2. Основная идея теории полезности: Заключается в замене многокритериальной задачи на однокритериальную. В качестве единственного критерия оптимальности выступает “ функция полезности ” v ( x ) , которая строится на основе дополнительной информации, поступающей от ЛПР в результате соответствующего диалога. Далее будем предполагать, что рассматривается проблема выбора в условиях определенности и каждой альтернативе соответствует единственный исход
3. В теории полезности предполагается: ЛПР в состоянии сравнивать между собой любые две многокритериальные оценки система предпочтений ЛПР удовлетворяет некоторым требованиям (аксиомам) выполняются определенные условия «независимости» для частных критериев от выполнения тех или иных условий независимости частных критериев зависит структура функции полезности
4. Переходим к более точному изложению Решается многокритериальная задача вида: где Х – исходное множество альтернатив (это множество объектов произвольной природы) - векторная оценка х
5. Аксиомы, определяющие основные свойства системы предпочтений ЛПР Аксиома связности. Для любых векторных оценок справедливо одно из соотношений:
7. 4. Архимедова аксиома : Теорема. Если система предпочтений ЛПР удовлетворяет аксиомам 1–4, то существует скалярная функция (функционал) u ( y ), которая ставит в соответствие каждой оценке y такое вещественное число u ( y ), что
8. Сформулированная теорема, по существу, дает ответ на вопрос: когда система предпочтений ЛПР, заданная для многокритериальной задачи на языке бинарных отношений, может быть сведена к задаче однокритериальной оптимизации
9. Перейдем к анализу условий независимости частных критериев, позволяющих заранее констатировать существование функций полезности с определенными желательными свойствами
10. Разобьем множество критериев на два подмножества F 1 , F 2 : Например, при m =6 можем иметь: Тогда различные элементы могут оцениваться как по группе критериев F 1 , так и по группе критериев F 2 .
11. Не ограничивая общности, можно полагать, что в множество F 1 входят какие-то первые s критериев f i , i =1,…, s , а в множество F 2 – оставшиеся критерии f i , i = s +1,…, m . ( Это достигается простой перенумерацией ч астных критериев ) . В результате любая оценка y = f ( x ) может быть представлена в виде y =( w , z ), где
12. Определение . Множество критериев F 1 не зависи т по предпочтению от дополняющего его подмножества F 2 тогда и только тогда, когда структура условного предпочтения в пространстве оценок w при фиксированном не зависит от . . Более точно : F 1 не зависит по предпочтению от F 2 в том и только в том случае, если
13. Замечание : из независимости по предпочтению F 1 от F 2 не следует , что F 2 также не зависит по предпочтению от F 1 Докажите это утверждение
14. Определение . Критерии взаимонезависимы по предпочтению, ес ли каждое подмножество F 1 этого множества критериев не зависит по предпочтению от своего дополнения F 2 .
15. Основная теорема Для критериев аддитивная функция полезности (где u i – функция полезности по критерию f i ) существует тогда и только тогда, когда критерии взаимонезависимы по предпочтению.
16. Обсуждение Аддитивные, а также частично аддитивные функции полезности строятся на практике наиболее просто Доказаны результаты, позволяющие облегчить процедуру проверки критериев на независимость (например, если каждая пара критериев не зависит по предпочтению от своего дополнения, то критерии взаимонезависимы) Для установления независимости часто используются смысловые интерпретации критериев
17. Недостаток методов теории полезности состоит в большом числе вопросов к пользователю и получении заведомо избыточной информации, позволяющей упорядочить все альтернативы по предпочтению, что изначально не требуется Многие авторы предпочитают альтернативный подход, основанный на идеях адаптивных процедур выбора вариантов, рассмотренных нами ранее
