際際滷

際際滷Share a Scribd company logo

01 i 02 Matrius i determinants

Albert Sola
Albert Sola

Temes 1 i 2 de 2n Batxillerat aplicat a les CCSS.

1 of 19
Download to read offline
Tema 1 i 2: Matrius i determinants 1. Nomenclatura i classificaci坦 2. Operacions amb matrius 3. Clcul de determinants 4. Menors i adjunts d'una matriu quadrada 5. Propietats dels determinants 6. El rang d'una matriu 7. Matrius inverses
1. Nomenclatura i classificaci坦 p8 1,2,3,4,5,6 element ( a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n ... ... ... ... ... am1 am2 am3 ... amn ) columna fila Ordre: m x n Tipus de matrius: matriu fila, matriu columna, matriu nul揃la, matriu oposada, matriu quadrada d'ordre tal, matriu rectangular, matriu transposada (t A), matrius iguals.
Tipus de matrius quadrades: matriu triangular superior, matriu triangular inferior, matriu diagonal, matriu escalar, matriu identitat o unitat (I). Nom辿s en les matrius quadrades: -Matrius sim竪triques: A = At , per tant aij = aji -Matrius antisim竪triques: -A = At , per tant -aij = aji A= ( a m n m b v n v c) A= ( a m n m b v n v c)p11 7, 8, 9, 10, 11 Conceptes: diagonal principal, secundria i tra巽a.
2. Operacions amb matrius Suma i resta: A + B = C, essent cij = aij + bij Multiplicaci坦 per un nombre: k 揃 A = C, essent cij = k 揃 aij Multiplicaci坦 d'una matriu fila per una matriu columna: (a11 a12 ... a1n )揃 ( b11 b21 ... bn1 )=a11 揃b11+a12 揃b21+...+a1n 揃bn1 ( b11 b21 ... bm1 )揃(a11 a12 ... a1n )= ( b11 揃a11 b11 揃a12 ... b11 揃a1n b21 揃a11 b21 揃a12 ... b21 揃a1n ... ... ... ... bm1揃a11 bm1揃a12 ... bm1揃a1n ) El resultat t辿 tantes files com files t辿 el primer factor (el primer mana)
Multiplicaci坦 de dues matrius: p15 12,13,14,16abcd,17,19,20 Activitats finals: 5,10,12,17,22a (c11 c12 c21 c22 ) -Nom辿s podrem multiplicar dues matrius si el nombre de columnes de la primera coincideix amb el nombre de files de la segona. -La resultant t辿 tantes files com la primera i tantes columnes com la segona. -Atenci坦: en general, NO es presenta la propietat commutativa. (5 3 4 0 1 2)揃 ( 4 2 0 5 1 3)= c11=5揃 4+(3)揃0+4揃1=24 c21=0揃4+1揃0+2揃1=2 c12=5揃 2+(3)揃5+4揃3=7 c22=0揃2+1揃5+2揃3=11 =(24 7 2 11)
3. Clcul de determinants Exemples rpids D'ordre 2 i 3: La regla de Sarrus A= (a11 a12 a21 a22 ) A= a11 a12 a21 a22 =a11 揃a22a12 揃a21 A= ( a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ) A= a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 =a11 揃a22 揃a33+a12 揃a23 揃a31 +a21 揃a32 揃a13a13 揃a22 揃a31a12揃a21 揃a33a23揃a32 揃a11 p22 1,2,3,4
A= ( 1 2 1 3 3 0 2 4 1) -Menor complementari d'un element: 辿s el determinant de la matriu resultant d'eliminar la fila i la columna a les quals pertany l'element. p23 E2 M 21= 2 1 4 1=2 A= ( 1 2 1 3 3 0 2 4 1) -Adjunt d'un element: 辿s el determinant de la matriu resultant d'eliminar la fila i la columna a les quals pertany l'element, amb el signe canviat segons si i + j 辿s parell o senar. Fer alguns exemples m21= (1)2+1 揃2 1 4 1=1揃(2)=2 4. Menors i adjunts d'una matriu quadrada
E4, E5, p26: 6, 9 i 10 Determinant d'una matriu qualsevol: s igual a la suma dels productes dels elements d'una fila o columna qualsevol pels seus adjunts corresponents. A= ( 1 2 1 3 3 0 2 4 1) -Matriu adjunta: 辿s la matriu resultant de fer els adjunts de cada un dels elements. p24 E3 Adj(A)= ( 3 3 6 2 3 8 3 3 9 )
5. Propietats dels determinants Exemple ordre 3 k 揃a11 k 揃a12 k 揃a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 =k 揃A Exemple ordre 3 1a) |A| = |At | 2a) Si en una matriu quadrada intercanviem dues files, o dues columnes, el determinant canv誰a de signe. Exemple ordre 3 3a) Si multipliquem per un mateix nombre tots els elements d'una mateixa fila, o columna, el seu determinant queda multiplicat per aquest nombre. Atenci坦!: |k揃A| = kn 揃 |A| Exemple ordre n=3
Exemple ordre 3 Exemples ordre 3 4a) Si t辿 una fila o columna de 0's, el determinant 辿s 0. 5a) Si a una fila o columna li sumem* una combinaci坦 lineal de les altres, el determinant no varia. *no val multiplicar la fila que variem, pq sin坦 multiplicar鱈em tamb辿 el valor del determinant (prop. 3) Exemple ordre 3+ exemple per propietats 6a) Si t辿 dues files o dues columnes iguals o proporcionals, el determinant 辿s 0.
Exemple ordre 3 Exemples ordre 3 7a) Si t辿 una fila o columna que 辿s combinaci坦 lineal de les altres, el determinant 辿s 0. 8a) Un determinant es pot descomposar en la suma d'uns altres dos determinants separant una fila o columna en dos sumands. Exemple ordre 3 9a) |A 揃 B| = |A| 揃 |B|
6. El rang d'una matriu A= ( 1 0 2 3 4 1 2 2 5 2 3 1)Exemple: 1r pas: Buscar un menor d'ordre 2 diferent de 0 E7,E8,E9 p32: 15 A= ( 1 0 2 3 4 1 2 2 5 2 3 1) |1 0 4 1|=1 0 Rang 2 2n pas: Buscar un menor d'ordre 3 diferent de 0 1 0 2 4 1 2 5 2 3 =13 0 Rang = 3 s el nombre de files/columnes no nul揃les linealment independents. Coincideix amb l'ordre del menor m辿s gran diferent de zero de la matriu.
7. Matrius inverses Nom辿s poden tenir inversa, i del mateix ordre, les matrius quadrades. Si la tenen parlem de matrius regulars o invertibles, en qu竪 sempre Rang (A) = n; si no la tenen de matrius singulars. A揃 A1 =In -Propietats: A1 揃 A=I n (A1 )1 =A (A揃 B)1 =B1 揃 A1 (At )1 =(A1 )t
Matriu dels adjunts: Ex d'ordre 3, 21 A1 = 1 A 揃 Adj(A)t A= ( a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... am1 am2 ... amn ) Adj(A)= ( m11 m12 ... m1n m21 m22 ... m2n ... ... ... ... mm1 mm2 ... mmn ) Matriu inversa: E10,E11, p35: 19,21,23 Activitats finals: 1,3,5,6,9,10,11,12,15,16,17,18,20,24 -Clcul de la inversa d'una matriu:
3. El rang d'una matriu El rang d'una matriu 辿s el nombre de files no nul揃les linealment independents. Sempre coincideix amb el nombre de columnes. A=(5 3 4 10 6 8) Exemples: B=(4 4 0 0 3 3)Rang(A) = 1 Rang(B) = 2 C= ( 2 0 3 4 3 5 2 3 8 10 7 2 ) Rang(C) = 2 Ja que F1 = -2F2 + F3 No 辿s immediat! MTODE DE GAUSS
Consisteix en transformar la matriu de tal manera que quedin 0 sota la diagonal. El rang ser el nombre de files no nul揃les. M竪tode de Gauss per calcular el rang d'una matriu: A= ( 0 2 2 4 2 1 1 1 2 2 0 3) 1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila F3 F1( 2 1 1 1 0 2 2 4 2 2 0 3) ( 2 1 1 1 0 2 2 4 0 1 1 2)Canvi fila 2n pas: Segona columna tot 0's menys la primera i segona files ( 2 1 1 1 0 2 2 4 0 0 0 0)2F3 F2 Rang(A) = 22 files no nul揃les p18 21, 22, 23, 24, 92, 93, 94
4. Matrius inverses Trobar la matriu inversa: el m竪tode de Gauss-Jordan. A= ( 2 1 2 4 3 1 6 4 2) ( 2 1 2 1 0 0 4 3 1 0 1 0 6 4 2 0 0 1) ( 2 1 2 1 0 0 0 1 5 2 1 0 0 1 4 3 0 1) 1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's menys segona fila, i aix鱈 successivament fins que quedi una matriu diagonal. F3 + 3F1 (a11=0) F2 2F1 ( 2 0 7 3 1 0 0 1 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1)F3 + F2 F1 F2 ( 2 0 0 10 6 7 0 1 0 7 4 5 0 0 1 1 1 1 )F2 - 5F3 F1 + 7F3
( 2 1 2 1 0 0 0 1 5 2 1 0 0 1 4 3 0 1) 1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's menys segona fila, i aix鱈 successivament fins que quedi una matriu diagonal. F3 + 3F1 F2 2F1 ( 2 0 7 3 1 0 0 1 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1)F3 + F2 F1 F2 ( 2 0 0 10 6 7 0 1 0 7 4 5 0 0 1 1 1 1 )F2 - 5F3 F1 + 7F3 2n pas: Quan la matriu inicial est en format diagonal, la transformem en la matriu identitat. ( 1 0 0 5 3 7/2 0 1 0 7 4 5 0 0 1 1 1 1 )- F2 1/2F1 - F3 p21 28, 29
5. Equacions matricials a) Tipus AX = B AX =B Identitat A 1 揃 AX =A 1 揃 B X =A 1 揃 B b) Tipus XA = B XA=B Identitat XA揃 A 1 =B揃 A 1 X =B揃 A 1 c) Tipus AX + B = C AX +B=C Identitat A1 揃 AX =A1 揃(CB) X =A1 揃(CB) AX =CB p22 SF, 30, 31, 32, 33, operaci坦 sele10

More Related Content

01 i 02 Matrius i determinants

  • 1. Tema 1 i 2: Matrius i determinants 1. Nomenclatura i classificaci坦 2. Operacions amb matrius 3. Clcul de determinants 4. Menors i adjunts d'una matriu quadrada 5. Propietats dels determinants 6. El rang d'una matriu 7. Matrius inverses
  • 2. 1. Nomenclatura i classificaci坦 p8 1,2,3,4,5,6 element ( a11 a12 a13 ... a1n a21 a22 a23 ... a2n ... ... ... ... ... am1 am2 am3 ... amn ) columna fila Ordre: m x n Tipus de matrius: matriu fila, matriu columna, matriu nul揃la, matriu oposada, matriu quadrada d'ordre tal, matriu rectangular, matriu transposada (t A), matrius iguals.
  • 3. Tipus de matrius quadrades: matriu triangular superior, matriu triangular inferior, matriu diagonal, matriu escalar, matriu identitat o unitat (I). Nom辿s en les matrius quadrades: -Matrius sim竪triques: A = At , per tant aij = aji -Matrius antisim竪triques: -A = At , per tant -aij = aji A= ( a m n m b v n v c) A= ( a m n m b v n v c)p11 7, 8, 9, 10, 11 Conceptes: diagonal principal, secundria i tra巽a.
  • 4. 2. Operacions amb matrius Suma i resta: A + B = C, essent cij = aij + bij Multiplicaci坦 per un nombre: k 揃 A = C, essent cij = k 揃 aij Multiplicaci坦 d'una matriu fila per una matriu columna: (a11 a12 ... a1n )揃 ( b11 b21 ... bn1 )=a11 揃b11+a12 揃b21+...+a1n 揃bn1 ( b11 b21 ... bm1 )揃(a11 a12 ... a1n )= ( b11 揃a11 b11 揃a12 ... b11 揃a1n b21 揃a11 b21 揃a12 ... b21 揃a1n ... ... ... ... bm1揃a11 bm1揃a12 ... bm1揃a1n ) El resultat t辿 tantes files com files t辿 el primer factor (el primer mana)
  • 5. Multiplicaci坦 de dues matrius: p15 12,13,14,16abcd,17,19,20 Activitats finals: 5,10,12,17,22a (c11 c12 c21 c22 ) -Nom辿s podrem multiplicar dues matrius si el nombre de columnes de la primera coincideix amb el nombre de files de la segona. -La resultant t辿 tantes files com la primera i tantes columnes com la segona. -Atenci坦: en general, NO es presenta la propietat commutativa. (5 3 4 0 1 2)揃 ( 4 2 0 5 1 3)= c11=5揃 4+(3)揃0+4揃1=24 c21=0揃4+1揃0+2揃1=2 c12=5揃 2+(3)揃5+4揃3=7 c22=0揃2+1揃5+2揃3=11 =(24 7 2 11)
  • 6. 3. Clcul de determinants Exemples rpids D'ordre 2 i 3: La regla de Sarrus A= (a11 a12 a21 a22 ) A= a11 a12 a21 a22 =a11 揃a22a12 揃a21 A= ( a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 ) A= a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 =a11 揃a22 揃a33+a12 揃a23 揃a31 +a21 揃a32 揃a13a13 揃a22 揃a31a12揃a21 揃a33a23揃a32 揃a11 p22 1,2,3,4
  • 7. A= ( 1 2 1 3 3 0 2 4 1) -Menor complementari d'un element: 辿s el determinant de la matriu resultant d'eliminar la fila i la columna a les quals pertany l'element. p23 E2 M 21= 2 1 4 1=2 A= ( 1 2 1 3 3 0 2 4 1) -Adjunt d'un element: 辿s el determinant de la matriu resultant d'eliminar la fila i la columna a les quals pertany l'element, amb el signe canviat segons si i + j 辿s parell o senar. Fer alguns exemples m21= (1)2+1 揃2 1 4 1=1揃(2)=2 4. Menors i adjunts d'una matriu quadrada
  • 8. E4, E5, p26: 6, 9 i 10 Determinant d'una matriu qualsevol: s igual a la suma dels productes dels elements d'una fila o columna qualsevol pels seus adjunts corresponents. A= ( 1 2 1 3 3 0 2 4 1) -Matriu adjunta: 辿s la matriu resultant de fer els adjunts de cada un dels elements. p24 E3 Adj(A)= ( 3 3 6 2 3 8 3 3 9 )
  • 9. 5. Propietats dels determinants Exemple ordre 3 k 揃a11 k 揃a12 k 揃a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 =k 揃A Exemple ordre 3 1a) |A| = |At | 2a) Si en una matriu quadrada intercanviem dues files, o dues columnes, el determinant canv誰a de signe. Exemple ordre 3 3a) Si multipliquem per un mateix nombre tots els elements d'una mateixa fila, o columna, el seu determinant queda multiplicat per aquest nombre. Atenci坦!: |k揃A| = kn 揃 |A| Exemple ordre n=3
  • 10. Exemple ordre 3 Exemples ordre 3 4a) Si t辿 una fila o columna de 0's, el determinant 辿s 0. 5a) Si a una fila o columna li sumem* una combinaci坦 lineal de les altres, el determinant no varia. *no val multiplicar la fila que variem, pq sin坦 multiplicar鱈em tamb辿 el valor del determinant (prop. 3) Exemple ordre 3+ exemple per propietats 6a) Si t辿 dues files o dues columnes iguals o proporcionals, el determinant 辿s 0.
  • 11. Exemple ordre 3 Exemples ordre 3 7a) Si t辿 una fila o columna que 辿s combinaci坦 lineal de les altres, el determinant 辿s 0. 8a) Un determinant es pot descomposar en la suma d'uns altres dos determinants separant una fila o columna en dos sumands. Exemple ordre 3 9a) |A 揃 B| = |A| 揃 |B|
  • 12. 6. El rang d'una matriu A= ( 1 0 2 3 4 1 2 2 5 2 3 1)Exemple: 1r pas: Buscar un menor d'ordre 2 diferent de 0 E7,E8,E9 p32: 15 A= ( 1 0 2 3 4 1 2 2 5 2 3 1) |1 0 4 1|=1 0 Rang 2 2n pas: Buscar un menor d'ordre 3 diferent de 0 1 0 2 4 1 2 5 2 3 =13 0 Rang = 3 s el nombre de files/columnes no nul揃les linealment independents. Coincideix amb l'ordre del menor m辿s gran diferent de zero de la matriu.
  • 13. 7. Matrius inverses Nom辿s poden tenir inversa, i del mateix ordre, les matrius quadrades. Si la tenen parlem de matrius regulars o invertibles, en qu竪 sempre Rang (A) = n; si no la tenen de matrius singulars. A揃 A1 =In -Propietats: A1 揃 A=I n (A1 )1 =A (A揃 B)1 =B1 揃 A1 (At )1 =(A1 )t
  • 14. Matriu dels adjunts: Ex d'ordre 3, 21 A1 = 1 A 揃 Adj(A)t A= ( a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ... ... ... ... am1 am2 ... amn ) Adj(A)= ( m11 m12 ... m1n m21 m22 ... m2n ... ... ... ... mm1 mm2 ... mmn ) Matriu inversa: E10,E11, p35: 19,21,23 Activitats finals: 1,3,5,6,9,10,11,12,15,16,17,18,20,24 -Clcul de la inversa d'una matriu:
  • 15. 3. El rang d'una matriu El rang d'una matriu 辿s el nombre de files no nul揃les linealment independents. Sempre coincideix amb el nombre de columnes. A=(5 3 4 10 6 8) Exemples: B=(4 4 0 0 3 3)Rang(A) = 1 Rang(B) = 2 C= ( 2 0 3 4 3 5 2 3 8 10 7 2 ) Rang(C) = 2 Ja que F1 = -2F2 + F3 No 辿s immediat! MTODE DE GAUSS
  • 16. Consisteix en transformar la matriu de tal manera que quedin 0 sota la diagonal. El rang ser el nombre de files no nul揃les. M竪tode de Gauss per calcular el rang d'una matriu: A= ( 0 2 2 4 2 1 1 1 2 2 0 3) 1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila F3 F1( 2 1 1 1 0 2 2 4 2 2 0 3) ( 2 1 1 1 0 2 2 4 0 1 1 2)Canvi fila 2n pas: Segona columna tot 0's menys la primera i segona files ( 2 1 1 1 0 2 2 4 0 0 0 0)2F3 F2 Rang(A) = 22 files no nul揃les p18 21, 22, 23, 24, 92, 93, 94
  • 17. 4. Matrius inverses Trobar la matriu inversa: el m竪tode de Gauss-Jordan. A= ( 2 1 2 4 3 1 6 4 2) ( 2 1 2 1 0 0 4 3 1 0 1 0 6 4 2 0 0 1) ( 2 1 2 1 0 0 0 1 5 2 1 0 0 1 4 3 0 1) 1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's menys segona fila, i aix鱈 successivament fins que quedi una matriu diagonal. F3 + 3F1 (a11=0) F2 2F1 ( 2 0 7 3 1 0 0 1 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1)F3 + F2 F1 F2 ( 2 0 0 10 6 7 0 1 0 7 4 5 0 0 1 1 1 1 )F2 - 5F3 F1 + 7F3
  • 18. ( 2 1 2 1 0 0 0 1 5 2 1 0 0 1 4 3 0 1) 1r pas: Primera columna tot 0's menys la primera fila, segona columna tot 0's menys segona fila, i aix鱈 successivament fins que quedi una matriu diagonal. F3 + 3F1 F2 2F1 ( 2 0 7 3 1 0 0 1 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1)F3 + F2 F1 F2 ( 2 0 0 10 6 7 0 1 0 7 4 5 0 0 1 1 1 1 )F2 - 5F3 F1 + 7F3 2n pas: Quan la matriu inicial est en format diagonal, la transformem en la matriu identitat. ( 1 0 0 5 3 7/2 0 1 0 7 4 5 0 0 1 1 1 1 )- F2 1/2F1 - F3 p21 28, 29
  • 19. 5. Equacions matricials a) Tipus AX = B AX =B Identitat A 1 揃 AX =A 1 揃 B X =A 1 揃 B b) Tipus XA = B XA=B Identitat XA揃 A 1 =B揃 A 1 X =B揃 A 1 c) Tipus AX + B = C AX +B=C Identitat A1 揃 AX =A1 揃(CB) X =A1 揃(CB) AX =CB p22 SF, 30, 31, 32, 33, operaci坦 sele10