�ݺ�ߣ

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑
∑ §3: Ma trận nghịch đảo
 Ta xét hệ phương trình:
2 3 8 2 3 8
5 7 1 5 7 1
x x y
y x y
+ =      
= ⇔       + =      
Hệ phương trình trên có thể viết ở dạng
ma trận: A X=B. Câu hỏi đặt ra là X = ?

TuÊn
∑
)0(.
1 1
≠=== −
abab
aa
b
x
1
.AX B X A B−
= ⇔ =
Xét phương trình: a x = b.
Ta có:
Tương tự lập luận trên thì liệu ta có thể có
như vậy là ma trận sẽ được định nghĩa
như thế nào?
1−
A

TuÊn
∑
bax
bax
baaxa
bxa
1
1
11
1
−
−
−−
=⇔
=⇔
=⇔
=
1 1
1
1
A X B
A A X A B
I X A B
X A B
− −
−
−
=
⇔ =
⇔ =
⇔ =
Ta để ý:
Phải chăng ?1
IAA =−

TuÊn
∑

TuÊn
∑
Nhận xét:

TuÊn
∑
 Ví dụ: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau:
1 2 3
2 4 0
4 5 7
A
 
 = − 
 − 
11A = 28
12A = 14
13A = -6
21A = -29
22A = -5
23A = 13
31A = -12
32A = -6
33A = 8
11 21 31
12 22 32
13 23 33
A
A A A
P A A A
A A A
   
   = =   
      

TuÊn
∑
 Bài tập: Tìm ma trận phụ hợp của ma trận sau:
2 0 0
5 1 0
3 4 1
A
 
 =  
 − 
11A = -1
12A = 5
13A = 17
21A = 0
22A = -2
23A = -8
31A = 0
32A = 0
33A = 2
11 21 31
12 22 32
13 23 33
A
A A A
P A A A
A A A
   
   = =   
      

TuÊn
∑
1 2 3 28 29 12
2 4 0 14 5 6
4 5 7 6 13 8
AAP
− −   
   = − − −   
   − −   
38 0 0
0 38 0
0 0 38
 
 =  
  
Ví dụ:
1 0 0
38 0 1 0
0 0 1
 
 =  
  

TuÊn
∑
 Ví dụ:
1
28 29 12
1
14 5 6
38
6 13 8
A−
− − 
 = − − 
 − 

TuÊn
∑
 Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
sau: 1 2 3
0 1 4
0 0 1
A
 
 =  
 − 
det( ) 1A = −
1 2 5
0 1 4
0 0 1
− 
 − − 
  
1 2 5
0 1 4
0 0 1
− − 
 
 
 − AP =
1
A−
=

TuÊn
∑
 Ví dụ: Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
sau:
2 6
1 4
A
 
=  
 
det( ) 2A =
4 6
1 2
− 
 − 
1
2
2 34 61
11 22
−−   
=    −−   
AP =
1
A−
=

TuÊn
∑
 Bài tập: Tìm ma trận nghịch đảo của ma
trận sau:
0 2 3
1 0 1
4 5 0
A
 
 = − 
  
1
det( ) ? 1
? det( )
A
A
A
A P
P A
−
= 
⇒ =
= 

TuÊn
∑
 Đáp số:
1
5 15 2
1
4 12 3
7
5 8 2
A−
− 
 = − − 
 − 

TuÊn
∑
 Bài tập: Tìm ma trận nghịch đảo của ma
trận sau:
2 5
1 2
A
 
=  
 
Chú ý: Đối với ma trận vuông cấp 2
A
a b d b
A P
c d c a
−   
= ⇒ =   −   
Đáp số: 1 2 5
1 2
A− − 
=  − 

TuÊn
∑
Bài toán:Bài toán: Tìm ma trận X thỏa mãnTìm ma trận X thỏa mãn
1)1) AX = BAX = B
2)2) XA = BXA = B
3)3) AXB = CAXB = C
4)4) AX + kB = CAX + kB = C

TuÊn
∑
 Ta có:
1
-1 -1
-1
1) AX=B A AX=A
IX=A
B
A
B
X B−
=
⇔
⇔
⇔
1 1
1
1
2) XA B XAA BA
XI BA
X BA
− −
−
−
= ⇔ =
⇔
=
=
⇔ 1
A B−
≠

TuÊn
∑
 Ta có:
-1 -1
-1 -1
1 1
1
3) AXB=C A AXB=A
XBB =A
X A
B
CB
C
C
−
−
−
=
⇔
⇔
⇔
1
1 1
(
4 ( )
( )
)
) AX kB C AX C kB
A AX A C kB
X A C kB
−
−
−
+ = ⇔ = −
⇔ = −
⇔ = −

TuÊn
∑
 Ví dụ: Dùng ma trận nghịch đảo giải hệ
phương trìnhsau:
2 6
3 2 1
4 3 5 5
x y z
x y z
x y z
+ − =

− + = −
 + + =
1 2 1 6
3 1 2 1
4 3 5 5
x
y
z
−     
     ↔ − = −     
          
1
2
1
X
 
 ⇒ =  
 − 
1
AX B X A B−
= ⇔ =

TuÊn
∑
 Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa mãn:
1 2 3 1 5
0 1 4 0 4
0 0 1 2 3
X
   
   =   
   −   
Phương trình có dạng: AX=B
1
X A B−
=Ta có:

TuÊn
∑
1 2 5 1 5
0 1 4 0 4
0 0 1 2 3
X
− −   
   =    
   −   
9 18
8 16
2 3
− − 
 =  
 − − 
Vậy

TuÊn
∑
1 3 1 1 2 3
2
2 4 2 0 0 5
X
− −     
+ =     
     
2XA B C+ =
 Ví dụ: Tìm ma trận X thỏa mãn:
Phương trình có dạng
1
( 2 )X C B A−
⇔ = −

TuÊn
∑
 Ta có
1
( 2 )X C B A−
= −
1 4 3 0 11
; 2
2 1 4 52
A C B− − −   
= − − =   − −   
0 1 4 3 0 1 4 31 1
( )
4 5 2 1 4 5 2 12 2
X
− − − −       
= − = −       − − − −       
Với nên
1
2
17
2
12 11
1326 172
−−   
= − =    −−   

TuÊn
∑
1 3 2 2 2
0 4 2 0 4
5 0 3 8 6
X
− −   
   =   
   − −   
AX B=
 Bài tập: Tìm ma trận X thỏa mãn:
1
X A B−
⇔ =

TuÊn
∑
2 4 2 7 4 8
3 5 1 3 2 0
X
     
=     −     
AXB C=
 Bài tập: Tìm ma trận X thỏa mãn:
1 1
X A CB− −
⇔ =

�ݺ�ߣ

03 matrannghichdao

More Related Content

03 matrannghichdao