�ݺ�ߣ

7. Siswa mampu memahami konsep yang • Matriks
berkaitan dengan aturan matriks dan • Vektor
vektor serta mengguna-kannya dalam
-1– then must yath now’09
pemecahan masalah.

Matriks

DEFINISI

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang diatur berdasarkan baris dan kolom.
� b 
A=  
c d 
Bilangan-bilangan a,b,c,d,e,f disebut elemen-elemen matriks A

ORDO

ORDO suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris, diikuti oleh banyaknya kolom.

� b 
A=   ⇒ ordo matriks A2x3
c d 

KESAMAAN MATRIKS

Dua matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B), jika

a. Ordonya sama
b. Elemen-elemen yang seletak sama

Contoh :

 4 2 4 2 
Diketahuia dua matriks A =   dan B = 7 q + 3 . Jika matriks A sama dengan
5 p + q 5  
matriks B, hitunglah nilai p dan q !

 4 2 4 2 
A = BB
A=
⇒ 5 p + q 5

7 q + 3
 =  
5p + q = 7 ⇒ p = 1
q + 3 = 5 ⇒ q =2

Rasa takut hanya akan
menghambat orang untuk maju

MATRIKS TRANSPOS

Transpos dari suatu matriks A (ditulis A atau A' atau At) adalah matriks yang elemen
barisnya adalah elemen kolom A, dan elemen kolomnya adalah elemen baris A.


 d
a
� b c  ⇒b  e
Α=  At =  
d e f  2 x3  f x 2
c 3
PENJUMLAHAN MATRIKS

Jumlali dua matriks A dan B (ditulis A + B) adalah matriks yang didapat dengan
menjumlahkan setiap elemen A dengan elemen B yang bersesuaian (A dan B harus
berordo sama).

A B A+B
� b  +  p q  = � + p b + q 
c d  r s  c + r d + s
     

PENGURANGAN MATRIKS

Pengurangan matriks A dan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks
negatip B.

A - B = A + (-B)

A + B = A+B

� b   p q � + p b + q 
c d  + r s =  
     c + r d + s

PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR

Jika k suatu skalar dan A suatu matriks, maka kA adalah matriks yang diperoleh dengan
mengalikan setiap elemen A dengan k.
� b  k .a k .b 
A=  ⇒ =
k.A 
c d   k .c k .d 
Dua matriks A dan B terdefinisi untuk dikalikan, jika banyaknya kolom A = banyaknya baris
B, dengan hasil suatu matriks C yang berukuran baris A x kolom B
Amxn xBnxo = Cmxo
Aturan perkalian : Yaitu dengan mengendalikan baris-baris A dengan kolom-kolom B,
kemudian menjumlahkan hasil perkalian itu.

Contoh :

� b x 
1. A =   dan B = y 
c d  


� b  x  �x + by 
AxB =  x =
c d   y  cx + dy 
    
2x2 2x1 = 1x1
2.

 x
[ abc]  y = [ ax + by + cz ]
 
z
 
1x3 3x1 1x1

Ket :

Perkalian matriks bersifat tidak komutatif (AB ≠ BA) tetapi bersifat asosiatif (AB)C = A(BC).

Determinan Matriks ordo 2 x 2

� b
Jika A =  , maka determinan matriks A didefinisikan sebagai |A| = ad – bc
c d


Determinan Matriks ordo 3 x 3

� b c a b c ab
 f  maka determinan matriks A didefinisikan sebagai : A = d
Jika A =  d e  e f de
g h
 i |A| = aei + bfg + cdh - gec - hfa - idb g h i gh

Keterangan:
Untuk menghitung determinan A3x3 dibantu dengan menulis ulang dua kolom pertama
matriks tersebut atau cara ekspansi baris pertama.

MATRIKS INVERS

Jika A dan B adalah matriks bujur sangkar dengan ordo yang sama dan AB = BA = 1,
maka B dikatakan invers dari A (ditulis A-1) dan A dikatakan invers dari B (ditulis B-1).
� b 1  d − b
Jika A =   , maka A-1 = ad − bc − c a 
c d  
Bilangan (ad-bc) disebut determinan dari matriks A
Matriks A mempunyai invers jika Determinan A ¹ 0 dan disebut matriks non singular.
Jika determinan A = 0 maka A disebut matriks singular.
Sifat A . A-1 = A-1 . A = I

Sifat-Sifat

1. (At)t = A
2. (A + B)t = At + Bt
3. (A . B)t = Bt . At
4. (A-t)-t = A


5. (A . B)-1 = B-1 . A-1
6. A . B = C → |A| . |B| = |C|

ax + by = p ditulis
cx + dy = q

� b   x  p
c d  +  y =  q 
     

Untuk menentukan himpunan penyelesaian, selain dengan metode eliminasi dan
substitusi dapat juga diselesaikan dengan menggunakan aturan matriks, yaitu :

1. Matriks AX = B , maka X = A-1 . B

 x 1  d − b  p 
 y  = ad − bc − c a   q 
    

2. Cara Determinan

pb ap
Dx qd Dy cq
x= ————— = —————— ; y = ———— = ——————
D ab D ab
cd c d 
Contoh :
 2 x + 3y = 9
Diketahui sistem persamaan  . Tentukan himpunan penyelesaiannya dengan
3x + 5y = 14
cara determinan !
A. {1 , -7} D. {4 , 2}
B. {-7 , 1} E. {-5 , 3}
C. {2 , 4}

Jawab :

9 3 2 9
Dx 14 5 Dy 3 14 45 − 42 28 − 27
x= = y= = ⇒=
x =3 y = =1
D 2 3 D 2 3 10 − 9 10 − 9
3 5 3 5 HP = {3, 1}


Yakinlah…
Setiap anda belajar pasti akan menemukan sesuatu
yang baru….


VEKTOR


Contoh :
1. Titik A(3 , 0 , 6) dan B(0 , 3 , -3), titik P membagi AB dengan perbandingan 1 : 2 maka
koordinat titik P adalah ....
A. (3 , 1 , 5) D. (1 , 2 , 3)
B. (1 , 3 , 4) E. (3 , 2 , 1)
C. (2 , 1 , 3)
Jawaban C
n. A + mB 2.( 3,0,6 ) + 1( 0,3,−3) ( 6,0,12) + ( 0,3,−3) ( 6 + 0 ) , ( 0 + 3) , (12 − 3)
p= = = = = ( 2,1,3)
m+n 1+ 2 3 3

SOAL LATIHAN
MATRIKS

 a 4
1. Diketahui matriks A = 
 2b 3c 
 dan B =
 
 2c − 3b 2a + 1
  . Nilai c yang memenuhi A = 2B adalah
 a b + 7 
a. -2 b. 3 c. 5 d. 8 e. 10

 − 6 9 − 15 
2. Diketahui matriks A =   3 − 6 12  dan B =

 
 2 −3 5 

 − 1 2 − 4  . Nilai k yang memenuhi A = kB adalah

 
.....
1 1
a. 3 b. -3 c. -1 d. e. -
3 3

− 4 2 
3. Diketahui matriks A =  1 
 − 2  . Hasil dari matriks
 2 
A2 adalah ......
 16 4  17 − 12   17 12 
a. 1
  c.   d.  
 4    
4  − 3 5   3 5
 − 16 4  15 − 4 
b.  1  e.  
 − 4  
 4   − 1 − 3


1 2
1 2 3  
4. Hasil kali dari 
 4 5 6  3
 4  =......
  5
 6
 22 28   64 28   2 8 18 
a. 
 49 64 
 c. 
 49 22 
 d. 
 

     4 15 30 
 22 49   1 4 6 
b. 
 28 64 
 e.  4 15 30 

   

 x+ y x  
 1 −
1 
x
5. Diketahui matriks A =   dan B = 2 .
 y x − y  
− 2y 3 
Jika AT menyatakan matriks traspos dari A, maka
persamaan AT = B dipenuhi untuk x = ........
a. 2 b. 1 c. 0 d. -1 e. -2

1 x 2 
 
6. Diketahui matriks A =  1 0 − 1 . Jika matriks
2 4 1 
 
merupakan matriks singular, maka nilai x adalah .....
a. -6 b. -4 c. 0 d. 4 e. 6

 2 x  1 − 2
7. Diketahui matriks A =   y 0  , B =  3 4  dan C
  
   
 − 1 − 8
=  1 − 2  . Nilai x + y yang memenuhi AB = C

 
adalah .....
a. -2 b.-1 c. 0 d. 1 e. 2

 2 0  5 6
8. Diketahui A = 
 0 2  dan B =
 
 7 8  dan

   
pernyataan berikut :
1. A2 = 2A
2. AB = BA
3. AB = 2B
4. BAB = 2B2
Dari pernyataan tersebut yang benar ......
a. 1 dan 2 c. 1,2, dan 3 d. 1,2,3, dan 4
b. 1 dan 3 e. 2,3, dan 4

− 4 2   − 12 10 
9. Diketahui matriks A =  1   .
 − 2  dan B =  5
 1
 2 
Hasil dari A2 + B = .....
 4 14   5 − 2  5 22 
a.  5 1 5 
  c. 
2 6   d. 
 

 4    8 6 
 − 28 14  3 6 
b.  5 1  e.  
 − 3 4 − 2
 4   


 4 3  x  12 
10. Diketahui matriks 
    =  .
  y 7
 3 2    
Nilai x + y = .......
a. -11 b. 10 c. -5 d. 5 e. 11
1 0
11. Diketahui f(x) = x2 – 2x dan A = 
 .

3 2
Nilai f(A) adalah .......
−1 0  −1 0  2 4
a. 
3  c.   d.  
 0


 0 3
 
1 5

 1 0  3 0
b. 
− 3  e. 
 −1 2
 0
 



 2 3 5
 
12. Bila matriks A =  4 6 x  adalah matriks
1 − 2 0
 
singular, maka nilai x = ......
a. -10 b. 10 c. 5 d. 15 e. -5

 x log a log(2a − 6) 
13. Jika x memenuhi :   =
 log(b − 2) 1 
 
 log b 1

 log a 1 , maka nilai x = ..........

 
a. 1 b. 2 c. 4 d. 6 e. 8

 3x + 2 y = 5
14. Nilai x dari sistem persamaan 
2 x − 3 y = 10
dinyatakan dalam matriks adalah .......
3 5 −3 −2 5 3
2 10 −2 3 10 2
a. x = 3 2 c. x = 3 2 d. x = 3 2

2 −3 2 −3 2 −3
5 2 2 5
10 − 3 − 3 10
b. x = 3 2 e. x = 3 2

2 −3 2 −3

 x− y=5
15. Sistem persamaan  diselesaikan dengan
3x + y = 3
p
menggunakan matriks untuk y = 1 −1 Nilai p =
3 1
a. -12 b. -2 c. 4 d. 8 e. 18

- 10 – then must yath now’09

TUGAS INDIVIDU

5 2 6
 
1. Jika A=  8 3 9  , maka determinan A = ......
4 1 7
 
a. -4 b. -3 c. 3 d. 4 e. 5

1 2 0
2. Matriks A= 
 3 − 1 4  . Matriks A’.A = ......

 
 10 − 1 12   − 8 16 2 
   
a.  − 1 5 − 4 d.  − 3 9 23 
 12 − 4 16   12 8 − 4 
   
 5 1 0  48 − 23 − 12 
   
b.  − 1 26 7  e.  8 3 −8
− 9 3 11 − 2 1 9 
  
 2 −3 9
 
c.  − 15 1 0
 7 8 − 4
 

3x − 1 3
3. Hasil kali akar - akar persamaan = 0
x+1 x+ 2
adalah .....
2 4 5 2 4
a. − b. − c. − d. e.
3 3 3 3 3

1 2 
4. Diketahui A = 
 4 − 3  . Hasil dari 2a – 4A + 5I

2

 
adalah ......
 9 − 4  − 14 60 
a. 
  d.  
− 8 17  

 120 − 134 

− 7 30   − 13 52 
b. 
 60  e.   104 − 117 
 − 67 
 


8 4
c. 
 23 
 12 


1 3 
5. Diketahui A= 
 4 − 3  dan matriks tak nol X

 
sedemikian sehingga AX = 3X. Matriks X = .....

 − 1  3  − 2 1
 
a. 
3  b.  
 2 c.   d. e.
     5 2
4


 − 5
 
 − 1
 

 1 2
6. Diketahui A= 
  . Maka An = .....

0 1
 2n 1  1 2n   2n − 3n 
a.   c. 
0 1   d. 
0

1
 0
    1  

 3n 1 1 3n 
b. 


 e. 



 0 1  0 − 1

t − 4 0 0 
 
7. Diketahui P =  0 t 2  . Jika P matriks
 0 3 t − 1
 
singular, maka nilai t yang memenuhi =....
a. -4 b. -3 c. -2 d. -1 e. 0

a b c
8. Jika diketahui d e f = -6, adalah .....
g h i
a. -18 b. -6 c. 6 d. 18 e. 72

 x2 x 2 
 
9. Jika matriks  2 1 1  singular, maka nilai x yang
 
 0 0 − 5
memenuhi adalah ....
a. -1 dan 3 c. -2 dan 1 e. 0 dan -1
b. 0 dan 2 d. 1 dan 3

 −1 d  4 − 5  2 − 1  2c 1 
10. 
 − b 3  +  − 3 b  =  − 4 3   c a + 1 ,
     
      
maka nilai a = ....
2
A. –2 C. D. 2
3
4 2
B. − E. −
3 3

 2 -1   x+y 2 
11. Diketahui matriks A =  
, B =   , dan
 1 4   3 y 

 7 2 
C =  . Apabila B – A = Ct, dan Ct = transpose
 3 1 
matriks C, maka nilai x.y = ….
A. 10
B. 15
C. 20
D. 25
E. 30

Soal Ujian Nasional tahun 2007

 3 0   x -1 
12. Diketahui matriks A= , B=
 y 1 ,
 dan
 2 5   
 0 -1 
C =  , At adalah transpose dari A. Jika At . B =
 - 15 5 
C maka nilai 2x + y = ….
A. – 4
B. – 1
C. 1
D. 5
E. 7

13. Matriks X berordo ( 2 x 2 ) yang memenuhi
1 2   4 3
  X=  adalah ….
 3 4   2 1
 -6 -5 
A.  
 5 4 
 5 -6 
B.  
 4 5 
 -6 -5 
C.  
 4 5 
 4 -2 
D.  
 -3 1 
 12 - 10 
E.  
 - 10 - 8 
Soal Ujian Nasional tahun 2005 kurikulum 2004

 1 2   3 -2 
14. Diketahui matriks A =  , B =  , dan P(2x2).
 3 5   1 4 
Jika matriiks A x P = B, maka matriks P adalah ….
 13 - 18 
A.  
 - 8 10 
 21 - 8 
B.  
 -7 2 
 - 13 18 
C.  
 8 - 10 
 - 21 8 
D.  
 7 -2 
 5 6 
E.  
 14 12 

 4 3   a b   16 3 
15. Diketahui hasil kali matriks    = .
 1 2   c d   9 7 
Nilai a + b + c + d = ….
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
E. 10


 4 -9   5p - 5 
16. Diketahui matriks A=
 3 - 4p ,
 B= , dan
   1 3 
 - 10 8 
C =
 - 4 6p  , Jika matriks A – B = C , nilai 2p = ….

–1

 
A. – 1
B. –½
C. ½
D. 1
E. 2

 2 3   6 12 
17. Diketahui matriks A =  , B =  dan A2 =
 -1 - 2   - 4 - 10 
xA + yB. Nilai xy = ….
A. – 4
B. – 1
C. – ½
D. 1½
E. 2

VECTOR

1. Diketahui titik A(7 , 4 , -1), B(2 , 4 , 9) dan C(1 ,

3 , 2). Jika P terletak pada AB dengan AP : PB =
 
2 : 3, maka vektor 2 P C + AB = ....
 − 4  − 13   − 5
     
A.  − 1  C.  − 2  D.  0 
 −1  8   10 
     
 − 9  5 
   
B.  − 1  E.  0 
 9   −10 
   

2. Jika titik A(2 , 8 , 1), B(3 , 9 , 1) dan C(2 , 9 , 1).

Nilai tangen sudut yang dibentuk oleh vektor AB

dan AC sama dengan ....
1 1
A. 1 C. D. - 2
2 2
1
B. 2 E. -1
2
1
C.
2


0  2 
     
3. Sudut antara a =  x  dan b =  1  adalah 450.
 −1  − 2
   
Maka nilai x sama dengan ...
1
A. 2 C. − D. -1
7
B. 1 E. -2

1
  
4. Jika panjang proyeksi vektor a =  3  pada
 2
 
p
   11
vektor b =  0  sama dengan maka nilai p
 4 5
 
adalah ....
7
A. - 14 C. − D. 3
3
B. -3 E. 14
    
5. Diketahui a = 6 i - 2 j - 4 k dan b = 2 i + j - 2
  
k . Proyeksi orthogonal a pada b adalah ....
2 1  2   
A. i + j - k D. 4 i + 2 j - 4 k
3 3 3
1    
B. i + j - k E. 6 i + 3 j - 6 k
2
 
C. 2 i + j -2 k

6. Jika A(2 , -1 , 4), B(3 , 0 , 4) dan C(2 , 0 , 5). Jika
   
AB = p dan AC = q maka besar sudut antara
 
vektor p dan q adalah ....
A. 300 D. 1200
B. 600 E. 1800
C. 900

7. Titik A(-1 , 3 , 1), B(1 , 6 , 7), C(0 , 2 , 5) dan D(1 ,
x
   
4 , 10). Jika vektor  y  tegak lurus AB dan C D ,
1
 
maka nilai x dan y berturut-turut adalah ....
A. 3 dan 4 D. –4 dan 3
B. 3 dan -4 E. 4 dan -3
C. –3 dan -4

8. Titik A(3 , 0 , 6) dan B(0 , 3 , -3), titik P membagi AB
dengan perbandingan 1 : 2 maka koordinat titik P


adalah ....
A. (3 , 1 , 5) D. (1 , 2 , 3)
B. (1 , 3 , 4) E. (3 , 2 , 1)
C. (2 , 1 , 3)
     
9. Jika a = 2 i - 6 j - 3 k dan b = 4 i + 2 j - 4 k .
 
Maka panjang proyeksi a pada b adalah ....
3
A. - D. 1
4
4 4
B. - E.
3 3
3
C.
4

10. Diketahui segitiga ABC, A(1 , 2 , 3), B(2 , 3 , 1)dan
C(3 , 1 , 2). Z adalah titik berat segitiga ABC, maka
panjang AZ = ....
A. 2 D. 6
B. 3 E. 14
C. 5

TUGAS INDIVIDU

11. Diketahui P(1 , 7 , 0), Q(-2 , 4 , 3), S(2 , 8 , 5) dan R
membagi PQ di dalam dengan perbandingan 1 : 2,
maka sudut PRS adalah ....
A. 00 D. 600
0
B. 30 E. 900
0
C. 45
 
12. Vektor posisi titik A dan titik B adalah a dan b . Jika C
pada AB sehingga AB : AC = 3 : 1, maka vektor posisi
c adalah ....
1   1  
A. (2 a - b ) D. (2 b + a )
3 3
1   1  
B. (2 b - a ) E. (a - 3b )
3 3
1  
C. (2 a + b )
3
   
13. Jika  a  = 4,  b  = 2 dan  a + b  = 2 7 , maka 
 
a - b  = ....
A. 2 D. 4
B. 3 E. 3 2
C. 2 3

  
14. Diketahui : a = -2 i + j - 3 k
  
b = -3 i - j + 2 k
  
c = -2 i - j + k

  
d = 3 i + j - 2k
Dari vektor-vektor di atas yang saling tegak lurus
adalah ....
A. c dan d D. a dan c
B. b dan d E. a dan b
C. a dan d
     
15. Sudut antara a = i - j + 2 k dan b = i + p j + k
adalah 300, maka nilai p adalah ....
A. 2 D. 0
B. 3 E. –1
C. 1
   
16. Proyeksi vektor a = i + 2 j - 3 k pada vektor b = 5
 
i - 4 j - 2 k adalah ....
 5   − 5  4 
1  1  1 
A.  − 4  C.  4  D. -  − 2 
2  5  2 
 2   − 2  3 
2  − 4
1   1 
B. 4 E. -  2 
4  3 
 −1  − 3
     
17. Ditentukan a = n i + n j - k , b = - i + n j + 2k
dan sudut kedua vektor adalah 900 maka nilai n adalah
A. –2 atau -1 D. –1 atau 3
B. –2 atau 1 E. 1 atau 3
C. –1 atau 2

18. Jika titik A(1 , 1 , 2), B(2 , 2 , 5) dan C(4 , 4 , 11)
adalah kolinier, maka AB : BC adalah ....
A. 1 : 2 D. 3 : 1
B. 1 : 3 E. 3 : 2
C. 2 : 1

19. Segitiga ABC, titik A(2 , -1 , 1), B(3 , 0 , 0) dan C(0
, 3 , 3)adalah segitiga siku-siku di titik A, maka jarak
titik A ke garis BC adalah ....
4
A. 3 C. D. 2 3
3 6
2
B. E. 4 3
3 6

20. Diketahui P(6 , 7 , -6), Q(5 , 7 , -4) dan R(3 , 7 , -5)
merupakan suatu segitiga maka luasnya adalah ....
5
A. 5 satuan luas D. satuan luas
2 5
5 5
B. satuan luas E. satuan luas
2 2 10
C. 10 satuan luas

Orang yang bijak adalah mereka
yang tahu…
Kapan saatnya berbuat dan kapan

�ݺ�ߣ

16462851 modul-7-matriks-dan-vector-xii-ipa

More Related Content

16462851 modul-7-matriks-dan-vector-xii-ipa