ݺߣ

ݺߣShare a Scribd company logo

προσομοίωση 2016

•
•
Κωνσταντίνος Κομνιανός
Κωνσταντίνος Κομνιανός

Θέματα κατεύθυνσης Γ΄ Λυκείου 2016

1 of 2
Download to read offline
Διαγώνιςμα προςομοίωςθσ ςτα μακθματικά προςανατολιςμοφ Απρίλιοσ 2016 ΘΕΜΑ Α Α1. Έςτω μια ςυνάρτθςθ f παραγωγίςιμθ ς’ ζνα διάςτθμα (α,β), με εξαίρεςθ ίςωσ ζνα ςθμείο του xo , ςτο οποίο όμωσ θ f είναι ςυνεχισ. Αν  f x 0  ςτο (α,xo) και  f x 0  ςτο (xo,β), τότε δείξτε ότι το  of x είναι τοπικό μζγιςτο τθσ f. Μονάδεσ 7 Α2. Για τθν ακολουκία (αν), * N δώςτε τον οριςμό του ορίου lim     l . Μονάδεσ 4 Α3. Ασ είναι f ςυνάρτθςθ παραγωγίςιμθ ςτο διάςτθμα  ,  . Πότε λζμε ότι θ f παρουςιάηει καμπι ςτο  ox ,   ; Μονάδεσ 4 Α4. Χαρακτθρίςτε ωσ ςωςτζσ ι λανκαςμζνεσ τισ παρακάτω προτάςεισ: α) Αν για τθν f ιςχφουν οι προχποκζςεισ του κεωριματοσ του Rolle ςτο διάςτθμα [ , ]  , τότε θ γραφικι παράςταςθ τθσ f ζχει ς' ζνα τουλάχιςτον ςθμείο τθσ οριηόντια εφαπτομζνθ. β) Ιςχφει ότι:    0 lim lim o o x x h f x l f x h l       . γ) Για μια ςυνάρτθςθ f οριςμζνθ ςτο Α, το μεγαλφτερο από τα τοπικά μζγιςτα τθσ f είναι κατ’ ανάγκθ μζγιςτο τθσ f. δ) Αν f είναι ςυνάρτθςθ ςυνεχισ και  f x 0 ςε ζνα διάςτθμα Δ τότε  f x dx 0    , για κάκε α,βΔ. ε) Mια ςυνάρτθςθ f είναι 1-1 αν και μόνο αν για κάκε ςτοιχείο y του ςυνόλου τιμών τθσ, θ εξίςωςθ  y f x ζχει ακριβώσ μια λφςθ ωσ προσ x, ςτο πεδίο οριςμοφ τθσ. Μονάδεσ 10 ΘΕΜΑ Β Δίνεται θ παραγωγίςιμθ ςυνάρτθςθ f:  1, →R, θ οποία ικανοποιεί τισ ςχζςεισ:     f x x f x e x    για κάκε  x 1,  και   f 2 2 . Β1. Να αποδείξετε ότι    f x ln x 1 x   ,  x 1,  . Μονάδεσ 8 Β2. α) Να αποδείξετε ότι θ f αντιςτρζφεται και να βρείτε το πεδίο οριςμοφ τθσ f-1 (μονάδεσ 4) β) Να βρείτε το πλικοσ των ριηών τθσ εξίςωςθσ   1 x x f ln xe e   , με x>1, για τισ διάφορεσ τιμζσ του κєR (μονάδεσ 4). Μονάδεσ 8 Β3. Να αποδείξετε ότι οι fC και 1 f C  ζχουν ζνα κοινό ςθμείο το οποίο και να βρεκεί. Μονάδεσ 9
ΘΕΜΑ Γ Δίνονται οι ςυναρτιςεισ f, g: (0,+∞)→R, με τθν f παραγωγίςιμθ, για τισ οποίεσ ιςχφει:     2 f x g x x xln x  για κάκε x>1. Δίνεται επίςθσ ότι οι γραφικζσ παραςτάςεισ των f και g παρουςιάηουν ςτο +∞ πλάγιεσ αςφμπτωτεσ. Γ1. Δείξτε ότι οι πλάγιεσ αςφμπτωτεσ των Cf και Cg ςτο +∞ είναι κάκετεσ. Μονάδεσ 6 Γ2. Αν ιςχφει επιπλζον ότι       2 2h 0 f x 5h f x 3h x 1 ln x lim 4h x        για x>0 και   1 f 1 2  , δείξτε ότι: α)   2 1 ln x 2f x 1 , x 0 x      (μονάδεσ 6) και β)   1 ln x f x x , x 0 2 2x    (μονάδεσ 6) Μονάδεσ 12 Γ3. Να βρεκοφν οι αςφμπτωτεσ τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ ςυνάρτθςθσ f. Μονάδεσ 7 ΘΕΜΑ Δ Δίνονται, παραγωγίςιμθ ςυνάρτθςθ f :R→R για τθν οποία ιςχφει θ ςχζςθ    f x f x e x 3    για κάκε xєR και ςυνεχισ ςυνάρτθςθ g οριςμζνθ ςτο *2,+∞) με    f x , x 2 x 2g x 1 , x 2 2        . Δ1. Να βρεκεί θ μονοτονία τθσ f. Μονάδεσ 4 Δ2. Να αποδείξετε ότι θ f είναι κυρτι ςτο R. Μονάδεσ 4 Δ3. Να αποδείξετε ότι  f 2 0 και ότι θ g είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο *2,+∞). Μονάδεσ 6 Δ4. Να αποδείξετε ότι      f x f 6 x 2f 3   για κάκε xєR. Μονάδεσ 6 Δ5. Να αποδείξετε ότι     5 1 f x dx 4f 3 . Μονάδεσ 5 Να απαντήςετε ςε όλα τα ερωτήματα Καλή επιτυχία

More Related Content

προσομοίωση 2016

  • 1. Διαγώνιςμα προςομοίωςθσ ςτα μακθματικά προςανατολιςμοφ Απρίλιοσ 2016 ΘΕΜΑ Α Α1. Έςτω μια ςυνάρτθςθ f παραγωγίςιμθ ς’ ζνα διάςτθμα (α,β), με εξαίρεςθ ίςωσ ζνα ςθμείο του xo , ςτο οποίο όμωσ θ f είναι ςυνεχισ. Αν  f x 0  ςτο (α,xo) και  f x 0  ςτο (xo,β), τότε δείξτε ότι το  of x είναι τοπικό μζγιςτο τθσ f. Μονάδεσ 7 Α2. Για τθν ακολουκία (αν), * N δώςτε τον οριςμό του ορίου lim     l . Μονάδεσ 4 Α3. Ασ είναι f ςυνάρτθςθ παραγωγίςιμθ ςτο διάςτθμα  ,  . Πότε λζμε ότι θ f παρουςιάηει καμπι ςτο  ox ,   ; Μονάδεσ 4 Α4. Χαρακτθρίςτε ωσ ςωςτζσ ι λανκαςμζνεσ τισ παρακάτω προτάςεισ: α) Αν για τθν f ιςχφουν οι προχποκζςεισ του κεωριματοσ του Rolle ςτο διάςτθμα [ , ]  , τότε θ γραφικι παράςταςθ τθσ f ζχει ς' ζνα τουλάχιςτον ςθμείο τθσ οριηόντια εφαπτομζνθ. β) Ιςχφει ότι:    0 lim lim o o x x h f x l f x h l       . γ) Για μια ςυνάρτθςθ f οριςμζνθ ςτο Α, το μεγαλφτερο από τα τοπικά μζγιςτα τθσ f είναι κατ’ ανάγκθ μζγιςτο τθσ f. δ) Αν f είναι ςυνάρτθςθ ςυνεχισ και  f x 0 ςε ζνα διάςτθμα Δ τότε  f x dx 0    , για κάκε α,βΔ. ε) Mια ςυνάρτθςθ f είναι 1-1 αν και μόνο αν για κάκε ςτοιχείο y του ςυνόλου τιμών τθσ, θ εξίςωςθ  y f x ζχει ακριβώσ μια λφςθ ωσ προσ x, ςτο πεδίο οριςμοφ τθσ. Μονάδεσ 10 ΘΕΜΑ Β Δίνεται θ παραγωγίςιμθ ςυνάρτθςθ f:  1, →R, θ οποία ικανοποιεί τισ ςχζςεισ:     f x x f x e x    για κάκε  x 1,  και   f 2 2 . Β1. Να αποδείξετε ότι    f x ln x 1 x   ,  x 1,  . Μονάδεσ 8 Β2. α) Να αποδείξετε ότι θ f αντιςτρζφεται και να βρείτε το πεδίο οριςμοφ τθσ f-1 (μονάδεσ 4) β) Να βρείτε το πλικοσ των ριηών τθσ εξίςωςθσ   1 x x f ln xe e   , με x>1, για τισ διάφορεσ τιμζσ του κєR (μονάδεσ 4). Μονάδεσ 8 Β3. Να αποδείξετε ότι οι fC και 1 f C  ζχουν ζνα κοινό ςθμείο το οποίο και να βρεκεί. Μονάδεσ 9
  • 2. ΘΕΜΑ Γ Δίνονται οι ςυναρτιςεισ f, g: (0,+∞)→R, με τθν f παραγωγίςιμθ, για τισ οποίεσ ιςχφει:     2 f x g x x xln x  για κάκε x>1. Δίνεται επίςθσ ότι οι γραφικζσ παραςτάςεισ των f και g παρουςιάηουν ςτο +∞ πλάγιεσ αςφμπτωτεσ. Γ1. Δείξτε ότι οι πλάγιεσ αςφμπτωτεσ των Cf και Cg ςτο +∞ είναι κάκετεσ. Μονάδεσ 6 Γ2. Αν ιςχφει επιπλζον ότι       2 2h 0 f x 5h f x 3h x 1 ln x lim 4h x        για x>0 και   1 f 1 2  , δείξτε ότι: α)   2 1 ln x 2f x 1 , x 0 x      (μονάδεσ 6) και β)   1 ln x f x x , x 0 2 2x    (μονάδεσ 6) Μονάδεσ 12 Γ3. Να βρεκοφν οι αςφμπτωτεσ τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ ςυνάρτθςθσ f. Μονάδεσ 7 ΘΕΜΑ Δ Δίνονται, παραγωγίςιμθ ςυνάρτθςθ f :R→R για τθν οποία ιςχφει θ ςχζςθ    f x f x e x 3    για κάκε xєR και ςυνεχισ ςυνάρτθςθ g οριςμζνθ ςτο *2,+∞) με    f x , x 2 x 2g x 1 , x 2 2        . Δ1. Να βρεκεί θ μονοτονία τθσ f. Μονάδεσ 4 Δ2. Να αποδείξετε ότι θ f είναι κυρτι ςτο R. Μονάδεσ 4 Δ3. Να αποδείξετε ότι  f 2 0 και ότι θ g είναι γνθςίωσ αφξουςα ςτο *2,+∞). Μονάδεσ 6 Δ4. Να αποδείξετε ότι      f x f 6 x 2f 3   για κάκε xєR. Μονάδεσ 6 Δ5. Να αποδείξετε ότι     5 1 f x dx 4f 3 . Μονάδεσ 5 Να απαντήςετε ςε όλα τα ερωτήματα Καλή επιτυχία