2. 1. f (x);
f ( x ) f ( 2 )
2. lim ;
x 2
x +2
3. ecua釘ia tangentei la graficul func釘iei f 樽n punctul
A(2,4);
4. asimptotele func釘iei f;
5. monotonia func釘iei f, punctele de extrem ale
func釘iei f; demonstra釘ia inegalit釘ii f(x)4, pentru
orice x>1, etc.;
6. f convex pe intervalul (1,);
7. g este continu 樽n punctul x0=0
9. REGULI DE DERIVARE
( f + g) ' = f ' + g' ( c f) ' = c f'
( f1 + f2 + ... + fn ) 1 2
' = f ' + f ' + ... + f '
n
( f g) ' = f' g + fg'
錚f錚
'
錚 錚 =
f g '
f g ' 錚 1錚
錚 錚 =
'
g'
錚 g錚 g 2 錚g錚 g2
12. x 2 - 1 + 1 x2 1 1
f ( x) =
x - 1 = x 1 + x 1 =
( x 1) ( x + 1) 1 1
= + = x +1+
( x 1) x 1 x +1
'
錚 1 錚 1
f ( x ) = ( x + 1) + 錚
'
歎= 1
'
( x 1)
2
錚 x 1錚
x2 2x
Aduc但nd la acelai numitor ob釘inem: f ' ( x) = 2
( x 1)
17. y f(x 0
) = f (x
'
0
) ( x x )
0
y f ( 2 ) = f ( 2 ) ( x 2 )
'
22
f ( 2) = =4 y=4
21
22 2 2
f ( 2) = =0
'
( 2 1)
2
25. punctele critice: punctele ecua釘iei f (x)=0func釘iei f
solu釘iile de extrem ale
x 0 1 3
2< 3
3 2 2009 < 2010 +
' +++++ 0 0 ++++++++
f (x)
+ f ( 2)
3
+
0 f(2010)
f (x) f ( 3)3 4 f(2009)
(M) (m)
3g 009 < ln2008 + 2g
ln2 ln2010
ln20093Func釘ia f g are orizontale spre 賊 caut
< ln2008 nu 2 asimptote
2010
x esteasimptotele minim func釘iei f(x) 0,4,x<1
x pe 20102 oblice a func釘iei f f f(x) ( ( ) ) x>1
0 < 4 esteI valoarea 錚
valoarea maxim
20093 < 2008g
f de
1 2
(2 f (fx=(- ,0] [4, )3 2 f 3 3
) ( x2 ) : f
錚 Im estef asimptot vertical pentru
2 Dreapta de ecua釘ie x=1 1
2009screscatoare pe I錚
2010
( ) ( )
< f ( 2009 ) Valorile) extreme ale func釘iei f
< f ( 2010
2008 func釘ia f
2009
26. 2 1 3
x 0 < 3 x <1 < x < 2 +
2
f '(x) ++++0 0 ++++++++
0 4 +
f (x) 3 錚 1錚 f(x) +
(M) f錚 歎 9
4
錚x錚呉 2
(m)
3
Fie 1 < x 9
Din f ( x) 2 ( *) s i f 錚 1 錚 4 ( * *) prin adunare
錚 歎
23 ' 錚x 錚 3
( 1 2
Dar din 1 < xfeste descrescatoareinverse 1 > [ o,1) > 0.
Cum functia prin trecere la pe int ervalul
' 2 x 3
錚1 錚 9 4
membru cu membru f ( x ) f 錚 歎 + (
Cum錚 functia f este descrescatoare pe 4
錚1 錚2錚 錚1錚 4 錚 x 錚 2 1 錚3
錚
f 錚 歎 f 錚 ' 歎 f 錚 歎 ( 1) f 錚 歎 ( * *)
錚x錚 錚 3錚 錚x錚 3 錚x錚 3
錚 1 錚 35 3
fervalul ( 1,2] f( ( x )1 < x 3 錚 f ( x ) 9 ( *)
int ( x ) f 錚 歎 , ) f 錚 っ
錚x 錚 6 錚 2
錚2 錚 2
27. f ( x ) 4 , pentru orice x>1
2
x
4, ( ) x > 1
x1
2
x x 1)
4 0, ( ) x > 1
x 1
2
x 4x + 4
0, ( ) x > 1
x 1
2
( x 2) 0, ( ) x > 1 adevrat.
x1
28. '
錚 1 錚
f' ' ( x ) = ( f' ( x ) )
'
= 錚1 歎 =
錚 2 歎
( x 1) 錚
錚
( ( x 1) )
'
2
2 ( x 1) ( x 1)
'
=0+ = =
( ( x 1) )
2 4
2
( x 1)
2
= 3
f ' ' ( x ) > 0, ( ) x > 1
( x 1)
func釘ia f este convex pe intervalul (1, )
'
錚1錚 g '
錚 g歎 = g 2
錚 錚
29. x2 02
d lim g ( x ) = lim f ( x ) = lim = =0
x 0 x 0 x x 1
0 0 1
x<0 x<0 x<0
0
d lim g ( x ) = lim h ( x ) = lim x x =
ln2
x0 x0 x0
x>0 x>0 x>0
1
( ln x ) = lim
'
ln x x
= lim = lim =
0 1 ' x
lH x < 0 錚 1 錚
'
x 0 x0 2x
x>0
x 2 錚 2歎
錚x 錚
x>0 4
x
1 錚 x3 錚 錚 x2 錚
= lim
錚 歎 = lim 錚 歎= 0
x x
0 錚 2 歎 x0 錚 2 錚
0
x>0 錚 錚 x>
d g ( 0) = f ( 0) = 0
func釘ia g este continu 樽n punctul x0=0
![punctele critice: punctele ecua釘iei f (x)=0func釘iei f
solu釘iile de extrem ale
x 0 1 3
2< 3
3 2 2009 < 2010 +
' +++++ 0 0 ++++++++
f (x)
+ f ( 2)
3
+
0 f(2010)
f (x) f ( 3)3 4 f(2009)
(M) (m)
3g 009 < ln2008 + 2g
ln2 ln2010
ln20093Func釘ia f g are orizontale spre 賊 caut
< ln2008 nu 2 asimptote
2010
x esteasimptotele minim func釘iei f(x) 0,4,x<1
x pe 20102 oblice a func釘iei f f f(x) ( ( ) ) x>1
0 < 4 esteI valoarea 錚
valoarea maxim
20093 < 2008g
f de
1 2
(2 f (fx=(- ,0] [4, )3 2 f 3 3
) ( x2 ) : f
錚 Im estef asimptot vertical pentru
2 Dreapta de ecua釘ie x=1 1
2009screscatoare pe I錚
2010
( ) ( )
< f ( 2009 ) Valorile) extreme ale func釘iei f
< f ( 2010
2008 func釘ia f
2009](https://image.slidesharecdn.com/0clasaaxiia1-130217143958-phpapp02/85/0-clasa-a_xiia-1-25-320.jpg)
![2 1 3
x 0 < 3 x <1 < x < 2 +
2
f '(x) ++++0 0 ++++++++
0 4 +
f (x) 3 錚 1錚 f(x) +
(M) f錚 歎 9
4
錚x錚呉 2
(m)
3
Fie 1 < x 9
Din f ( x) 2 ( *) s i f 錚 1 錚 4 ( * *) prin adunare
錚 歎
23 ' 錚x 錚 3
( 1 2
Dar din 1 < xfeste descrescatoareinverse 1 > [ o,1) > 0.
Cum functia prin trecere la pe int ervalul
' 2 x 3
錚1 錚 9 4
membru cu membru f ( x ) f 錚 歎 + (
Cum錚 functia f este descrescatoare pe 4
錚1 錚2錚 錚1錚 4 錚 x 錚 2 1 錚3
錚
f 錚 歎 f 錚 ' 歎 f 錚 歎 ( 1) f 錚 歎 ( * *)
錚x錚 錚 3錚 錚x錚 3 錚x錚 3
錚 1 錚 35 3
fervalul ( 1,2] f( ( x )1 < x 3 錚 f ( x ) 9 ( *)
int ( x ) f 錚 歎 , ) f 錚 っ
錚x 錚 6 錚 2
錚2 錚 2](https://image.slidesharecdn.com/0clasaaxiia1-130217143958-phpapp02/85/0-clasa-a_xiia-1-26-320.jpg)
