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확률과 통계 1.확률이론
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- 2. 순열과 조합 순열 (Permutation) n개 원소의 r-순열 순서가 부여된 임의의 집합을 다른 순서로 뒤섞는 연산 P(n,r) -> 서로 다른 n개의 원소 중 r개를 뽑아 한 줄로 세우는 경우의 수 P(n,r) = n!/(n-r)! 중복순열 서로 다른 원소 중 중복을 허용하여 r개를 뽑아 한 줄로 나열하는 경 우의 수 n 푟 = 푛푟
- 3. 순열과 조합 조합(Combination) 집합에서 일부 원소를 취해 부분집합을 만드는 것 C(n,r) -> 이항계수 : n개 원소에서 r개의 부분집합을 고르는 조합의 경우 의 수 C(n,r) = 푛! 푟!∗ 푛−푟 ! 중복조합 중복을 허락하여 r개를 뽑는 경우의 수 푛퐻푟 = 퐶(푛 + 푟 − 1, 푟)
- 4. 표본공간과 확률 표본공간 어떤 실험의 표본공간 S는 일련의 모든 가능한 실험 결과의 집합이다. * 벤 다이어그램 : 표본공간을 2차원으로 표현한 그림 * 상태공간 : 숫자로 구성된 표본공간 예) 6면 주사위를 던지는 실험에서 표본 공간은 {1,2,3,4,5,6} 이다.
- 5. 사건 사건과 여사건 사건(event) : 표본공간 S의 부분집합, 사건 A의 확률 P(A)는 사건 A에 속 하는 결과들의 확률 총합이다. 여사건(complement event) : 사건 A에 속하지 않는 표본공간 내 다른 모 든 결과들의 집합 P(A) + P(A’) = 1 예) 사건 A = {주사위 짝수}, A’ = {주사위 홀수}
- 6. 사건 합사건 (퐀 푩) 사건 A와 B중 적어도 한 사건이 발생하는 경우 P A 퐵 = 사건 A또는 B에 속하는 결과들의 확률의 합 곱사건 (퐀 푩) 사건 A와 B의 교집합, 두 사건에 동시에 포함되는 결과들 P(A 퐵) = 두 사건 A와 B가 동시에 발생할 확률 배반사건 (퐀 푩 = ∅) 공통의 결과가 없는 A사건과 B사건의 경우 사건 A와 B는 상호 배반(배 타적)사건이라 한다 배반사건일 때 P 퐀 푩 = 푷 푨 + 푷(푩)
- 7. 사건 표본공간 분할 사건 A1,A2…An에 대해 1. 임의의 Ai, Aj에 대해 서로 배반사건이고 2. A1 U A2 U … U An = S(표본공간) 일 때 A1, A2 …An 은 표본공간을 분할한다. 예) 주사위를 굴렸을 때의 표본공간 S에 대해 사건 A1 = {짝수 눈}, A2 = {홀수 눈} A1,A2는 표본공간 S를 분할한다
- 8. 조건부확률과 분할표 조건부확률 사건 B가 발생했다는 조건 하에 사건 A가 발생할 확률 : 어떤 결과가 B안에 포함되고 있다면 그 결과가 사건 A안에 포함될 확 률 푃 퐴 퐵 = 푃(퐴 퐵) 푃(퐵) * 사건 퐴 퐵 의 표본공간이 사건 퐵의 발생으로 좁혀졌다고 보면 됨 예) A와 B가 상호배반일 때 푃 퐴 퐵 = 푃(퐴 퐵) 푃 퐵 = 0 푃(퐵) = 0
- 9. 조건부확률과 분할표 확률의 곱셈의 법칙 조건부 확률로부터 두 사건의 교집합은 다음과 같이 계산 가능하다 푃 퐴 퐵 = 푃(퐵) ∗ 푃 퐴 퐵 일련의 사건 A1, A2, … An의 교집합의 확률은 푃 퐴1 … 퐴푛 = 푃 퐴1 ∗ 푃 퐴2 퐴1 ∗ 푃 퐴3 퐴1 퐴2 … ∗ 푃 퐴푛 퐴1 … 퐴푛 − 1
- 10. 조건부확률과 분할표 독립사건 두 사건 A와 B는 P 퐴 퐵 = 푃(퐴) 일 때 상호독립사건이라고 한다. 두 사건이 상호 독립이라는 의미는 한 사건에 대한 정보가 나머지 다른 사건의 확률에 영향을 주지 않음을 나타낸다. * B가 일어났을 경우에 A가 일어날 확률에 변화가 없음을 뜻함 : 두 사건이 다른 레이어에 있음 * 반대로 사건 A가 일어날 확률도 B가 일어날 확률에 영향을 주지 않는다. 일련의 독립사건 A1, A2, … An의 교집합의 확률은 푃 퐴1 … 퐴푛 = 푃 퐴1 ∗ 푃 퐴2 ∗ ⋯ ∗ 푃 퐴푛
- 11. 조건부확률과 분할표 분할표 두개의 사건에 대한 확률 표 A A’ 첫번째 두번째 B ¼ ¼ B’ ¼ ¼ * 주사위를 두번 던졌을 때 결과가 짝수/홀수일 확률
- 12. 사후확률 전체 확률의 법칙(Law of Total Probability) A1, … , An이 표본공간 S를 분할할 때, 표본공간 S내의 사건 B의 확률은 조건부 확률 P(B|Ai)의 가중평균으로부터 구할 수 있다. 이때 가중치는 P(Ai)가 된다. P(B) = P(A1 B) + P(A2 B) + … + P(An B) = 푃(퐴)푃 퐵 퐴1 + 푃(퐴)푃 퐵 퐴2 + … + 푃(퐴)푃 퐵 퐴푛 * 가중치 : 각 항의 중요도에 비례하는 계수 * 가중평균 : 각 항의 수치에 가중치를 곱한 다음 산출한 평균
- 13. 사후확률 사전확률 관측자가 관측을 하기 전에 가지고 있는 확률 분포를 의미, 푃 퐴 , 푃 퐵 퐴푗 =사건 A의 사전확률 사후확률 사건 B가 발생했을 때 Ai에 속할 확률 푃 퐴푖 퐵 푃 퐴푖 퐵 = 푃(퐴푖 퐵) 푃 퐵 = 푃 퐴푖 ∗ 푃(퐵|퐴푖) 푗 푃 퐴푗 ∗푃(퐵|퐴푗)