ݺߣ

ݺߣShare a Scribd company logo

Лекція2

•Download as PPTX, PDF•
•
C
CDN_IF

Параметричний метод вирівнювання геодезичних вимірів

1 of 18
Download to read offline
Лекція № 2 Основи параметричного методу вирівнювання. МЕТОДИ ВИРІВНЮВАННЯ БАГАТЬОХ ВИМІРЯНИХ ВЕЛИЧИН ЗМ1 ПАРАМЕТРИЧНИЙ МЕТОД ВИРІВНЮВАННЯ
Вибираємо необхідні невідомі Т1,…Тk, через які виражають виміряні величини X1,…Xn у вигляді функцій Хі=fi(Т1,…Тk), і=1,2,..,n . (1) Рівняння такого виду називають параметричними рівняннями зв’язку. Вибір необхідних невідомих параметрів – важливий момент у даному способі вирівнювання, оскільки від нього залежить степінь важкості розв’язуваних рівнянь, а відповідно і об’єм розрахунків. Позначимо рівняння значень виміряних величин через xi`=xi+vi, де vi – поправки до виміряних величин х, а зрівнювані значення необхідних невідомих – через t і запишемо xi+vi= fi(t1,…tk) (2) або vi= fi(t1,…tk)-xi, і=1,2,..,n . (3) Тепер умову [pv2]=min можна представити у вигляді . (4)    min n 2 p f t ,...t - x =i i i1 k i=1 Загальні особливості параметричного методу
У лівій частині виразу (4) невідомі величини t, тому його можна записати у вигляді деякої функції F(t1,…tk), тобто F(t1,…tk)=min. (5) Таким чином, розв’язок задачі вирівнювання по методу умовного екстремуму зведено шляхом уведення необхідних невідомих Т до задачі на абсолютний екстремум. Для цього потрібно скласти систему нелінійних рівнянь   v F =0 t , v=1,2,..k , (6) із яких можуть бути отримані невідомі t1,…tk. Однак, якщо рівняння (6) мають нелінійний вид, то їх розв'язок практично неможливий. Тому задачу вирішують наступним чином. Для параметрів tv знаходять наближені значення tv 0 , причому з такою точністю, щоби можна було привести функції fi(t1,…tk)=xi+ vi до лінійного виду шляхом розкладання у ряд Тейлора. Це дозволяє постійно слідувати завжди єдиному визначеному алгоритму порядку розрахунків.
Представимо невідомі t1,…tk у вигляді tv=tv 0+τv, (v=1,…k). (7) де tv 0 – наближені значення, τv – невідомі поправки до них. Підставивши ці значення tv у рівність (3), отримаємо (розклад у ряд Тейлора) vi = fi(t1 0+ τ1,… tk 0+ τk) - xi , і=1,2,..,n . (8) Розкладаючи функцію fi у ряд Тейлора, знаходимо систему рівнянь , і=1,2,..,n . (12) Лінійні рівняння (12) є параметричними рівняннями поправок. Якщо функції fi(t1,…tk) мають лінійний вид, то наближені значення tv0 можна не розраховувати. i1 i2 ik i+v = a τ + a τ ...a τ + li 1 2 k
Ураховуючи рівняння (12), умову [pv2 ]=min можна записати так n2 2pv p ( ) F( ,... ) min1i i1 i2 ik i k i 1           = a τ +a τ +...a τ +l1 2 k . (13) Задача розв’язується визначеною системою рівнянь   v =0,v=1,...k τ F (14) Візьмемо часткові похідні та прирівняємо їх нулю      n1 1 1 n n v 1 1 vv = 2p v +...+2p v =0 τ τ τ F . (15) Скоротимо рівняння (15) на 2   n i1 1 i 1 a v 0 2      i i v = p v = pa τ F . (16)
Ураховуючи рівняння (12), знаходимо i  i1 1 v = a τ , i  i2 2 v = a τ , i k   ik v = a τ , налогічно рівнянню (16)      2 3 kv 0, v 0,..., v 0  pa pa pa . Отже, отримані рівності       1 2 k v 0 v 0 ................ v 0         pa pa pa (17). Підставивши у рівняння (17) замість vi праві частини рівнянь поправок (12), тримаємо k лінійних рівнянь з k невідомими τ1,…τk. Перемноживши на piai1 і т.д. та просумувавши результати отримаємо
                               1 1 1 1 2 2 1 k k 1 1 2 1 2 2 2 2 k k 2 1 k 1 2 k 2 k k k k pa a τ + pa a τ + ...+ pa a τ + pa l = 0 pa a τ + pa a τ + ...+ pa a τ + pa l = 0 ................................................................................. pa a τ + pa a τ + ...+ pa a τ + pa l = 0 . (18) Для рівноточних вимірів р=1. Рівняння (18) називаються нормальними рівняннями, вони представляють собою истему k лінійних рівнянь з k невідомими. Розв'язком є значення поправок τv до аближених значень потрібних невідомих.
Лінійна система нормальних рівнянь відрізняється наступними особливостями: 1) по діагоналі, розташованої зліва вниз направо, стоять коефіцієнти які завжди додатні: їх називають квадратичними, а вказану діагональ – квадратичною; 2) інші, неквадратичні, коефіцієнти розташовані симетрично відносно квадратичної діагоналі. Отримавши поправки τ1,…τk, далі за допомогою рівнянь поправок (12) знаходять поправки vi і після того зрівнювані значення виміряних величин xi `=xi+vi і невідомих tv=tv 0+τv (7). Для контролю можуть слугувати рівняння (2) – xi+vi= fi(t1,…tk), і=1,2,..,n.
Матричне подання параметричного методу
Задачу зрівнювання параметричним способом розв’язують у такій послідовності.
Лекція2
Лекція2
Складання і розв’язок систем нормальних рівгянь при застосуванні параметричного методу
Лекція2
Оцінка точності результатів при застосуванні параметричного методу
кількості необхідних вимірів; б) кількості усіх вимірів; в) кількості надлишкових вим овних рівнянь; д) кількості корелат. Параметричне рівняння поправок має вигляд: , де – це: істинне значення виміряної величини; б) урівноважене значення виміряної величин ачення величини; г) параметр; д) нев’язка. Кількість параметричних рівнянь поправок рівна: кількості необхідних вимірів; б) кількості усіх вимірів; в) кількості надлишкових ви раметрів; д) подвоєній кількості необхідних вимірів. Врівноважене значення для величини Xi записується так: , де: – виміряне значення величини Xi, – поправка до результату вимірювання ; б) – ви личини Xi, – нев’язка; в) – середнє значення величини Xi, – поправка до результату реднє значення величини Xi, – нев’язка; д) середнє значення величини Xi, – корелат Врівноважене значення для параметра записується так: , де: – виміряне значення параметра , – поправка до результату вимірювання; б) – істи раметра , – поправка до результату вимірювання; в) – виміряне значення параметр ближене значення параметра , – нев’язка; д) – наближене значення параметра , – п ближеного значення. Система параметричних рівнянь у лінійному вигляді записується так: ; б) ; ; г) ; .
вектор параметрів; г) вектор поправок до наближених значень параметрів ; д) век членів. 19. У матричній формі систему параметричних рівнянь поправок можна записа L: а) матриця коефіцієнтів даної системи; б) матриця поправок до наближених значен параметрів ; в) матриця наближених значень параметрів; г) вектор поправок до на значень параметрів ; д) вектор вільних членів. 20. У матричній формі систему параметричних рівнянь поправок можна записа V: а) матриця коефіцієнтів даної системи; б) матриця поправок до наближених значен параметрів ; в) вектор поправок до результатів вимірювань; г) вектор поправок до наближених значень параметрів ; д) вектор вільних членів. 21. Обернені ваги врівноважених параметрів знаходяться : а) в першому рядку матриці нормальних рівнянь; б) в останньому стовпчику оберне коефіцієнтів нормальних рівнянь; в) на головній діагоналі матриці нормальних рівн головній діагоналі оберненої матриці коефіцієнтів нормальних рівнянь; д) в першом стовпчику матриці коефіцієнтів нормальних рівнянь.
1. Середня квадратична похибка одиниці ваги нерівноточного вимірювання "0.2 діагональні елементи оберненої матриці коефіцієнтів нормальних рівнянь дорівнюють 0,4 0,9 0,3 0,4 Q . Чому дорівнює середня квадратична похибка третього врівноваженого параметра? а) ±4.5″; б) ±7.0″; в) ±1.0″; г) ±11.0″; д) ±6.0″.

More Related Content

Лекція2

  • 1. Лекція № 2 Основи параметричного методу вирівнювання. МЕТОДИ ВИРІВНЮВАННЯ БАГАТЬОХ ВИМІРЯНИХ ВЕЛИЧИН ЗМ1 ПАРАМЕТРИЧНИЙ МЕТОД ВИРІВНЮВАННЯ
  • 2. Вибираємо необхідні невідомі Т1,…Тk, через які виражають виміряні величини X1,…Xn у вигляді функцій Хі=fi(Т1,…Тk), і=1,2,..,n . (1) Рівняння такого виду називають параметричними рівняннями зв’язку. Вибір необхідних невідомих параметрів – важливий момент у даному способі вирівнювання, оскільки від нього залежить степінь важкості розв’язуваних рівнянь, а відповідно і об’єм розрахунків. Позначимо рівняння значень виміряних величин через xi`=xi+vi, де vi – поправки до виміряних величин х, а зрівнювані значення необхідних невідомих – через t і запишемо xi+vi= fi(t1,…tk) (2) або vi= fi(t1,…tk)-xi, і=1,2,..,n . (3) Тепер умову [pv2]=min можна представити у вигляді . (4)    min n 2 p f t ,...t - x =i i i1 k i=1 Загальні особливості параметричного методу
  • 3. У лівій частині виразу (4) невідомі величини t, тому його можна записати у вигляді деякої функції F(t1,…tk), тобто F(t1,…tk)=min. (5) Таким чином, розв’язок задачі вирівнювання по методу умовного екстремуму зведено шляхом уведення необхідних невідомих Т до задачі на абсолютний екстремум. Для цього потрібно скласти систему нелінійних рівнянь   v F =0 t , v=1,2,..k , (6) із яких можуть бути отримані невідомі t1,…tk. Однак, якщо рівняння (6) мають нелінійний вид, то їх розв'язок практично неможливий. Тому задачу вирішують наступним чином. Для параметрів tv знаходять наближені значення tv 0 , причому з такою точністю, щоби можна було привести функції fi(t1,…tk)=xi+ vi до лінійного виду шляхом розкладання у ряд Тейлора. Це дозволяє постійно слідувати завжди єдиному визначеному алгоритму порядку розрахунків.
  • 4. Представимо невідомі t1,…tk у вигляді tv=tv 0+τv, (v=1,…k). (7) де tv 0 – наближені значення, τv – невідомі поправки до них. Підставивши ці значення tv у рівність (3), отримаємо (розклад у ряд Тейлора) vi = fi(t1 0+ τ1,… tk 0+ τk) - xi , і=1,2,..,n . (8) Розкладаючи функцію fi у ряд Тейлора, знаходимо систему рівнянь , і=1,2,..,n . (12) Лінійні рівняння (12) є параметричними рівняннями поправок. Якщо функції fi(t1,…tk) мають лінійний вид, то наближені значення tv0 можна не розраховувати. i1 i2 ik i+v = a τ + a τ ...a τ + li 1 2 k
  • 5. Ураховуючи рівняння (12), умову [pv2 ]=min можна записати так n2 2pv p ( ) F( ,... ) min1i i1 i2 ik i k i 1           = a τ +a τ +...a τ +l1 2 k . (13) Задача розв’язується визначеною системою рівнянь   v =0,v=1,...k τ F (14) Візьмемо часткові похідні та прирівняємо їх нулю      n1 1 1 n n v 1 1 vv = 2p v +...+2p v =0 τ τ τ F . (15) Скоротимо рівняння (15) на 2   n i1 1 i 1 a v 0 2      i i v = p v = pa τ F . (16)
  • 6. Ураховуючи рівняння (12), знаходимо i  i1 1 v = a τ , i  i2 2 v = a τ , i k   ik v = a τ , налогічно рівнянню (16)      2 3 kv 0, v 0,..., v 0  pa pa pa . Отже, отримані рівності       1 2 k v 0 v 0 ................ v 0         pa pa pa (17). Підставивши у рівняння (17) замість vi праві частини рівнянь поправок (12), тримаємо k лінійних рівнянь з k невідомими τ1,…τk. Перемноживши на piai1 і т.д. та просумувавши результати отримаємо
  • 7.                                1 1 1 1 2 2 1 k k 1 1 2 1 2 2 2 2 k k 2 1 k 1 2 k 2 k k k k pa a τ + pa a τ + ...+ pa a τ + pa l = 0 pa a τ + pa a τ + ...+ pa a τ + pa l = 0 ................................................................................. pa a τ + pa a τ + ...+ pa a τ + pa l = 0 . (18) Для рівноточних вимірів р=1. Рівняння (18) називаються нормальними рівняннями, вони представляють собою истему k лінійних рівнянь з k невідомими. Розв'язком є значення поправок τv до аближених значень потрібних невідомих.
  • 8. Лінійна система нормальних рівнянь відрізняється наступними особливостями: 1) по діагоналі, розташованої зліва вниз направо, стоять коефіцієнти які завжди додатні: їх називають квадратичними, а вказану діагональ – квадратичною; 2) інші, неквадратичні, коефіцієнти розташовані симетрично відносно квадратичної діагоналі. Отримавши поправки τ1,…τk, далі за допомогою рівнянь поправок (12) знаходять поправки vi і після того зрівнювані значення виміряних величин xi `=xi+vi і невідомих tv=tv 0+τv (7). Для контролю можуть слугувати рівняння (2) – xi+vi= fi(t1,…tk), і=1,2,..,n.
  • 10. Задачу зрівнювання параметричним способом розв’язують у такій послідовності.
  • 13. Складання і розв’язок систем нормальних рівгянь при застосуванні параметричного методу
  • 15. Оцінка точності результатів при застосуванні параметричного методу
  • 16. кількості необхідних вимірів; б) кількості усіх вимірів; в) кількості надлишкових вим овних рівнянь; д) кількості корелат. Параметричне рівняння поправок має вигляд: , де – це: істинне значення виміряної величини; б) урівноважене значення виміряної величин ачення величини; г) параметр; д) нев’язка. Кількість параметричних рівнянь поправок рівна: кількості необхідних вимірів; б) кількості усіх вимірів; в) кількості надлишкових ви раметрів; д) подвоєній кількості необхідних вимірів. Врівноважене значення для величини Xi записується так: , де: – виміряне значення величини Xi, – поправка до результату вимірювання ; б) – ви личини Xi, – нев’язка; в) – середнє значення величини Xi, – поправка до результату реднє значення величини Xi, – нев’язка; д) середнє значення величини Xi, – корелат Врівноважене значення для параметра записується так: , де: – виміряне значення параметра , – поправка до результату вимірювання; б) – істи раметра , – поправка до результату вимірювання; в) – виміряне значення параметр ближене значення параметра , – нев’язка; д) – наближене значення параметра , – п ближеного значення. Система параметричних рівнянь у лінійному вигляді записується так: ; б) ; ; г) ; .
  • 17. вектор параметрів; г) вектор поправок до наближених значень параметрів ; д) век членів. 19. У матричній формі систему параметричних рівнянь поправок можна записа L: а) матриця коефіцієнтів даної системи; б) матриця поправок до наближених значен параметрів ; в) матриця наближених значень параметрів; г) вектор поправок до на значень параметрів ; д) вектор вільних членів. 20. У матричній формі систему параметричних рівнянь поправок можна записа V: а) матриця коефіцієнтів даної системи; б) матриця поправок до наближених значен параметрів ; в) вектор поправок до результатів вимірювань; г) вектор поправок до наближених значень параметрів ; д) вектор вільних членів. 21. Обернені ваги врівноважених параметрів знаходяться : а) в першому рядку матриці нормальних рівнянь; б) в останньому стовпчику оберне коефіцієнтів нормальних рівнянь; в) на головній діагоналі матриці нормальних рівн головній діагоналі оберненої матриці коефіцієнтів нормальних рівнянь; д) в першом стовпчику матриці коефіцієнтів нормальних рівнянь.
  • 18. 1. Середня квадратична похибка одиниці ваги нерівноточного вимірювання "0.2 діагональні елементи оберненої матриці коефіцієнтів нормальних рівнянь дорівнюють 0,4 0,9 0,3 0,4 Q . Чому дорівнює середня квадратична похибка третього врівноваженого параметра? а) ±4.5″; б) ±7.0″; в) ±1.0″; г) ±11.0″; д) ±6.0″.