap n ∈ N berlaku
−K ≤ xn ≤ K.
Akibatnya
−
K
n
≤
xn
n
≤
K
n
.
Karena lim
n→∞
K
n
= 0, maka menurut Teorema Apit lim
n→∞
xn
n
= 0.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Teorema 9
(i) Jika xn → L untuk n → ∞, maka |xn| → |L| untuk n → ∞.
(ii) Jika xn ≥ 0 untuk tiap n ∈ N dan xn → L untuk n → ∞, maka
L ≥ 0 dan
√
xn →
√
L untuk n → ∞.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Bukti. (i) Berdasarkan Ketaksamaan Segitiga, untuk setiap n ∈ N,
kita mempunyai
|xn| − |L| ≤ |xn − L|.
Karena itu jelas jika xn → L untuk n → ∞, maka |xn| → |L| untuk
n → ∞.
(ii) Andaikan L < 0, kita dapat memilih n ∈ N sedemikian sehingga
xn < L
2 < 0, bertentangan dengan hipotesis. Jadi mestilah L ≥ 0.
Selanjutnya, untuk membuktikan bahwa
√
xn konvergen ke
√
L,
kita tinjau kasus L = 0 dan kasus L > 0 secara terpisah.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Untuk kasus L = 0, kita perhatikan bahwa
√
xn <
√
bila xn < .
Karena itu,
√
xn → 0 untuk n → ∞ karena xn → 0 untuk n → ∞.
Sekarang misalkan L > 0. Untuk tiap n ∈ N, kita mempunyai
|
√
xn −
√
L| =
|xn − L|
√
xn +
√
L
≤
1
√
L
|xn − L|.
Jadi, diberikan > 0, kita tinggal memilih N ∈ N sedemikian
sehingga untuk setiap n ≥ N berlaku |xn − L| <
√
L. Ini
menunjukkan bahwa
√
xn →
√
L untuk n → ∞.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Soal Latihan
1 Buktikan Proposisi 5 bagian (ii) dan (iii).
2 Buktikan jika |xn − L| ≤ yn untuk tiap n ∈ N dan yn → 0
untuk n → ∞, maka xn → L untuk n → ∞.
3 Buktikan bahwa 1
2n konvergen ke 0, dengan menggunakan
fakta bahwa n < 2n untuk tiap n ∈ N.
4 Buktikan bahwa
√
n + 1 −
√
n konvergen ke 0.
5 Diketahui |x| < 1. Buktikan bahwa xn konvegen ke 0.
(Petunjuk. Tuliskan |x| = 1
1+a , maka |xn| < 1
an .)
6 Misalkan xn ≤ yn untuk tiap n ∈ N. Buktikan jika xn → L dan
yn → M untuk n → ∞, maka L ≤ M.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Barisan xn dikatakan naik apabila
xn ≤ xn+1
untuk tiap n ∈ N. Serupa dengan itu, xn dikatakan turun apabila
xn ≥ xn+1
untuk tiap n ∈ N. Barisan naik atau turun disebut barisan
monoton.
Bila xn < xn+1 atau xn > xn+1 untuk tiap n ∈ N, maka xn
dikatakan naik murni atau turun murni.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Contoh 10
(i) Barisan 1
n merupakan barisan monoton turun.
(ii) Barisan Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . . merupakan barisan
monoton naik.
(iii) Barisan konstan c merupakan barisan monoton naik dan
sekaligus turun.
(iv) Barisan (−1)n bukan merupakan barisan monoton.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Teorema 11
(i) Jika xn naik dan terbatas (di atas), maka ia konvergen ke
sup{xn : n ∈ N}.
(ii) Jika xn turun dan terbatas (di bawah), maka ia konvergen ke
inf{xn : n ∈ N}.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Bukti. (i) Misalkan A := {xn : n ∈ N} dan L = sup A. Akan
ditunjukkan bahwa xn → L untuk n → ∞. Untuk setiap > 0,
L − bukan batas atas himpunan A, dan karenanya terdapat
N ∈ N sedemikian sehingga L − < xN ≤ L. Karena xn naik,
untuk setiap n ≥ N berlaku
L − < xN ≤ xn ≤ L,
dan sebagai akibatnya
|xn − L| < .
Dengan demikian xn → L untuk n → ∞.
(ii) Serupa dengan bukti untuk bagian (i).

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Contoh 12
Misalkan xn := 1 +
1
22
+ · · · +
1
n2
, n ∈ N. Di sini jelas bahwa xn
naik. Selanjutnya, untuk tiap n ≥ 2, kita mempunyai
1
n2
≤
1
n(n − 1)
=
1
n − 1
−
1
n
.
Akibatnya, untuk tiap n ∈ N berlaku
1 +
1
22
+ · · · +
1
n2
≤ 1 +
1
1
−
1
2
+ · · · +
1
n − 1
−
1
n
= 2 −
1
n
< 2.
Jadi xn terbatas (di atas). Menurut Teorema 11, xn konvergen
(ke suatu bilangan L ≤ 2).

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Contoh 13
Diberikan x0 > 0, deﬁnisikan barisan xn secara induktif dengan
xn =
1
2
xn−1 +
2
xn−1
, n ∈ N.
Maka, dapat ditunjukkan bahwa xn turun dan terbatas di bawah
oleh
√
2, sehingga konvergen. Limitnya adalah
√
2.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Contoh 14
Misalkan xn := 1 + 1
n
n
, n ∈ N. Maka dapat diperiksa bahwa xn
naik dan terbatas (di atas), sehingga konvergen. Limitnya adalah
bilangan e.

Daftar Isi
3. BARISAN
3.3 Teorema Limit
3.4 Barisan Monoton
Soal Latihan
1 Berikan contoh barisan naik dan barisan turun yang belum
dibahas dalam bab ini.
2 Buktikan Teorema 11 bagian (ii).
3 Diketahui 0 < x < 1. Buktikan bahwa xn turun dan
terbatas di bawah, sehingga ia konvergen.
4 Misalkan xn := 1 +
1
2!
+ · · · +
1
n!
, n ∈ N. Buktikan bahwa
xn naik dan terbatas (di atas). (Petunjuk. Gunakan fakta
bahwa 2n−1 ≤ n! untuk tiap n ∈ N.)
5 Misalkan xn := 1 +
1
2
+ · · · +
1
n
, n ∈ N. Buktikan bahwa xn
naik. Apakah xn terbatas (di atas)?

�ݺ�ߣ

Analisis Riel 2

More Related Content

Analisis Riel 2