2. y’ = f’(x) – pirmās kārtas atvasinājums
y’’ = (y’)’ = (f’(x))’ = f’’(x)
y’’’ = (y’’)’ = (f’’(x))’ = f’’’(x)
y(n) = (y(n – 1))’ = (f(n – 1)(x)); = f(n)(x)
Otrās kārtas atvasinājumu apzīmē y’’, f’’(x) vai
d2y
dx 2
3. Otrās kārtas atvasinājums mehāniskā
interpretācija
X = x(t) – materiāla punkta taisnvirziena kustības
likums
Funkcijas x(t) atvasinājums x’(t) = v(t) – punkta
momentānais ātrums, laika funkcija
v = v(t + t) – v(t) – momentānā ātruma
pieaugums laika intervālā t
y
avid materiālā punkta vidējais
t paātrinājums intervālā t
4. Otrās kārtas atvasinājums mehāniskā
interpretācija
Materiāla punkta paātrinājums a laika momentā t ir
vidējā paātrinājums robeža, kad t 0
v
a lim a
t 0
vid lim
t 0 t
vt '
Tā kā v = xt’, tad a = vt’ = (xt’)t’ = xtt’’
Ja x = x(t) ir materiāla punkta taisnvirziena kustības
likums, tad punkta momentānais ātrums ir
funkcijas x(t) otrās kārtas atvasinājums
6. 1. Noteikt funkcijas definīcijas apgabalu,
pārtraukuma punktus un nepārtrauktības
intervālus.
2. Noteikt funkcijas paritāti, un vai funkcija ir
periodiska.
3. Noteikt grafika krustpunktus ar koordinātu
asīm un intervālus, kuros funkcija ir pozitīva,
kuros ir negatīva.
7. 4. Noteikt funkcijas monotonitātes intervālus un
ekstrēmus.
5. Noteikt funkcijas grafika izliekuma un
ieliekuma intervālus, kā arī pārliekuma
punktu koordinātas.
6. Atrast funkcijas grafika asimptotas.
8. 3
x
y 2
x 1
Pārtraukuma punkti: x = 1
Definīcijas apgabals: x (- ; -1) (-1; 1) (1; + )
Dotā funkcija ir nepāra.
3 3 3
x x x
f x 2 2 2
f x
x 1 x 1 x 1
Grafiks simetrisks pret koordinātu sākumpunktu
9. Funkcijas grafika krustpunkts ar Ox asi (0; 0).
Funkcijas grafika krustpunkts ar Oy asi (0; 0).
x (- ; -1) (-1; 0) (0; 1) (1; + )
y - + - +
Negatīvas Pozitīvas Negatīvas Pozitīvas
vērtības vērtības vērtības vērtības
10. 3
x
y 2
x 1
x3 ' x 2 1 x3 x 2 1 ' 3x 2 x 2 1 x3 2 x
y' 2 2
2 2
x 1 x 1
3x 4 3x 2 2 x 4 x 4 3x 2 x2 x2 3
2 2 2 2 2 2
x 1 x 1 x 1
2 2 2 2
x x 3 0 x 1 0
x2 0 x2 3 0 x2 1 0
x 0 x 3 x 1
11. x (- ; - 3) - 3 (- 3; -1) -1 (-1; 0)
y’ - 0 + Neeksistē +
y ↘ min ↗ Pārtraukta ↗
3 3
2
x 0 (0; 1) 1 (1; 3) 3 ( 3; + )
y’ 0 - Neeksistē - 0 +
y max ↘ Pārtraukta ↘ min ↗
0
3 3
2
12. x 3
x 4 3x 2
y y' 2
2 2
x 1 x 1
4 2 2 2 4 2 2 2
x 3x ' x 1 x 3x x 1 '
y' 4
2
x 1
3 2 2
4x 6x x 1 x 4 3x 2 2 x 2 1 x 2 '
2 4
x 1
2 3 2 4 2
x 1 4x 6x x 1 x 3x 2 2x
2 4
x 1
13. x 3
x 4 3x 2
y y' 2
2 2
x 1 x 1
x 2 1 4 x3 6 x x2 1 x 4 3x 2 4 x
2 4
x 1
4 x3 6 x x2 1 x 4 3x 2 4 x
2 3
x 1
4 x 5 4 x 3 6 x 3 6 x 4 x 5 12 x 3
2 3
x 1
3 2
2x 6x 2x x 3
2 3 2 3
x 1 x 1
14. x 3
x 4 3x 2
y y' 2
2 2
x 1 x 1
2x x2 3
y' ' 3
2
x 1
2 2 2 3
x x 3 0 x 1 0
2 2 2
x 0 x 3 0 x 1 0
x 0 x2 3 x 1
15. x (- ; -1) -1 (-1; 0) 0 (0; 1) 1 (1; + )
y - + 0 - +
Pārtrau Pārlieku Pārtrau
kuma ma kuma
punkts punkts punkts
16. Funkcijas vertikālās asimptotas ir x = -1 un x = 1.
Slīpā asimptota y = kx +3b
x
3
f x 2
x 1 x
k lim lim x lim x x 2 1
x x x x
3
x
3
x x 3 1
lim x
x
3
x lim x
x
3
x lim
x 1
1
3 3
1 2
x x x
17. 3
x
b lim
x
f x kx lim
x x 2
1
x
x
x3 x3 x x x2
lim
x x 2
1 x2 1 lim x
x
2
1 lim x
x
2
1
0
2 2
x x
Slīpā asimptota y = kx + b
k=1 b=0
Slīpā asimptota y = x
19. 2 n
Dots polinoms: Pn x a0 a1 x a2 x ... an x
2 n
Pn x A0 A1 x x0 A2 x x0 ... An x x0
Ja x = x0, tad Pn(x0) = A0
2 n 1
Pn ' x A1 2 A2 x x0 3A3 x x0 ... nAn x x0
Ja x = x0, tad Pn’(x0) = A1
20. 2 n
Dots polinoms: Pn x a0 a1 x a2 x ... an x
n 2
Pn ' ' x 1 2 A2 2 3A3 x x0 ... n 1 nAn x x0
Ja x = x0, tad Pn’’(x0) = 1∙2A2
Ja x = x0, tad Pn’’’(x0) = 1∙2∙3A3
Ja x = x0, tad Pn(n)(x0) = 1∙2∙3 ∙ … ∙ nAn=n! ∙An
n
Pn x0
An
n!
21. Teilora formula n-tās pakāpes polinomam
Pn(x) pēc binoma x – x0 pakāpēm
2 n
Dots polinoms: Pn x a0 a1 x a2 x ... an x
P 'n x0 P ' 'n x0 2
Pn x Pn x0 x x0 x x0 ...
1! 2!
n
Pn x0 n
x x0
n!
Teilora koeficienti
22. Teilora formula polinomam
P3(x) = 5 + 3x - 2x2 + x3 pēc binoma x - 2
2 3
P3 x 5 3x 2 x x P3 2 11
2
P3 ' x 3 4 x 3x P3 ' 2 7
P3 ' ' x 4 6x P3 ' ' 2 9
P3 ' ' ' x 6 P3 ' ' ' 2 6
2 3 7 8 2 6 3
5 3x 2 x x 11 x 2 x 2 x 2
1! 2! 3!
2 3 2 3
5 3x 2 x x 11 7 x 2 4x 2 x 2
23. Teilora formula funkcijai
n
f x Pn x o x x0 , x x0
f ' x0 f ' ' x0 2
f x f x0 x x0 x x0 ...
1! 2!
n
f x0 n
x x0 Rn x Atlikuma loceklis jeb
n! n-tais atlikums
n
Rn x0 R'n x0 ... Rn x0 0
24. Ja x0 = 0, tad Teilora formulu sauc par Maklorena formulu
f' 0 f '' 0 2
f x f 0 x x ...
1! 2!
n
f 0 n
x Rn x
n!
n 1
f c n1 Atlikuma loceklis
Rn x x , 0 c x Lagranža formā
n 1!
