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統計的推定の基礎２
分散の推定
市東亘
2021 年 9 月 9 日
1 はじめに
証券の収益率は Rt は，平均 β を中心に，Rt ～ iid(β, σ2
)，εt ～ iid(0, σ2
) で統計モデル，
1
Rt = β + εt t = 1, · · · , T (1)
に従うと仮定した．ここで，Rt の期待値 β の推定の仕方は既に学んだが，母集団分散 σ2
はまだ
分かっていない．
さらに，Rt の期待値の推定値 b の分散は，V ar[b] = σ2
/T なため，推定量 b の性質を知る際に
も母集団分散 σ2
が必要である．ここでは，標本データから，どのようにして母集団分散を推定す
るかを学ぶ．
Rt の期待値を推定するのに用いた最小二乗法の問題，
min
b
S =
T
∑
t=1
(rt ? b)2
は，分散 σ2
の項を含まないので，この方法で分散を推定することはできない．
ここでは，以下のようなアプローチで母集団分散 σ2
を推定する．誤差項 εt の期待値は，E[εt] = 0
であったことを思い出そう．したがって，σ2
は以下のように書くことができる．
σ2
= V ar[εt] = E[ε2
t ] (2)
練習問題 1 (2) 式の V ar[εt] = E[ε2
t ] を導出せよ．
(2) 式より，我々が求めたい母集団分散は誤差項の 2 乗 ε2
t の期待値と等しいことが分かる．確率
変数の期待値の推定はもう既に学んだ．すなわち，ε2
t の母集団は観察不可能だが，その標本デー
タから，確率変数 ε2
t の期待値を最小二乗法を用いて推定することができる．その結果はもう既に
学んだ通り算術平均を求めればよい．
しかし，ここにひとつ問題が生じる．(1) 式から，εt = Rt ? β である．εt の標本を得るには，Rt
の標本を抽出し，そこから β を引かなければならない．もし，β の正確な値が分かっていれば，σ2
1εt は確率変数であったことを思い出そう．各期 t，( t = 1, · · · , T ) の誤差項は，その期にならなければ確定しないた
め確率変数である．一方，β は仮定より定数である．β はこのモデルの中では定数であるが，β には定数であればどのよう
な数値が入ってもよい．このように，
、
?
定
、
?
数
、
?
を
、
?
表
、
?
す
、
?
変
、
?
数を特にパラメータと呼ぶ．
1

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の推定量 σ?2
は，
σ?2
=
(R1 ? β)2
+ (R2 ? β)2
+ · · · + (RT ? β)2
T
(3)
=
ε2
1 + ε2
2 + · · · + ε2
T
T
(4)
で表される．しかし，β は Rt の母集団期待値で，その真の値を我々は知らない．
ここで，εt = Rt ? β の β をその推定量 b で置き換え，et を
et = Rt ? b (5)
と定義すると，以下のように σ2
のもう一つの推定量を得る．
σ?2
=
e2
1 + e2
2 + · · · + e2
T
T
=
T
∑
t=1
e2
t /T (6)
この推定量は，前回学んだ一致性を満たす期待値の推定量に基づいており，非常に受け入れやすい
推定方法だろう．しかし，この推定量が本当に適切かどうかを判断するには，その性質を詳しく調
べる必要がある．すなわち，標本データから推定された σ?2
の期待値は母集団のそれと一致するの
か，さらに推定値はどれくらいのばらつきがあるのかを調べる必要がある．
2 分散の不偏推定量
まず，(6) 式で導出した σ?2
の期待値をとってみよう．
E[σ?2
] = E[
T
∑
t=1
e2
t ]/T (7)
ここで，E[e2
t ] について考える．et = Rt ? b，Rt = β + εt，R? = β + ε? であることを考慮すると，
et = εt ? ε? と書き換えられる．ただし，R? =
∑T
t=1 Rt/T，ε =
∑T
t=1 εt/T である．したがって，
E[e2
t ] = E[(εt ? ε?)2
]
= E[ε2
t ] ? 2E[εtε?] + E[ε?2
] (8)
となる．(8) 式の各項を見ていく．一項目は，
εt ～ iid(0, σ2
)
より σ2
になる．二項目は，εt が仮定より各期独立で，E[εiεj] = 0，for i ?= j なので以下を得る．
E[εtε?] = E
[
εt
∑T
i εi
T
]
=
σ2
T
西南学院大学経済学部 2 演習 I?II 市東亘

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三項目も，上と同様各期独立の仮定を用いると，σ2
/T になることが分かる．以上をまとめると，
(8) 式は，
E[e2
t ] = σ2
? 2
σ2
T
+
σ2
T
=
(T ? 1)σ2
T
になり，T 個の誤差項の和をとると，
E[
T
∑
t
e2
t ] = (T ? 1)σ2
(9)
を得る．(9) 式を (7) 式に代入すると，
E[σ?2
] =
(T ? 1)σ2
T
< σ2
で，この推定量は分散を小さく見積り過ぎていることが分かる．したがって，biased estimator
である．(9) 式を見ると，不偏推定量を求めるには，誤差項の平方和を T ではなく T ? 1 で割って
やればよいことが分かる．つまり，母集団分散 σ2
の不偏推定量 σ?2
は，
σ?2
=
∑T
t e2
t
T ? 1
になる．
練習問題 2 不偏分散推定量を求める上の手順にならい，証券 A と証券 B の収益率の共分散 σAB
の不偏推定量 σ?AB が
σ?AB =
∑T
t eAteBt
T ? 1
になることを示せ．
西南学院大学経済学部 3 演習 I?II 市東亘

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