狠狠撸

曲面上の「直線」と「最短線」
2014.9.14
@matsumoring

はじめに
信じないでください

目的
?この講演を聞いて家に帰ったあとに
「ちょっと測地線の方程式でも調べてみるか…」
と手を動かしてもらえること
?Levi-Civita接続を理解してもらえること

内容
??3
内の曲面の「最短線」は「直線」であること
??3
内の回転面の測地線の振舞い
?一般の曲面の「直線」と「最短線」の関係
※高校3年生～大学1回生向けです。
予備知識は偏微分だけ（のつもり）です。

テンソル解析の記法
?曲面のパラメータは ?1
, ?2
と上付きの添え字
で表します。
…ベキ乗ではありません。
?具体例のときは適宜読み替えてください。
例えば極座標なら ?1
= ?, ?2
= ? です。

テンソル解析の記法
??1
, ?2
での偏微分はそれぞれ ?1, ?2 で
表します。
?例えば ? ?1
, ?2
= ?1 2
+ cos ?2
なら
?1 ? = 2?1
, ?2 ? = ?sin ?2
です。

Einstein記法
?上と下に同じ添え字が現れたら和をとります。
?? ? ?? = ?1 ?1 + ?2 ?2
???? ? ? ? ? = ?11 ?1 ?1 + ?12 ?1 ?2
+ ?21 ?2 ?1 + ?22 ?2 ?2
?この講演では添え字は1と2です。
A.Einstein
(1879~1955)

Einstein記法(練習)
?行列の計算
?1
1
?2
1
?1
2
?2
2
?1
1
?2
1
?1
2
?2
2 の ?, ? 成分 = ? ?
?
??
?
?合成関数の微分
? ?1
, ?2
と?1
? , ?2
(?)について
? = ?? ? ? ?

準備2.
3次元空間内の曲面

空間内の曲面
?曲面のパラメータ表示
?: ?2
→ ?3
? ?1
, ?2
=
? (?1
, ?2
)
? (?1
, ?2
)
? (?1
, ?2
)

例（単位球面）
? ?, ? =
cos ? cos ?
cos ? sin ?
sin ?

Gauss枠
??の偏微分{?1, ?2}が接平面の基底になる。
?? ? ?? ?
??3
の基底 {?1, ?2, ?} をGauss枠という。
? ?
?1×?2
|?1×?2|
J.C.F.Gauss
(1777~1855)
T.Kitano
(1947~)
…似てる。

第一基本量
???? ? ?? ? ? ?を第一基本量という。
※ ???= ???
?接ベクトル ? = ? ?
?? の長さの2乗は
??? ? ?
? ?
で与えられる。
?曲線の長さも第一基本量から計算できる。
…曲線の長さは速度ベクトルの長さの積分。

Christoffel記号（接続係数）
???? ? ?? ?? ? = Γ??
?
? ? + ??? ? という式で
Γ??
?
, ??? という量を定義する。
?Γ??
?
を第二種Christoffel記号という。
※ Γ??
?
= Γ??
?
… ??? を第二基本量という。
E.B.Christoffel
(1829~1900)

第二種Christoffel記号の公式
?第二種Christoffel記号は第一基本量で
書ける。（重要）
Γ??
?
=
1
2
? ??
(?? ??? + ?? ??? ? ?? ???)
※ ? ??
は ??? の逆行列。

証明
?第一種Chrisoffel記号を次で定める。
Γ?,?? ? Γ??
?
???
?cyclicに添え字を動かし、2つ足して１つ引く。
ー「どうしてこの組合せなのか…」
ｂｙ深谷賢治先生
K.Fukaya(1959~)

例（平面の極座標）
?? =
?cos?
?sin?
0
?? ? =
cos?
sin?
0
, ? ? =
??sin?
?cos?
0

例（平面の極座標）
?? ?? = 1, ? ?? = ?2
?? ??
= 1, ? ??
=
1
?2
?Γ??
?
= Γ??
?
=
1
?
?Γ??
?
= ??
※その他はすべて0。

§1.3次元空間内の曲面の
測地線

曲面上の曲線
?曲面上の曲線のパラメータ表示
?: ? → ? (?: = Im ?)
? ? = ?(?1
? , ?2
? )

速度ベクトル?加速度ベクトル
?? を微分したものが速度ベクトル。
? = ? ?
??
?二階微分したものが加速度ベクトル。
? = ? ?
+ Γ??
?
? ?
? ?
? ? + ??? ? ?
? ?
?
?速度ベクトルは曲面に接しているが
加速度ベクトルは曲面に接していない。

共変微分
?加速度ベクトルを接平面に射影して、それを
曲面上の曲線の曲がり具合とみる。
? ?
??
? ? ?
+ Γ??
?
? ?
? ?
? ?
?一般に、曲面上の曲線に沿ったベクトル場を
微分して接平面に射影する操作を共変微分
という。

測地線
?
? ?
??
のことを測地的曲率という。
?測地的曲率が0となる曲線を測地線という。
? ?
+ Γ??
?
? ?
? ?
= 0
?測地線が曲面上の「直線」。

測地線のパラメータ
?加速度=0なので、測地線の方程式は曲線の
形を決めるだけではなく等速となるパラメータ
まで要求している。
? 2
= ??? ? ?
? ?
= 定数

曲線の長さ?弧長パラメータ
?曲線の長さは速度ベクトルの長さの積分。
?: [?, ?] → ?
? ? ?
?
?
| ?|??
?速さが1のパラメータを弧長パラメータという。
| ?| = 1

極値問題
?曲面上の2点?, ?を結ぶ曲線のうち
長さが最小のものを求めたい。
?曲線 ? を以下を満たす最短線とする。
?: 0, ? → ?
? 0 = ?, ? ? = ?
| ?| = 1
※これらの条件から? ? = ? 。

変分法
?? の変分 ?(?, ?) を次のようにとる。
?: 0, ? × ??, ? → ?
? ?, 0 = ? ?
? 0, ? = ?, ? ?, ? = ?
?? が最短線ならば? ? ? 0
? ??
??
??として
??
??
(0) = 0
となる。（どんな変分?についても）

弧長の第一変分公式
?次の等式を弧長の第一変分公式という。
??
??
0 = ?
0
?
??
??
?
? ?
??
??
?この公式から、最短線は
? ?
??
= 0
をみたすことがわかる。

「最短線」は「直線（測地線）」
?最短線であるための必要条件は
? ?
??
= 0
つまり測地線であること。
※逆は必ずしも真ではない。

例(回転放物面)
?放物線? =
1
2
?2
を?軸回りに回転させる。
? ?, ? =
?cos?
?sin?
?2
/2
?? ? =
cos?
sin?
?
, ? ? =
??sin?
?cos?
0

?? ?? = 1 + ?2
, ? ?? = ?2
?? ??
=
1
1+?2 , ? ??
=
1
?2
?Γ??
?
=
?
1+?2
?Γ??
?
= Γ??
?
=
1
?
?Γ??
?
= ?
?
1+?2 ※その他はすべて0。

?測地線の方程式
? +
?
1+?2 ( ?2
? ?2
) = 0
? +
2
?
? ? = 0
?? → ∞ とすると曲面上を無限回回転する。

例(二葉双曲面)
?双曲線?2
? ?2
= 1を?軸回りに回転させる。
? ?, ? =
sinh? cos?
sinh? sin?
cosh?

例(二葉双曲面)
? + tanh2? ( ?2
?
1
2
?2
) = 0
? + 2coth? ? ? = 0
?? → ∞ とすると曲面上を有限回回転して
子午線に漸近する。

例(一葉双曲面)
?双曲線?2
? ?2
= 1を?軸回りに回転させる。
? ?, ? =
cosh? cos?
cosh? sin?
sinh?

例(一葉双曲面)
? + tanh2? ( ?2
?
1
2
?2
) = 0
? + 2tanh? ? ? = 0
?? → ∞ とすると最初の向きにより±∞にいくか
平行円に収束する。

解析力学的に…
?測地線はLagrangian
? =
1
2
??? ? ? ? ?
の作用積分（曲線のエネルギー）の停留点。
?Legendre変換するとHamiltonianは
? =
1
2
???
?? ??

回転面の場合
?回転対称性を持つのでNoetherの定理より
保存量が存在する。
→Hamiltonianと合わせて2つの第一積分を持ち
完全積分可能系となる。

ここからは
眉に唾をつけてください

量的関係
?“「何重にも拡がったもの」が何種類もの量的
関係を有し得ること、したがって空間は「三重
に拡がったもの」の特別な場合にしかすぎない
ことが導かれる。”
「幾何学の基礎をなす仮説について」
1854年 G.F.B.Riemann
G.F.B.Riemann
(1826~1866)

まとめると
? 何重にも拡がったもの（多様体）には量的関係
（Riemann計量）と幾何的関係（affine接続）が
それぞれ独立に入れられる。
? 量的関係は「最短線」という概念を、幾何的関係は
「直線（測地線）」という概念を定める。
? 量的関係はそれと整合するただ１つの幾何的関係
（Levi-Civita接続）を誘導し、その量的関係における
最短線はLevi-Civita接続に関する測地線となる。
T.Levi-Civita
(1873~1941)

比べると
Riemann計量 affine接続
意味量的関係幾何的関係
もの接空間の内積ベクトル場の方向微分
線最短線測地線
備考
整合する唯一の接続
（Levi-Civita接続）
を誘導
接続が与えられると
曲率が計算できる

構造
集合
位相空間
可微分多様体
Riemann多様体 affine接続空間
位相
微分
構造
Riemann
計量
affine
接続
Levi-Civita
接続

共変微分（接続）
?曲線に沿ったベクトル場の微分。
?曲線に沿ったベクトル場から曲線に沿ったベク
トル場への線形写像でLeibniz則をみたすもの。
?(??)
??
=
??
??
? + ?
??
??
?接続が与えられると曲率が計算できる。

Riemann計量
?接空間の内積(正定値対称双一次形式)。
?3次元空間内の曲面の第一基本量に相当。
?Riemann計量を与えると曲線の長さが定まる。
※Riemannは講演の中で一般の場合に言及。
“その次に簡単な場合は線素が4次の微分形式の4乗根として
表される場合となるであろう。（中略）が、かなり面倒な上に結果
が幾何学的に表現できないから、空間の研究にはあまり新しい
光明を与えないであろう。”

Levi-Civita接続
?Riemann計量 , が与えられたとき、
?
?
??
??
??
=
?
??
??
??
(?: ?2
→ ?)
?
?
??
?, ? =
??
??
, ? + ?,
??
??
をみたす接続をLevi-Civita接続という。
?Riemann計量に関する最短線はそれに対応する
Levi-Civita接続に関する測地線。

例(Poincare上半平面）
?? = { ?, ? ∈ ?2
|? > 0}
???2
=
??2+??2
?2
??11 = ?22 =
1
?2 , ?12 = ?21 = 0
?測地線はy軸に平行な半直線または
中心をx軸上にもつ半円。
J.H.Poincare
(1854~1912)

(参考)一般相対性理論
?Einstein方程式
? ?? ?
1
2
? ?? ? = ?????
…物質の配置（エネルギー運動量テンソル???）
から時空の計量を求める。
…Newton力学で言うと万有引力の法則。
（物質の配置からポテンシャルが定まる。）

(参考)一般相対性理論
?運動方程式
? ?
+ Γ??
?
? ?
? ?
= 0
…時空の計量に沿って“まっすぐ”運動する。
…Newton力学の運動方程式に相当。

ご清聴いただき
ありがとうございました！

狠狠撸

20140914冲曲面上の「直线」と「最短线」

More Related Content

20140914冲曲面上の「直线」と「最短线」