�ݺ�ߣ

Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95
Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 1. CÁC CÔNG THỨC VỀ LŨY THỪA
1) Khái niệm về Lũy thừa
Lũy thừa với số mũ tự nhiên: . . ... ,=n
a a a a a với n là số tự nhiên.
Lũy thừa với số nguyên âm:
1
,−
=n
n
a
a
với n là số tự nhiên.
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: ( )= =
m
m
n m nn
a a a với m, n là số tự nhiên.
Đặt biệt, khi m = 1 ta có
1
.= nn
a a
2) Các tính chất cơ bản của Lũy thừa
Tính chất 1:
0
1
1,
,
 = ∀

= ∀
a a
a a a
Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến):
1:
0 1:
 > > ⇔ >

< < > ⇔ <
m n
m n
a a a m n
a a a m n
Tính chất 3 (so sánh lũy thừa khác cơ số): với a > b > 0 thì
0
0
 > ⇔ >

< ⇔ <
m m
m m
a b m
a b m
Chú ý:
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
3) Các công thức cơ bản của Lũy thừa
Nhóm công thức 1:
( ) ( )
. +
−
=
=
= =
m n m n
m
m n
n
n mm mn n
a a a
a
a
a
a a a
Nhóm công thức 2:
( )
1 11
3 32
; ;
. , , 0
, , 0
= = → = = =
= ∀ ≥
= ∀ ≥ >
m
m
n m n nn n
n n n
n
n
n
a a a a a a a a a
ab a b a b
a a
a b
b b
Ví dụ 1: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau :
a)
2 1
2 1
.a
a
−
 
 
 
b) π 2 4π4
. :a a a
c) ( )
3
3
a d)
32. 1,3 3 2
. :a a a
Lời giải:
a) ( )
2 1
2 12 2 1 2 1 21
.a a a a a a
a
−
−− − 
= = = 
 
.
b)
1
12
π 2 4π π4 2
π
. :
a
a a a a a a
a
= = =
c) ( )
3
3 3. 3 3
a a a= =
d)
2. 1,3
32. 1,3 3 2 1,3
2
.
. :
a a
a a a a
a
= =
CÁC CÔNG THỨC VỀ MŨ VÀ LOGARITH
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn

Ví dụ 2: [ĐVH]. Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau :
a) 5 3
2 2 2A = b) ( )
11
16
: 0B a a a a a a= >
c) 24 3
C x x= d) ( )5 3 0
b a
D ab
a b
= >
Lời giải:
a)
1 1
1 1 15 5
3 1 31 3 13 3 5
5 3 2 5 102 2 2
2 2 2 2 .2 .2 2 .2 2 .2 2 2A
 
             = = = = = =         
              
b)
1
1 12
1 151 12 2
11 11 11 7 113 3 12 162 2 11
16 16 6 8 162 4 4
11
16
: . : . : :
a
B a a a a a a a a a a a a a a a
a
++
 
             = = = = = =         
              
Ví dụ 3: [ĐVH]. Đơn giản các biểu thức sau (với giả thiết chúng có nghĩa)
a)
3
2
1 13 2
4 4
3 3
:
a b a
A a b
b a a b
 
      = + +         
      
b)
2
22
4
4
4
2
a
B
a
a
a
+
=
 −
+ 
 
Lời giải:
a)
3 3 1
2
1 1 1 1 2 23 2 2 2 3
4 4 4 4
3 1 1 12 3 1 13 3
32 2 4 4 4 4
1
1
: :
a
a b a a b a a bb abA a b a b
a bb a a b b a a b ab a b
     +        +    = + + = + + = =                           + +      
 
b)
( )
2 2
2 22 2
2
2 024 4
2 0
4 4
4
2 4
aaa a
B
aaa a
a a
a a
⇔ ≥+ +
= = = = 
− ⇔ < − +
+ 
 
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho a, b là các số dương. Rút gọn biểu thức sau :
a) ( )
2 2
3 3 33 3
a b a b ab
 
+ + − 
 
b)
1 1
3 3 3 3: 2
a b
a b
b a
  
+ + +    
   
Lời giải:
a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 33 3
a b a b ab a b a a b b a b a b
   + + − = + − + = + = +     
b)
1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3 1 1
1 1 3 3
3 3 3 3
1 1 2 2 2 1 11 1
3 3 3 3 3 33 3
: 2
2
a b a b a b a b
a b a b
a b
b a
a b a b a ba b
   
+ +   
      + + + = = =    
     + + ++ 
 
DẠNG 2. CÁC CÔNG THỨC VỀ LOGARITH
1) Khái niệm về Logarith
Logarith cơ số a của một số x > 0 được ký hiệu là y và viết dạng log= ⇔ = y
ay x x a
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức logarith sau ( )2 3 2 2
log 4; log 81; log 32; log 8 2
Hướng dẫn giải:
• 2 2log 4 2 4 2 log 4 2= ⇔ = ⇔ = → =y
y y
• y 4
3 3log 81 y 3 81 3 y 4 log 81 4= ⇔ = = ⇔ = → =

• ( ) ( )
y 10
5
2 2
log 32 y 2 32 2 2 y 10 log 32 10= ⇔ = = = ⇔ = → =
• ( ) ( ) ( ) ( )
7
3
2 2
log 8 2 2 8 2 2 . 2 2 7 log 8 2 7= ⇔ = = = ⇔ = → =
y
y y
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính giá trị của
a) 2 2
log 32 = ..........................................................................................................................................................
b) 3
2
log 128 2 = .....................................................................................................................................................
c) 3
log 81 3 = ........................................................................................................................................................
d) 3
3
log 243 3 = ......................................................................................................................................................
Chú ý:
Khi a = 10 thì ta gọi là logarith cơ số thập phân, ký hiệu là lgx hoặc logx
Khi a = e, (với e ≈ 2,712818…) được gọi là logarith cơ số tự nhiên, hay logarith Nepe, ký hiệu là lnx, (đọc là len-x)
2) Các tính chất cơ bản của Logarith
• Biểu thức logarith tồn tại khi cơ số a > 0 và a ≠ 1, biểu thức dưới dấu logarith là x > 0.
• log 1 0 ;log 1,= = ∀a a a a
• Tính đồng biến, nghịch biến của hàm logarith:
1
log log
0 1
> ⇔ >
> ⇔  < ⇔ < <
a a
b c a
b c
b c a
3) Các công thức tính của Logarith
Công thức 1: log ,= ∀ ∈ℝx
a a x x ,(1)
Chứng minh:
Theo định nghĩa thì hiển nhiên ta có log = ⇔ =x x x
a a x a a
Ví dụ 1: [ĐVH]. ( )
8
5 4
2 2 2 2 2
log 32 log 2 5;log 16 log 2 log 2 8...= = = = =
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
3 25
1 4
log .
a
a a a
P
a a
= b) log .a
Q a a a a=
Lời giải:
a) Ta có
1 2 1 2 28 671 28 3 67 673 25 5 3 5 3 15 60
15 4 60 60
1 11 1 1 1 34
2 4 2 4 4
. . 1 67
log log .
60
. a a
a a a a a a a a
a a P a
aa a
a a a a
+ + −
−
+
 = = = = = → = = =−  
b) Ta có ( )
157 15 151 3
88 16 162 4
15
. . . log log .
8a a
a a a a a a a a a a a a a a Q a a= = = = → = = =
a) 3 5
logaA a a a= b) 23 5
logaB a a a a= c)
5 33 2
1 4
log
a
a a a
a a
Lời giải:
a)
1 1
3
3 5 2 5
1 1 37
log log 3
2 5 10
a aA a a a a
+ + 
= = = + + = 
 
b)
1
3
1
1 1
1 2 3
23 2 55
3
27 3
log log 1 1
10 10
a aB a a a a a
 
+ + + 
 
 
  = = = + = +     
 
c)
3 2
1
5 33 2 5 3
1 1 14
2 4
34 3 91
log log
15 4 60
a
a
a a a a
a a
a
+ +
+
 
  = − = − − = −     
 

a) 1
5
log 125 .....................................................= b) 2
log 64 ....................................................................=
c) 16log 0,125 ..................................................= d) 0,125log 2 2 ..........................................................=
e) 3
3
3
log 3 3 ................................................= f) 7
8 7
7
log 7 343 ............................................................=
a) ( )3 5
log ..................................................................................................................................aP a a a= =
b) ( )23 54
log ............................................................................................................................= =aQ a a a a
Công thức 2: log
, 0= ∀ >a x
a x x , (2)
Chứng minh:
Đặt ( )log , 2= ⇒ = ⇔ =t t t
a x t x a a a
Ví dụ 1: [ĐVH]. ( ) ( ) ( ) ( )
3
3 352
log 4 11 1log 4 log 4log 6log 3 22 22 3, 5 6, 3 3 3 4 2...
   = = = = = =    
1) 8log 15
2 .....................................................= 2) 2 2
log 64
2 ....................................................................=
3)
81log 5
1
.....................................................
3
  =  
4) ( ) 3log 4
3
9 ....................................................................=
Công thức 3: ( )log . log log= +a a ax y x y , (3)
Chứng minh:
Áp dụng công thức (2) ta có
log
log log log log
log
. . +
 =
→ = =
=
a
a a a a
a
x
x y x y
y
x a
x y a a a
y a
Áp dụng công thức (1) ta được : ( ) log log
log . log log log+
= = + ⇒a ax y
a a a ax y a x y dpcm
a) ( ) 3
2 2 2 2 2 2 2log 24 log 8.3 log 8 log 3 log 2 log 3 3 log 3= = + = + = +
b) ( ) 3
3 3 3 3 3 3log 81 log 27.3 log 27 log 3 log 3 log 3 3 1 4= = + = + = + =
a)
4
23 3 3
2 2 2 2 2
4 10
log 4 16 log 4 log 16 log 2 log 2 2 .
3 3
= + = + = + =
b)
1
31
3
33 3 3
1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 10
log 27 3 log 27 log 3 log 3 log 3 log log 3 .
3 3 3 3
− −
     = + = + = + =− − =−       
c) ( ) ( )
6 2
35 5
2 2 2 2 2 2 2
log 8 32 log 8 log 32 log 2 log 2 log 2 log 2 6 2 8.= + = + = + = + =
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho biết log 2;log 2a ab c= = Tính giá trị của loga x với
a) 3 2
x a b c= .................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
b) 3 3
x ab a bc= ......................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
Công thức 4: log log log
 
= − 
 
a a a
x
x y
y
, (4)
Chứng minh:
Áp dụng công thức (2) ta có
log log
log log
loglog
−
 =
→ = =
=
a a
a a
aa
x x
x y
yy
x a x a
a
y ay a

Áp dụng công thức (1) ta được : log log
log log log log− 
= = − ⇒ 
 
a ax y
a a a a
x
a x y dpcm
y
Ví dụ 1: [ĐVH]. Ta có
45
3 32
2 2 2 2 23
32 5 4 7
log log 32 log 16 log 2 log 2 .
2 3 616
= − = − = − =
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho biết
1
log ;log 3
3
a ab c= = Tính giá trị của loga x với
a)
2
3 2
ab c
x
abc
= .................................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
b)
5 3
34
a bc
x
a abc
= .........................................................................................................................................................
.......................................................................................................................................................................................
Công thức 5: log .log=m
a ab m b , (5)
Chứng minh:
Theo công thức (2) ta có ( )log log .log
= ⇒ = =a a a
mb b m bm
b a b a a
Khi đó .log
log log .log= = ⇒am bm
a a ab a m b dpcm
Ví dụ 1: [ĐVH].
( )
3 2
2 2 2 5 5 5
1
4 4
2 2 2
log 27 log 3 3log 3; log 36 log 6 2log 6
1 5
log 32 log 32 log 32
4 4
= = = =
= = =
Ví dụ 2: [ĐVH].
Ta có
42
23
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 6 .45 1
2log 6 log 400 3log 45 log 6 log 400 log 45 log log 81 log 4.
2 20 3
−
 
− + = − + = = = = − 
 
Ví dụ 3: [ĐVH]. 5 5 5 5 5 5 5 5
1 50 3
log 3 log 12 log 50 log 3 log 12 log 50 log log 25 2.
2 2 3
− + = − + = = =
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho biết
1 3
log ;log
2 4
a ab c= = Tính giá trị của loga x với
a)
3 2
2 34
a b c
x
a bc
= ...............................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
b)
3 3
3
ab a bc
x
bc
= .....................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
Công thức 6:
1
log log=n aa
b b
n
, (6)
Chứng minh:
Đặt ( )log = ⇒ = ⇔ =n
y
n ny
a
b y a b a b
Lấy logarith cơ số a cả hai vế ta được :
1
log log log log= ⇔ = ⇒ =ny
a a a aa b ny b y b
n
hay
1
log log= ⇒n aa
b b dpcm
n
Ví dụ 1: [ĐVH].
1
2
5 1
5
22
2
22
2
1
log 16 log 16 log 16 2.4 8.
1
2
1
log 64 log 64 log 64 5.6 30.
1
5
= = = =
= = = =

Hệ quả: Từ các công thức (5) và (6) ta có : log log=n
m
aa
m
b b
n
Ví dụ 2: [ĐVH]. ( ) ( ) ( )
( )3 1 3
3
1 11
34 4
5 2 2 25 2
5
3
9 11 114log 125 log 5 log 5 ; log 32 2 log 2 log 2 .
1 4 3 3
3
= = = = = =
Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính giá trị biểu thức
13 3 5
3
4
13
3
27
log 27 log
9
.
1 1
log log
81 3
 
+  
 
=
 
+  
 
A
( )
2
3 3 3 3
log 27 log 3 3 2= =
1
2
133
5
1 325
33 5
27 3 1 13 26
log log log 3 2. .
1 5 59
3
2
−
 
   = = = − = −     − 
1
2
13 3 5
4 3
3 43
3
13
3
27 26log 27 log 291 45log log 3 4.2log 3 8 .
81 8 4 51 1
log log
81 3
−
 
+   −
 
= = − = − → = = =
− + 
+  
 
A
Công thức 7: (Công thức đổi cơ số)
log
log
log
= c
a
c
b
b
a
, (7)
Chứng minh:
Theo công thức (2) ta có ( )log log log
log log log .log log
log
= ⇒ = = ⇒ = ⇒a ab b c
c c a c a
c
b
b a b a b a b dpcm
a
Nhận xét :
+) Để cho dễ nhớ thì đôi khi (7) còn được gọi là công thức “chồng” cơ số viết theo dạng dễ nhận biết như sau
log log .log=a a cb c b
+) Khi cho b = c thì (7) có dạng
log 1
log .
log log
= =b
a
b b
b
b
a a
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
a) Cho 2 2log 14 log 49 ?= → = =a A
b) Cho 15 25log 3 log 15 ?= → = =a B
a) Ta có ( )2 2 2 2log 14 log 2.7 1 log 7 log 7 1.= ⇔ = = + ⇒ = −a a a
Khi đó ( )2 2log 49 2log 7 2 1 .= = = −A a
b) Ta có
3
15
3 3
5
1 1
log 5 1
1 1
log 3
log 15 1 log 5
log 3
1
−
= − =
= ⇔ = = →
+  =
 −
a
a a
a a
a
a
( ) ( )
3
25
3 3
1 1
log 15 1 1
log 15 .
1log 25 2log 5 2 1 2 12
= = = = = → =
− − −
a aB B
a a a
a
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho log 3.a b = Tính
a) log .= b
a
b
A
a
b) log .= ab
b
B
a

Từ giả thiết ta có
1
log 3 log .
3
= ⇒ =a bb a
a)
1 1 1 1
log log log
log log log log
log log
= = − = − = − =
    − −
      
   
b b b
b b a aa a a
b a
b
A b a
a b a b ab b
a a
1 1 1 1 3 1 3 1
.
21 2log log 2 3 2 3 2 3 21
3
− −
= − = − = → =
− − − − −−b a
A
a b
Cách khác: Ta có được 2
2
2
2
log
log 1 3 1
log log log
log 2 3 2log
a
a
bb b
aaa a a
b
bb b b aA
ba ba a
a
 
  
 
  − −
= = = = = =   − − 
b)
1 1 1 1
log . log log
log log log log log log
= = − = − = − =
+ +ab ab ab
b b ba a a
b
B b a
a ab ab a b a b
1 1 1 1 2 3 1 2 3 1
.
1 1 1 11 log 1 3 3 1 3 1log
2 2 22 3
− −
= − = − = → =
+ + + ++ +a
b
B
ba
Cách khác: Ta có
( )
2
2
2 2 log
2log 1 2 3 1
log log log .
log 1 log 1 3
a
a
abab ab
a a
b
bb b b aB
a ab ba a
−  −
= = = = = = 
+ + 
Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a)
9
125 7
1 1
log 4
log 8 log 24 2
81 25 .49
− 
+ 
 
b)
2 5
4
1
log 3 3log 5
1 log 5 2
16 4
+
+
+
c)
7 7
3
1
log 9 log 6 log 42
72 49 5
− − 
+ 
 
d) 6 9log 5 log 361 lg 2
36 10 3−
+ −
a) ( )
3
9 39125 7 5 7
1 1 1 1log 4 2log 24 log 4log 8 log 2 2log 24 2 4 281 25 .49 3 5 7
 − − 
 
   
+ = +   
  
5
3 7
1
2 .3log 2
1 log 4 log 43
3
3 5 7 4 4 19
4
−   
= + = + =   
  
b) ( )2 5
4 2 54
1
log 3 3log 5 2 1 log 5 log 3 6log 51 log 5 62
16 4 4 2 16.25 3.2 592
+ + ++
+ = + = + =
c) ( )7 7
5 7 7 5
1
log 9 log 6 log 4 log 9 2log 6 2log 42
9 1
72 49 5 72 7 5 72 18
36 16
− − − −   
+ = + = + = +   
  
4,5=22,5
d) 6 9 6log 5 log 36 log 251 lg2 log5
36 10 3 6 10 25 5 30−
+ − = + = + =
Ví dụ 4: [ĐVH]. Tính giá trị của các biểu thức sau :
a) 9 9 9log 15 log 18 log 10A = + − b) 3
1 1 1
3 3 3
1
2log 6 log 400 3log 45
2
B = − +
c) 36 1
6
1
log 2 log 3
2
C = − d) ( )1 3 2
4
log log 4.log 3D =
a) 3 3
9 9 9 9 9 3
15.18 1 3
log 15 log 18 log 10 log log 3 log 3
10 2 2
A = + − = = = =
b) 2 43
1 1 1 1 1 3
3 3 3 3 3
1 36.45
2log 6 log 400 3log 45 log log 9 log 3 4
2 20
B
 
= − + = = = − = − 
 
c) 36 1 6 6 6
6
1 1 1 1 1
log 2 log 3 log 2 log 3 log 2.3
2 2 2 2 2
C = − = + = =
d) ( ) ( ) ( )1 3 2 4 2 3 4 2 2
4
1 1
log log 4.log 3 log log 3.log 4 log log 4 log 2
2 2
D = = − = − = − = −
Ví dụ 5: [ĐVH]. Cho log 7.a b = Tính

a)
3
log .= a b
a
A
b
b) 3 2
log .= b
a
B ab
Ví dụ 6: [ĐVH]. Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
a) Cho 325 2 5
49
log 7 ; log 5 log ?
8
= = → = =a b P
b) Cho log 2 log ?= → = =ab ab
b
a Q
a

�ݺ�ߣ

01 cong thuc mu va logarith pro_e(2016)

More Related Content

01 cong thuc mu va logarith pro_e(2016)