�ݺ�ߣ

Pertemuan 1 -2:
Parameterisasi
Matematika Optimasi 1
Program Studi Teknik Industri
Fakultas Teknik
Universitas Pelita Bangsa
2024

Referensi :
1. Anton, Howard, (1997). Elementary Linear Algebra (Aljabar Linear
Elementer), Edisi kelima, Erlangga.
2. Bazara, M.S., dan Jarvis, J.J., (1990). Linear Programming and
Network Flows, 2nd edition, John Wiley & Sons
3. Taha, H.A., (1997). Operations Research, An Introdustion, 6th
edition, Prentice Hall, New Jersey.
4. Leon, (2001). Aljabar Linier dan Aplikasinya, edisi Kelima, Penerbit
Erlangga.

Pendugaan
• Proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga/
menaksir hubungan parameter populasi yg tidak diketahui
• Penduga : suatu statistik yg digunakan untuk menduga
suatu parameter
• Estimasi: Pengukuran terhadap nilai parameternya
(populasi) dari data sampel yang diketahui

Ciri-ciri Penduga Yg Baik
1. Tidak Bias (Unbiased) : apabila nilai penduga
sama dengan nilai yg diduganya
2. Efisien : apabila penduga memiliki varians yg
kecil
3. Konsisten :
a. Jk ukuran sampel semakin bertambah mk
penduga akan mendekati parameternya
b. Jk ukuran sampel bertambah tak berhingga
mk distribusi sampling penduga akan mengecil
mjd tegak lurus di atas parameter yg
sebenarnya dgn probabilitas sama dgn satu

Jenis-jenis pendugaan berdasarkan cara penyajiannya
1. Pendugaan tunggal
Pendugaan yg hanya mempunyai atau menyebutkan satu
nilai. Tidak memberikan selisih atau jarak antara nilai
penduga dengan nilai sebenarnya (parameter)
2. Pendugaan interval
Pendugaan yg memp dua nilai sbg pembatasan/ daerah
pembatasan
Digunakan tingkat keyakinan thd daerah yg nilai
sebenarnya/ parameternya akan berada.
Nilai (1-α) disebut koefisien kepercayaan
Selang kepercayaan : (1-α) x 100%
2 2
ˆ
( ) ; ( ) ; ( )
E x E S E p p
 
  

Jenis-jenis pendugaan berdasarkan
parameternya
•Pendugaan rata-rata
•Pendugaan proporsi
•Pendugaan varians

Pendugaan interval untuk rata-rata
1. Untuk sampel besar (n > 30)
a. Utk populasi tdk terbatas/ populasi
terbatas yg pengambilan sampelnya dgn
pengembalian dan σ diketahui
n
Z
X
n
Z
X




 .
. 2
/
2
/ 



Penaksiran rata-rata sampel adalah menentukan
interval nilai rata-rata sampel yang dapat memuat
parameter rata-rata populasi, jika dipakai distribusi
probabilitas normal, confedence interval untuk rata-
rata ditentukan.

• Didapat dua batas kepercayaan
1 / 2 2 / 2
ˆ ˆ
dan
x z x z
n n
 
 
 
   
z
zα/2
-zα/2 0
α/2
α/2 1‒
α/2

• Contoh: Rata-rata IP sampel acak 36 mahasiswa tingkat S-1
adalah 2.6. Hitung selang kepercayaan 95% dan 99% untuk
rata-rata IP semua mahasiswa S-1! Anggap bahwa standar
deviasi populasinya 0.3.
• Solusi:
Diketahui x-bar = 2.6; σ = 0.3; z0.025 = 1.96; z0.005 = 2.575
• Selang kepercayaan 95% untuk rata-rata IP semua mahasiswa S-I:
• Interpretasi: Dapat dipercaya sebesar 95% bahwa rata-rata IP semua
mahasiswa S-1 antara 2.50 hingga 2.70
   
0.3 0.3
2.6 1.96 2.6 1.96
36 36
2.50 2.70


   
   
   
   
 

 Selang kepercayaan 99% untuk rata-rata IP semua mahasiswa S-I:
 Interpretasi: Dengan tingkat kesalahan 1%, dapat dinyatakan bahwa
rata-rata IP semua mahasiswa S-1 antara 2.47 hingga 2.73.
--00--
• Perhatikan:
   
0.3 0.3
2.6 2.575 2.6 2.575
36 36
2.47 2.73


   
   
   
   
 
/2
x z
n


 /2
x z
n



x 
galat

b. Untuk populasi terbatas, pengambilan
sampel tanpa pengembalian dan σ diketahui
atau n/N > 5%
1
.
.
1
.
. 2
/
2
/








N
n
N
n
Z
X
N
n
N
n
Z
X






2. Untuk sampel kecil (n ≤ 30)
n
s
t
X
n
s
t
X .
. 2
/
2
/ 
  



)
1
(
)
(
1
2
2






n
n
X
n
X
s

SOAL
Sebuah perusahaan ingin mengestimasi rata-rata
waktu yang diperlukan oleh sebuah mesin yang
digunakan untuk memproduksi satu jenis kain.
Diambil secara acak 36 pis kain, waktu rata-rata yang
diperlukan untuk memproduksi 1 pis kain adalah 15
menit. Jika diasumsikan standar deviasi populasi 3
menit, tentukan estimasi interval rata-rata dengan
tingkat confidence (tingkat kepercayaan) 95% ?

JAWABAN
X (Rata-rata) = 15 menit
n = 36
Simpangan Baku = 3
Nilai standar Deviasi = = 3 : √36 = 0.5
Tingkat Kepercayaan 95%, dari tabel distribusi normal
diperoleh Ztabel = 1.96
14.02 < µ < 15.98
n


Contoh
2. Lima karyawan PT TELITI dipilih secara acak, kemudian
diukur beratnya. Datanya adalah 62, 67, 70, 65 dan 60 kg.
Buatlah pendugaan interval rata-ratanya dgn tingkat
keyakinan 99%

Pendugaan Interval Untuk Proporsi
1. Untuk sampel besar (n > 30)
a. Untuk populasi tidak terbatas
b. Untuk populasi terbatas dan pengambilan
sampel tanpa pengembalian
n
p
p
Z
p
P
n
p
p
Z
p
)
1
(
.
)
1
(
. 2
/
2
/





 

1
)
1
(
.
1
)
1
(
. 2
/
2
/










N
n
N
n
p
p
Z
p
P
N
n
N
n
p
p
Z
p 


Konsep Dasar Estimasi Interval Mean Populasi
1. Distribusi Sampling
2. Pertimbangan Lebar Interval
3. Tingkat Kepercayaan
x
x
x
z
x
z
x 

 



Tingkat Kepercayaan Skor Z Bentuk umum estimate interval
90 % 1,645
95 % 1,960
99 % 2,575
x
x
x
x
x 

 645
,
1
645
,
1 



x
x
x
x
x 

 960
,
1
960
,
1 



x
x
x
x
x 

 575
,
2
575
,
2 



: error standar dari mean
x

μx : Mean populasi
Z : nilai skor z yg ditentukan dg probabilitas estimate interval

Contoh
Sebuah peti kemas diperiksa untuk menaksir persentase
barang rusak. Untuk keperluan tersebut, diambil 60 buah
barang yang ada dalam peti dan diperoleh 9 buah rusak.
Dugalah persentase barang yang rusak. Digunakan interval
keyakinan 99 persen

n = 60
X = 9
p = 9:60 = 0.15
1- α = 99%
α = 1% = 0.01
Zα/2 = Z0.005 = 2.575

2. Untuk sampel kecil (n ≤ 30)
n
p
p
t
p
P
n
p
p
t
p
)
1
(
.
)
1
(
. 2
/
2
/





 

Sebuah Sampel sebanyak 25 buah apel, 8
diantaranya apel kualitas rusak. Dengan interval
keyakinan 95%, tentukan proporsi apel yang
rusak ?

Contoh kasus
1. Sebuah perusahaan memproduksi baut,
menggunakan mesin otomatis dengan diameter
menyebar mengikuti distribusi normal yang
standar deviasinya (populasi) 0,02 milimeter.
Diambil sampel acak empat buah baut untuk
suatu pemeriksaan, ternyata rata-rata
diameternya sebesar 24,98mm. Buatlah selang
kepercayaan dengan tingkat kepercayaan 98
persen bagi rata-rata baut.

2. Lima karyawan PT TELITI dipilih secara acak,
kemudian diukur beratnya. Datanya adalah 62,
67, 70, 65 dan 60 kg. Buatlah pendugaan interval
rata-ratanya dgn tingkat keyakinan 99%
3. Dari sampel random 400 orang yg makan siang di
restoran NIKMAT selama beberapa hari Sabtu,
diperoleh data 125 org yg menyukai makanan
tradisional. Tentukan pendugaan interval bagi
proporsi sebenarnya, orang yg menyukai makanan
tradisional utk makan siangnya pd hari Sabtu di
restoran tersebut dgn menggunakan interval
keyakinan 98%

Pendugaan interval beda
dua rata-rata
Bila ada 2 populasi masing-masing dengan rata-
rata μ1 dan μ2, varians σ1
2
dan σ2
2
, maka estimasi
dari selisih μ1 dan μ2 adalah 1 2.
x x

Sehingga,
   
1 2 1 2
2 2
1 2
1 2
x x
Z
n n
 
 
  

   

   
   

Pendugaan interval beda dua rata-rata
1. Utk sampel besar dan σ1 dan σ2
diketahui
2
1
2
1
.
)
(
)
(
.
)
( 2
/
2
1
2
1
2
/
2
1 X
X
X
X
Z
X
X
Z
X
X 







 


 

2
2
2
1
2
1
2
1
n
n
x
x


 



Contoh Soal
Diketahui nilai ujian kimia yang diberikan pada 50 siswa
putri dan 75 siswa putra mempunyai rata-rata secara
berurutan adalah 76 dan 86. Cari selang kepercayaan
96% untuk selisih μ1‒μ2. ! Anggap standar deviasi
populasi untuk masing-masing putra dan putri adalah 8
dan 6.

• Misal:
x-bar1 = 86 adl rata-rata nilai siswa putra, n1 = 75 dan σ1 = 8.
x-bar2 = 76 adl rata-rata nilai siswa putri, n2 = 50 dan σ2 = 6.
α = 0.04 → z0.02 = 2.05
Selang kepercayaan 96% bagi selisih rata-rata nilai siswa putra dengan siswa
putri adalah
   
   
2 2
1 2
2 2
1 2
8 6
86 76 2.05
75 50
8 6
86 76 2.05
75 50
3.43 8.57
 
 
   
     
   
   
   
  
   
   
  

• Interpretasi:
1. Dapat dipercaya 96% bahwa selisih rata-rata nilai ujian
kimia semua siswa putra dengan siswa putri berkisar
antara 3.43 hingga 8.57.
2. Dengan tingkat signifikansi 4%, rata-rata nilai ujian kimia
semua siswa putra lebih tinggi antara 3.43 hingga 8.57
dari nilai ujian kimia semua siswa putri.
3. Dll.

2. Utk sampel kecil dan tidak
diketahui; Selang kepercayaan (1-α)100% untuk μ1‒
μ2 ; dimana σ1
2
= σ2
2 ,
σ1
2
dan σ2
2
tidak diketahui:
2
2
2
1 
 dan
2
1
2
1
.
)
(
)
(
.
)
( 2
/
2
1
2
1
2
/
2
1 X
X
X
X
s
t
X
X
s
t
X
X 







 
 

























2
1
2
1
2
2
2
2
1
1 1
1
2
)
1
(
)
1
(
2
1
n
n
n
n
s
n
s
n
s X
X
1
1
1
1
1
2
1
1
2
1
2
1
)
1
(
)
(
1 n
X
X
dan
n
n
X
n
X
S


 




2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
1
(
)
(
1 n
X
X
dan
n
n
X
n
X
S


 





Contoh
Suatu sampel random sebanyak 12 buah, dari jenis produk
yang dihasilkan oleh suatu perusahaan mempunyai berat rata-
rata 3.11 gr dengan standar deviasi 0.771 gr. Sedangkan
sampel yang lain dari jenis produk yang dihasilkan perusahaan
lainnya berjumlah 15 buah dengan berat rata-rata 2.04 grdan
standar deviasi 0.448. Distribusi berat produk diasumsikan
berdistribusi normal, estimasilah perbedaan rata-rata tersebut
dengan tingkat kepercayaan 90 persen.

• Misal:
 x-bar1 = 3.11 adl rata-rata 1, n1 = 12, S1 = 0.771.
 x-bar2 = 2.04 adl rata-rata 2, n2 = 10, S2 = 0.448.
 Diasumsikan varians sama, maka
 α = 0.1 → t0.05
db=12+10-2 = t0.05
db=20 = 1.725
 Jadi, selang kepercayaan 90% untuk selisih rata-rata antara dua produk adalah
     
2 2
12 1 0.771 10 1 0.448
0.646
12 10 2
p
S
  
 
 
    
    
1 2
1 2
1 1
3.11 2.04 1.725 0.646
12 10
1 1
3.11 2.04 1.725 0.646
12 10
0.593 1.547
 
 
 
     
 
 
 
 
  
 
 
 
  

• Selang kepercayaan (1-α)100% untuk μ1‒μ2 ; dimana
σ1
2
≠ σ2
2 ,
σ1
2
dan σ2
2
tidak diketahui:
• dengan,
   
2 2 2 2
/2 /2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
db v db v
S S S S
x x t x x t
n n n n
 
 
 
        
   
2
2 2
1 2
1 2
2 2
2 2
1 2
1 2
1 2
1 1
S S
n n
v
S S
n n
n n
 

 
 

   
   
   

 

Dalam sebuah penelitian kadar kimia-Ortofosfor,
a5 sampel dikumpulkan dari stasion 1 dan 12 sampel diukur
dari stasion 2. ke 15 sampel dari stasion 1 mempunyai rata-
rata kadar ortofosfor 3.84 mg/l dan standar deviasi 3.07 mg/l,
sedangkan 12 sampel dari stasion 2 mempunyai rata-rata
kadar 1.49 mg/l dengan standar deviasi 0.80 mg/l. Cari selang
kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata kadar ortofosfor
sesungguhnya pada kedua stasion tersebut, anggap bahwa
pengamatan berasal dari populasi normal dengan varians
yang berbeda!
SOAL

• Misal:
 x-bar1 = 3.84 adl rata-rata kadar ortofosfor stasion 1, n1 = 15, S1 = 3.07.
 x-bar2 = 1.49 adl rata-rata kadar ortofosfor stasion 2, n2 = 12, S2 = 0.80.
 Diasumsikan varians berbeda, maka
 α = 0.05 → t0.025
db= v = t0.025
db=16 = 2.120
 Jadi, selang kepercayaan 95% untuk selisih rata-rata kadar ortofosfor di stasion1 dengan
stasion2 adalah
   
2
2 2
2 2
2 2
3.07 0.80
15 12
16.3 16
3.07 0.80
15 12
15 1 12 1
v
 
 
 
   
   
   

  

 
       
2 2 2 2
1 2
1 2
3.07 0.80 3.07 0.80
3.84 1.49 2.120 3.84 1.49 2.120
15 12 15 12
0.60 4.10
 
 
        
  

Pendugaan interval beda dua proporsi
)
(
2
/
2
1
2
1
)
(
2
/
2
1 2
1
2
1
.
)
(
)
(
.
)
( p
p
p
p s
Z
p
p
p
p
s
Z
p
p 
 





 

2
2
2
1
1
1
2
1
)
1
(
)
1
(
n
p
p
n
p
p
S P
P






Contoh: Suatu perubahan dalam cara pembuatan suku
cadang sedang direncanakan. Sampel diambil dari cara
lama maupun yang baru untuk melihat apakah cara
baru tersebut memberikan perbaiikan. Bila 75 dari 1500
suku cadang yang berasal dari cara lama ternyata cacat.
Dan 80 dari 2000 yang berasal dari cara baru ternyata
cacat. Carilah selang kepercayaan 90% untuk selisih
sesungguhnya proporsi yang baik dalam kedua cara
tersebut!

Estimasi Varians Populasi
Sangat diperlukan untuk mengetahui sejauh mana sebaran nilai
parameter sehingga dapat dijadikan untuk mengambil langkah-
langkah dalam mengendalikannya.
Misalnya: yang berkaitan dg suatu tingkat kualitas produk, diinginkan
agar bukan hanya rata-rata nilai parameternya yg memenuhi suatu
persyaratan tetapi juga konsistensi dari nilai tersebut harus bisa
terjamin.

Estimasi Varians Populasi
Estimasi interval varians populasi beebentuk:
Dimana:
= nilai kritis yg tergantung tingkat kepercayaan dan derajat
kebebasan
α = 1 – tingkat kepercayaan (sering disebut chance of error)
v = derajat kebebasan (df) = n – 1
NB : untuk menghitung diperlukan tabel distribusi
2
,
2
/
1
2
2
2
,
2
/
2
v
x
v
vs
vs

 
  


2

2
,
2
/ v



contoh
Suatu mesin pengisi gandum ke dalam kemasan dirancang
untuk bekerja mengisi gandum ke dalam kotak rata-rata
sebanyak 25 kg. Suatu pemeriksaan terhadap 15 kotak
menunjukkan bahwa deviasi standard pengisian gandum
itu adalah 0,0894 kg.
Estimasikan deviasi standard populasi dg tingkat
kepercayaan 95% !

jawab
2
14
,
975
.
0
2
2
14
,
025
.
0
)
008
,
0
(
14
)
008
,
0
(
14

  
 x
2

63
,
5
)
008
,
0
(
14
1
,
26
)
008
,
0
(
14 2

 x
0199
,
0
0043
,
0
2

 x
141
,
0
066
,
0 
 x

Contoh kasus
1. Dua jenis tambang ingin dibandingkan
kekuatannya. Untuk itu, 50 potong tambang dr
setiap jenis diuji dlm kondisi yg sama. Jenis A
memiliki kekuatan rata-rata 87,2 kg dgn
simpangan baku 6,3 kg, sedangkan jenis B
memiliki kekuatan rata-rata 78,3 kg dgn
simpangan baku 5,6 kg. Buatlah pendugaan
interval beda dua rata-rata dgn interval
keyakinan 94%

2. Suatu sampel random sebanyak 300 org
dewasa dan 400 remaja yg pernah menyaksikan
sebuah acara di RCTI diketahui bahwa 125 org
dewasa dan 250 remaja menyatakan suka pd
acara tsb. Berapa beda proporsi dr seluruh org
dewasa dan remaja yg menyukai acara tsb bl
digunakan tingkat keyakinan 90%

3. Data berikut berupa masa putar film yg diproduksi
dua perusahaan film
Masa Putar (menit)
Perusahaan I 103 94 110 87 98
Perusahaan II 97 82 123 92 175 88 118
Buatlah pendugaan interval bagi beda dua
rata-rata masa putar film-film yg
diproduksi oleh dua perusahaan tsb dgn
menggunakan interval keyakinan 98%

Terimakasih
Teguh Sri Ngadono, MT.

�ݺ�ߣ

02. Matematika Optimasi 1_ Pengolahan Data.pptx

Recommended

More Related Content

Similar to 02. Matematika Optimasi 1_ Pengolahan Data.pptx (20)

Recently uploaded (7)

02. Matematika Optimasi 1_ Pengolahan Data.pptx