18594 uniform series arithmetic gradient cash flow
1 like903 views
Dokumen ini membahas tentang konsep aritmetika gradien dalam aliran kas, yang menunjukkan bagaimana biaya pemeliharaan meningkat seiring dengan usia mesin. Termasuk dalam dokumen adalah rumus matematis untuk menghitung nilai sekarang dari serangkaian aliran kas serta dampak inflasi terhadap nilai uang. Contoh soal juga disertakan untuk mengilustrasikan penerapan rumus-rumus tersebut dalam situasi dunia nyata.
![Uniform Series Arithmetic Gradient Cash Flow
Gradient adalah salah satu sistem cash flow yang besarnya bertambah atau berkurang
dalam jumlah yang sama setiap periode. Misalnya biaya pemeliharaan suatu mesin, makintua umur
mesin, pemeliharaannya makin meningkat, sedangkan kemampuannya (atau juga produk yang
dihasilkannya) makin menurun. Trend ini dapat digambarkan seperti gambar G1.1
Dari diagram terlihat bahwa pada periode pertama tidak ada gradient karena nilai pada
periode pertama itu dijadikan dasar untuk seluruh periode, dan juga nilai pada periode berikutnya
adalah sebagai pertambahan sehingga pada periode terakhir, nilai gradient adalah (N-1)G.
a. Menghitung P, bila diketahui G
Apabila harga-harga G, 2G, 3G dan seterusnya diambil harga PV-nya maka diperoleh
P = G { 1 } + 2G { 1 } + .... + (N 2)G{ 1 } + (N 1)G{ 1 }
(1 + i)族 (1 + i)続 (1 + i)甦財斬 (1 + i)甦
P = G [ 1 { (1 + i)甦 1 N }] ............................................................................(1.09 a)
i i (1+i)甦 (1+i)甦
Factor [ 1 { (1 + i)甦 1 N }] = gradient to present wort conversion diberi notasi (P/G, i %, N)
i i (1+i)甦 (1+i)甦
Rumus (1.09 a) berubah menjadi:
P= G (P/G,i %,N) ............................................................................................................(1.09a)
Nilai gradient setiap periode sama seperti digambarkan pada diagram G1.2
b. Menghitung A, bila diketahui G
Dari rumus-rumus (1.08 a), (1.08 b), (1.09 a) dan (1.09 b):
A = P [ i(1+i)甦 ]
(1+i)甦 1
P = G [ 1 { (1 + i)甦 1 N }]
i i (1+i)甦 (1+i)甦
Maka : A = G [ 1 { (1 + i)甦 1 N }] [ i(1+i)甦 ]
i i (1+i)甦 (1+i)甦 (1+i)甦 1](https://image.slidesharecdn.com/18594uniformseriesarithmeticgradientcashflow-170119133701/85/18594-uniform-series-arithmetic-gradient-cash-flow-1-320.jpg)
![Kemampuan
Produk Annual Cost
Titik Optimum, Umur Ekonomis
Umur mesin/ alat, tahun
Gambar G1.1 Trend Pendapatan dan Cost pada mesin.
P A
i = %
1 2 3 N 2 N 1 N
Tidak ada- G
gradien 2G (N 3)G (N 2)G (N 1)G
Gambar G1.2 Diagram Uniform Series Gradient Cash Flow
A = G [ 1 { 1 N }] .................................................................................................(1.10a)
i (1+i)甦 1
1 {1 N }: disebutgradienttouniformseriesconversionfactor, diberi notasi (A/G, i %, N).
i (1+i)甦 1
Rumus(1.10 a) menjadi:A = G (A/G,i %, N) ...................................................................(1.10 b)
Contoh-contoh soal, 1.07
1) Suatu pengeluaran selama 4 tahun, bertambah sebesar $ 1,000.-
Pada tahun kedua, $ 2,000.- pada tahun ketiga dan keempat $ 3,000.- Apabila MARR 15%,
hitunglah ekivalen:
a. Present Value pada awal siklus.
b. Annual worth pada tiap akhir tahun.
Jawaban:](https://image.slidesharecdn.com/18594uniformseriesarithmeticgradientcashflow-170119133701/85/18594-uniform-series-arithmetic-gradient-cash-flow-2-320.jpg)
![A P i(1+i)甦
(1+i)甦 - 1
Capital
Recovery
(A/P, i %, N)
Arithmetic Gradient Series
p G 1 [ (1 + I)甦 - 1 _ N]
i i(1+ i)甦 (1+ i)甦
Gradient to
present
worth
(P/G, i %, N)
A G [ 1 - N ]
I (1+i) 1
Gradient to
uniform
series
(A/G, i %, N)
Soal-soal
1) Berapakah jumlah interest yang harus dibayarkan atas pinjaman yang diambil ke Bank
sebanyakRp.5,000,000.- pada tanggal 1 April 1985 dan dikembalikanpadatanggal 31 Maret
1990 dengan simple interest 15% ?
2) Berapa besarkahdikembalikantiaptahunsuatu pinjamansebesar Rp. 20,000,000.- selama8
tahun dengan bunga 12 %?
3) Buatlahsuatu diagram cash flowuntuk pinjamansebesarRp. 10,500,000.- menurutsimple
interest 15% per-tahun selama 6 tahun. Berapakah lump sum dibayarkan pada akhir tahun
ke-6 itu?
Dikerjakan sampai dengan TANGGAL: 20 JANUARI 2017
PUKUL: 20.00 WIB](https://image.slidesharecdn.com/18594uniformseriesarithmeticgradientcashflow-170119133701/85/18594-uniform-series-arithmetic-gradient-cash-flow-9-320.jpg)
18594 uniform series arithmetic gradient cash flow
- 1. Uniform Series Arithmetic Gradient Cash Flow Gradient adalah salah satu sistem cash flow yang besarnya bertambah atau berkurang dalam jumlah yang sama setiap periode. Misalnya biaya pemeliharaan suatu mesin, makintua umur mesin, pemeliharaannya makin meningkat, sedangkan kemampuannya (atau juga produk yang dihasilkannya) makin menurun. Trend ini dapat digambarkan seperti gambar G1.1 Dari diagram terlihat bahwa pada periode pertama tidak ada gradient karena nilai pada periode pertama itu dijadikan dasar untuk seluruh periode, dan juga nilai pada periode berikutnya adalah sebagai pertambahan sehingga pada periode terakhir, nilai gradient adalah (N-1)G. a. Menghitung P, bila diketahui G Apabila harga-harga G, 2G, 3G dan seterusnya diambil harga PV-nya maka diperoleh P = G { 1 } + 2G { 1 } + .... + (N 2)G{ 1 } + (N 1)G{ 1 } (1 + i)族 (1 + i)続 (1 + i)甦財斬 (1 + i)甦 P = G [ 1 { (1 + i)甦 1 N }] ............................................................................(1.09 a) i i (1+i)甦 (1+i)甦 Factor [ 1 { (1 + i)甦 1 N }] = gradient to present wort conversion diberi notasi (P/G, i %, N) i i (1+i)甦 (1+i)甦 Rumus (1.09 a) berubah menjadi: P= G (P/G,i %,N) ............................................................................................................(1.09a) Nilai gradient setiap periode sama seperti digambarkan pada diagram G1.2 b. Menghitung A, bila diketahui G Dari rumus-rumus (1.08 a), (1.08 b), (1.09 a) dan (1.09 b): A = P [ i(1+i)甦 ] (1+i)甦 1 P = G [ 1 { (1 + i)甦 1 N }] i i (1+i)甦 (1+i)甦 Maka : A = G [ 1 { (1 + i)甦 1 N }] [ i(1+i)甦 ] i i (1+i)甦 (1+i)甦 (1+i)甦 1
- 2. Kemampuan Produk Annual Cost Titik Optimum, Umur Ekonomis Umur mesin/ alat, tahun Gambar G1.1 Trend Pendapatan dan Cost pada mesin. P A i = % 1 2 3 N 2 N 1 N Tidak ada- G gradien 2G (N 3)G (N 2)G (N 1)G Gambar G1.2 Diagram Uniform Series Gradient Cash Flow A = G [ 1 { 1 N }] .................................................................................................(1.10a) i (1+i)甦 1 1 {1 N }: disebutgradienttouniformseriesconversionfactor, diberi notasi (A/G, i %, N). i (1+i)甦 1 Rumus(1.10 a) menjadi:A = G (A/G,i %, N) ...................................................................(1.10 b) Contoh-contoh soal, 1.07 1) Suatu pengeluaran selama 4 tahun, bertambah sebesar $ 1,000.- Pada tahun kedua, $ 2,000.- pada tahun ketiga dan keempat $ 3,000.- Apabila MARR 15%, hitunglah ekivalen: a. Present Value pada awal siklus. b. Annual worth pada tiap akhir tahun. Jawaban:
- 3. Secara diagram dapat digambarkan seperti gambar G1.3 A i = 15 % 1 2 3 4 P G 2G 3G Gambar G1.3 Diagram Cash Flow Diketahui bahwa G = $ 1,000.- dan N = 4 a. P = G(P/G, i %, N) = G (P/G, 15 %, 4) = 1,000 (3.79) = $ 3,790.- b. A = G (A/G, i %, N) = 1,000 (1.327) = $ 1,327.- Dapat juga dihitung dari rumus (1.08 b): A = P (A/P, i %, N) = P (A/P, 15 %, 4) = 3,790 (0.3503) = $ 1,327.- Dari hasil perhitungan di atas diperoleh tiap tahun adalah: Tahun ke Pengeluaran, $ 1 1,327.- 2 2,327.- 3 3,327.- 4 4,327.- 2) Suatu penerima tiap tahun adalah seperti berikut: Akhir tahun -1 : P = Rp. 10,000.- -2 : P = Rp. 11,000.- -3 : P = Rp. 12,000.- -4 : P = Rp. 13,000.- -5 : P = Rp. 14,000.-
- 4. Hitunglah ekuivalen present wort apabila MARR 15%. Jawaban: Secara diagram dapat digambarkan seperti gambar G1.4 PV P P P P P (a) 1 2 3 4 5 A A = 10,000.- PA (b) 1 2 3 4 PG 4,000 2,000 3,000 1,000 (C) 1 2 3 4 5 Gambar G1.4 Diagram CashFlow Terlihatbahwauntukmenjawabsoal ini sesuai dengandiagramdi atas,gambarG1.4. Gambar G1.4 (a) : gambar seluruhpersoalan. (b) : bagiankhususpenerimaanyangmerata sebesarP (c) : bagiankhususpenerimaanyanggradient. PA = nilai presentvalue penerimaanmeratasebesarP PG = nilai presentvalue penerimaangradient,G= Rp. 1,000.- Dengandemikian :PA + PG = PV Dari rumus(1.06 b) P = A(P/A,i %,N)
- 5. PA = P (P/A,15%,5) = 10,000 (3.3522) = Rp.33,522.- Dari rumus(1.09 b) P = G (P/G,i %,N) PG = G (P/G,15 %, 5) = 1,000 (5.78) = Rp. 5,780.- Sehingga: PV = PA + PG = 33,522 + 5,78 = Rp. 39,302.- INFLASI DAN PERUBAHAN HARGA Inflasi adalahpenurunannilai uangkarenajumlahnilai uangyangberedar(uangchartal) dan uang giral lebih banyak dari nilai barang dan jasa yang diproduksi. Uang giral adalah uang yang dikeluarkan oleh bank umum berupa surat-surat berharga. Apabila:uangchartal +uanggiral = jumlahnilai barangdanjasa,makainflasi =0.Uangberada pada posisi kuat. Dalam praktek di semua negara, inflasi 0. inflasi diartikan juga perubahan harga barang dan jasa sebagai reduksi terhadap daya beli dalamsatuanmoneter.Kebalikannya adalahdeflasiyangjugasebagaiperubahanharga(nilai) barang dan jasa. Inflasi ditandai dengan naiknya harga-harga serta diikuti dengan daya beli yang menurun, sedangkan deflasi adalah turunnya harga-harga barang, dan terdorong untuk meningkatkan daya beli.perubahanharga oleh inflasi dan deflasi diukur dengan indeks harga (IH) terhadap beberapa barang kebutuhanpokoksesuai denganperiode waktu.Pemerintahmelalui DinasStatistikaNasional biasanyamengumumkanIHsetiaptahun.PenentuanbesarnyaIH sangatberkaitandenganinflasi,oleh karena itudari IH akan dapat puladitentukanrateinflasi tiaptahun.Padatabel T1.01 diperlihatkan IH yangdihubungkandenganrate inflasiPpemerintahAmerikaSerikatdenganbaseyear tahun1967. Daftar tersebut disusun berdasarkan rumus: (ri)甦 = (IH)甦 - (IH)甦- (100) ............................................................................................................(1.11) (IH)甦- Dimana: (ri)甦 = rate inflasi tahun ke-K (IH)甦 = indeks harga pada tahun ke-k (IH)甦- = indeks harga pada tahun ke-(k-1) Berkenaan dengan IH dan rate inflasi, dikenal notasi (terminologi) seperti berikut: - Nilai berlaku (NB) = nilai uang aktual, seperti nilai uang dalam cash flow atau nilai uang inflatoir.
- 6. Tabel T-1.1 IH dan Rate Inflasi 1967-1990, USA Tahun IH Inflasi, % Tahun IH Inflasi, % 1967 100 2.9 1979 217.4 11.3 1968 104.2 4.2 1980 246.8 13.5 1969 109.8 5.4 1981 272.4 10.4 1970 116.3 5.9 1982 289.1 6.1 1971 121.3 4.3 1983 298.4 3.2 1972 125.3 3.3 1984 311.1 4.3 1973 133.1 6.2 1985 322.2 3.6 1974 147.7 11.0 1986 328.4 1.9 1975 161.2 9.1 1987 340.4 3.6 1976 170.5 5.8 1988 354.3 4.1 1977 181.5 6.5 1989 371.3 4.8 1978 195.4 7.7 1990 391.4 5.4 - Nilai Riel = Nnilai Tetap (NT) = nilai uang sesuai dengan daya beli pada waktu tertentu,atau nilai pada base year. - Nominal rate (rn) = market interest rate yaitu pertumbuhan nilai uang per-periode yang dibagi dalam periode yang lebih kecil seperti bulan, kwartal, semester dan lainnya. - Effective rate (re) = pertumbuhan uang sebenarnya per-periode tahun yang dihitung dari nominal rate. - Base time = base year,yaitutahunpadamanasuatunilai diambilsebagaidasarseperti pada tabel T-1.1 di atas, tahun 1967 adalah sebagai base year. Suatu nilai actual (NB) pada periode ke-k dikonversi kepada nilai riel (NT) pada periode ke-b,ini adalah fungsi (ri) dengan rumus, (k > b): (NT)甦 = (NB)甦 { 1 }甬氏 = (NB)甦 (P/F,ri %,k b) .....................................................................(1.12) Nominal rate (rn) sering diartikan sebagai combined interest inflation rate atau minimum attractive rate of return dimana: rn = MARR= (id+1) (re +1) 1 .................................................................................................(1.13)
- 7. Contoh-contoh soal 1.08 1) Uang sebesarRp100,000.- diinvestirselama10tahunpada6% per-kwartal.Berapakahjumlah uang pada akhir tahun ke-10 ? Jawaban Jumlah periode compounding: n = 10 x 4 = 40 periode, rn = r/M= 6/4 = 1,5% F = P(F/P, 1.5 %, 40) = 100,000 (1.814) = $ 181,400.- Cara lain dengan menggunakan bunga efektif: re = (1 + rn/M)甬1 periode pembangunan adalah seperti Tabel T1.2: Tabel T1.2 Periode Pembangunan (Compounding Period) Effektif rate, % Compounding Period Jumlah periode per-tahun, M re = 6 % 12 % 24 % Annually 1 6 12 24 Semianually (Semester) 2 6,09 12,36 25,44 Quarterly 4 6,14 12,55 26,25 Bimonthly 6 6,15 12,62 26,53 Monthly 12 6,17 12,68 26,82 Continuously ~ 6,18 12,75 27,12 Atau: F = 100,000 (F/P, (1 + 6/4) - 1 %, 40) = 100,000 (F/P, 6.14 %, 40) = 100,000 (1.814) = Rp 181,400.- Cat.: (1 + 6/4) - 1 = (1 + 1.5 %) - 1 = (1 + 0.015) - 1 = 1.06136 1 = 0.06136 ~ 6.14 % 2) Seseorang meminjam uang Rp 1,000.- untuk mendapatkan obligasi finansial dari agency dengan monthly interest rate 2%. Hitunglah: a) Amount of future disbursement pada akhir tahun ke-2 b) monthly-paymentselama 3 tahun, dimulai pada awal tahun ke-3
- 8. c) Nominal interest rate. d) Effective interest rate. Jawaban a) Jumlah periode n = 2 x 12 = 24 periode. Nilai pinjaman itu di akhir tahun ke-2 F = P (1 + rn . n) = 1,000 (1 + 0,02(24)) = Rp 1,480.- b) Jumlah pinjaman diakhir tahun ke-2 adalah Rp 1,480.- maka nilai ini menjadi monthly disbursement selama 36 bulan dengan bunga 2%. A = P(A/P, rn %, 36) = 1,480 (0.0392) = $ 58.- c) Nominal interest rate rn = (12 x 2) % = 24 %. d) Effective interestrate =re = (1 + rn/M)甬 - 1 = (1 + 0.24/12)孫族 - 1 = 1.2682 1 = 0.2682 = 26.82 % Tabel T1.3 Rumus-rumus Discrete Compounding Untuk Menghitung Diketahui Faktor Pengali Nama Faktor Simbol Fungsi Faktor Single Cash Flow F P (1 + i)甦 Single payment Compound amount (F/P, i %, N) P F 1 . (1 + i)甦 Single Payment Present worth (P/F, i %, N) Uniform Series (Annuities) F A (1 + i)甦 - 1 i Uniform Series (F/A, i %, N) P A (1+i)甦 - 1 i(1+i)甦 Present Worth (P/A, i %, N) A F i . (1+i)甦 - 1 Sinking Fund (A/F, i %, N)
- 9. A P i(1+i)甦 (1+i)甦 - 1 Capital Recovery (A/P, i %, N) Arithmetic Gradient Series p G 1 [ (1 + I)甦 - 1 _ N] i i(1+ i)甦 (1+ i)甦 Gradient to present worth (P/G, i %, N) A G [ 1 - N ] I (1+i) 1 Gradient to uniform series (A/G, i %, N) Soal-soal 1) Berapakah jumlah interest yang harus dibayarkan atas pinjaman yang diambil ke Bank sebanyakRp.5,000,000.- pada tanggal 1 April 1985 dan dikembalikanpadatanggal 31 Maret 1990 dengan simple interest 15% ? 2) Berapa besarkahdikembalikantiaptahunsuatu pinjamansebesar Rp. 20,000,000.- selama8 tahun dengan bunga 12 %? 3) Buatlahsuatu diagram cash flowuntuk pinjamansebesarRp. 10,500,000.- menurutsimple interest 15% per-tahun selama 6 tahun. Berapakah lump sum dibayarkan pada akhir tahun ke-6 itu? Dikerjakan sampai dengan TANGGAL: 20 JANUARI 2017 PUKUL: 20.00 WIB