20200605 oki lecture3
- 1. 2020年度 建築計画第二 （第9回 2020.06.05） 建築?都市における 相関?因果関係の分析手法 １ 東京工業大学 環境?社会理工学院 建築学系 沖 拓弥 12020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥）
- 2. 2020 9年度 建築計画第二 第 回（沖 拓弥） 2 適宜，質問時間を設けるようにしますが， 授業内容についての質問は，随時，チャット に入力してください。
- 3. 2020 9年度 建築計画第二 第 回（沖 拓弥） 3 ? ２つの事柄の関連性を調べたい。 ? 例１：人口と蔵書数の関係 ? 例２：蔵書数と貸出冊数の関係 ? 例３：駅の乗降?乗り換え者数とトイレ利用者数の関係 ? 例４：建物階数と建物高さの関係 ? 例５：高齢化率と空き家率の関係 ? 例６：写真と実空間での印象評価の関係 ? 例７：築年数と建替え割合の関係 ? 相互に関連があることをどのように判断すれば良いか？ ? 関係の強さをどのように表せば良いか？ 以上の背景を念頭に置きながら 今回の講義を聞いてください 背景
- 4. 4 第９回のテーマ 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 相関分析 と 回帰分析 相関分析（Correlation analysis） ２種類の変数XY間の因果関係を考えずに，変数 間の関係の強さを測定する方法。 回帰分析（Regression analysis） ２種類の変数XY間の因果関係を仮定し，変数X が変数Yに与える影響の測定や，予測に用いら れる方法。
- 5. 5 相関分析の例１ 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 身長と体重の関係 正の相関 http://www.toukei.metro.tokyo.jp/manabou/tyuu/sirou2/tokutyou2/ma1206t24b.htm 散布図を描くことで 視覚的に確認する
- 6. 6 相関分析の例２ 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 年間の平均気温と積雪日数の関係 負の相関 https://bellcurve.jp/statistics/course/9589.html
- 7. 7 相関分析の例３ 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 道路延長と下水道延長の関係 中澤 良太, 山崎 文雄, 被害想定のための道路網データに基づく下水道管 路の分布推定, 日本地震工学会論文集, 2015, 15 巻, 7 号, p. 7_368-7_377 250mメッシュ毎の道路延長と下水道延長の比較
- 8. 8 回帰分析の例１ 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 親の身長と子の身長の関係 背の高い親たちの子どもの 平均身長は親たちより低く， 背の低い親たちの子どもの 平均身長は親たちより高くな る傾向がある。 子どもの平均身長は，全体 の子どもの身長に近づく（回 帰する）。 親（原因）の身長から子ども（結果）の身長を予測 ?逆は意味をなさない。よって回帰分析。
- 9. 9 回帰分析の例２ 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 建物棟数と下水道延長の関係 中澤 良太, 山崎 文雄, 被害想定のための道路網データに基づく下水道管 路の分布推定, 日本地震工学会論文集, 2015, 15 巻, 7 号, p. 7_368-7_377 建物棟数が増えるほど 下水道延長も長くなる。 建物（原因）があることで， 下水道（結果）が整備される。
- 10. 10 相関係数 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） ２種類の変数XY間の相関関係/因果関係の強さ を表すために，相関係数（Correlation coefficient）と いう指標を用いる。
- 11. 11 相関係数 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 中澤 良太, 山崎 文雄, 被害想定のための道路網データに基づく下水道管 路の分布推定, 日本地震工学会論文集, 2015, 15 巻, 7 号, p. 7_368-7_377 250mメッシュ毎の道路延長と下水道延長の比較 左図は，計N個のメッシュにお ける道路延長と下水道延長の 関係をプロットした散布図であ るとする。 x： y： 平均値 分散 (xi, yi) ( ) 22 1 1 N x i i x x N σ = = ?∑ 1 1 N i i x x N = = ∑ ※yについても同様。 共分散 ( )( ) 1 1 N xy i i i x x y y N σ = = ? ?∑
- 12. 12 相関係数 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 中澤 良太, 山崎 文雄, 被害想定のための道路網データに基づく下水道管 路の分布推定, 日本地震工学会論文集, 2015, 15 巻, 7 号, p. 7_368-7_377 250mメッシュ毎の道路延長と下水道延長の比較 このとき，（ピアソンの積率） 相関係数rxyは以下のように 定義される。 x： y： (xi, yi) xy xy x y r σ σ σ = （σxとσy は標準偏差） ＝分散の平方根 ( )( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 N i i i N N i i i i x x y y x x y y = = = ? ? = ? ? ∑ ∑ ∑ （-1≦rxy≦1）
- 13. 13 相関係数 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 相関係数rと散布図上の点分布の関係 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E9%96%A2%E4%BF%82%E6%95 %B0#/media/File:Correlation_examples2.svg 無相関 正の相関 負の相関 絶対値が1に近いほど変数xと変数yは直線的な 関係にあり，相関関係/因果関係が強いといえる。
- 14. 14 相関係数 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 相関係数rと散布図上の点分布の関係 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B8%E9%96%A2%E4%BF%82%E6%95 %B0#/media/File:Correlation_examples2.svg
- 15. 15 相関係数 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） ２種類の変数XY間の相関関係/因果関係の強さ を表すために，相関係数（Correlation coefficient）と いう指標を用いる。 ( )( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 N i i xy i xy N N x y i i i i x x y y r x x y y σ σ σ = = = ? ? = = ? ? ∑ ∑ ∑ （-1≦rxy≦1）
- 16. 16 回帰分析の基本的考え方 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 大佛 俊泰, 沖 拓弥, 密集市街地における大地震時の避難困難 率について, 日本建築学会計画系論文集, 2012, 77 巻, 681 号, p. 2561-2567 都内A?B地区内の町丁目における 木造建物密度と大地震時道路閉塞率 （推定値）の関係 ① ２種類の変数のうち，原因に あたる変数（説明変数）をx軸， 結果にあたる変数（目的変 数）をy軸として，散布図を作 成する。 ② 線形回帰式 y = ax + b の未 知パラメータa（傾き），b（y切 片）を最小二乗法によって求 め，回帰直線を描く。 ③ 決定係数R2を算出する（?相 関係数rxy）。 x： y：
- 17. 17 回帰分析の基本的考え方 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 大佛 俊泰, 沖 拓弥, 密集市街地における大地震時の避難困難 率について, 日本建築学会計画系論文集, 2012, 77 巻, 681 号, p. 2561-2567 都内A?B地区内の町丁目における 木造建物密度と大地震時道路閉塞率 （推定値）の関係 ① ２種類の変数のうち，原因に あたる変数（説明変数）をx軸， 結果にあたる変数（目的変 数）をy軸として，散布図を作 成する。 ② 線形回帰式 y = ax + b の未 知パラメータa（傾き），b（y切 片）を最小二乗法によって求 め，回帰直線を描く。 ③ 決定係数R2を算出する（?相 関係数rxy）。 x： y：
- 18. 18 回帰式のパラメータ推定 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 大佛 俊泰, 沖 拓弥, 密集市街地における大地震時の避難困難 率について, 日本建築学会計画系論文集, 2012, 77 巻, 681 号, p. 2561-2567 都内A?B地区内の町丁目における 木造建物密度と大地震時道路閉塞率 （推定値）の関係 x： y： y = ax + b という回帰式のパラ メータa,bを推定することを考える。 (xi, yi) y = ax + b i i iy ax b ε= + + 誤差項 変形すると， ( )i i iy ax bε = ? + すべての点における誤差の2乗 の和（誤差自乗和）が最小にな るときのa,bを採用する。 ( ){ } 22 1 1 N N i i i i i y ax b minimizeε = = = ? + →∑ ∑ εi b xi axi yi 最小二乗法 正のみ
- 19. 19 回帰式のパラメータ推定 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 最小二乗法 ( ){ } 22 1 1 N N i i i i i S y ax b minimizeε = = = = ? + →∑ ∑ aとbについてそれぞれ変形すると， ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } 22 2 1 22 1 2 2 N i i i i i N i i i i i S x a x y b a y b S b y ax b y ax = = = ? ? + ? = ? ? + ? ∑ ∑ 下に凸 下に凸 S a ?a Smin 0 S a ? = ? 傾き つまり，誤差自乗和Sが最小（Smin）となるのは， 0 S a ? = ? かつ 0 S b ? = ? のとき
- 20. 20 回帰式のパラメータ推定 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 最小二乗法 ( ){ } 22 1 1 N N i i i i i S y ax b minimizeε = = = = ? + →∑ ∑ ( ) ( ){ }22 1 2 N i i i i i S b y ax b y ax = = ? ? + ?∑bについて， ( ) 1 2 2 0 N i i i S bN y ax b = ? = ? ? = ? ∑ 1 1 1 1N N i i i i b y a x N N= = = ?∑ ∑ b y ax= ? ???①
- 21. 21 回帰式のパラメータ推定 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 最小二乗法 ( ){ } 22 1 1 N N i i i i i S y ax b minimizeε = = = = ? + →∑ ∑ ( ) ( ){ }22 2 1 2 N i i i i i S x a x y b a y b = = ? ? + ?∑aについて， ( )2 1 1 2 2 0 N N i i i i i S a x x y b a= = ? = ? ?= ? ∑ ∑ 2 1 1 1 N N N i i i i i i i a x x y b x = = = = ?∑ ∑ ∑ 前のスライドの式①を代入すると， ( )2 1 1 2 2 1 1 N N i i i i i N N i i i i i a x x y y ax Nx a x Nx x y Nxy = = = = = ? ? ? ? ? = ?? ? ? ? ∑ ∑ ∑ ∑
- 22. 22 回帰式のパラメータ推定 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 最小二乗法 ( ){ } 22 1 1 N N i i i i i S y ax b minimizeε = = = = ? + →∑ ∑ （つづき） 2 2 1 1 N N i i i i i a x Nx x y Nxy = = ? ? ? = ?? ? ? ? ∑ ∑ 1 2 2 1 1 1 N i i i N i i x y xy N a x x N = = ? = ? ∑ ∑ 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 N N N i i i i i i x x x x x x x N N N= = = ? ? = ? += ? +? ? ? ? ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) 22 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 N N N N i i i i i i i i i x x x Nx x xx x x x N N N= = = = ? ? = ? + = ? + = ?? ? ? ? ∑ ∑ ∑ ∑ （分母） 2 xσ= xの分散
- 23. 23 回帰式のパラメータ推定 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 最小二乗法 ( ){ } 22 1 1 N N i i i i i S y ax b minimizeε = = = = ? + →∑ ∑ （つづき） 2 2 1 1 N N i i i i i a x Nx x y Nxy = = ? ? ? = ?? ? ? ? ∑ ∑ 1 2 2 1 1 1 N i i i N i i x y xy N a x x N = = ? = ? ∑ ∑ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 N N N N i i i i i i i i i i x y xy xy x y y x x y xy N N N N= = = = = ? += ? ? +∑ ∑ ∑ ∑（分子） ( ) ( )( ) 1 1 1 1N N i i i i i i i i x y x y xy xy x x y y N N= = ? ? += ? ?∑ ∑ xyσ= xとyの共分散
- 24. 24 回帰式のパラメータ推定 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 最小二乗法 ( ){ } 22 1 1 N N i i i i i S y ax b minimizeε = = = = ? + →∑ ∑ （つづき） 2 2 1 1 N N i i i i i a x Nx x y Nxy = = ? ? ? = ?? ? ? ? ∑ ∑ 1 2 2 2 1 1 1 N i i xyi N x i i x y xy N a x x N σ σ = = ? = = ? ∑ ∑ ???②
- 25. 25 回帰式のパラメータ推定（まとめ） 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 大佛 俊泰, 沖 拓弥, 密集市街地における大地震時の避難困難 率について, 日本建築学会計画系論文集, 2012, 77 巻, 681 号, p. 2561-2567 都内A?B地区内の町丁目における 木造建物密度と大地震時道路閉塞率 （推定値）の関係 x： y： (xi, yi) y = ax + b i i iy ax b ε= + + 誤差項 εi b xi axi yi 最小二乗法 ( ){ } 22 1 1 N N i i i i i S y ax b minimizeε = = = = ? + →∑ ∑ 0 S a ? = ? と 0 S b ? = ? を連立させ解くと 2 ? xy x a σ σ = ， ? ?b y ax= ? このとき，観測値の各点に最も あてはまりの良い回帰直線を 引くことができている。
- 26. 26 回帰式のパラメータ推定（まとめ） 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 大佛 俊泰, 沖 拓弥, 密集市街地における大地震時の避難困難 率について, 日本建築学会計画系論文集, 2012, 77 巻, 681 号, p. 2561-2567 都内A?B地区内の町丁目における 木造建物密度と大地震時道路閉塞率 （推定値）の関係 x： y： (xi, yi) i i iy ax b ε= + + 誤差項 xi axi 最小二乗法 ( ){ } 22 1 1 N N i i i i i S y ax b minimizeε = = = = ? + →∑ ∑ 0 S a ? = ? と 0 S b ? = ? を連立させ解くと 2 ? xy x a σ σ = ， ? ?b y ax= ? このとき，観測値の各点に最も あてはまりの良い回帰直線を 引くことができている。 残差?ie?iy
- 27. 27 回帰式のあてはまりの良さの評価 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 最小二乗法により求めた回帰式のあてはまりの 良さを評価するために，決定係数（Coefficient of Determination）という指標を用いる。 ( ) ( ) 2 2 1 2 1 ? 1 N i i i N i i y y R y y = = ? = ? ? ∑ ∑
- 28. 28 回帰式のあてはまりの良さの評価 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 最小二乗法により求めた回帰式のあてはまりの 良さを評価するために，決定係数（Coefficient of Determination）という指標を用いる。 ( ) ( ) 2 2 1 2 1 ? 1 N i i i N i i y y R y y = = ? = ? ? ∑ ∑ x： y： (xi, yi) xi axi 残差?ie?iy yi
- 29. 29 回帰式のあてはまりの良さの評価 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 最小二乗法により求めた回帰式のあてはまりの 良さを評価するために，決定係数（Coefficient of Determination）という指標を用いる。 ( ) ( ) 2 2 1 2 1 ? 1 N i i i N i i y y R y y = = ? = ? ? ∑ ∑ x： y： (xi, yi) xi axi 残差?ie?iy yi 「全変動」 データそのものの分散の程度 （yの分散σyをN倍した値） 「残差変動」 残差の二乗和 回帰式のあてはまりが良いほど， 決定係数R2の値は1に近づく。
- 30. 30 回帰式のあてはまりの良さの評価 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 ? ? ? 1 N N N N i i i i i i i i i i N N N i i i i i i y y y y y y y y R y y y y y y = = = = = ? ? ? ? ? =? = = ? ? ? ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 「全変動」 「残差変動」 「回帰変動」 「全変動」 ここで，最小二乗法により求めた回帰式を用いる。 2 2 ?? ? xy xy i i i x x y ax b x y x σ σ σ σ ? ? = + = + ?? ? ? ?
- 31. 31 回帰式のあてはまりの良さの評価 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） ( ) ( ) 2 2 2 2 12 1 2 2 1 ? NN xy xy ii i x xi N y i i x y x yy y R N y y σ σ σ σ σ == = ? ?? ?? ? + ? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?= = ? ∑∑ ∑ ( ) ( ) 22 22 2 2 22 1 2 2 2 2 N xy xy x i xi xyx y y x y Nx x N N σσ σ σ σσ σ σ σ σ = ? ? ?? ? ? ?= = = ∑ 2 2xy xy x y r σ σ σ ? ? = =? ?? ? ? ? 相関係数の２乗に等しくなる！
- 32. 32 回帰式のあてはまりの良さの評価 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 最小二乗法により求めた回帰式のあてはまりの 良さを評価するために，決定係数（Coefficient of Determination）という指標を用いる。 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 21 1 2 2 1 1 ? ? 1 N N i i i i i i xyN N i i i i y y y y R r y y y y = = = = ? ? =? = = ? ? ∑ ∑ ∑ ∑
- 33. 33 相関分析/回帰分析での注意点 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） ? 相関関係と因果関係の混同に気をつける。 ? 外れ値の影響に気をつける。 ? 相関係数や決定係数は，外れ値の影響を受けやすい。 必ず散布図を描いて確認すること。 ? 分割相関の問題 ? 擬似相関の問題
- 34. 2020 9年度 建築計画第二 第 回（沖 拓弥） 34 ? ２つの事柄の関連性を調べたい。 ? 例１：人口と蔵書数の関係 ? 例２：蔵書数と貸出冊数の関係 ? 例３：駅の乗降?乗り換え者数とトイレ利用者数の関係 ? 例４：建物階数と建物高さの関係 ? 例５：高齢化率と空き家率の関係 ? 例６：写真と実空間での印象評価の関係 ? 例７：築年数と建替え割合の関係 ? 相互に関連があることをどのように判断すれば良いか？ ? 関係の強さをどのように表せば良いか？ 背景（再掲）
- 35. 2020 9年度 建築計画第二 第 回（沖 拓弥） 35 ? ２つの事柄の関連性を調べたい。 ? 例１：人口と蔵書数の関係 ? 例２：蔵書数と貸出冊数の関係 ? 例３：駅の乗降?乗り換え者数とトイレ利用者数の関係 ? 例４：建物階数と建物高さの関係 ? 例５：高齢化率と空き家率の関係 ? 例６：写真と実空間での印象評価の関係 ? 例７：築年数と建替え割合の関係 ? 相互に関連があることをどのように判断すれば良いか？ ? 関係の強さをどのように表せば良いか？ 背景（再掲） 最後に実際の例を 見てみましょう
- 36. 2020 9年度 建築計画第二 第 回（沖 拓弥） 36 築年数と建替え割合の関係
- 37. 37 第９回のテーマ 2020年度 建築計画第二 第9回（沖 拓弥） 相関分析 と 回帰分析 相関分析（Correlation analysis） ２種類の変数XY間の因果関係を考えずに，変数 間の関係の強さを測定する方法。 回帰分析（Regression analysis） ２種類の変数XY間の因果関係を仮定し，変数X が変数Yに与える影響の測定や，予測に用いら れる方法。