際際滷

際際滷Share a Scribd company logo

PetraErceg_BesseloveFunkcije,primjena u fizici (zavrsni rad)

P
Petra Erceg
1 of 31
Download to read offline
I SVEUILITE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA FIZIKU PETRA ERCEG BESSELOVE FUNKCIJE - PRIMJENA U FIZICI Zavr邸ni rad Osijek, 2015.
II SVEUILITE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA FIZIKU PETRA ERCEG BESSELOVE FUNKCIJE - PRIMJENA U FIZICI Zavr邸ni rad Predlo転en Odjelu za fiziku Sveuili邸ta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku radi stjecanja zvanja prvostupnika/ce fizike Osijek, 2015.
III 彜Ovaj zavr邸ni rad je izraen u Osijeku pod vodstvom doc.dr.sc. Zvonka Glumca u sklopu Sveuili邸nog preddiplomskog studija fizike na Odjelu za fiziku Sveuili邸ta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku. 彜
IV 1. Sadr転aj 1. Uvod ..................................................................................................................................................... 0 1.1. Besselove funkcije prve vrste ............................................................................................ 1 1.2. Besselove funkcije druge vrste ; Neumannove funkcije ....................................................... 2 1.3. Rekurzijske relacije....................................................................................................................... 3 1.4. Hankelove funkcije....................................................................................................................... 4 1.5. Sferne Besselove funkcije............................................................................................................. 5 2. Primjene Besselovih funkcija u fizici..................................................................................................... 7 2.1. Titranje kru転ne membrane............................................................................................................... 7 2.2. Potencijalna jama ........................................................................................................................... 15 2.3. Ogib na okrugloj pukotini ............................................................................................................... 19 3. Literatura............................................................................................................................................ 24
V Sveuili邸te Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Zavr邸ni rad Odjel za fiziku BESSELOVE FUNKCIJE - PRIMJENA U FIZICI PETRA ERCEG Sa転etak U ovom zavr邸nom radu ukratko je izlo転ena teorija Besselovih funkcija te je kroz dva primjera iz klasine fizike i jedan iz kvatne fizike pribli転ena njihova va転nost u rje邸avanjima problema realnog svijeta. U sklopu teorijske razrade funkcija, fokus je bio na onim dijelovima koji su kori邸teni u primjeni na probleme, te nisu navedena sva svojstva Besselovih funkcija. (24 stranice, 9 slika, 2 tablice) Rad je pohranjen u knji転nici Odjela za fiziku Kljune rijei: Besselove funkcije/ membrana/ ogib / potencijalna jama/ titranje Mentor: doc.dr.sc. Zvonko Glumac Ocjenjivai: Rad prihvaen:
VI University Josip Juraj Strossmayer Osijek Bachelor of Physics Thesis Department of Physics BESSELOVE FUNKCIJE - PRIMJENA U FIZICI PETRA ERCEG Abstract This papper has been designed with two objects in view. The first object is the theory of the Bessel functions, which consists of the main properties that are used in the second part. The second object is an aplication of all learned in three realistic problems of classical and quantum physics. Papper does not give insight into all properties of Bessel functions, just the ones used in problems. (24 pages, 9 figures, 2 tables) Thesis deposited in Department of Physics library Keywords: Bessel function/ diffraction/ membrane/ oscillation/ potential gap Supervisor: doc.dr.sc. Zvonko Glumac Reviewers: Thesis accepted: :
0 1. Uvod Besselove funkcije pojavile su se kao rje邸enje Besselove diferencijalne jednad転be, vrlo este u problemima fizike, astronomije i raznih drugih prirodnih znanosti. Iako ih je prvi definirao Daniel Bernoulli, ime su dobile po Friedrichu Wilhelmu Besselu (1784.-1846.), njemakom matematiaru i astronomu, koji je do te diferencijalne jednad転be do邸ao u jednom astronomskom problemu. No, Bessel nije jedini koji je prouavao te funkcije. Budui da su se pojavljivale u najrazliitijim problemima, postale su vrlo va転ne pa su znanstvenici sustavno krenuli prouavati sva njihova svojstva. Na kraju je nastala itava jedna teorija o Besselovim funkcijama koju je 1922. godine profesor G.N. Watson sustavno izlo転io u svojoj knjizi A Treatise on the theory of Bessel functions. Ova knjiga mi je poslu転ila kao glavni izvor za pisanje ovog zavr邸nog rada. Besselova diferencijalna jednad転ba je oblika: za proizvoljan realan ili kompleksan broj koji predstavlja red Besselove jednad転be. Najzanimljivije su one za koje je cijeli broj . Iako e i vrijednosti dati istu diferencijalnu jednad転bu, u praksi definiramo razliite Besselove funkcije za ova dva reda. Osim kao Besselove, ove funkcije poznate su jo邸 pod imenima cilindrine funkcije ili cilindrini harmonici jer se pojavljuju u rje邸enjima Laplaceove jednad転be u cilindrinim koordinatama. Budui da se radi o diferencijalnoj jednad転bi drugog reda, moraju postojati dva linearno nezavisna rje邸enja. U tablici 1.1. prikazane su sve oznake i imena moguih rje邸enja diferencijalne jednad転be u ovisnosti o okolnostima. Tablica 1.1. Oznake i imena rje邸enja Besselove diferencijalne jednad転be Tip funkcije Prva vrsta Druga vrsta Besselove Modificirane Besselove Hankelove Sferne Besselove Sferne Hankelove
1 1.1. Besselove funkcije prve vrste Besselove funkcije prve vrste obino se oznaavaju sa . To su rje邸enja Besselove diferencijalne jednad転be oblika: Izraz prve vrste odnosi se na to da obuhvaa funkcije koje su, za pozitivnu vrijednost regularne u Sva rje邸enja obine Besselove diferencijalne jednad転be koja su linearno nezavisna u odnosu na su neregularna u za svaki . Ona se oznaavaju sa i zovu Besselove funkcije druge vrste. Besselovu funkciju prve vrste izvest emo preko funkcije izvodnice koju emo razviti u Laurentov red: Koeficjenti uz definiraju Besselovu funkciju prve vrste cjelobrojnog reda Razvojem eksponencijalne funkcije, dobiva se umno転ak dva MacLaurinova reda u varijablama i : Kada je , potencija , pa slijedi Besselova funkcija prve vrste nultog reda: Nadalje uvr邸tavamo da je , pa ime dobivamo redom Besselove funkcije prve vrste prvog reda i drugog reda. Tada vidimo da openito vrijedi: Prvih nekoliko lanova dobra su aproksimacija za male vrijednosti x.
2 Slino se mogu dobiti i Besselove funkcije negativnog cjelobrojnog reda, pa slijedi: Slika 1.1. Prikaz Besselove funkcije prve vrste i pozitivnog cjelobrojnog reda za n = 0,1,2. 1.2. Besselove funkcije druge vrste ; Neumannove funkcije Ve smo prona邸li dva rje邸enja Besselove jednad転be i oznaili ih sa i , ali smo vidjeli i da ne formiraju ope rje邸enje jer su meusobno linearno zavisna. U daljnjem rje邸avanju javlja se i rje邸enje koje ima singularitet u ishodi邸tu, za i koje je linearno nezavisno od .Ta rje邸enja nazivaju se Besselove funkcije druge vrste ili Neumannove funkcije te se oznaavaju sa ili . Uobiajena definicija Neumannovih funkcija je preko linearne kombinacije rje邸enja i oblika: U sluaju kada je cijeli broj, funkcija je definirana sa limesom: Neumannove funkcije su neregularne u , ali kako se poveava postaju oscilirajue, kao 邸to se vidi na slici 1.2.
3 Slika 1.2. Prikaz Besselove funkcije druge vrste i pozitivnog cjelobrojnog reda za n = 0,1,2. Takoer, postoji veza: Neumannove funkcije u fizici su bitne za rje邸avanje problema za koje nije bitan singularitet u ishodi邸tu kao 邸to su problemi kvantne mehanike ili elektromagnetski valovi u koaksijalnim kablovima. 1.3. Rekurzijske relacije Rekurzije za Besselove funkcije i njihove derivacije mogu se dobiti iz funkcije izvodnice. Ako deriviramo parcijalno funkciju izvodnicu po varijabli : I izjednaimo ta dva izraza:
4 Uvedimo nove varijable zbrajanja tako da sve potencije budu iste Budui da je izraz jednak nuli samo kada je svaka zagrada zasebno jednaka nuli, rekurzija poprima oblik: Uvedemo li da je , dobit emo uobiajeni zapis: Slinim postupkom lako je doi i do formule za rekurziju derivacije: 1.4. Hankelove funkcije S obzirom da smo ustanovili kako Besselove funkcije prve i druge vrste ine potpuno rje邸enje Besselove diferencijalne jednad転be, za pretpostavit je da Hankelove funkcije mogu biti samo linearne kombinacije funkcija koje smo ve prona邸li. Takve funkcije imaju asimptotska obilje転ja i poprilino su beskorisne u primjeni, ali su bitna u teorijskim razmatranjima zato 邸to ih linearna kombinacija nekad ini jednostavnijima za rje邸avanje. Hankelove funkcije, ili Besselove funkcije tree vrste, su sljedee linearne kombinacije:
5 Budui da su ove funkcije konstruirane od Besselovih funkcija prve i druge vrste, za njih vrijede iste rekurzivne relacije. U zakljuku, Hankelove funkcije su pogodne za opisivanje gibanja valova te su korisne jer donose nova, asimptotska obilje転ja Besselovih funkcija. 1.5. Sferne Besselove funkcije Sferne Besselove funkcije pojavile su se pri rje邸avanju Helmholtzove jednad転be u sfernim koordinatama: separacijom varijabli. Radijalna jednad転ba ima oblik: Dva linearno nezavisna rje邸enja ove jednad転be zovu se sferne Besselove funkcije i koje su povezane sa Beselovim funkcijama prvog reda i preko: Takoer, javlja se i oznaka za kao sferne Neumannove funkcije Sferne Besselove funkcije mogu biti pisane i kao: Prvih par sfernih Besselovih funkcija prikazano je u tablici 1.2. i slikama 1.6.1. i 1.6.2.
6 Tablica 1.2. Prve 3 sferne Besselove fukcije prvog i drugog reda Slika 1.6.1. Prikaz sferme Besselove funkcije prve vrste , za n=0,1,2
7 Slika 1.6.2. Prikaz sferme Besselove funkcije druge vrste; sferna Neumannova funkcija , za n=0,1,2 2. Primjene Besselovih funkcija u fizici 2.1. Titranje kru転ne membrane Sada emo primjeniti prije steeno znanje o Besselovim funkcijama na razne konkretne primjere. Kao prvo, prouavat emo dvodimenzijsko titranje kru転ne membrane. Za mene je ovaj primjer posebno zanimljiv jer opisuje i titranje membrane (ko転e) na bubnjevima, a sviranje udaraljki moj je dugogodi邸nji hobi. Polazimo od konkretno zadanog problema: imamo zadanu kru転nu membranu, koja je privr邸ena na rubu, tako da niti jedna toka njenog ruba ne mo転e titrati, ba邸 kao ko転a na dobo邸u1 . Da bi mogli matematiki opisivati to titranje, moramo imati neki koordinatni sustav, a po logici stvari vidimo da je polarni sustav najprikladniji. Da bi membrana titrala, na nju moraju djelovati neke sile ili napetosti, i to na svaki njen element. Na slici (2.1.1.) su prikazane sile na jedan takav element. 1 Dobo邸 (eng. snare drum) jedna od osnovnih komponenti bubnja, 2 membrane na drvenoj ili metalnoj ljusci, nagla邸ava udarce u nekom ritmu
8 Slika 2.1.1.Sile na element membrane Pretpostavljamo da su napetosti na svaku stranu na邸eg elementa jednake. Titranje se odvija u vremenu, pa e i funkcija ovisiti o vremenu. Po邸to e membrana na nekim mjestima titrati jae, a na nekim slabije, takoer e ovisiti i o koordinatama i . Uz to, uzet emo da je debljina membrane Funkciju titranja oznaavat emo sa . Slika 2.1.2. Djelovanje napetosti na liniji
9 Slika 2.1.3. Djelovanje napetosti na liniji Slike (2.1.2.) i (2.1.3.) predstavljaju djelovanje napetosti na infinitezimalno mali element membrane, na linijama i Kutovi su jako mali, pa mo転emo aproksimirati , , 邸to vrijedi i za ostala tri kuta. Isto tako e biti i za , takoer i za ostale kutove. U to se uvjerit mo転emo razvijajui u red potencija, u kojem zanemarujemo kvadratne i vi邸e potencije od . Projicirajui napetosti u meusobno okomite osi, iz Slike (2.1.2.) dobijemo samo projekcije na os, jer se druge ukidaju, pa imamo: Zadnji izraz dobijemo kada prvi lan uglate zagrade razvijemo u red potencija i zanemarimo lanove i vi邸e, po邸to su jako mali. To su napetosti koje djeluju u smjeru jedininog vektora . Slinim postupkom dobijemo za napetosti koje djeluju du転 jedininog vektora :
10 Membrana ima gustou , pa prema Newtonovom aksiomu imamo: gdje je , 邸to je kvadrat brzine. Ova jednad転ba predstavlja diferencijalnu jednad転bu gibanja na邸e membrane koju trebamo rije邸iti. je rje邸enje te jednad転be, pretpostavit emo da je oblika: Uvrstimo tu pretpostavku u jednad転bu gibanja: Da bi gornja jednad転ba vrijedila, obje strane jednad転be moraju biti konstantne. Konstantu uzimamo negativnu, da bi dobili periodino titranje u vremenu. Separacijom varijabli dobivamo: To je linearna diferencijalna jednad転ba s konstantnim koeficjentima, iji je karakteristini polinom , sa rje邸enjima , pa e rje邸enje gornje jednad転be biti: Druga jednad転ba e biti, kada supstituiramo , oblika:
11 I u ovom sluaju pretpostavljamo rje邸enje oblika I u ovom sluaju gornja jednad転ba vrijedi samo onda ako su obje strane konstantne ili jednake 0. Konstantu uzimamo negativnu kako bi dobili periodinost u varijabli I sada dobijemo dvije jednad転be, od kojih je prva: ije rje邸enje naemo kao i prethodno, te glasi: Funkcija mora biti periodina funkcija varijable perioda pa e biti cijeli broj, a rje邸enje: Nakon supstitucije druga jednad転ba imat e oblik: Ovo je Besselova diferencijalna jednad転ba, ije ope rje邸enje glasi: Rje邸enje mora biti regularno u a po邸to je u toj toki beskonano velika (jer poinje sa , mora vrijediti . Ovisno o tome kakve vrijednosti poprima imamo i rje邸enja; Membrana je na svom rubu privr邸ena i to nam je rubni uvjet koji matematiki izra転avamo kao , 邸to je zapravo uvjet na rje邸enje radijalne jednad転be R . Iz uvjeta emo odrediti konstantu k, jer mora vrijediti: R
12 Besselove funkcije mogu imati beskonano mnogo nultoaka: pa e zbog toga konstanta imati beskonano mnogo vrijednosti, tj. bit e kvantizirana i poprimat e vrijednosti gdje je . Konstante emo odrediti po formuli: Za tako odreene vrijednosti konstante k, vrijedit e relacija pa e, ako uzmemo gdje je , biti i . Dobit emo vorne linije na mjestima gdje vrijedi ta relacija, a bit e ih (m-1). Rje邸enja jednad転be gibanja neovisne o vremenu bit e ove dvije karakteristine vrste funkcija: Iz ovoga vidimo da e biti (m-1)-na vorna linija kru転nica, i radijalnih vornih linija, jer rje邸enje mo転e biti jedna od ovih funkcija ili u opem sluaju njihov zbroj pomno転en sa nekim konstantama. U opem sluaju ne moramo imati radijalne vorne linije, osim u sluaju da su konstante kojima mno転imo ove funkcije tako odabrane. Ope rje邸enje mo転emo pisati na sljedei nain: Inae, ope rje邸enje bit e superpozicija svih rje邸enja, za sve i , tj. Za odreivanje konstanti slu転e nam poetni uvjeti: i pa e biti:
13 Razvijmo ove dvije funkcije u Fourierov red kao periodine funkcije od : gdje su ; , i=1,2 Usporedimo li prve i druge formule funkcija i dobijemo: Kao 邸to vidimo, koeficijenti Fourierovog reda su funkcije varijable , razvijene u red po Besselovim funkcijama, tj. imamo red oblika: Da bi na邸li koeficijente doka転imo da funkcije zadovoljavaju relaciju:
14 Poimo od . Ako prvu pomno転imo sa , a drugu sa , pa ih oduzmemo, rezultat pomno転imo sa i integriramo od 0 do l, dobit emo: Isti rezultat dobijemo i za drugi izraz, pa vidimo da je na邸a tvrdnja dokazana. Zato ako pomno転imo f(r) sa i integriramo od do dobijemo sljedee: Primijenimo li sada taj postupak na na邸 problem, dobivamo konstante: Analognim postupkom dolazimo i do formula za konstante . Tako smo odredili sve nepoznate konstante iz rubnih i poetnih uvjeta, te je na邸 problem potpuno odreen - znamo kako membrana titra u svakom trenutku.
15 2.2. Potencijalna jama Sljedei problem koji emo obraditi je iz kvantne mehanike. Pitamo se kako mo転emo opisati gibanje estice koja je zarobljena u nekom prostoru s potencijalom odnosno nalazi se u tzv. potencijalnoj jami. Budui da su pokusi pokazali da estica mo転e probiti potencijalni bedem, odnosno tunelirati, morat emo potra転iti rje邸enje i izvan potencijala. Tako uvjete na esticu definiramo u obliku: , gdje je 邸irina potencijalne jame (Slika 2.2.1.). Slika 2.2.1. Potencijalna jama Za rje邸avanje ovog problema koristit emo valnu jednad転bu gibanja, tj .Schr哥dingerovu jednad転bu za esticu neovisnu o vremenu: , gdje je masa estice, Hamiltonijan, svojstvena funkcija operatora Hamiltonijana (ovisi o radij-vektoru , reducirana Planckova konstanta, a polo転aj estice, radij- vektor. Jednad転bu emo raspisati u polarnom koordinatnom sustavu, jer je tako lak邸e doi do rje邸enja.
16 Rje邸enje pretpostavljamo u obliku produkta radijalnog i kutnog dijela: Uvrstimo taj izraz u gornju jednad転bu i dobijemo: , gdje je konstanta separacije, pa dobijamo dvije diferencijalne jednad転be drugog reda; radijalnu i kutnu: Kutna jednad転ba po varijablama ima rje邸enja jedino u sluaju kada je , ta rje邸enja se zovu kugline funkcije i ovdje ih neemo razmatrati. Rje邸enja na邸eg problema tra転it emo za negativne vrijednosti energije (E<0) te emo uzeti samo ona koja su regularna u ishodi邸tu sustava i u beskonanosti. Uz te uvjete, radijalna jednad転ba na podruju unutar potencijalne jame poprima oblik: , Za podruje izvan jame oblika je: Sada uvedemo supstituciju i oznake za konstante: , te
17 Takoer emo izvr邸iti supstitucije te , te dobiti jednostavniji oblik diferencijalne jednad転be: Rje邸enja ove jednad転be su sferne Besselove, Neumanove i Hankelove funkcije; . Odmah emo odbaciti Neumanovu funkciju kao rje邸enje jer za r=0 ima singularitet. Tako e na邸a rje邸enja za podruje izvan potencijalne jame biti sferne Hankelove funkcije, koje mo転emo za aproksimirati sa prvim lanom asimptotskog razvoja: Prvi izraz mo転emo shvatiti kao val koji putuje u smjeru poveanja polumjera, a drugi kao val koji putuje u smjeru smanjenja polumjera. esticu u kvantnoj mehanici mo転emo shvatiti kao val tvari, odnosno njezina estina i valna svojstva su nedjeljiva. Ako ju gledamo kao samo val ili samo esticu, bit e ograniena Heisenbergovim relacijama neodreenosti. Budui da je na邸a estica val sposobna pobjei iz jame (tunelirati), smatrat emo ju valom koji putuje u smjeru poveanja polumjera, pa e nam time rje邸enje za sluaj kada je estica u potencijalnoj jami biti Besselova funkcija a izvan potencijane jame Hankelova sferna funkcija Ta dva rje邸enja moraju biti jednaka u odnosno u rubu jame, kako bi bilo kontinuirano u cijelom prostoru. = = Ovakav rubni uvjet pokazuje da nisu mogue sve energije, ve samo njihov diskretan niz, koji predstavlja svojstvene vrijednosti operatora energije Hamiltonijana. Vrijednosti i su
18 konstante normiranja koje se odreuju posebno za svaku funkciju estice preko uvjeta normiranja. Specificirajmo ovaj problem za potencijal oblika: Takav potencijal sa beskonano visokim zidovima nazivamo beskonano duboka potencijalna jama. U tom sluaju estica e uvijek biti u jami, jer nee moi probiti potencijal. Samim time rje邸enje za nee postojati, odnosno bit e jednako nuli, dok je rje邸enje u jami: Rje邸enje je smisleno samo ako je . Iz konstante proizlaze stacionarna stanja energije, tj. svojstvene vrijednosti Hamiltonijana za esticu. S ovim emo zavr邸iti razmatranja o potencijalnoj jami.
19 2.3. Ogib na okrugloj pukotini Ako imamo izvor monokromatske svjetlosti koji 邸alje zrake u svim smjerovima, to emo 邸irenje svjetlosnih zraka moi prikazati kao kuglasti val koji se 邸iri prostorom u smjeru poveanja polumjera. Na velikoj udaljenosti od izvora svjetlosti stavimo pregradu s pukotinom, koja e zaustavljati sve zrake osim onih koje prolaze kroz pukotinu. Pukotina e se pona邸ati kao novi izvor svjetlosnih valova (Huygensov princip), u 邸to emo se uvjeriti ako iza pregrade postavimo zastor. Na zastoru e se vidjeti svjetlost od propu邸tenog snopa iz izvora, a okolo e se jo邸 zamjeivati svijetle pruge konstruktivne interferencije svjetlosnih valova. Ova pojava naziva se ogib ili difrakcija svjetlosti. Kako bi odredili valnu funkciju na zastoru, potrebno nam je poznavati teorem koji ka転e da se valna funkcija u nekoj toki mo転e odrediti iz njenih vrijednosti na nekoj plohi (rubu podruja) na kojoj je valna funkcija definirana. Stacionarni oblik valne funkcije vala koji se 邸iri stalno jednako je: Takav oblik mora zadovoljavati valnu jednad転bu svjetlosti: Uvr邸tavanjem stacionarnog rje邸enja u valnu jednad転bu dobijemo valnu jednad転bu amplitude, gdje smo zamijenili sa : Zanima nas samo centralnosimetrino rje邸enje, koje ovisi samo o udaljenosti od neke vrste toke, pa je . Zato gornju jednad転bu prevodimo u polarni koordinatni sustav: Tako smo dobili jednad転bu oblika ije je rje邸enje oblika , pa je amplituda:
20 Opa valna centralnosimetrina funkcija glasi: Pretpostavimo da su i rje邸enja amplitudne valne jednad転be pa mora vrijediti: i Ako prvu jednad転bu pomno転imo sa , a drugu sa i integriramo po prostoru gdje su obje funkcije regularne slijedi: Ovaj integrand mo転emo preobraziti u: Po Greenovom teoremu integral prelazi u plo邸ni: 2 Ako se u volumenu integracije nalazi singularna toka gornjeg integranda, ovaj integral ne i邸ezava. Zato oko tog singulariteta napravimo malu kuglu tako da podruje izmeu kugle i vanjske plohe bude regularno za integral kako bi on mogao po njemu isezavati. Normala vanjske plohe ima smjer van podruja, a kod kugle je situacija obratna. Ukoliko okrenemo smjer kugline normale, iz poetnog integrala dobivamo: Za plo邸ni integral po kugli rje邸enja dobijemo: 2 sa sada je oznaen diferencijal plohe
21 Ako zamislimo da radijus kugle te転i nuli, valna funkcija i njene derivacije ostaju regularne. Povr邸ina kugle se smanjuje sa pa e integralu doprinos davati samo lanovi koji rastu kao . Takav se lan mo転e dobiti derivacijom: Pa ako uvrstimo gornji izraz slijedi: U graninom prijelazu dobivamo: Vidimo da vrijednost valne funkcije u nekoj toki unutar neke zatvorene plohe mo転emo izraunati pomou zadanih vrijednosti na rubnoj plohi. Vratimo se sada na svjetlost koja dolazi od tokastog izvora, gdje je udaljenost izvora od otvora na pregradi Kuglasti val koji se 邸iri od izvora oblika je: Bitna je pretpostavka da e isti kuglasti val nastati i na plohi otvora. U ovom konkretnom sluaju, zami邸ljamo da je pregrada rasprostranjena u beskonanost, pa iz na邸e perspektive valna funkcija i njena derivacija i邸ezavaju: Vrijednost dana je integracijom valne funkcije svjetlosti s izvora po malom otvoru koji propu邸ta svjetlost: Gradijent obje funkcije su derivacije po , odnosno
22 Smjer normale na plohi uzimamo od toke prema izvoru pa emo promijeniti predznak normalnoj komponenti drugog gradijenta. Sada imamo: Kad je otvor mali, a izvor svjetlosti i toka P daleko od njega, ovu formulu mo転emo pojednostaviti jer su tada izrazi skoro konstante kao i kosinusi kutova, pa je: Ako svjetlost na zastor pada okomito, onda je: Potpuna valna funkcija tada je: U sluaju kada je otvor kru転nog oblika (Slika 2.3.1.) udaljenost toke od toke na zastoru gdje tra転imo intenzitet svjetlosti je dana izrazom: Slika 2.3.1. Kru転ni otvor na pregradi
23 Kada je uz aproksimaciju dobijemo da je jednako: Uvr邸tavanjem ovakve formule u potpunu valnu funkciju, dobit emo: Ako umjesto pi邸emo Ta formula poznata nam je od ranije (str.3.) ; iz rekurzivnih formula dobijemo: pa je: To je formula za odreivanje amplitude u nekoj toki. Znamo da je intenzitet svjetlosti u nekoj toki srazmjeran kvadratu amplitude, iz ega zakljuujemo da e maksimumi i minimumi funkcije , koja je funkcija varijable odreivati najsvjetlija mjesta, dok e tamne mrlje davati nultoke iste Besselove funkcije.
24 3. Literatura Knjige: Jankovi, Kne転evi-Miljanovi, Diferencijalne jednaine I: zadaci sa elementima teorije (4. print. ed.). Beograd: Beograd : Matematiki fakultet Watson, G.N., A Treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge University Press 1966., II. izdanje Arfken G.B., Weber H.J., Harris F.E., Mathematical Methods for Physicists, A Comprehensive Guide, San Diego: Academic Press, 1995 , VII.izdanje

More Related Content

PetraErceg_BesseloveFunkcije,primjena u fizici (zavrsni rad)

  • 1. I SVEUILITE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA FIZIKU PETRA ERCEG BESSELOVE FUNKCIJE - PRIMJENA U FIZICI Zavr邸ni rad Osijek, 2015.
  • 2. II SVEUILITE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU ODJEL ZA FIZIKU PETRA ERCEG BESSELOVE FUNKCIJE - PRIMJENA U FIZICI Zavr邸ni rad Predlo転en Odjelu za fiziku Sveuili邸ta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku radi stjecanja zvanja prvostupnika/ce fizike Osijek, 2015.
  • 3. III 彜Ovaj zavr邸ni rad je izraen u Osijeku pod vodstvom doc.dr.sc. Zvonka Glumca u sklopu Sveuili邸nog preddiplomskog studija fizike na Odjelu za fiziku Sveuili邸ta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku. 彜
  • 4. IV 1. Sadr転aj 1. Uvod ..................................................................................................................................................... 0 1.1. Besselove funkcije prve vrste ............................................................................................ 1 1.2. Besselove funkcije druge vrste ; Neumannove funkcije ....................................................... 2 1.3. Rekurzijske relacije....................................................................................................................... 3 1.4. Hankelove funkcije....................................................................................................................... 4 1.5. Sferne Besselove funkcije............................................................................................................. 5 2. Primjene Besselovih funkcija u fizici..................................................................................................... 7 2.1. Titranje kru転ne membrane............................................................................................................... 7 2.2. Potencijalna jama ........................................................................................................................... 15 2.3. Ogib na okrugloj pukotini ............................................................................................................... 19 3. Literatura............................................................................................................................................ 24
  • 5. V Sveuili邸te Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku Zavr邸ni rad Odjel za fiziku BESSELOVE FUNKCIJE - PRIMJENA U FIZICI PETRA ERCEG Sa転etak U ovom zavr邸nom radu ukratko je izlo転ena teorija Besselovih funkcija te je kroz dva primjera iz klasine fizike i jedan iz kvatne fizike pribli転ena njihova va転nost u rje邸avanjima problema realnog svijeta. U sklopu teorijske razrade funkcija, fokus je bio na onim dijelovima koji su kori邸teni u primjeni na probleme, te nisu navedena sva svojstva Besselovih funkcija. (24 stranice, 9 slika, 2 tablice) Rad je pohranjen u knji転nici Odjela za fiziku Kljune rijei: Besselove funkcije/ membrana/ ogib / potencijalna jama/ titranje Mentor: doc.dr.sc. Zvonko Glumac Ocjenjivai: Rad prihvaen:
  • 6. VI University Josip Juraj Strossmayer Osijek Bachelor of Physics Thesis Department of Physics BESSELOVE FUNKCIJE - PRIMJENA U FIZICI PETRA ERCEG Abstract This papper has been designed with two objects in view. The first object is the theory of the Bessel functions, which consists of the main properties that are used in the second part. The second object is an aplication of all learned in three realistic problems of classical and quantum physics. Papper does not give insight into all properties of Bessel functions, just the ones used in problems. (24 pages, 9 figures, 2 tables) Thesis deposited in Department of Physics library Keywords: Bessel function/ diffraction/ membrane/ oscillation/ potential gap Supervisor: doc.dr.sc. Zvonko Glumac Reviewers: Thesis accepted: :
  • 7. 0 1. Uvod Besselove funkcije pojavile su se kao rje邸enje Besselove diferencijalne jednad転be, vrlo este u problemima fizike, astronomije i raznih drugih prirodnih znanosti. Iako ih je prvi definirao Daniel Bernoulli, ime su dobile po Friedrichu Wilhelmu Besselu (1784.-1846.), njemakom matematiaru i astronomu, koji je do te diferencijalne jednad転be do邸ao u jednom astronomskom problemu. No, Bessel nije jedini koji je prouavao te funkcije. Budui da su se pojavljivale u najrazliitijim problemima, postale su vrlo va転ne pa su znanstvenici sustavno krenuli prouavati sva njihova svojstva. Na kraju je nastala itava jedna teorija o Besselovim funkcijama koju je 1922. godine profesor G.N. Watson sustavno izlo転io u svojoj knjizi A Treatise on the theory of Bessel functions. Ova knjiga mi je poslu転ila kao glavni izvor za pisanje ovog zavr邸nog rada. Besselova diferencijalna jednad転ba je oblika: za proizvoljan realan ili kompleksan broj koji predstavlja red Besselove jednad転be. Najzanimljivije su one za koje je cijeli broj . Iako e i vrijednosti dati istu diferencijalnu jednad転bu, u praksi definiramo razliite Besselove funkcije za ova dva reda. Osim kao Besselove, ove funkcije poznate su jo邸 pod imenima cilindrine funkcije ili cilindrini harmonici jer se pojavljuju u rje邸enjima Laplaceove jednad転be u cilindrinim koordinatama. Budui da se radi o diferencijalnoj jednad転bi drugog reda, moraju postojati dva linearno nezavisna rje邸enja. U tablici 1.1. prikazane su sve oznake i imena moguih rje邸enja diferencijalne jednad転be u ovisnosti o okolnostima. Tablica 1.1. Oznake i imena rje邸enja Besselove diferencijalne jednad転be Tip funkcije Prva vrsta Druga vrsta Besselove Modificirane Besselove Hankelove Sferne Besselove Sferne Hankelove
  • 8. 1 1.1. Besselove funkcije prve vrste Besselove funkcije prve vrste obino se oznaavaju sa . To su rje邸enja Besselove diferencijalne jednad転be oblika: Izraz prve vrste odnosi se na to da obuhvaa funkcije koje su, za pozitivnu vrijednost regularne u Sva rje邸enja obine Besselove diferencijalne jednad転be koja su linearno nezavisna u odnosu na su neregularna u za svaki . Ona se oznaavaju sa i zovu Besselove funkcije druge vrste. Besselovu funkciju prve vrste izvest emo preko funkcije izvodnice koju emo razviti u Laurentov red: Koeficjenti uz definiraju Besselovu funkciju prve vrste cjelobrojnog reda Razvojem eksponencijalne funkcije, dobiva se umno転ak dva MacLaurinova reda u varijablama i : Kada je , potencija , pa slijedi Besselova funkcija prve vrste nultog reda: Nadalje uvr邸tavamo da je , pa ime dobivamo redom Besselove funkcije prve vrste prvog reda i drugog reda. Tada vidimo da openito vrijedi: Prvih nekoliko lanova dobra su aproksimacija za male vrijednosti x.
  • 9. 2 Slino se mogu dobiti i Besselove funkcije negativnog cjelobrojnog reda, pa slijedi: Slika 1.1. Prikaz Besselove funkcije prve vrste i pozitivnog cjelobrojnog reda za n = 0,1,2. 1.2. Besselove funkcije druge vrste ; Neumannove funkcije Ve smo prona邸li dva rje邸enja Besselove jednad転be i oznaili ih sa i , ali smo vidjeli i da ne formiraju ope rje邸enje jer su meusobno linearno zavisna. U daljnjem rje邸avanju javlja se i rje邸enje koje ima singularitet u ishodi邸tu, za i koje je linearno nezavisno od .Ta rje邸enja nazivaju se Besselove funkcije druge vrste ili Neumannove funkcije te se oznaavaju sa ili . Uobiajena definicija Neumannovih funkcija je preko linearne kombinacije rje邸enja i oblika: U sluaju kada je cijeli broj, funkcija je definirana sa limesom: Neumannove funkcije su neregularne u , ali kako se poveava postaju oscilirajue, kao 邸to se vidi na slici 1.2.
  • 10. 3 Slika 1.2. Prikaz Besselove funkcije druge vrste i pozitivnog cjelobrojnog reda za n = 0,1,2. Takoer, postoji veza: Neumannove funkcije u fizici su bitne za rje邸avanje problema za koje nije bitan singularitet u ishodi邸tu kao 邸to su problemi kvantne mehanike ili elektromagnetski valovi u koaksijalnim kablovima. 1.3. Rekurzijske relacije Rekurzije za Besselove funkcije i njihove derivacije mogu se dobiti iz funkcije izvodnice. Ako deriviramo parcijalno funkciju izvodnicu po varijabli : I izjednaimo ta dva izraza:
  • 11. 4 Uvedimo nove varijable zbrajanja tako da sve potencije budu iste Budui da je izraz jednak nuli samo kada je svaka zagrada zasebno jednaka nuli, rekurzija poprima oblik: Uvedemo li da je , dobit emo uobiajeni zapis: Slinim postupkom lako je doi i do formule za rekurziju derivacije: 1.4. Hankelove funkcije S obzirom da smo ustanovili kako Besselove funkcije prve i druge vrste ine potpuno rje邸enje Besselove diferencijalne jednad転be, za pretpostavit je da Hankelove funkcije mogu biti samo linearne kombinacije funkcija koje smo ve prona邸li. Takve funkcije imaju asimptotska obilje転ja i poprilino su beskorisne u primjeni, ali su bitna u teorijskim razmatranjima zato 邸to ih linearna kombinacija nekad ini jednostavnijima za rje邸avanje. Hankelove funkcije, ili Besselove funkcije tree vrste, su sljedee linearne kombinacije:
  • 12. 5 Budui da su ove funkcije konstruirane od Besselovih funkcija prve i druge vrste, za njih vrijede iste rekurzivne relacije. U zakljuku, Hankelove funkcije su pogodne za opisivanje gibanja valova te su korisne jer donose nova, asimptotska obilje転ja Besselovih funkcija. 1.5. Sferne Besselove funkcije Sferne Besselove funkcije pojavile su se pri rje邸avanju Helmholtzove jednad転be u sfernim koordinatama: separacijom varijabli. Radijalna jednad転ba ima oblik: Dva linearno nezavisna rje邸enja ove jednad転be zovu se sferne Besselove funkcije i koje su povezane sa Beselovim funkcijama prvog reda i preko: Takoer, javlja se i oznaka za kao sferne Neumannove funkcije Sferne Besselove funkcije mogu biti pisane i kao: Prvih par sfernih Besselovih funkcija prikazano je u tablici 1.2. i slikama 1.6.1. i 1.6.2.
  • 13. 6 Tablica 1.2. Prve 3 sferne Besselove fukcije prvog i drugog reda Slika 1.6.1. Prikaz sferme Besselove funkcije prve vrste , za n=0,1,2
  • 14. 7 Slika 1.6.2. Prikaz sferme Besselove funkcije druge vrste; sferna Neumannova funkcija , za n=0,1,2 2. Primjene Besselovih funkcija u fizici 2.1. Titranje kru転ne membrane Sada emo primjeniti prije steeno znanje o Besselovim funkcijama na razne konkretne primjere. Kao prvo, prouavat emo dvodimenzijsko titranje kru転ne membrane. Za mene je ovaj primjer posebno zanimljiv jer opisuje i titranje membrane (ko転e) na bubnjevima, a sviranje udaraljki moj je dugogodi邸nji hobi. Polazimo od konkretno zadanog problema: imamo zadanu kru転nu membranu, koja je privr邸ena na rubu, tako da niti jedna toka njenog ruba ne mo転e titrati, ba邸 kao ko転a na dobo邸u1 . Da bi mogli matematiki opisivati to titranje, moramo imati neki koordinatni sustav, a po logici stvari vidimo da je polarni sustav najprikladniji. Da bi membrana titrala, na nju moraju djelovati neke sile ili napetosti, i to na svaki njen element. Na slici (2.1.1.) su prikazane sile na jedan takav element. 1 Dobo邸 (eng. snare drum) jedna od osnovnih komponenti bubnja, 2 membrane na drvenoj ili metalnoj ljusci, nagla邸ava udarce u nekom ritmu
  • 15. 8 Slika 2.1.1.Sile na element membrane Pretpostavljamo da su napetosti na svaku stranu na邸eg elementa jednake. Titranje se odvija u vremenu, pa e i funkcija ovisiti o vremenu. Po邸to e membrana na nekim mjestima titrati jae, a na nekim slabije, takoer e ovisiti i o koordinatama i . Uz to, uzet emo da je debljina membrane Funkciju titranja oznaavat emo sa . Slika 2.1.2. Djelovanje napetosti na liniji
  • 16. 9 Slika 2.1.3. Djelovanje napetosti na liniji Slike (2.1.2.) i (2.1.3.) predstavljaju djelovanje napetosti na infinitezimalno mali element membrane, na linijama i Kutovi su jako mali, pa mo転emo aproksimirati , , 邸to vrijedi i za ostala tri kuta. Isto tako e biti i za , takoer i za ostale kutove. U to se uvjerit mo転emo razvijajui u red potencija, u kojem zanemarujemo kvadratne i vi邸e potencije od . Projicirajui napetosti u meusobno okomite osi, iz Slike (2.1.2.) dobijemo samo projekcije na os, jer se druge ukidaju, pa imamo: Zadnji izraz dobijemo kada prvi lan uglate zagrade razvijemo u red potencija i zanemarimo lanove i vi邸e, po邸to su jako mali. To su napetosti koje djeluju u smjeru jedininog vektora . Slinim postupkom dobijemo za napetosti koje djeluju du転 jedininog vektora :
  • 17. 10 Membrana ima gustou , pa prema Newtonovom aksiomu imamo: gdje je , 邸to je kvadrat brzine. Ova jednad転ba predstavlja diferencijalnu jednad転bu gibanja na邸e membrane koju trebamo rije邸iti. je rje邸enje te jednad転be, pretpostavit emo da je oblika: Uvrstimo tu pretpostavku u jednad転bu gibanja: Da bi gornja jednad転ba vrijedila, obje strane jednad転be moraju biti konstantne. Konstantu uzimamo negativnu, da bi dobili periodino titranje u vremenu. Separacijom varijabli dobivamo: To je linearna diferencijalna jednad転ba s konstantnim koeficjentima, iji je karakteristini polinom , sa rje邸enjima , pa e rje邸enje gornje jednad転be biti: Druga jednad転ba e biti, kada supstituiramo , oblika:
  • 18. 11 I u ovom sluaju pretpostavljamo rje邸enje oblika I u ovom sluaju gornja jednad転ba vrijedi samo onda ako su obje strane konstantne ili jednake 0. Konstantu uzimamo negativnu kako bi dobili periodinost u varijabli I sada dobijemo dvije jednad転be, od kojih je prva: ije rje邸enje naemo kao i prethodno, te glasi: Funkcija mora biti periodina funkcija varijable perioda pa e biti cijeli broj, a rje邸enje: Nakon supstitucije druga jednad転ba imat e oblik: Ovo je Besselova diferencijalna jednad転ba, ije ope rje邸enje glasi: Rje邸enje mora biti regularno u a po邸to je u toj toki beskonano velika (jer poinje sa , mora vrijediti . Ovisno o tome kakve vrijednosti poprima imamo i rje邸enja; Membrana je na svom rubu privr邸ena i to nam je rubni uvjet koji matematiki izra転avamo kao , 邸to je zapravo uvjet na rje邸enje radijalne jednad転be R . Iz uvjeta emo odrediti konstantu k, jer mora vrijediti: R
  • 19. 12 Besselove funkcije mogu imati beskonano mnogo nultoaka: pa e zbog toga konstanta imati beskonano mnogo vrijednosti, tj. bit e kvantizirana i poprimat e vrijednosti gdje je . Konstante emo odrediti po formuli: Za tako odreene vrijednosti konstante k, vrijedit e relacija pa e, ako uzmemo gdje je , biti i . Dobit emo vorne linije na mjestima gdje vrijedi ta relacija, a bit e ih (m-1). Rje邸enja jednad転be gibanja neovisne o vremenu bit e ove dvije karakteristine vrste funkcija: Iz ovoga vidimo da e biti (m-1)-na vorna linija kru転nica, i radijalnih vornih linija, jer rje邸enje mo転e biti jedna od ovih funkcija ili u opem sluaju njihov zbroj pomno転en sa nekim konstantama. U opem sluaju ne moramo imati radijalne vorne linije, osim u sluaju da su konstante kojima mno転imo ove funkcije tako odabrane. Ope rje邸enje mo転emo pisati na sljedei nain: Inae, ope rje邸enje bit e superpozicija svih rje邸enja, za sve i , tj. Za odreivanje konstanti slu転e nam poetni uvjeti: i pa e biti:
  • 20. 13 Razvijmo ove dvije funkcije u Fourierov red kao periodine funkcije od : gdje su ; , i=1,2 Usporedimo li prve i druge formule funkcija i dobijemo: Kao 邸to vidimo, koeficijenti Fourierovog reda su funkcije varijable , razvijene u red po Besselovim funkcijama, tj. imamo red oblika: Da bi na邸li koeficijente doka転imo da funkcije zadovoljavaju relaciju:
  • 21. 14 Poimo od . Ako prvu pomno転imo sa , a drugu sa , pa ih oduzmemo, rezultat pomno転imo sa i integriramo od 0 do l, dobit emo: Isti rezultat dobijemo i za drugi izraz, pa vidimo da je na邸a tvrdnja dokazana. Zato ako pomno転imo f(r) sa i integriramo od do dobijemo sljedee: Primijenimo li sada taj postupak na na邸 problem, dobivamo konstante: Analognim postupkom dolazimo i do formula za konstante . Tako smo odredili sve nepoznate konstante iz rubnih i poetnih uvjeta, te je na邸 problem potpuno odreen - znamo kako membrana titra u svakom trenutku.
  • 22. 15 2.2. Potencijalna jama Sljedei problem koji emo obraditi je iz kvantne mehanike. Pitamo se kako mo転emo opisati gibanje estice koja je zarobljena u nekom prostoru s potencijalom odnosno nalazi se u tzv. potencijalnoj jami. Budui da su pokusi pokazali da estica mo転e probiti potencijalni bedem, odnosno tunelirati, morat emo potra転iti rje邸enje i izvan potencijala. Tako uvjete na esticu definiramo u obliku: , gdje je 邸irina potencijalne jame (Slika 2.2.1.). Slika 2.2.1. Potencijalna jama Za rje邸avanje ovog problema koristit emo valnu jednad転bu gibanja, tj .Schr哥dingerovu jednad転bu za esticu neovisnu o vremenu: , gdje je masa estice, Hamiltonijan, svojstvena funkcija operatora Hamiltonijana (ovisi o radij-vektoru , reducirana Planckova konstanta, a polo転aj estice, radij- vektor. Jednad転bu emo raspisati u polarnom koordinatnom sustavu, jer je tako lak邸e doi do rje邸enja.
  • 23. 16 Rje邸enje pretpostavljamo u obliku produkta radijalnog i kutnog dijela: Uvrstimo taj izraz u gornju jednad転bu i dobijemo: , gdje je konstanta separacije, pa dobijamo dvije diferencijalne jednad転be drugog reda; radijalnu i kutnu: Kutna jednad転ba po varijablama ima rje邸enja jedino u sluaju kada je , ta rje邸enja se zovu kugline funkcije i ovdje ih neemo razmatrati. Rje邸enja na邸eg problema tra転it emo za negativne vrijednosti energije (E<0) te emo uzeti samo ona koja su regularna u ishodi邸tu sustava i u beskonanosti. Uz te uvjete, radijalna jednad転ba na podruju unutar potencijalne jame poprima oblik: , Za podruje izvan jame oblika je: Sada uvedemo supstituciju i oznake za konstante: , te
  • 24. 17 Takoer emo izvr邸iti supstitucije te , te dobiti jednostavniji oblik diferencijalne jednad転be: Rje邸enja ove jednad転be su sferne Besselove, Neumanove i Hankelove funkcije; . Odmah emo odbaciti Neumanovu funkciju kao rje邸enje jer za r=0 ima singularitet. Tako e na邸a rje邸enja za podruje izvan potencijalne jame biti sferne Hankelove funkcije, koje mo転emo za aproksimirati sa prvim lanom asimptotskog razvoja: Prvi izraz mo転emo shvatiti kao val koji putuje u smjeru poveanja polumjera, a drugi kao val koji putuje u smjeru smanjenja polumjera. esticu u kvantnoj mehanici mo転emo shvatiti kao val tvari, odnosno njezina estina i valna svojstva su nedjeljiva. Ako ju gledamo kao samo val ili samo esticu, bit e ograniena Heisenbergovim relacijama neodreenosti. Budui da je na邸a estica val sposobna pobjei iz jame (tunelirati), smatrat emo ju valom koji putuje u smjeru poveanja polumjera, pa e nam time rje邸enje za sluaj kada je estica u potencijalnoj jami biti Besselova funkcija a izvan potencijane jame Hankelova sferna funkcija Ta dva rje邸enja moraju biti jednaka u odnosno u rubu jame, kako bi bilo kontinuirano u cijelom prostoru. = = Ovakav rubni uvjet pokazuje da nisu mogue sve energije, ve samo njihov diskretan niz, koji predstavlja svojstvene vrijednosti operatora energije Hamiltonijana. Vrijednosti i su
  • 25. 18 konstante normiranja koje se odreuju posebno za svaku funkciju estice preko uvjeta normiranja. Specificirajmo ovaj problem za potencijal oblika: Takav potencijal sa beskonano visokim zidovima nazivamo beskonano duboka potencijalna jama. U tom sluaju estica e uvijek biti u jami, jer nee moi probiti potencijal. Samim time rje邸enje za nee postojati, odnosno bit e jednako nuli, dok je rje邸enje u jami: Rje邸enje je smisleno samo ako je . Iz konstante proizlaze stacionarna stanja energije, tj. svojstvene vrijednosti Hamiltonijana za esticu. S ovim emo zavr邸iti razmatranja o potencijalnoj jami.
  • 26. 19 2.3. Ogib na okrugloj pukotini Ako imamo izvor monokromatske svjetlosti koji 邸alje zrake u svim smjerovima, to emo 邸irenje svjetlosnih zraka moi prikazati kao kuglasti val koji se 邸iri prostorom u smjeru poveanja polumjera. Na velikoj udaljenosti od izvora svjetlosti stavimo pregradu s pukotinom, koja e zaustavljati sve zrake osim onih koje prolaze kroz pukotinu. Pukotina e se pona邸ati kao novi izvor svjetlosnih valova (Huygensov princip), u 邸to emo se uvjeriti ako iza pregrade postavimo zastor. Na zastoru e se vidjeti svjetlost od propu邸tenog snopa iz izvora, a okolo e se jo邸 zamjeivati svijetle pruge konstruktivne interferencije svjetlosnih valova. Ova pojava naziva se ogib ili difrakcija svjetlosti. Kako bi odredili valnu funkciju na zastoru, potrebno nam je poznavati teorem koji ka転e da se valna funkcija u nekoj toki mo転e odrediti iz njenih vrijednosti na nekoj plohi (rubu podruja) na kojoj je valna funkcija definirana. Stacionarni oblik valne funkcije vala koji se 邸iri stalno jednako je: Takav oblik mora zadovoljavati valnu jednad転bu svjetlosti: Uvr邸tavanjem stacionarnog rje邸enja u valnu jednad転bu dobijemo valnu jednad転bu amplitude, gdje smo zamijenili sa : Zanima nas samo centralnosimetrino rje邸enje, koje ovisi samo o udaljenosti od neke vrste toke, pa je . Zato gornju jednad転bu prevodimo u polarni koordinatni sustav: Tako smo dobili jednad転bu oblika ije je rje邸enje oblika , pa je amplituda:
  • 27. 20 Opa valna centralnosimetrina funkcija glasi: Pretpostavimo da su i rje邸enja amplitudne valne jednad転be pa mora vrijediti: i Ako prvu jednad転bu pomno転imo sa , a drugu sa i integriramo po prostoru gdje su obje funkcije regularne slijedi: Ovaj integrand mo転emo preobraziti u: Po Greenovom teoremu integral prelazi u plo邸ni: 2 Ako se u volumenu integracije nalazi singularna toka gornjeg integranda, ovaj integral ne i邸ezava. Zato oko tog singulariteta napravimo malu kuglu tako da podruje izmeu kugle i vanjske plohe bude regularno za integral kako bi on mogao po njemu isezavati. Normala vanjske plohe ima smjer van podruja, a kod kugle je situacija obratna. Ukoliko okrenemo smjer kugline normale, iz poetnog integrala dobivamo: Za plo邸ni integral po kugli rje邸enja dobijemo: 2 sa sada je oznaen diferencijal plohe
  • 28. 21 Ako zamislimo da radijus kugle te転i nuli, valna funkcija i njene derivacije ostaju regularne. Povr邸ina kugle se smanjuje sa pa e integralu doprinos davati samo lanovi koji rastu kao . Takav se lan mo転e dobiti derivacijom: Pa ako uvrstimo gornji izraz slijedi: U graninom prijelazu dobivamo: Vidimo da vrijednost valne funkcije u nekoj toki unutar neke zatvorene plohe mo転emo izraunati pomou zadanih vrijednosti na rubnoj plohi. Vratimo se sada na svjetlost koja dolazi od tokastog izvora, gdje je udaljenost izvora od otvora na pregradi Kuglasti val koji se 邸iri od izvora oblika je: Bitna je pretpostavka da e isti kuglasti val nastati i na plohi otvora. U ovom konkretnom sluaju, zami邸ljamo da je pregrada rasprostranjena u beskonanost, pa iz na邸e perspektive valna funkcija i njena derivacija i邸ezavaju: Vrijednost dana je integracijom valne funkcije svjetlosti s izvora po malom otvoru koji propu邸ta svjetlost: Gradijent obje funkcije su derivacije po , odnosno
  • 29. 22 Smjer normale na plohi uzimamo od toke prema izvoru pa emo promijeniti predznak normalnoj komponenti drugog gradijenta. Sada imamo: Kad je otvor mali, a izvor svjetlosti i toka P daleko od njega, ovu formulu mo転emo pojednostaviti jer su tada izrazi skoro konstante kao i kosinusi kutova, pa je: Ako svjetlost na zastor pada okomito, onda je: Potpuna valna funkcija tada je: U sluaju kada je otvor kru転nog oblika (Slika 2.3.1.) udaljenost toke od toke na zastoru gdje tra転imo intenzitet svjetlosti je dana izrazom: Slika 2.3.1. Kru転ni otvor na pregradi
  • 30. 23 Kada je uz aproksimaciju dobijemo da je jednako: Uvr邸tavanjem ovakve formule u potpunu valnu funkciju, dobit emo: Ako umjesto pi邸emo Ta formula poznata nam je od ranije (str.3.) ; iz rekurzivnih formula dobijemo: pa je: To je formula za odreivanje amplitude u nekoj toki. Znamo da je intenzitet svjetlosti u nekoj toki srazmjeran kvadratu amplitude, iz ega zakljuujemo da e maksimumi i minimumi funkcije , koja je funkcija varijable odreivati najsvjetlija mjesta, dok e tamne mrlje davati nultoke iste Besselove funkcije.
  • 31. 24 3. Literatura Knjige: Jankovi, Kne転evi-Miljanovi, Diferencijalne jednaine I: zadaci sa elementima teorije (4. print. ed.). Beograd: Beograd : Matematiki fakultet Watson, G.N., A Treatise on the theory of Bessel functions, Cambridge University Press 1966., II. izdanje Arfken G.B., Weber H.J., Harris F.E., Mathematical Methods for Physicists, A Comprehensive Guide, San Diego: Academic Press, 1995 , VII.izdanje