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Pei Dong
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3.2.2 函数模型的应用实例 1 ．根据收集到的数据作出 _______ ，并通过观察 _____ 判断 问题所适用的 ___________ ，利用计算器的数据拟合功能得出具 体的函数解析式． 散点图 图象 函数模型 2 ．已知 y 与 x 是一次函数关系，当 x ＝ 2 时， y ＝ 6 ；当 x ＝ 3 时， y ＝ 8 ，则 y 与 x 的函数关系是 _________.y ＝ 2x ＋ 2
重点 利用函数模型解决实际问题 (1) 一般地，函数模型方法为“设变量→找关系→求结果”． (2) 利用函数模型解应用题的基本步骤： ① 审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰 当选择数学模型； 2 400 3．计算机成本不断下降，若每隔 3 年计算机价格降低 1 3， 现在为 8 100 元的计算机，则 9 年后的价格降为_______. 4．平均增长率(减少率)：原产值基础数 N，平均增长(减少) 率为 P，则对于时间 x 的总产量 y＝____________________．N(1 ＋ P)x ( 或 N(1 － P)x )
② 建模：将文字语言、图形 ( 或者数表 ) 等转化为数学语言， 利用数学知识，建立相应的数学模型； ③ 求模：求解数学模型，得出数学结论； ④ 还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际 问题的意义． 难点 函数模型应用的主要类型 (1) 利用给定的函数模型解决实际问题．其关键是考虑考查 的是何种函数，并注意定义域，结合所给模型，列出函数关系 式，最后结合其实际意义作出解答．
(2) 建立确定性函数模型解决实际问题．其关键是抓住几个 步骤：①读懂题意；②正确建立函数关系；③转化为函数问题 解决；④作答． (3) 建立拟合函数模型解决实际问题．大多数实际问题都不 能事先知道函数模型，需要通过科学观察和测试得到一些数据， 画出散点图，根据散点图的形状通过函数拟合的方法确定函数 模型．
利用给定的函数模型解决实际问题 例 1：设在海拔 x m 处的大气压强是 y Pa，y 与 x 之间的函 数关系式是 y＝cekx ，其中 c、k 为常量．已知某天海平面的大气 压为 1.01× 105 Pa,1 000 m 高空的大气压为 0.90× 105 Pa，求 600 m 高空的大气压强(结果保留 3 个有效数字)? 思维突破：已知函数模型，需待定 c、k，根据 x＝0，y＝ 1.01× 105 Pa 和 x＝1 000 m，y＝0.90× 105 Pa 来求．
解：将 x＝0，y＝1.01× 105 ，x＝1 000，y＝0.90× 105 分别 代入函数 y＝cekx ，得 ?? ? ??1.01× 105 ＝cek·0 0.90× 105 ＝ce1 000k ，∴ ?? ? ??c＝1.01× 105 ① 0.90× 105 ＝ce1 000k ② . 将①代入②式，得 0.90× 105 ＝1.01× 105 × e1 000k ， ∴k＝ 1 1 000ln 0.90 1.01，
对于给出函数关系式的应用题，需利用待定 系数法求出具体的函数关系式，再进行下一步的应用． 用 算器算得计 k≈ －1.15× 10 －4 . ∴y＝1.01× 105 × . 将 x＝600 代入上述函数式， 得 y＝1.01× 105 × ， 由 算器算得计 y≈ 0.943× 105 Pa. 故在 600 m 高空的大气 强压 约为 0.943× 105 Pa.
1－1.已知某工厂生产某种产物的月产量 y 与月份 x 满足关 系 y＝a ? ? ? ? ? ?1 2 x ＋b.现已知该厂今年 1 月、2 月生产该产物分别为 1 万件、1.5 万件．则此厂 3 月份该产物的产量为( ) A．1.65 万件 B．1.75 万件 C．1.85 万件 D．2.5 万件 解析：由 ? ? ? ? ?1 2a＋b＝1 1 4a＋b＝1.5 ，解得 ?? ? ??a＝－2 b＝2 .所以 y＝-2· ? ? ? ? ? ?1 2 x +2. 当则 x＝3 ，时 y＝－2× 1 8＋2＝1.75.故选 B. B
1－2.某商品的市场日需求量 Q1 和日产量 Q2 均为价格 P 的 函数，且 Q1＝144· ? ? ? ? ? ?1 2 P ＋12，Q2＝6× 2P ，日总成本 C 对于日产 量 Q2 的关系式为 C＝10＋ 1 3Q2. (1)Q1＝Q2 时的价格称为均衡价格，求此均衡价格 P0； (2)当 P＝P0 时，求日利润 L 的大小．
解：(1)根据 意有题 Q1＝Q2， 则 144· ? ? ? ? ? ?1 2 P ＋12＝6× 2P ， 即(2P )2 －2·2P －24＝0， 解得 2P ＝6, 2P ＝－4(舍去)，∴P＝log26. 故 P0＝P＝log26，即均衡价格为 log26 元． (2)由于利 ＝收益－成本，故润 L=Q1P-C=Q2P-C=6× × log26- =36log26－22. 故 P＝P0 ，利时 润为(36log26－22)元．
建立确定性的函数模型解决问题 例 2 ：某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 4 吨时每吨为 1.80 元，当用水超过 4 吨时，超过部分每吨 3.00 元，某月甲、乙两户共交水费 y 元，已知甲、乙两用户该月用 水量分别为 5x 、 3x( 吨 ) ． (1) 求 y 对于 x 的函数； (2) 若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元，分别求出甲、乙两 户该月的用水量和水费． 思维突破：用水量的不同，收费标准不同，需分段列函数 式．
解：(1)当甲的用水量不超过 4 ，即吨 5x≤ 4 ，乙的用水时 量也不超过 4 ，吨 y＝(5x＋3x)× 1.8＝14.4x； 当甲的用水量超过 4 ，乙的吨 用水量不超过 4 ，即吨时 3x≤ 4 且 5x＞4，y＝4× 1.8＋3x× 1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8； 当乙的用水量超过 4 ，即吨时 3x＞4， y＝2× 4× 1.8＋3(3x－4)＋3(5x－4)＝24x－9.6. 所以 y= .
(2)由于 y＝f(x)在各段区 上均 增，间 为单调递 当 x∈ ? ? ? ? ? ? 0， 4 5 ，时 y≤ f ? ? ? ? ? ?4 5 ＜26.4； 当 x∈ ? ? ? ? ? ?4 5， 4 3 ，时 y≤ f ? ? ? ? ? ?4 3 ＜26.4； 当 x∈ ? ? ? ? ? ?4 3，＋∞ ，时 令 24x－9.6＝26.4，解得 x＝1.5. 所以甲 用水量户 为 5x＝7.5(吨)， 水费 S1＝4× 1.8＋3.5× 3＝17.7(元)； 乙 用水量户 为 3x＝4.5(吨)， 水费 S2＝4× 1.8＋0.5× 3＝8.7(元)．
2 － 1. 设不法商贩将彩电先按原价提高 40% ，然后在广告上 写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚 270 元，那么每台彩电的原价为 ______ 元．2 250 解析： 原价设 为 a 元，依 意有题 a(1＋40%)× 80%＝a+270， 解得 a＝2 250.
2－2.经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近 20 天内 的销售量(件)与价格(元)均为时间 t(天)的函数，且销售量近似满 足 g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足 f(x)＝20－ 1 2|t－10|(元)． (1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤ t≤ 20)的函数 表达式； (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值． 解：(1)y＝g(t)·f(t) ＝(80－2t) ? ? ? ? ? ? 20－ 1 2|t－10| ＝(40－t)(40－|t－10|) ＝ ?? ? ??(30＋t)(40－t)(0≤ t<10) (40－t)(50－t)(10≤ t≤ 20. .
(2)当 0≤ t<10 ，时 y 的取 范 是值 围 [1 200,1 225]， 在 t＝5 ，时 y 取得最大值为 1 225； 当 10≤ t≤ 20 ，时 y 的取 范 是值 围 [600,1 200]， 在 t＝20 ，时 y 取得最小值为 600. ∴第 5 天，日 售销 额 y 取得最大值为 1 225 元． 第 20 天，日 售销 额 y 取得最小值为 600 元．
年度 2003 2004 2005 2006 2007 2008 收入 ( 万元 ) 25 899 30 504 37 997 48 898 66 800 85 000 建立拟合函数模型解应用题 例 3 ：某县经济委员会调查得来的 2003 ～ 2008 年县财政收 入情况： (1) 请建立一个数学模型，预测该县以后几年的财政收入情况； (2) 计算这个县财政收入的平均增长率； (3) 由 (1)(2) 分别预测 2009 年这个县的财政收入，并讨论哪 种预测结果更有可能性．假如你是县长，将会采用哪种模型？
解： (1) 通过题意画出散点图，如图 1. 图 1 由图可知此数学模型为二次函数或指数函数，但是具体是 哪个模型，需要求出两个函数模型进行比较． 思维突破：根据散点图，选择适当的模型
设 f(x)＝ax2 ＋bx＋c(a≠0，x≥1)， 将已知数据代入，得 f(1)＝a＋b＋c≈2.59， f(2)＝4a＋2b＋c≈3.05， f(3)＝9a＋3b＋c≈3.8. 解得 a＝0.145，b＝0.025，c＝2.42. ∴ f(x)＝0.145x2 ＋0.025x＋2.42. 算得计 f(4)＝4.84，f(5)＝6.17，f(6)＝7.79，与 差分实际误 别为 0.05,0.51,0.71.
设 g(x)＝ax ＋b，将已知数据代入，得 g(1)＝a＋b≈2.59，g(2)＝a2 ＋b≈3.05， 解得 a≈1.35，b≈1.25.∴ g(x)＝1.35x ＋1.25. 算得计 g(4)≈4.57，g(5)≈5.73，g(6)≈7.30，与 差分实际误 别 为 0.32,0.95,1.20. 对两个函数模型 行 价，进 评 f(x)＝0.145x2 ＋0.025x＋2.42 与 的 差 小．实际 误 较 (2)设 2003～2008 年 政收入的年平均年增 率县财 长 为 a，则 2.59(1＋a)5 ＝8.5，解得 a≈26.83%.
(3) 从增长率的角度再建立一个财政收入的数学模型，可以 得到 h(x) ＝ 2.59(1 ＋ 26.83%)x. 用 f(x) 和 h(x) 分别预测 2009 年的财政收入， f(7) ＝ 9.7 ， h(6)≈10.78. 经过分析知这个县经济发展形势，两种预测都有可能性， 但是 f(x) 比较稳定，所以选用 f(x) 较好． 对于完全未建立模型的函数应用题，其建模 步骤为：①收集数据；②画散点图；③选择函数模型；④求解 函数模型；⑤检验；⑥检验符合实际，用函数模型解释实际问 题；若检验不符合实际，则返回③，重复上述步骤即可．
x － 2.0 － 1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 C ． y ＝ ax ＋ b 3 － 1. 在一次数学实验中，运用图形、计算器采集到如下一 组数据： 则 x 、 y 的函数关系与下列哪类函数最接近 ( 其中 a 、 b 为待 定系数 )( )B A ． y ＝ a ＋ bx B ． y ＝ a ＋ bx 2 D ． y ＝ a ＋ b x 解析：由表可知， y 的增长速度越来越快．
t( 年 ) 1 2 3 4 5 6 h( 米 ) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7 3 － 2. 某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高 度 h( 米 ) 与生长时间 t( 年 ) 的相关数据，选择 y ＝ at ＋ b 与 y ＝ loga(t ＋ 1) 来刻画 h 与 t 的关系，你认为哪个符合？并预测第 8 年的松树高度 . 解：据表中数据做出散点图如图 13. 图 13
由 可以看出用一次函数模型不吻合， 用 数型函数比图 选 对 合理．较 不妨将(2,1)代入到 y＝loga(t＋1)中， 得 1＝loga3，解得 a＝3. 故可用函数 y＝log3(t＋1)来 合 个 ．拟 这 实际问题 当 t＝8 ，求得时 h＝log3(8＋1)＝2. 故可 第预测 8 年松 的高度树 为 2 米．
例 4 ：如图 2 ，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝ a ， BC ＝ b(a ＞ b) 在 AB 、 AD 、 CD 、 CB 上分别截取 AE 、 AH 、 CG 、 CF 都等于 x ， 当 x 为何值时，四边形 EFGH 的面积最大？求出这个最大面积． 图 2 错因剖析：忽略自变量 x 的取值范围，或误认为其范围为 0 ＜ x≤a.
正解： 四 形设 边 EFGH 的面积为 S，由 意得题 S△AEH＝S△CFG＝ 1 2x2 ，S△BEF＝S△DHG＝ 1 2(a－x)(b－x)． 由此得 S＝ab－2 ? ? ? ? ? ?1 2x2 ＋ 1 2(a－x)(b－x) ＝－2x2 ＋(a＋b)x ＝－2 ? ? ? ? ? ? x－ a＋b 4 2 ＋ (a＋b)2 8 . 由 意可得函数的定 域题 义 为{x|0＜x≤ b}． ∵a＞b＞0，∴0＜b＜ a＋b 2 .
当 a＋b 4 ≤ b，即 a≤ 3b ，时 x＝ a＋b 4 ，使面积 S 取得最大值 (a＋b)2 8 ； 当 a＋b 4 ＞b，即 a＞3b，函数 S(x)在(0，b]上是增函数， ∴当 x＝b ，面时 积 S 取得最大值 ab－b2 . 上可知，若综 a≤ 3b，当 x＝ a＋b 4 ，四 形时 边 EFGH 的面积 S 取得最大值 (a＋b)2 8 ；若 a＞3b，当 x＝b ，四 形时 边 EFGH 的 面积 S 取得最大值 ab－b2 .

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  • 1. 3.2.2 函数模型的应用实例 1 ．根据收集到的数据作出 _______ ，并通过观察 _____ 判断 问题所适用的 ___________ ，利用计算器的数据拟合功能得出具 体的函数解析式． 散点图 图象 函数模型 2 ．已知 y 与 x 是一次函数关系，当 x ＝ 2 时， y ＝ 6 ；当 x ＝ 3 时， y ＝ 8 ，则 y 与 x 的函数关系是 _________.y ＝ 2x ＋ 2
  • 2. 重点 利用函数模型解决实际问题 (1) 一般地，函数模型方法为“设变量→找关系→求结果”． (2) 利用函数模型解应用题的基本步骤： ① 审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰 当选择数学模型； 2 400 3．计算机成本不断下降，若每隔 3 年计算机价格降低 1 3， 现在为 8 100 元的计算机，则 9 年后的价格降为_______. 4．平均增长率(减少率)：原产值基础数 N，平均增长(减少) 率为 P，则对于时间 x 的总产量 y＝____________________．N(1 ＋ P)x ( 或 N(1 － P)x )
  • 3. ② 建模：将文字语言、图形 ( 或者数表 ) 等转化为数学语言， 利用数学知识，建立相应的数学模型； ③ 求模：求解数学模型，得出数学结论； ④ 还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际 问题的意义． 难点 函数模型应用的主要类型 (1) 利用给定的函数模型解决实际问题．其关键是考虑考查 的是何种函数，并注意定义域，结合所给模型，列出函数关系 式，最后结合其实际意义作出解答．
  • 5. 利用给定的函数模型解决实际问题 例 1：设在海拔 x m 处的大气压强是 y Pa，y 与 x 之间的函 数关系式是 y＝cekx ，其中 c、k 为常量．已知某天海平面的大气 压为 1.01× 105 Pa,1 000 m 高空的大气压为 0.90× 105 Pa，求 600 m 高空的大气压强(结果保留 3 个有效数字)? 思维突破：已知函数模型，需待定 c、k，根据 x＝0，y＝ 1.01× 105 Pa 和 x＝1 000 m，y＝0.90× 105 Pa 来求．
  • 6. 解：将 x＝0，y＝1.01× 105 ，x＝1 000，y＝0.90× 105 分别 代入函数 y＝cekx ，得 ?? ? ??1.01× 105 ＝cek·0 0.90× 105 ＝ce1 000k ，∴ ?? ? ??c＝1.01× 105 ① 0.90× 105 ＝ce1 000k ② . 将①代入②式，得 0.90× 105 ＝1.01× 105 × e1 000k ， ∴k＝ 1 1 000ln 0.90 1.01，
  • 7. 对于给出函数关系式的应用题，需利用待定 系数法求出具体的函数关系式，再进行下一步的应用． 用 算器算得计 k≈ －1.15× 10 －4 . ∴y＝1.01× 105 × . 将 x＝600 代入上述函数式， 得 y＝1.01× 105 × ， 由 算器算得计 y≈ 0.943× 105 Pa. 故在 600 m 高空的大气 强压 约为 0.943× 105 Pa.
  • 8. 1－1.已知某工厂生产某种产物的月产量 y 与月份 x 满足关 系 y＝a ? ? ? ? ? ?1 2 x ＋b.现已知该厂今年 1 月、2 月生产该产物分别为 1 万件、1.5 万件．则此厂 3 月份该产物的产量为( ) A．1.65 万件 B．1.75 万件 C．1.85 万件 D．2.5 万件 解析：由 ? ? ? ? ?1 2a＋b＝1 1 4a＋b＝1.5 ，解得 ?? ? ??a＝－2 b＝2 .所以 y＝-2· ? ? ? ? ? ?1 2 x +2. 当则 x＝3 ，时 y＝－2× 1 8＋2＝1.75.故选 B. B
  • 9. 1－2.某商品的市场日需求量 Q1 和日产量 Q2 均为价格 P 的 函数，且 Q1＝144· ? ? ? ? ? ?1 2 P ＋12，Q2＝6× 2P ，日总成本 C 对于日产 量 Q2 的关系式为 C＝10＋ 1 3Q2. (1)Q1＝Q2 时的价格称为均衡价格，求此均衡价格 P0； (2)当 P＝P0 时，求日利润 L 的大小．
  • 10. 解：(1)根据 意有题 Q1＝Q2， 则 144· ? ? ? ? ? ?1 2 P ＋12＝6× 2P ， 即(2P )2 －2·2P －24＝0， 解得 2P ＝6, 2P ＝－4(舍去)，∴P＝log26. 故 P0＝P＝log26，即均衡价格为 log26 元． (2)由于利 ＝收益－成本，故润 L=Q1P-C=Q2P-C=6× × log26- =36log26－22. 故 P＝P0 ，利时 润为(36log26－22)元．
  • 11. 建立确定性的函数模型解决问题 例 2 ：某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 4 吨时每吨为 1.80 元，当用水超过 4 吨时，超过部分每吨 3.00 元，某月甲、乙两户共交水费 y 元，已知甲、乙两用户该月用 水量分别为 5x 、 3x( 吨 ) ． (1) 求 y 对于 x 的函数； (2) 若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元，分别求出甲、乙两 户该月的用水量和水费． 思维突破：用水量的不同，收费标准不同，需分段列函数 式．
  • 12. 解：(1)当甲的用水量不超过 4 ，即吨 5x≤ 4 ，乙的用水时 量也不超过 4 ，吨 y＝(5x＋3x)× 1.8＝14.4x； 当甲的用水量超过 4 ，乙的吨 用水量不超过 4 ，即吨时 3x≤ 4 且 5x＞4，y＝4× 1.8＋3x× 1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8； 当乙的用水量超过 4 ，即吨时 3x＞4， y＝2× 4× 1.8＋3(3x－4)＋3(5x－4)＝24x－9.6. 所以 y= .
  • 13. (2)由于 y＝f(x)在各段区 上均 增，间 为单调递 当 x∈ ? ? ? ? ? ? 0， 4 5 ，时 y≤ f ? ? ? ? ? ?4 5 ＜26.4； 当 x∈ ? ? ? ? ? ?4 5， 4 3 ，时 y≤ f ? ? ? ? ? ?4 3 ＜26.4； 当 x∈ ? ? ? ? ? ?4 3，＋∞ ，时 令 24x－9.6＝26.4，解得 x＝1.5. 所以甲 用水量户 为 5x＝7.5(吨)， 水费 S1＝4× 1.8＋3.5× 3＝17.7(元)； 乙 用水量户 为 3x＝4.5(吨)， 水费 S2＝4× 1.8＋0.5× 3＝8.7(元)．
  • 14. 2 － 1. 设不法商贩将彩电先按原价提高 40% ，然后在广告上 写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚 270 元，那么每台彩电的原价为 ______ 元．2 250 解析： 原价设 为 a 元，依 意有题 a(1＋40%)× 80%＝a+270， 解得 a＝2 250.
  • 15. 2－2.经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近 20 天内 的销售量(件)与价格(元)均为时间 t(天)的函数，且销售量近似满 足 g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足 f(x)＝20－ 1 2|t－10|(元)． (1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤ t≤ 20)的函数 表达式； (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值． 解：(1)y＝g(t)·f(t) ＝(80－2t) ? ? ? ? ? ? 20－ 1 2|t－10| ＝(40－t)(40－|t－10|) ＝ ?? ? ??(30＋t)(40－t)(0≤ t<10) (40－t)(50－t)(10≤ t≤ 20. .
  • 16. (2)当 0≤ t<10 ，时 y 的取 范 是值 围 [1 200,1 225]， 在 t＝5 ，时 y 取得最大值为 1 225； 当 10≤ t≤ 20 ，时 y 的取 范 是值 围 [600,1 200]， 在 t＝20 ，时 y 取得最小值为 600. ∴第 5 天，日 售销 额 y 取得最大值为 1 225 元． 第 20 天，日 售销 额 y 取得最小值为 600 元．
  • 17. 年度 2003 2004 2005 2006 2007 2008 收入 ( 万元 ) 25 899 30 504 37 997 48 898 66 800 85 000 建立拟合函数模型解应用题 例 3 ：某县经济委员会调查得来的 2003 ～ 2008 年县财政收 入情况： (1) 请建立一个数学模型，预测该县以后几年的财政收入情况； (2) 计算这个县财政收入的平均增长率； (3) 由 (1)(2) 分别预测 2009 年这个县的财政收入，并讨论哪 种预测结果更有可能性．假如你是县长，将会采用哪种模型？
  • 18. 解： (1) 通过题意画出散点图，如图 1. 图 1 由图可知此数学模型为二次函数或指数函数，但是具体是 哪个模型，需要求出两个函数模型进行比较． 思维突破：根据散点图，选择适当的模型
  • 19. 设 f(x)＝ax2 ＋bx＋c(a≠0，x≥1)， 将已知数据代入，得 f(1)＝a＋b＋c≈2.59， f(2)＝4a＋2b＋c≈3.05， f(3)＝9a＋3b＋c≈3.8. 解得 a＝0.145，b＝0.025，c＝2.42. ∴ f(x)＝0.145x2 ＋0.025x＋2.42. 算得计 f(4)＝4.84，f(5)＝6.17，f(6)＝7.79，与 差分实际误 别为 0.05,0.51,0.71.
  • 20. 设 g(x)＝ax ＋b，将已知数据代入，得 g(1)＝a＋b≈2.59，g(2)＝a2 ＋b≈3.05， 解得 a≈1.35，b≈1.25.∴ g(x)＝1.35x ＋1.25. 算得计 g(4)≈4.57，g(5)≈5.73，g(6)≈7.30，与 差分实际误 别 为 0.32,0.95,1.20. 对两个函数模型 行 价，进 评 f(x)＝0.145x2 ＋0.025x＋2.42 与 的 差 小．实际 误 较 (2)设 2003～2008 年 政收入的年平均年增 率县财 长 为 a，则 2.59(1＋a)5 ＝8.5，解得 a≈26.83%.
  • 21. (3) 从增长率的角度再建立一个财政收入的数学模型，可以 得到 h(x) ＝ 2.59(1 ＋ 26.83%)x. 用 f(x) 和 h(x) 分别预测 2009 年的财政收入， f(7) ＝ 9.7 ， h(6)≈10.78. 经过分析知这个县经济发展形势，两种预测都有可能性， 但是 f(x) 比较稳定，所以选用 f(x) 较好． 对于完全未建立模型的函数应用题，其建模 步骤为：①收集数据；②画散点图；③选择函数模型；④求解 函数模型；⑤检验；⑥检验符合实际，用函数模型解释实际问 题；若检验不符合实际，则返回③，重复上述步骤即可．
  • 22. x － 2.0 － 1.0 0 1.00 2.00 3.00 y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 C ． y ＝ ax ＋ b 3 － 1. 在一次数学实验中，运用图形、计算器采集到如下一 组数据： 则 x 、 y 的函数关系与下列哪类函数最接近 ( 其中 a 、 b 为待 定系数 )( )B A ． y ＝ a ＋ bx B ． y ＝ a ＋ bx 2 D ． y ＝ a ＋ b x 解析：由表可知， y 的增长速度越来越快．
  • 23. t( 年 ) 1 2 3 4 5 6 h( 米 ) 0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7 3 － 2. 某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高 度 h( 米 ) 与生长时间 t( 年 ) 的相关数据，选择 y ＝ at ＋ b 与 y ＝ loga(t ＋ 1) 来刻画 h 与 t 的关系，你认为哪个符合？并预测第 8 年的松树高度 . 解：据表中数据做出散点图如图 13. 图 13
  • 24. 由 可以看出用一次函数模型不吻合， 用 数型函数比图 选 对 合理．较 不妨将(2,1)代入到 y＝loga(t＋1)中， 得 1＝loga3，解得 a＝3. 故可用函数 y＝log3(t＋1)来 合 个 ．拟 这 实际问题 当 t＝8 ，求得时 h＝log3(8＋1)＝2. 故可 第预测 8 年松 的高度树 为 2 米．
  • 25. 例 4 ：如图 2 ，在矩形 ABCD 中，已知 AB ＝ a ， BC ＝ b(a ＞ b) 在 AB 、 AD 、 CD 、 CB 上分别截取 AE 、 AH 、 CG 、 CF 都等于 x ， 当 x 为何值时，四边形 EFGH 的面积最大？求出这个最大面积． 图 2 错因剖析：忽略自变量 x 的取值范围，或误认为其范围为 0 ＜ x≤a.
  • 26. 正解： 四 形设 边 EFGH 的面积为 S，由 意得题 S△AEH＝S△CFG＝ 1 2x2 ，S△BEF＝S△DHG＝ 1 2(a－x)(b－x)． 由此得 S＝ab－2 ? ? ? ? ? ?1 2x2 ＋ 1 2(a－x)(b－x) ＝－2x2 ＋(a＋b)x ＝－2 ? ? ? ? ? ? x－ a＋b 4 2 ＋ (a＋b)2 8 . 由 意可得函数的定 域题 义 为{x|0＜x≤ b}． ∵a＞b＞0，∴0＜b＜ a＋b 2 .
  • 27. 当 a＋b 4 ≤ b，即 a≤ 3b ，时 x＝ a＋b 4 ，使面积 S 取得最大值 (a＋b)2 8 ； 当 a＋b 4 ＞b，即 a＞3b，函数 S(x)在(0，b]上是增函数， ∴当 x＝b ，面时 积 S 取得最大值 ab－b2 . 上可知，若综 a≤ 3b，当 x＝ a＋b 4 ，四 形时 边 EFGH 的面积 S 取得最大值 (a＋b)2 8 ；若 a＞3b，当 x＝b ，四 形时 边 EFGH 的 面积 S 取得最大值 ab－b2 .