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第 9章用 MATLAB 求二元泰勒展开式
1 级数求和
命令
S=symsum(u,t,a,b)
b

的功能是计算级数和 S= ∑ u 。其中 u 是包含符号变量 t 的表达式，是待求和级数的通项。当
t=a

u 的表达式中只含一个变量时，参数 t 可省略。
例 9.11.1 判断下列级数是否收敛，如收敛则求其和：
∞ ∞ ∞
1 1 x2
∑ n ， ∑ n2 ， ∑ (1 + x 2 )n
n =1 n =1 n =0

解创建符号变量 n 和 x,用 symsum 命令计算各级数的和：
syms n x ↙
symsum(1/n,1,inf) ↙
ans=
inf
∞
1
知级数 ∑ 发散至无穷大。
n n =1

symsum(1/n^2,1,inf) ↙
ans=
1/6*pi^2
∞
1 π2
知级数 ∑ 2 收敛，且其和为
n =1 n 6

∞
x2
对级数 ∑ 2 n ，由于其通项中包含两个变量 x 和 n，故使用 symsum 命令时须指定求
n = 0 (1 + x )

和变量是 n：
un=x^2/(1+x^2)^n; ↙
symsun(un,n,0,inf) ↙
ans=
1+x^2
得和函数为 1+x^2
对有些级数， symsum 命令不能求得其和，从而也无法得知其敛散性。此时，可使用
MATLAB 的数值计算功能进行处理。
∞
1
例 9.11.2 试求级数 ∑ ln(1 + 2
) 的和
n
n =1

解用 symsum 命令求解：
syms n ↙
symsum(log(1+1/n^2),1,inf) ↙

ans=
sum(log(1+1/n^2),n=1..inf)
此结果表示 symsum 命令不能求得其和。我们转而采用数值方法计算部分和
n
1
S n = ∑ ln(1 + ) m
k =1 k 2 。将下面的程序存入一个文件中：

clear all
n=9000; %部分和的项数
Sn=0;
for k=1:n
Sn= Sn+log(1+1/k^2);
end
fprintf(‘Sn=%f,(n=%d)’, Sn,n)
执行该程序，显示结果为
Sn=1.301735，（n=9000）
再对程序中的变量 n 分别赋值 n=9000 ，n=900000 ，n=9000000 并执行程序，得计算结果为：
Sn=1.301835，（ n=9000 ）
Sn=1.301845，（ n=900000）
Sn=1.301846，（ n=9000000）
由此看出，随着 n 增大，Sn 趋于 1.30185。故知该级数收敛，且其和约为 1.30185
2．泰勒级数展开
泰勒级数展开命令是 taylor,其调用格式为
r=taylor(f,n,x,a).
该命令的功能是将符号函数 f 展开成（x-a）的 n-1 阶泰勒多项式。其中 x 是待展开的符号变
量，其缺省值为最接近 x 的字母。n 的缺省值为 n=6,a 的缺省值为 a=0。
x
例 9.11.3 将分别展开为 x 和 x-1 的幂级数。
1 + x2

解首先创建符号变量 x 及函数 f：
syms x ↙
f=x/sqrt(1+x^2); ↙
计算对于 x 展式的前 8 项：
taylor(f,8)
ans=
x-1/2*x^3+3/8*x^5-5/16*x^7
计算对于 x-1 展式的前 3 项：
taylor(f,3,x,1) ↙
ans=
1/2*2^(1/2)+1/4*2^(1/2)*(x-1)-16/3*2^(1/2)*(x-1)/2
x 2 2 3 2
即 = + ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 + ... 。
1+ x 2 2 4 16

3．傅里叶级数展开

到目前为止，MATLAB 中还没有专门计算傅里叶展开式的命令。但根据尤拉-傅里叶公式,
用 int 命令很容易算出傅里叶级数的系数：
syms n x
a0=int(f,-pi,pi)/pi
an= int(f*cos(n*x),-pi,pi)/pi
bn=int(f*sin(n*x),-pi,pi)/pi
其中 f 为含符号变量 x 的待展开函数。
类似可得，对周期为 2l 的函数，计算其傅里叶系数的命令为
a0=int(f,-l,l)/l
an= int(f*cos(n*pi*x/l),-l,l)/l
bn=int(f*sin(n*pi*x/l),-l,l)/l.
?0, ?2 ≤ x < 0,
例 9.11.4 用 MATLAB 求 f ( x) = ?k , 0 ≤ x < 2, (常数k ≠ 0) 的傅里叶展开式。
?
解
syms k n x ↙
a0=int(k,x,0,2) ↙
a0=
k
an=int(k*cos(n*pi*x/2),x,0,2)/2 ↙
an=
sin(n*pi)*k/n/pi
bn= int(k*sin (n*pi*x/2),x,0,2)/2 ↙
bn=
-k*(cos(n*pi)-1)/n/pi
n
注意 MATLAB 不能把 sin（n*pi）化为 0，也不能把 cos（n*pi）化为(-1)

例 9.11.5 本例中的程序演示了用正弦波迭加逼近方波的过程。取例 9.11.4 中所得傅里叶级数

的前 m 项作和，记为 S m 这是 m 个正弦波的合成波。执行下面程序可观察到，随着 m 逐渐

增大， S m 的波形逐渐逼近 f(x)（周期性延拓后）的波形，图 1 与图 2 分别是该程序执行中

当 m=3 和 m=6 时的快照
m = 40;
k = 1;
syms x
hold on
Sm = k/2;
for n = 1:m
fn = 2*k*sin((2*n-1)*pi*x/2)/(2*n-1)/pi;
Sm = Sm + fn;
clf
subplot(2,1,1)
ezplot(fn,[-6,6])

subplot(2,1,2)
ezplot(Sm,[-6,6])
if n<6
pause
else
pause(5/n)
end
end
图1

图2

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