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선형대수 05. 열벡터공간

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한양대 이상화 교수님 <선형대수> KOCW 5강. 벡터공간과 열벡터공간 강의 정리 노트

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Linear Algebra 5. Vector Space and Column Space 한양대 이상화 교수님 <선형대수> http://www.kocw.net/home/search/kemView.do?kemId=977757
이번 장의 목표 • 𝐴𝑥 = 𝑏 라는 연립방정식을 푸는 과정을 봤을 때, 이제까지는 모두 𝑛 × 𝑛의 정사각 행렬로 표현되는 행렬 A를 가정했다면, 여기서는 식의 개수가 미지수의 개수보다 적은 경우를 가정한다. • 우리는 중학교에서 연립방정식을 배울 때, N개의 미지수가 있다면 최소한 N개의 식이 있어야 풀 수 있다고 배웠다. 이는 𝑛 × 𝑛의 정사각 행렬인 경우만 표현한 것이다. • 𝑚 × 𝑛 행렬에서 m ≤ 𝑛이라면 표현해야 하는 미지수보다 식의 개수가 적기 때문에 Non-Singular한 상황은 나오지 않을 것이다.  결국 Singular : 해가 없거나, 해가 무수히 많은 경우  해가 무수히 많은 경우에, 중학생처럼 ‘해가 무수히 많다’고 답을 적는 게 아니라, 미지수 간의 관계식을 찾아 표현해보자. A x b=
Vector Spaces • x와 y가 덧셈과 Scalar 곱에 닫혀있을 때, 이를 벡터 공간이라고 한다.  • 벡터 공간의 조건을 만족하는 부분집합(Subset)을 Subspace(부분 공간)이라고 한다.  For any vectors 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑹 𝒏 , for any scalar 𝒄 ∈ 𝑹, 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑉 𝑐𝑥 ∈ 𝑉 ↓ 𝑐1 𝑥 + 𝑐2 𝑦 ∈ 𝑉 Then, V is a vector space For any vectors 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑺𝒖𝒃𝒔𝒑𝒂𝒄𝒆, 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑆𝑢𝑏𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒 𝑐𝑥 ∈ 𝑆𝑢𝑏𝑠𝑝𝑎𝑐𝑒  벡터 공간과 부분공간은 반드시 원점을 포함해야 한다.  원점이 없으면 Linear Combination 성립X  원점은 가장 작은 부분 공간이다.
Column Space of A : C(A) • 다시 𝐴𝑥 = 𝑏로 돌아와서, 행렬 𝐴의 열벡터들의 모든 Linear Combination의 집합을 행렬 A의 ‘열벡터공간’ 𝑪(𝑨) 라고 한다. 𝐴𝑥 = 𝑏 → ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎 𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥 𝑛 = 𝑏1 𝑏2 ⋮ 𝑏 𝑛 𝒂 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒂 𝟐 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒂 𝒏 𝒙 𝒏 = 𝒃 • 𝑪(𝑨)은 몇 차원으로 표현될까?  𝑪 𝑨 ⊂ 𝑹 𝒎 행렬 𝑨가 𝒎 × 𝒏이기 때문에 각 열이 𝑚차원 벡터로 표현된다. ‘행렬 A 열벡터들의 Linear Combination이 b와 같다’는 의미
연립방정식과 열벡터공간 • 열벡터공간이 연립방정식이랑 도대체 무슨 관계라는 것이냐… 𝐴𝑥 = 𝑏 → ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎 𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥 𝑛 = 𝑏1 𝑏2 ⋮ 𝑏 𝑛 → 𝒂 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒂 𝟐 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒂 𝒏 𝒙 𝒏 = 𝒃 • 방정식을 푼다는 것은 𝐴의 열벡터의 조합으로 𝑏를 만들 수 있는 계수 𝑥1, …, 𝑥 𝑛을 찾는 것, • 그런데 𝑏가 애초에 𝐴의 열벡터의 조합으로 만들어 질 수 없는 벡터라면? 다시 말해, 𝑏가 𝐶(𝐴) 에 포함되지 않는다면, 해당 연립방정식은 해가 없는 것이다. • 𝑨𝒙 = 𝒃 is solvable if and only if 𝒃 can be expressed as a combination of the columns of 𝑨. Then 𝑏 is in the 𝐶(𝐴).
Column Space C(A) • 𝑨𝒙 = 𝒃 에서 𝑨의 역행렬이 존재한다면, 당연히 해는 존재하고, 𝑥 = 𝐴−1 𝑏이다 (해가 하나일지, 여러 개 일지는 상황에 따라 다르겠지만). • 해가 존재한다는 것은 𝒃 ∈ 𝑪(𝑨)을 의미한다. • 이 경우 𝑪(𝑨)를 Whole Space라고 하는데, m차원 평면 전체를 𝑪(𝑨)로 표현할 수 있다 (𝒃가 어떤 값이든 𝑪(𝑨)에 포함된다는 의미이므로!) • 𝑏 가 𝐶(𝐴) 에 포함되기 때문에, 벡터 공간의 정의에 부합한다. • If b and b’ lie in the column space : 𝐴 𝑥 + 𝑥′ = 𝑏 + 𝑏′  closed under addition • If b lies in the column space : 𝐴 𝑐𝑥 = 𝑐 𝐴𝑥 = 𝑐𝑏  closed under scalar multiplication

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  • 4. Column Space of A : C(A) • 다시 𝐴𝑥 = 𝑏로 돌아와서, 행렬 𝐴의 열벡터들의 모든 Linear Combination의 집합을 행렬 A의 ‘열벡터공간’ 𝑪(𝑨) 라고 한다. 𝐴𝑥 = 𝑏 → ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎1 𝑎2 ⋯ 𝑎 𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥 𝑛 = 𝑏1 𝑏2 ⋮ 𝑏 𝑛 𝒂 𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒂 𝟐 𝒙 𝟐 + ⋯ + 𝒂 𝒏 𝒙 𝒏 = 𝒃 • 𝑪(𝑨)은 몇 차원으로 표현될까?  𝑪 𝑨 ⊂ 𝑹 𝒎 행렬 𝑨가 𝒎 × 𝒏이기 때문에 각 열이 𝑚차원 벡터로 표현된다. ‘행렬 A 열벡터들의 Linear Combination이 b와 같다’는 의미
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