�ݺ�ߣ

Editor's Notes

• #4: В теоретической арифметике существуют две различные теории построения множества натуральных чисел: Аксиоматическое и Генетическое. А: Формирование аксиом арифметики N-чисел было начато великим русским математиком Н.И. Лобачевским в книге «Алгебра или вычисление конечных» (1834). В дальнейшем над аксиоматикой арифметики работали Грасман (1809-1877), Пеано (1858-1932), Шатуновский (1859-1929). Широкое распространение получила аксиоматика натуральных чисел, предложенная Пеано. Г (основано на теории множеств): При генетическом построении N-число выступает как характеристика мощности класса равносильных конечных множеств. Например: при переходе от множества пальцев на руке к множеству лучей у пятиконечной звезды инвариантным остается свойство мощности (численности) этих множеств.Тогда N-числом называется инвариант класса равносильных конечных множеств.
• #5: Понятие N-числа дается в ШКМ без определения. Сущность понятия N-числа выясняется индуктивным путем, исходя из рассмотрения конкретных частных примеров. Постановка перед школьниками прямого вопроса «Что такое N-число?» является некорректной, т.к. формулировка «Числа, которые используют при счете предметов, называют натуральными» может лишь служить ответом на вопрос «Какие числа применяются для счета предметов?». 1. 2. Числа натуральные – довольно уникальные: Друг за другом в ряд идут, И для счета – их берут. Начиная с единицы нет конца их веренице! По сути – эти свойства раскрывают содержание первых аксиом аксиоматики Пеано. 3. т.е. способ записи чисел (наглядное пособие – таблица разрядов и классов чисел). 4. Позволяет выделить логические этапы составления числа и служит базой для изучения свойств чисел при изучении их делимости. 5. Цифры – знаки, при помощи которых записывают числа. 6. Связанный с процедурой счета (меньше то, которое при счете называется раньше); опирающийся на понятие ДСС (больше то, в котором больше цифр, если их одинаково, то используют поразрядное сравнение со старшего разряда). 7. Наиболее эффективные средства историзации: краткие исторические справки; рассказы об отдельных исторических фактах; решение старинных арифметических задач и др.
• #6: При изучении действий с числами, как правило, выделяют три основные сторны:
• #7: В ШКМ свойства (законы) действий рассматривают по следующей схеме:
• #8: Повторение, систематизация и обобщение темы «Действия с натуральными числами и нулем» сопровождаются решением разнообразных арифметических задач, которые можно разделить на группы:
• #9: В программу 5-6-х классов входят следующие вопросы из теории делимости N-чисел: делители и кратные числа, признаки делимости, простые числа, разложение числа на простые множители. Эта тема завершает изучение вопросов, связанных со свойствами N-чисел и является подготовительной для освоения действий с обыкновенными дробями: знание признаков делимости используется при сокращении дроби, при приведении к общему знаменателю. Тема имеет и собственное математическое значение для развития ученика, так как вопросы, связанные с анализом свойств целых чисел, их делимостью, всегда привлекали математиков и играли большую роль (на их основе создавались новые научные теории). Материал темы «Делимость N-чисел» считается достаточно сложным для уч-ся 5-6-х классов, что обусловлено следующими причинами: тема насыщена новыми понятиями; положения ТЧ преподносятся без доказательств; практический материал темы требует от учащихся высокой концентрации внимания, достаточного уровня развития вычислительных навыков. К основным вопросам теории делимости N-чисел относится разложение чисел на простые множители. Для эффективности обучения можно использовать следующие способы оформления учебной информации: N-число называется (простым/составным), если у него (только два делителя/ больше двух делителей) Число 7 простое. Оно делится только на 1 и на само себя| число 6 составное. Оно делится не только на 1 и само себя, но еще и на 2 и на 3. 3) Разлагая одно и то же простое число на множители по схеме различными способами, учащиеся должны прийти к выводу, что любое составное число допускает единственное по составу разложение на простые множители. После этого учащиеся приступают к овладению техникой разложения составных чисел на простые множители: данное число делится на наименьший простой делитель, полученное частное опять делится на наименьший простой делитель и т.д. Исторический материал для внеклассной работы и не только в 5-6-х классах: Л.Эйлер и основная теорема арифметики; простые числа Мерсена; простые числа Ферма; решето Эратосфена; проблема Гольдбаха; П.Л. Чебышев и проблема простых чисел; признаки делимости на 7, 11, 13, 37 и др. При изучении понятий НОД и НОК двух данных чисел с последующим обобщением на случай любого числа данных чисел придерживаются традиционной последовательности работы с алгоритмами: Актуализация знаний и рассмотрение частных случаев, необходимых для введения и обоснования алгоритма Отработка операций, входящих в алгоритм и усвоение их последовательности Отработка алгоритма в знакомых и незнакомых ситуациях. Например, при нахождении НОК рассматриваются случаи: данные числа взаимно простые; одно из данных чисел кратно остальным; общий случай.