1. HAKEKAT MATEMATIKA.ppt
- 2. KOMPETENSI YANG DIHARAPKAN Setelah sesi ini diharapkan Anda dapat memahami : 1. pengertian matematika yang tidak tunggal, 2. karakteristik matematika, dan 3. matematika dalam pendidikan
- 3. MATEMATIKA DAN KITA Apa manfaat matematika dalam kehidupan sehari-hari? Matematika, apa dan bagaimana?
- 4. APAKAH MATEMATIKA ITU? Matematika adalah bahasa simbol Matematika adalah bahasa numerik Matematika adalah bahasa yang dapat menghilangkan sifat kabur,majemuk, dan emosional Matematika adalah berpikir logis Matematika adalah sarana berpikir Matematika adalah logika pada masa dewasa Matematika adalah ratunya ilmu sekaligus pelayannya
- 5. Matematika adalah sains mengenai kuantitas dan besaran Matematika adalah suatu sains yang bekerja menarik kesimpulan2 yang perlu Matematika adalah sains formal yang murni Matematika adalah sains yang memanipulasi simbol Matematika adalah ilmu tentang bil. & ruang Matematika adalah ilmu yang mempelajari hub pola, bentuk, dan struktur Matematika adalah ilmu yang abstrak dan deduktif
- 6. Matematika adalah cabang ilmu pengetahuan eksak dan terorganisir secara sitematik Matematika adalah pengetahuan tentang bilangan dan kalkulasi Matematika adalah pengetahuan tentang penalaran logik berhub dg bilangan Matematika adalah pengetahuan tentangfakta2 kuantitatif dan msalah tentang ruang dan bentuk Matematika adalah pengetahuan tentang struktur2 yang logik Matematika adalah pengetahuan tentang aturan2 yang ketat Matematika adalah aktifitas manusia
- 7. JADI, APA ITU MATEMATIKA ? TIDAK TERDAPAT SATU DEFINISI TENTANG MATEMATIKA YANG TUNGGAL DAN DISEPAKATI OLEH SEMUA TOKOH ATAU PAKAR MATEMATIKA
- 8. PENGERTIAN ETIMOLOGI Matematika manthanein atau mathema, belajar atau hal yang dipelajari Matematika wiskunde, ilmu pasti Matematika adalah ilmu pengetahuan yang diperoleh dengan bernalar
- 9. Ciri utama matematika adalah penalaran deduktif, yaitu kebenaran suatu konsep atau pernyataan diperoleh sebagai akibat logis dari kebenaran sebelumnya sehingga kaitan antar konsep atau pernyataan dalam matematika bersifat konsisten. Namun demikian, pembelajaran dan pemahaman konsep dapat diawali secara induktif melalui pengalaman peristiwa nyata atau intuisi.
- 10. Proses induktif-deduktif secara bersama- sama dapat digunakan dalam mempelajari konsep matematika Penerapan cara kerja matematika diharapkan dapat membentuk sikap kritis, kreatif, jujur, dan komunikatif Keabstrakan obyek2 matematika perlu diwujudkan secara lebih kongkrit
- 11. KARAKTERISTIK MATEMATIKA 1. Memiliki obyek abstrak 2. Bertumpu pada kesepakatan 3. Berpolapikir deduktif 4. Memiliki simbol yang kosong dari arti 5. Memperhatikan semesta pembicaraan 6. Konsisten dalam sistemnya
- 12. MEMILIKI OBYEK ABSTRAK Obyek dasar mat adalah abstrak dan disebut obyek mental, obyek pikiran, yaitu : a. FAKTA b. KONSEP c. OPERASI / RELASI d. PRINSIP
- 13. FAKTA berupa konvensi2 yang diungkap dg simbol tertentu 3 dipahami sbg bilangan tiga 2+4 dipahami sbg dua tambah empat // bermakna sejajar (a,b) sebagai pasangan berurutan atau dalam kalkulus sebagai interval terbuka
- 14. KONSEP adalah ide abstrak yg dapat digunakan untuk menggolongkan sejumlah obyek. Apakah obyek tertentu merupakan contoh konsep ataukah bukan. Segitiga, Bilangan asli fungsi, variabel, konstanta, matriks, vektor, group, dan ruang metrik
- 15. DEFINISI adalah ungkapan yang membatasi suatu konsep 1. Trapesium adalah segiempat yang sepasang sisinya sejajar (definisi analitik) 2. Segiempat yang tejadi jika sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis yg sejajar salah satu sisinya adl trapesium (definisi generik)
- 16. OPERASI adalah pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar, dan pengerjaan matematika yang lain. penjumlahan, perkalian, gabungan, irisan. OPERASI adalah suatu relasi khusus, karena operasi adalah aturan untuk memperoleh elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang diketahui Operasi unair, operasi biner, dll
- 17. PRINSIP adalah obyek matematika yang kompleks. Prinsip dapat terdiri dari beberapa fakta, beberapa konsep yang dikaitkan oleh suatu relasi/operasi. PRINSIP adalah hub antara berbagai obyek dasar matematika. Prinsip dapat berupa aksioma, teorema, sifat, dsb. SKILL adalah prosedur atau kumpulan aturan2 yg digunakan utk menyelesaikan soal matematika
- 18. BERTUMPU PADA KESEPAKATAN Kesepakatan yang amat mendasar adalah AKSIOMA dan KONSEP PRIMITIF Aksioma disebut juga postulat adalah pernyataan pangkal (yang tidak perlu dibuktikan) Konsep primitif disebut juga undefined terms adalah pengertian pangkal yang tidak perlu didefinisikan
- 19. BERPOLA PIKIR DEDUKTIF Pola pikir deduktif secara sederhana dapat dikatakan pemikiran yang berpangkal dari hal yang bersifat umum diterapkan atau diarahkan pada hal yang bersifat khusus Proses mencari kebenaran (generalisasi) dalam matematika berbeda dengan ilmu pengetahuan alam dan ilmu pengetahuan yang lain.
- 20. Metode pencarian kebenaran yang dipakai adalah metode deduktif, tidak dapat dengan cara induktif. Pada ilmu pengetahuan alam adalah metode induktif dan eksperimen. Walaupun dalam matematika mencari kebenaran itu dapat dimulai dengan cara induktif, tetapi seterusnya generalisasi yang benar untuk semua keadaan harus dapat dibuktikan dengan cara deduktif. Dalam matematika suatu generalisasi dari sifat, teori atau dalil itu dapat diterima kebenarannya sesudah dibuktikan secara deduktif.
- 21. Contoh Dalam ilmu fisika, bila seorang melakukan percobaan (eksperimen) sebatang logam dipanaskan maka memuai dan dilanjutkan dengan logam-logam yang lainnya, dipanaskan ternyata memuai juga, maka ia dapat membuat kesimpulan (generalisasi) bahwa setiap logam yang dipanaskan itu dapat memuai.
- 22. Contoh Bilangan ganjil ditambah bilangan ganjil adalah bilangan genap. Buktikan! Misalnya kita ambil beberapa buah bilangan ganjil, baik ganjil positif, atau ganjil negatif yaitu 1, 3, -5, 7.
- 23. Pembuktian secara deduktif sebagai berikut : Misalkan : a dan b adalah sembarang bilangan bulat, maka 2a bilangan genap dan 2b bilangan genap genap, maka 2a +1 bilangan ganjil dan 2b + 1 bilangan ganjil. Jika dijumlahkan: (2a + 1) + (2b + 1) = 2a + 2b + 2 = 2 (a + b + 1) = Karena a dan b bilangan bulat maka (a + b + 1) juga bilangan bulat, sehingga 2 (a + b +1) adalah bilangan genap. Jadi bilangan ganjil + bilangan ganjil = bilangan genap (generalisasi)
- 24. MEMILIKI SIMBOL YG KOSONG DARI ARTI Model persamaan x+y=z belum tentu bermakna bilangan + belum tentu operasi tambah untuk dua bilangan Makna huruf atau tanda itu tergantung dari permasalahan yang mengakibatkan terbentuknya model itu
- 25. MEMPERHATIKAN SEMESTA PEMBICARAAN Semesta pembicaraan adalah lingkup pembicaraan Bila lingkup pembicaraannya adalah bilangan, maka simbol2 diartikan bilangan Bicara vektor, model x + b = c , maka huruf 2 yang digunakan bukan berarti bilangan, tetapi harus diartikan vektor
- 26. KONSISTEN DALAM SISTEMNYA Dalam matematika terdapat banyak sistem. Satu dg yang lain bisa saling berkaitan, tetapi juga bisa saling lepas. Sistem2 aljabar : sistem aksioma dari group, sistem aksioma dari ring, sistem aksioma dari field, dsb. Sistem2 geometri : sistem geometri netral, sistem geometri Euclides, sistem geometri non-Euclides Didalam msing2 sistem dan struktur itu terdapat KONSISTENSI
- 27. SISTEM adalah sekumpulan unsur atau elemen yang terkait satu sama lain dan mempunyai tujuan tertentu STRUKTUR adalah sistem yang didalamnya memuat hubungan yang hirarki
- 28. HAKIM TERTINGGI MATEMATIKA Dalam keilmuan terdapat 3 jenis kebenaran 1. Kebenaran konsistensi atau koherensi 2. Kebenaran korelasional 3. Kebenaran pragmatik
- 29. Ketidakmungkinan suatu struktur matematika tertentu memuat suatu kontradiksi Perhatikan definisi sudut berikut ini Model A : Sudut adl bangun yg terjadi jika dua sinar berpangkal sama Model B : Sudut adl daerah bidang yg dibatasi oleh dua sinar berpangkal sama
- 30. Diberikan dua pernyataan : 1. Sebuah garis lurus memotong sebuah sudut pada tepat dua buah titik 2. Sebuah garis lurus memotong sebuah sudut pada tak hingga banyak titik Kaitannya dg kedua model di atas, manakah pernyataan yang benar ?
- 31. Pernyataan 1 benar dalam model A, tetapi tidak dalam model B, kecuali ditambah dulu suatu definisi tertentu yang dikaitkan dengan kaki sudut HAKIM atau penentu kebenaran suatu pernyataan dalam matematika adalah STRUKTUR yang disepakati untuk digunakan Dalam KBK, pengertian sudut yang digunakan adalah model A
- 32. Soal Buktikan secara induktif dan deduktif! 1. Jumlah ketiga sudut dalam sebuah segitiga sama dengan 180o. 2. Bilangan genap ditambah bilangan genap adalah bilangan genap