�ݺ�ߣ

Metode Numerik & Komputasi. By : Muhtadin
Metode Numerik & Teknik Komputasi
Muhtadin, ST. MT.

• Intro
– Rencana Pembelajaran
– Ketentuan Penilaian
• Deret Taylor & McLaurin
• Analisis Galat
Agenda
2

Metode Numerik & Teknik Komputasi - Intro
3

Mahasiswa memiliki pengetahuan dan mampu menggunakan pendekatan
numerik dan berbagai algoritma untuk menyelesaikan mengenai
berbagai macam persoalan dalam bidang rekayasa.
Kompetensi :
 Mahasiswa mampu menjelaskan dan menggunakan metode-metode
numerik untuk menyelesaikan persoalan yang sulit diselesaikan dengan
cara analitik.
 Mahasiswa mampu menjelaskan dan menggunakan algoritma-
algoritma dalam menyelesaikan persoalan sorting, searching, dan
optimasi.
4
Tujuan Pembelajaran

Pokok Bahasan
 Deret Taylor, algoritma rekursi, analisis galat dan kompleksitas
komputasi.
 Mencari solusi untuk persamaan linier dan non linier.
 Pencocokan kurva dengan metode regresi dan interpolasi.
 Turunan dan integrasi numerik.
 Penyelesaian persamaan differensial biasa dan persamaan differensial
parsial.
 Optimasi numerik.
 Tipe-tipe struktur data.
 Algoritma divide and conquer.
 Algoritma greedy.
 Dynamic programming.
5

Pustaka Utama :
1. Munir R., “Metode Numerik”, Informatika Bandung, 2005
2. Cormen T., Leiserson C., Rivest R., Stein C., “Introduction to Algorithms”,
2nd Edition, Mc Graw Hill international Edition, 2004.
Prasyarat :
Pemrograman Komputer dan Kalkulus I.
6

Perlu belajar metode numerik ?
• Persoalan / permasalahan dalam bidang science hampir selalu
melibatkan “MODEL MATEMATIKA“
• Kebanyakan dari Model tersebut sangat kompleks
– Sulit untuk dipecahkan
– Sangat sulit atau bahkan tidak mungkin menggunakan
metode analitis untuk menghasilkan “Hasil Exact“.
• Metode Analitis adalah metode untuk memecahkan model
matematis menggunakan aljabar umum
7

Contoh
8
....
!4!3!2
1
432

xxx
xex
7239874.32.3
1007.01.898.7454376
153.922189651.3
1191.76.61.24.62.34.4
12236785.4321.1
432781639.0
181005.58.4121232.1







gfedcba
gfedcba
gfedcba
gfedcba
gfedcba
gfedcba
gfedcb

Metode Numerik menggunakan Komputer
• Metode numerik: operasi aritmatis, mudah namun
memerlukan proses panjang
– Menyebabkan perhitungan yang lambat dan rawan
terhadap human errors.
• Perlu menggunakan Mesin Komputer.
• Bahasa pemrograman tingkat tinggi : PASCAL, C, Python,etc.
Aplikasi komersial : MATLAB, MAPLE, etc.
9

Teorema Pendekatan
 Pada umumnya fungsi-fungsi yang bentuknya kompleks dapat
disederhanakan menjadi fungsi hampiran / pendekatan
– Biasanya dalam bentuk polinomial
 Perhitungan dengan menggunakan fungsi yang sesungguhnya akan
didapatkan hasil solusi eksak (solusi sejati)
 Perhitungan dengan menggunakan fungsi hampiran / pendekatan akan
didapatkan hasil solusi hampiran (solusi pendekatan)
 Hubungan antara nilai eksak dengan nilai hampiran dapat diberikan
dalam bentuk kesalahan absolut dan kesalahan relatif
– Kesalahan Absolut : Ee = p – p*
– Kesalahan Relatif : ε = (Ea / p) x 100%

Contoh Soal
 Pengukuran panjang jembatan dan pensil memberikan hasil 9999 cm
dan 9 cm. Apabila panjang yang benar (eksak) berturut-turut adalah
10.000 cm dan 10 cm, hitung kesalahan absolut dan relatif :
Jawab :
 Kesalahan absolut :
– Jembatan = 1 cm.
– Pensil = 1 cm.
 Kesalahan relatif :
– Jembatan = 0.01 %
– Pensil = 10 %
11

Deret Taylor & McLaurin
12

Overview
– Polynomial
– Deret Taylor
– Deret MacLaurin
13

Deret Taylor
• Metode Numerik: Pendekatan menggunakan polynomial
error.
• Jika x0 = 0  Deret MacLaurin.
14
Jika f dan semua fungsi turunannya (f’, f’’, f’’’,…) kontinyu pada interval [a, b],
maka f(x) dapat diperluas dalam deret Taylor :
Definisi :
...)(
!
)(
...)(''
!2
)(
)('
!1
)(
)()( 0
)(0
0
2
0
0
0
0 





 xf
m
xx
xf
xx
xf
xx
xfxf m
m

• Pendekatan f(x) = sin(x) menggunakan deret taylor disekitar x0
= 1. Dengan asumsi x – 1 = h;
• Pendekatan sin(x), ex, cos(x) menggunakan Deret McLaurin.
15
...)1cos(
6
)1sin(
2
)1cos()1sin()sin(
32

hh
hx
...
!6!4!2
1)cos(
...
!4!3!2
1
...
!5!3
)sin(
642
432
53



xxx
x
xxx
xe
xx
xx
x

Contoh Deret Taylor
• Cari Deret Taylor dari fungsi f(x) = sin(x) dengan titik pusat pada x = 0!
16

• Deret Taylornya
• Polinomial Taylor
17

Contoh Deret Taylor
Contoh soal
Hitung sin 5 menggunakan deret taylor
Jawab :
Sin x =
Karena 360 = 2rad, maka 1 rad = 180/  = 57,295
Jadi 5= 5 / 57,295 = 0,087266
Masukkan kedalam deret tailor sinus.
18

Contoh Deret Taylor
19

Contoh Deret Taylor
• Deret Taylornya :
• Polinomial Taylor
20

Contoh Deret Taylor
21

Deret Taylor yang Terpotong
• Kita tidak dapat menentukan semua deret Taylor –
Tak berhingga !
• Kita bisa memutuskan untuk membuat perkiraan dari
sebuah fungsi hingga n (derajat) tertentu yang tidak
tak terhingga;
• Kita sebut sebagai Truncated Taylor Series.
22

Deret Taylor yang Terpotong
Untuk menemukan suku ke n order perpotongan deret
Taylor
23
!
)(
)(
!2
)(
)())(()()(
0
0
)(
2
0
0000
n
xx
xf
xx
xfxxxfxfxf
n
n 





Contoh - Deret Taylor yang Terpotong
• Temukan deret taylor hingga order 3 dari fungsi berikut ini :
• Dengan titik pusat pada
24
)2cos()( xxf 
4
0

x

• Untuk pendekatan hingga order 3 :
• Oleh karena itu kita perlu untuk menentukan
turunan fungsi hingga turunan ketiga dari titik pusat.
25
!3
)(
)(
!2
)(
)(
))(()()(
3
0
0
2
0
0
000
xx
xf
xx
xf
xxxfxfxf






26
8
2
sin8
4
)2sin(8)(
0
2
cos4
4
)2cos(4)(
2
2
sin2
4
)2sin(2)(
0
2
cos
4
)2cos()(























































fxxf
fxxf
fxxf
fxxf

27
!3
4
8
!2
4
0
4
20)(
!3
)(
)(
!2
)(
)(
))(()()(
32
3
0
0
2
0
0
000






























xx
xxf
xx
xf
xx
xf
xxxfxfxf
3
43
4
4
2)( 













xxxf

• Diketahui suatu fungsi 𝑓 𝑥 = 𝑥3
− 10𝑥2
+ 5,
– Dengan menggunakan deret taylor order nol, satu, dua dan tiga;
perkirakan fungsi tersebut pada titik xi+1= 5 berdasarkan fungsi pada
titik xi =0.
– Bandingkan dengan nilai eksak untuk x = 5
– Berapakah nilai relative true error dari nilai hasil perkiraan dengan
nilai eksaknya?
28
Quiz

TERIMA KASIH
29

�ݺ�ߣ

01 intro taylor_series

More Related Content

01 intro taylor_series