狠狠撸

1+2+3+
2015/2/20
岩崎喬一

本日のお題
? 足し算やります。
? みなさん、仕事に直結しそうなネタばかりでショゲそうですが、気丈に振る舞ってみます。
? 大人げない感じで進めます。
? あまり深いツッコミをすると、お化けが出てくるかも知れません。
（→ζとかθとか、、）

本題
? 大人げなく、、なので、級数の収束とか無視します。
? こういうやつです
1 + 2 + 3 + ? =
n≥1
?

有限和なら
? 高校生の時にやった「Nまでの和」と解釈すれば、こういうやつですね。
? 等差数列と考えてもいいですね。
1 + 2 + 3 + ? =
n≥1
? = ?(? + 1)/2

今日考えるのは、無限和
? 準備として、こんな和を考えてみます。
? 高校数学だと、無限等比級数です。
? 項別微分&×(-1)
1 ? x + x2 ? x3 + ? =
1
1 + x
1 ? 2x + 3x2
? 4x3
+ ? =
1
1 + x 2

x=1を代入します
1 ? 2x + 3x2 ? 4x3 + ? =
1
1 + x 2
1 ? 2 + 3 ? 4 + ? =
1
1 + 1 2
=
1
4

さて、閑話休題
? とおくと
c=1 + 2 + 3 + ?
c=1 + 2 + 3 + 4 …
4c= 4 + +8 …－)
-3c=1 ? 2 + 3 ? 4 … =
1
4
第１式の奇数部分はそのまま。
第１式の偶数部分(2n)と、第２式のズラしたもの
(4n)を対応させる
→すると、2n-4n=-2nが残る
∴c= ?
1
12
1 + 2 + 3 + ? =
n≥1
? = ? = ?
1
12
ココの”=“は、前頁より

Chapter 8 in Ramanujan Note
Quoted from:
http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%E2%8B%AF

狐につままれた感じかも知れませんが
? きちんというと、Riemann ζ関数に関する正則化(regularization)で定式化されます。
? 下記の式でζ(s)をs>1で定義し、複素平面に解析接続(analytic continuation)です。
（大学2年くらいで「複素関数論(complex analysis)」として勉強するアレです）
?今日のお題は、ζ(-1)=-1/12 と理解されます。
? かの有名な(!!!)Riemann予想は、
「ζ(s)の自明でない零点は、Reζ(s)=1/2を満たす」
ですが、「自明な零点」とはζ(-2)=ζ(-4)=…0などを指します。今日ご紹介したような方法で0
であることが【証明】できます?
? 物理の弦理論でもζ(-1)=-1/12って使われるようですね（カシミール効果）
? ? ? 1?s
+ 2?s
+ 3?s
+ ? =
n≥1
???

狠狠撸

1+2+3+

More Related Content

1+2+3+