�ݺ�ߣ

Gi¶ng viªn: Phan §øc
TuÊn
Đại Số Tuyến Tính
∑
∑ §4: Hạng ma trận
 Một hệ phương trình tuyến tính luôn xảy ra
một trong 3 khả năng sau:
1. Hệ vô nghiệm.
2. Hệ có nghiệm duy nhất.
3. Hệ có vô số nghiệm.
Vấn đề đặt ra là nhờ vào đâu để ta biết hệ
phương trình ấy rơi vào trường hợp nào?

TuÊn
∑
 Để giải quyết vấn đề này người ta đưa ra
khái niệm “Hạng ma trận”.
 Nhờ sự so sánh ��ạn�� của ma trận hệ số của
hệ phương trình và ��ạn�� của ma trận hệ số
mở rộng (có cả vế phải) thì ta sẽ biết được
hệ phương trình đang xét rơi vào trường hợp
nào.

TuÊn
∑

TuÊn
∑
 Ví dụ:
1 2 3 4
2 4 6 8
3 5 7 9
A
 
 =  
  
12
12A =1 2
2 4
 
 
 
24
12A =
2 4
4 8
 
 
 
234
123A =
2 3 4
4 6 8
5 7 9
 
 
 
  

TuÊn
∑
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
O
 
 =  
  
[ ]2
1 0A =
24
13
0 0
0 0
A
 
=  
 

TuÊn
∑
a b c d
A
x y z t
 
=  
 

TuÊn
∑
a b c
A x y z
u v w
 
 =  
  
A có duy nhất 1 định
thức con cấp 3 và đó
là định thức con có
cấp lớn nhất

TuÊn
∑
11 12 1 1
22 2 2
... ...
0 ... ...
.. .. ... .. ... ..
0 0 ... ...
0 0 ... 0 ... 0
... ... ... ... ... ...
0 0 ... 0 ... 0
r n
r n
r r r n
a a a a
a a a
a aA
 
 
 
 
 
=  
 
 
 
 
 
11 12 1
22 212..
12..
..
0 ..
.. .. .. ..
0 0 ..
r
rr
r
rr
a a a
a a
A
a
 
 
 =
 
 
 
Các MT con cấp > r
chứa ít nhất 1 hàng = 0

TuÊn
∑
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
...
...
... ... ... ... ...
...
n
n
n n nn n
a a a b
a a a b
a a a b
 
 
 
 
 
 
11 12 1 1
22 2 2
...
0 ...
... ... ... ... ...
0 0 ...
n
n
nn n
a a a b
a a b
a b
 
 
 
 
 
 
“Sử dụng các phép biến
đổi sơ cấp trên ma trận”Chú ý:

TuÊn
∑
 Một vấn đề đặt ra là:
biến đổi sơ cấp
 A B (có dạng hình thang)
 Khi đó: r(A) = r(B)?
det( ) det( ).
det( ) det( ).
det( ) det( ).
i
i j
i j
h
h h
h h
A B B A
A B B A
A B B A
λ
λ
λ
↔
+
→ ⇒ =
→ ⇒ = −
→ ⇒ =
Chú ý:

TuÊn
∑
1 3 2 0 1 4
0 3 3 4 0 1
0 0 5 8 9 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
A
− 
 
 
 = −
 
 
  
Ví dụ: Tìm ��ạn�� ma trận:
( ) 3r A⇒ =

TuÊn
∑
∑
 Ví dụ: Tìm ��ạn�� của ma trận:
2 1( 2)
1 1 2 0 1 1 2 0
2 1 1 3 0
4 5 2 1
1 7 3 2
h h+ −
   
   −   →
   − −
   
−   
-5 3?-1
03 14h h+
9 10 -1
0
4 11h h+
8 5 2
§4: Hạng ma trận

TuÊn
∑
2 1
3 1
4 1
( 2)
4
1
1 1 2 0 1 1 2 0
2 1 1 3 0 1 5 3
4 5 2 1 0 9 10 1
1 7 3 2 0 8 5 2
h h
h h
h h
+ −
+
+
   
   − − −   →
   − − −
   
−   
1 1 2 0
0 1 5 3
0 0
0
 
 − − →
 
 
 
3 29h h+
-35 26
0
4 28h h+
-35 26
4 3( 1)
1 1 2 0
0 1 5 3
0 0 35 26
0 0 0 0
h h+ −
 
 − − →
 −
 
 

TuÊn
∑
 Bài tập: Tìm ��ạn�� của ma trận sau:
3 14h h−
1 2 1 0
2 3 0 5
4 1 2 0
3 0 5 7
− 
 
 
 
 
− 
1 2 1 0
0
0
0
− 
 
 →
 
 
 
2 12h h−
4 13h h+
-1 2 5

TuÊn
∑
 Ví dụ: Biện luận theo m ��ạn�� của ma trận
sau:
1 5 6
0 4 7
0 0
A
m
 
 =  
  0
 r(A) = 2
 r(A) = 30m ≠
0m =

TuÊn
∑
 Ví dụ: Biện luận theo m ��ạn�� của ma trận
sau:
2
1 9 0 7
0 2 4 8
0 0 ( 1) ( 1)
0 0 0 0
B
m m
 
 
 =
 − −
 
 
1m =
0 0
( ) 2r A⇒ =
1m = − ( ) 3r A⇒ =
1m ≠ ± ( ) 3r A⇒ =

TuÊn
∑
 Bài tập: Biện luận theo m ��ạn�� của ma trận
sau:
1 2 2
2 1
1 4 5
A m
− 
 =  
 − 
2 3
2 3
1 2 2
1 5 4
2 1
h h
c c
m
↔
↔
− 
 → − 
  

TuÊn
∑
1 2 2
... 0 3 6
0 0 3 42m
− 
 → →  
 − 
 r(A) = 2
 r(A) = 33 42 0 14m m− ≠ ⇔ ≠
3 42 0 14m m− = ⇔ =

TuÊn
∑
 Bài tập: Biện luận theo a, b ��ạn�� của ma
trận sau:
1 2 0 1
2 1 3 0
0 3
3 3 3 1
A
a b
− 
 
 =
 
 
− 
3 4h h↔
→

�ݺ�ߣ

04 hangmatran

More Related Content

04 hangmatran