![課題1
52
? 三次元空間上に3点A, B, Cがある。3点A,B,Cの位置ベクトル
a, b, cは、tをパラメータとして次のように表される。
これらをベクトルを各列にもつ行列をMとする。
1. Mの行列式を求めなさい。
2. Mの行列式が0となるtを求めなさい。
3. t=1のとき、平行6面体OABCの体積を求めなさい。
[ ]cbaMcba =
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データ解析2 线形代数の復习
- 1. データ解析 第2回 2018年4月19日 八谷 大岳 1
- 3. 内容：线形代数の復习 6 ? 行列の基礎 ? 行列の定義と応用例 ? 行列演算の基礎 ? 行列式、階数、逆行列 ? 固有値と固有値ベクトル
- 4. 行列の定義 7 ? スカラー値aijを長方形上に配置 第 i 行(row) 第 j 列(column) i行j列の要素(element) 行：m個 m×n行列(matrix) 列：n個 ??11 ? ????1 ? ?? ??? ? ? ? ??1?? ? ?????? ? ?? ???? ? ? ? ??1?? ? ???? ?? ? ?? ????
- 5. 行列とベクトルの関係 8 ? m x n行列は、n個のm次元の列ベクトルを配置 ? 同様にn x m行列は、m個のn次元の行ベクトルの配置 m次元の列ベクトル: ?? = ??11 ??21 ? ?? ??? ??12 ??22 ? ?? ??? ? ? ? ??1?? ??2?? ? ?? ???? = (??1, ??2 ? , ????) ??2
- 7. 行列の応用：表データ 10 ? 行：データ点（例：学生Aのデータ） ? 列：属性（例：身長、体重、胸囲） 身長 体重 胸囲 170 60 80 167 52 93 174 57 85 181 70 80 171 62 70 171 66 95 168 54 85 学 生 ７ 人 分 の デ ー タ 属性が３つである 37 8554168 9566171 7062171 8070181 8557174 9352167 8060170 × ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =A 行列で表現 行列は大文字の太字で表現
- 8. 内容：线形代数の復习 11 ? 行列の基礎 ? 行列の定義と応用例 ? 行列演算の基礎 ? 行列式、階数、逆行列 ? 固有値と固有値ベクトル
- 9. 正方行列とトレース（Trace） 12 ? 正方行列：行数と列数が等しいの行列 ? トレース（trace）：対角要素の和 対角要素 ???? ?? = ? ??=1 ?? ?????? ?? = ??11 ??21 ? ????? ??12 ??22 ? ????2 ? ? ? ??1?? ??2?? ? ?????? 行数：n 列数：n
- 10. 単位行列（Identity matrix） 13 ? 単位行列：対角成分が全て1、他の成分が全て0の正方行列 ? n次元単位行列のトレースは、n ? ? ? ≠ = = )(0 )(1 ji ji ijδ I = 1 0 ? 0 0 1 ? 0 ? ? ? ? ? 0 0 ? 1 = ??11 ??21 ? ????? ??12 ??22 ? ????? ? ? ? ? ? ????1 ????? ? ?????? ただし、δij は“クロネッカーのデルタ”
- 12. 行ベクトルと列ベクトルの積 15 ? 行ベクトルと列ベクトルの積（内積）：スカラー ? 列ベクトルと行ベクトルの積：行列 ? つまり、 ???? ?? = ??1 ??2 … ???? ??1 ??2 ? ???? = ??1 ??1+ ??2 ??2+ ? ???? ???? ?? ???? = ??1 ??2 ? ???? ??1 ??2 … ???? = ??1 ??1 ??2 ??1 ? ???? ??1 ??1 ??2 ??2 ??2 ? ???? ??2 ? ? ? ??1 ???? ??2 ???? ? ???? ???? ???? ?? ≠ ?? ????
- 13. 行列と列ベクトルの積 16 ? 行列と列ベクトルの積は、列ベクトル ? 一方、行ベクトルと行列の積は、行ベクトル ???? = ??11 ??21 ? ????? ??12 ??22 ? ????? ? ? ? ??1?? ??2?? ? ?????? ??1 ??2 ? ???? = ∑??=1 ?? ??1?? ???? ∑??=1 ?? ??2?? ???? ? ∑??=1 ?? ?????? ???? 各要素は線形和 ???? ?? = ∑??=1 ?? ???? ???? ? ? ∑??=1 ?? ???? ???? ??
- 14. ??’=???? = ??11 ??12 ? ??1?? ??21 ??22 ? ??2?? ? ? ? ?? ??1 ?? ??2 ? ?? ???? ??= ??11 ??21 ? ?? ??? ??12 ??22 ? ?? ??? ? ? ? ??1?? ??2?? ? ?? ???? 転置行列 17 ? 転置：行と列の入れ替え ? 転置の記号は、プライム（’）、トランスポーズ（T）と呼ぶ ? 対象行列の場合： n × m行列m × n 行列 転置 ??’= ??
- 15. 行列演算のレシピ 18 ? 和?スカラー倍 ? 積 交換法則：A + B = B + A 結合法則：(A + B) + C = A + (B + C) 分配法則：(k+l)A = kA + lA 分配法則：k(A + B) = kA + kB 結合法則：(kl)A = k(l)A 結合法則：(AB)C = A(BC) 分配法則：A(B + C) = AB + AC 分配法則：(B + C)A = BD + CD αはスカラー： (αA)B = α(AB) = A(αB)
- 16. 行列演算のレシピ 続き 19 ? 転置 ? 行列演算の資料としては、「The Matrix Cookbook」が有名 http://coin.wne.uw.edu.pl/pbiernacki/matrix_cookbook.pdf (A’)’ = A (A + B)’ = A’ + B’ (kA)’ = kA’ (AB)’ = B’A’ (ABC)’ = C’B’A’
- 17. 内容：线形代数の復习 20 ? 行列の基礎 ? 行列の定義と応用例 ? 行列演算の基礎 ? 行列式、階数、逆行列 ? 固有値と固有値ベクトル
- 18. 行列式 21 ? 行列式：正方行列の列ベクトルにより構成される立体の体積 ? 2次元の行列式の計算式： ?? = det(??) = ??1 ??2 ??3 ??1 ??2 ??3 ??1 ??2 ??3 ?? = det ?? = ?? ?? ?? ?? = ???? ? ???? ?? ?? ?? ?? 乗算して符号が正 乗算して符号が負 (a1,a2,a3) (b1,b2,b3) (c1,c2,c3)
- 19. 行列式の図形を用いた解釈（2次） 22 ? 2次正方行列の行列式： ? 2つの列ベクトルが張る平行四辺形 ? 平行四辺形の面積： ? 行列式は、列ベクトルが張る平行四辺形の符号付きの面積 ? ２つの列ベクトルが平行だった場合は、平行四辺形を構成できないので 行列式は０になる ?? = ?? ?? ?? ?? = ???? ? ???? ?? = ?? ?? ?? = ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? = abs(???? ? ????) abs:絶対値 ??
- 21. 3次の行列式の覚え方 24 ? サラスの公式 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a a a a a a a 乗算して符号が正 乗算して符号が負
- 22. 行列式の図形を用いた解釈（3次） 25 ? 3次正方行列の行列式 ? 3つの列ベクトルが張る平行6面体 ? 3次の行列式は平行6面体の符号付きの体積に等しい ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 3 2 1 3 2 1 3 2 1 ,, c c c b b b a a a cba 333 222 111 cba cba cba A = (a1,a2,a3) (b1,b2,b3) (c1,c2,c3)
- 23. 行列の階数（ランク） 26 ? 階数：行または列ベクトルの中で線形独立なベクトルの個数 ? 単純な線形独立な列ベクトルで構成される行列の例： ? 正規直交基底ベクトルで構成される行列 ? は線形（1次）独立 ? したがって、 ｘ y ｚ ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 0 0 1 i ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 0 1 0 j ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 0 0 k o A = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 = ??, ??, ?? {??, ??, ??} ???? ?? + ???? ?? + ???? ?? = ?? ???? = ???? = ???? = ??必要十分条件 rank(??) rank(??)=3
- 24. 非正方行列の階数 27 ? 行列の階数は、行と列の数の最小値以下 ? 表データの例：階数は3以下。属性の線形独立度合いを表す ? 階数が行と列の数の最小値より低い場合、「ランク落ち」という ? また、ランク落ちしている場合、行列式は「0」になる 37 8554168 9566171 7062171 8070181 8557174 9352167 8060170 × ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =A 身長 体重 胸囲 170 60 80 167 52 93 174 57 85 181 70 80 171 62 70 171 66 95 168 54 85 3)3,7min( ),min()( == ≤ mnrank A
- 25. 演習1： 28 1. 行列Cのトレースと行列式を求めなさい 2. 行列Cの階数（ランク）を求めなさい ? タイトル「演習レポート」、日付、学生番号、氏名を用紙の 一番上に記載 ? ? ? ? ? ? ? = 40 164 C
- 26. 演習2： 30 1. 行列Cの行列式を求めなさい 2. 行列Cの階数（ランク）を求めなさい ? タイトル「演習レポート」、日付、学生番号、氏名を用紙の 一番上に記載 ? ? ? ? ? ? = 41 164 C
- 27. 逆数と逆行列 32 ? スカラーの除算：逆数の乗算 ? 行列の除算：逆行列の乗算 ? 逆行列 が存在するとき、 は正則行列という ??????? = ?? = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 5 ÷ 5 = 5 × 1 5 = 5 × 5?1 = 1 ????? ?? ?? ≠ 0 必要十分条件??が正則行列 の行列式が非ゼロ??
- 28. 内容：线形代数の復习 33 ? 行列の基礎 ? 行列の定義と応用例 ? 行列演算の基礎 ? 行列式、階数、逆行列 ? 固有値と固有値ベクトル
- 29. 行列によるベクトルの変換 34 ? 行列Aと列ベクトルxの積：xをx’に変換 ? 変換の種類：回転?平行移動?伸縮 0 ??′ = A?? = 3 4 2 1 1 ?1 = 1 3 ??? = A?? ??
- 30. 固有値と固有ベクトルの例 35 ? ベクトルxが行列Aの固有ベクトルの場合 ? 変換後のx’：ベクトルxの大きさだけが変化（方向は変化無し） ? 固有値：ベクトルxからx’への拡大または縮小率 ： の固有ベクトル ??? = A?? ??′ = A?? = 3 4 2 1 1 1 = 5 5 = 5 1 1 = 5?? 0 ?? ?? = 1 1 A 5 A： の固有値(スカラー)
- 31. 固有値問題 36 ? 正方行列 の固有ベクトル と固有値 の条件: ? 固有値問題を解くことにより、固有ベクトルと固有値を求める ? から の逆行列が存在しない（正則行列ではない） ???? = ???? ?? ?? ≠ ?? ?? ?? ?? ??? = A?? = ???? (?? ? ????)?? = ?? 固有値問題 ??：単位行列 ?? ≠ ?? ?? ? ???? (?? ? ????)???(?? ? ????)?? = ?? = ??
- 32. 固有値問題を解く 37 ? は正則行列ではないので、 の行列式はゼロ ? 次の手順で固有値問題を解き固有値?ベクトルを求める 1. を について解き固有値 を求める 2. を解き固有ベクトル を求める ?? ≠ 0 必要十分条件??が正則行列 の行列式が非ゼロ?? ?? ? ???? ?? ? ???? |?? ? ????| = ?? |?? ? ????| = ?? ?? ???? (?? ? ???? ??)?? = ?? ????
- 36. 演習3： 42 1. 固有値を２つを求めなさい 2. 固有ベクトルを求めなさい ? タイトル「演習レポート」、日付、学生番号、氏名を用紙の 一番上に記載 A = 3 4 2 1
- 38. 固有値?固有ベクトルの性質2 47 ? 固有値の和は、行列のトレースと一致 ? トレース：行列の対角成分の和 両者は一致する 固有値の和は ? =+=+ =+=? ? ? ? ? ? = 624 633 31 13 21 λλ trtrA
- 40. 演習4： 50 ? タイトル「演習レポート」、日付、学生番号、氏名を用紙の 一番上に記載 ?? = 1 0.446 ?0.56 0.446 1 ?0.239 ?0.56 ?0.239 1 の固有値は ???? = 1.843, ???? = 0.768 である。 と???? |??| を求めなさい
- 41. 課題1 52 ? 三次元空間上に3点A, B, Cがある。3点A,B,Cの位置ベクトル a, b, cは、tをパラメータとして次のように表される。 これらをベクトルを各列にもつ行列をMとする。 1. Mの行列式を求めなさい。 2. Mの行列式が0となるtを求めなさい。 3. t=1のとき、平行6面体OABCの体積を求めなさい。 [ ]cbaMcba = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? = 1 1,1 2 , 0 3 t t t t
- 43. 課題3 54 ? 以下の4点a, b, c, dの、ベクトル変換後の座標をそれぞれ求め よ。また、それらの点の関係を述べよ。 ' 1 2 ' 2 4 x x y y ? ? ? ? ? ? =? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 行列によるベクトル変換： ?? = 1 1 ?? = 1 2 ?? = 2 1 ?? = 2 2
- 44. レポートの提出方法 55 ? 演習レポート： ? タイトル「演習レポート」、日付?学生番号?氏名を用紙の一番上に記載 ? 課題レポート ： ? タイトル「課題レポート」、出題日?学生番号?氏名を用紙の一番上に記載 ? 2ページ以上になる場合は、ホッチキス留め ? A4サイズの用紙を使用 ? 一度に複数の課題レポートを提出する場合出題日ごとに別々に綴じる